1.2 Funciones de Potencial vectorial magnético y escalar eléctrico.

1.2 Funciones de potencial vector magnético y eléctrico escalar
En el análisis de problemas de radiación es común especificar las fuentes y después
encontrarlas los campos radiados por las fuentes. En la práctica en el procedimiento
para introducir funciones auxiliares, conocidas como vectores potenciales, los cuales
nos ayudan en la solución de problemas de radiación. Las funciones potenciales más
comunes son el vector potencial eléctrico A y el vector potencial magnético F. Otro par
son los potenciales de Hertz IIe y IIh.
Figura. Diagrama a bloques, para el cálculo de los campos radiados
La intensidad de campo eléctrico y magnético E y H, representan las cantidades
físicas medibles; entre muchos ingenieros los potenciales so estrictamente
herramientas matemáticas. La introducción de los potenciales muchas veces
simplifica la solución, aunque se puede requerir funciones adicionales. Mientras que
sea posible calcular los campos E y H, directamente de las densidades de las
funciones de corriente J y M, como se muestra en la fig. N° 3.1. Esto será mucho más
simple, primero calcular las funciones potenciales auxiliares y después determinar E y
H.
La operación más difícil en dos pasos, es la integración para determinar A y F (IIe y
IIh ). Una vez que los vectores potenciales se conocen, siempre se pueden determinar
E y H por medio de cualquier función bien conocida, no importa que tan compleja sea
siempre se puede definir.
La integración requiere determinar las funciones potenciales sea estrictamente sea
sobre las fronteras J y M. Esto dará como resultado en que A y F ( o IIe y IIh ). Sean
funciones de las coordenadas de los puntos de observación, la diferenciación para
determinar E y H deberá ser hechas en términos de las coordenadas de los puntos de
observación.
VECTOR POTENCIAL A, PARA UNA FUENTE DE CORRIENTE ELECTRICA J.
El vector potencial A es muy útil en la solución de campos electromagnéticos,
generados por una corriente eléctrica y armónica J. El flujo magnético siempre es
solenoidal, es decir, Ñ o B = 0 . Por tanto se puede representar por el rotacional de otro
vector, debido a que obedece la siguiente identidad vectorial:
Ñ o ÑxA = 0
(2.1)
En donde A es un vector arbitrario. Definimos:
BA = mH = ÑxA
(2.2)
O
HA =
1
m
ÑxA
(2.2a)
En donde el subíndice A indica que el campo es debido al potencial A. Sustituyendo
(2.3a) en la 2° Ecuación de Maxwell, tenemos:
ÑxE A = - jwÑxA = - jwmH A
æ1
ö
ÑxE A = - jwm çç ÑxA ÷÷ = - jwmH A
èm
ø
(2.3)
(2.4)
Simplificando:
Ñx[E A + jwA] = 0
(2.5)
Empleando la siguiente identidad vectorial:
Ñx(-Ñfe ) = 0
E igualando términos:
(2.6)
EA + jwA = -Ñfe
(2.7)
O
E A = -Ñfe - jwA
(2.7a)
fe Representa un potencial eléctrico escalar, el cual es función de la posición.
Tomando el rotacional de ambos lados de (2.2) y empleando la siguiente identidad vectorial:
ÑxÑxA = Ñ(Ñ o A) - Ñ2 A
(2.8)
BA = mH A = ÑxA
Ñ = BA = Ñx(mH A ) = Ñx(ÑxA)
(2.8ª)
Para medios homogéneos e isotrópicos (28ª), se reduce a:
mÑxH A = Ñ(Ñ o A) - Ñ2 A
(2.9)
Y tomando la 1° Ecuación de Maxwell e igualando términos, tenemos:
ÑxH A = J + jweEA
(2.10)
mJ + mjweEA = Ñ(Ñ o A) - Ñ2 A
Sustituyendo 2.7a
(2.11)
en 2.11, tenemos:
mJ + mjwe (-Ñfe - jwA) = Ñ(Ñ o A) - Ñ2 A
mJ - mjweÑfe - mjwe ( jwA) = Ñ(Ñ o A) - Ñ2 A
mJ - mjweÑfe + mw 2eA = Ñ(Ñ o A) - Ñ2 A
Ñ2 A + mw 2eA = -mJ + Ñ(Ñ o A) + mjweÑfe
Simplificando:
Ñ2 A + k 2 A = -mJ + Ñ(Ñ o A + mjwef e )
(2.12)
En donde:
k 2 = w 2 me
Se define el rotacional de A en (2.2). En este momento se puede definir la
divergencia de A, la cual es independiente de su rotacional A, a fin de simplificar la
(2.12):
Ñ o A = - jwmef e Þ fe = -
1
jwme
Ño A
(2.13)
La cual se le conoce como la condición de Lorentz. Sustituyendo (2.13) en (2.12), tenemos
que:
é
öù
æ
1
Ñ 2 A + k 2 A = -mJ + Ñ êÑ o A + mjwe çç Ñ o A ÷÷ú
øû
è mjwe
ë
Ñ2 A + k 2 A = -mJ
Ecuación Inhomogenea de Helmont
(2.14)
En resumen 2.7 a , se reduce a:
ö
æ
1
E A = -Ñfe - jwA = - jwA - Ñçç Ñ o A ÷÷
ø
è jwme
E A = - jwA +
1
jwme
Ñ(Ñ o A) = - jwA - j
1
wme
Ñ(Ñ o A)
(2.15)
Una ves que se conoce A, se puede encontrar H de (2.2 a) y EA de (2.15). EA se puede
encontrar fácilmente de la 1° Ecuación de Maxwell con J = 0, es decir en el espacio libre,
generalmente los elementos radiadores prácticos están situados en medios homogéneos e
isotrópicos y libres de todo obstáculo, lo cual no existe ninguna densidad de corriente de
conducción J. se mostrara posteriormente como encontrar A en términos de la densidad de
corriente J. será la solución de la ecuación inhomogenea de Helmholtz.
VECTOR POTENCIAL F, PARA UNA FUENTE DE CORRIENTE MAGNETICA M.
Aunque las fuentes de corriente magnética parecen ser físicamente irrealizable,
corrientes magnéticas aparecen cuando usamos el volumen o el teorema de
superficies, equivalentes. El campo magnético generado por una corriente magnética
armónica en una región homogénea, con J = 0 pero M ǂ 0, deberá satisfacer Ñ · D = 0 .
Por tanto EF se puede expresar como el rotacional del vector potencial F, como
1
EF = - ÑxF
(2.16)
e
Sustituyendo (2.16) en la 1° Ecuación de Maxwell.
ÑxH F = jweEF
(2.17)
æ 1
ö
ÑxH F = jwe ç - ÑxF ÷ = - jwÑxF
è e
ø
Ñx( H F + jwF ) = 0
(2.18)
Empleando la siguiente identidad vectorial:
Ñx(-Ñfm ) = 0
Igualando términos y realizando operaciones:
H F + jwF = -Ñfm
H F = -Ñfm - jwF
(2.19)
en donde fm representa un potencial magnético escalar arbitrario, el cual es una función de
posición. Tomando el rotacional de (2.16)
1
EF = - ÑxF
e
[
1
1
æ 1
ö
ÑxE F = Ñxç - ÑxF ÷ = - ÑxÑxF = - Ñ(Ñ o F ) - Ñ 2 F
e
e
è e
ø
]
(2.20)
e igualando a la 2° Ecuación de maxwell, para fuentes de corriente magnéticas:
ÑxEF = -M - jwmH F
- M - jwmH F = -
(2.21)
[Ñ(Ñ o F ) - Ñ F ]
e
1
2
eM + jwmeH F = Ñ(Ñ o F ) - Ñ2 F
Ñ2 F + jwmeH F = Ñ(Ñ o F ) - eM
(2.22)
Sustituyendo (2.19) en (2.22):
Ñ2 F + jwme (-Ñfm - jwF ) = Ñ(Ñ o F ) - eM
Ñ2 F - jwmeÑfm + jwme (- jwF ) = Ñ(Ñ o F ) - eM
Ñ2 F + w 2 meF = -eM + Ñ(Ñ o F ) + jwmeÑfm
Ñ2 F + w 2 meF = -eM + Ñ(Ñ o F ) + Ñ( jwmef m )
(2.23)
Definiendo:
Ñ o F = - jwmef m Þ fm =
1
jwme
Ño F
(2.24)
Sustituyendo (2.24) y (2.23), tenemos:
Ñ2 F + w 2 meF = -eM + Ñ(Ñ o F ) - Ñ(Ñ o F )
Ñ2 F + k 2 F = -eM
Con
k 2 = w 2 me
Sustituyendo a fm en (2.19):
H F = -Ñfm - jwF
(2.25)
æ
ö
1
Ñ o F ÷÷ - jwF
H F = -Ñçç è jwme
ø
H F = - jwF -
1
wme
Ñ(Ñ o F )
Una ves que se conoce F, se puede encontrar EF atreves de (2.16) HF de (2.21) 0 (2.26) con M
= 0 Posteriormente se muestra como encontrar F, u naves que se conoce M. Seria una
solución para la ecuación de Helmholtz.