Semejanza: Resumen y ejercicios

Semejanza
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
Razones
a) Razón. Es el cuociente entre dos números
(positivos).
b) Razón de dos segmentos. Es el cuociente
de los números que expresan las longitudes
de dichos segmentos, ambos medidos con
la misma unidad.
Ejemplo: Los segmentos AB y CD están en la
razón 4 : 3.
Razones y proporciones
Teorema de Thales
Triángulos semejantes
Teoremas de semejanza
Teoremas de Euclides
Perímetro y Área
LMDE
1
LMDE
Proporciones
Teorema de Thales
a) Proporción. Es una igualdad entre dos
razones.
b) Segmentos proporcionales. Dos segmentos
Si tres o más rectas paralelas se cortan
por dos rectas secantes, los segmentos
de las rectas secantes, determinados
por las rectas paralelas, son
proporcionales.
son proporcionales a otros dos segmentos, si y sólo sí,
la razón entre los dos primeros segmentos, es igual a la
razón de los dos últimos.
Proporción:
2
a c
=
b d
LMDE
3
LMDE
4
Corolario Teorema de Thales
Ejercicio 1
Sabiendo que las rectas a,b y c son paralelas. Calcular
el segmento x, usando los valores de los otros tres
segmentos que se dan en cada figura:
Toda recta paralela a un lado de un triángulo
determina en los otros dos lados (o su
prolongación) segmentos proporcionales.
MN | | AB ⇒
LMDE
BA
BC
=
BM BN
5
o
BM BN
=
MA NC
LMDE
6
Semejanza de triángulos
Ejercicio 2: Una aplicación
Dos triángulos son semejantes si tienen
• los ángulos homólogos iguales, y
• sus lados homólogos proporcionales
1. División de un segmento en n partes iguales.
Problema 1. Dividir un segmento dado en dos partes iguales.
Problema 2. : Dividir un segmento en tres partes iguales.
2. División de un segmento en una razón dada
Problema:
Dividir un segmento en la razón 2:3
k:
LMDE
7
razón de semejanza
o
LMDE
factor de escala
8
Criterios de Semejanza de triángulos
Ejercicio 3
En la figura, AB || CD, los segmentos AE, EC y BD
miden 8 unidades, 3 unidades y 5.5 unidades
respectivamente.
Determinar la longitud de cada lado del triángulo CDE.
Criterio 1. Dos triángulos son semejantes,
cuando tienen dos ángulos homólogos
iguales.
Criterio 2. Dos triángulos son semejantes,
cuando tienen los lados homólogos
proporcionales.
Criterio 3. Dos triángulos son semejantes,
cuando tienen un ángulos igual y los lados
homólogos que lo forman, proporcionales.
LMDE
9
Ejercicio 4
LMDE
10
Ejercicio 6
Si los triángulos (T1) y (T2) de
la figura son semejantes:
a) Hallar la razón de
semejanza de (T1) respecto
de (T2).
b) Hallar la longitud del lado
PR.
En la figura, los triángulos rectángulos
ABC y ADE tienen su ángulo recto en B
y D respectivamente. Según los datos,
¿cuánto mide BC?
Ejercicio 7
Ejercicio 5
Según los datos en la figura,
hallar x.
LMDE
11
En un triángulo equilátero ABC se traza
una recta MN paralela a AB tal que
AM:AC=2:3. Hallar el área del triángulo
MNC.
LMDE
12
Teorema de Euclides
Teoremas de Euclides (corolarios)
La altura relativa a la hipotenusa de un triángulo
rectángulo, determina dos nuevos triángulos
semejantes entre sí, y a la vez son semejantes al
triángulo rectángulo original.
h2 = p q
b2 = p c
a2 = q c
Ejercicio 8.
Determinar h, p, q en el triángulo rectángulo ABC, recto en
C, tal que la medida de sus catetos son AB=6 y BC=8.
LMDE
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LMDE
14
Ejercicio 9
Teorema de la bisectriz
ABCD es un rectángulo cuyos
lados miden 3 y 4 unidades
respectivamente. AD es una
diagonal. Determinar la medida
del segmento AH.
La bisectriz interior de un ángulo de un triángulo divide el
lado opuesto en segmentos que son proporcionales a los
otros dos lados del triángulo.
Ejercicio 10
En el triángulo ABC rectángulo en
C, el segmento AH mide 4cm, y la
altura CH mide 12cm.
A) Probar que los triángulos AHC y
CHB son semejantes.
B) Hallar el perímetro del triángulo
ABC.
LMDE
15
LMDE
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Perímetro y Área
Ejercicio 11
Sea ABC un triángulo rectángulo en C cuyos catetos miden
3 y 4 unidades respectivamente.
a) CD es la bisectriz interior del ángulo C, el punto D en el
lado AB. Determinar la medida de AD.
b) CH es la altura relativa a la hipotenusa. Hallar:
b1) la razón de semejanza entre los triángulos ACB y AHC.
b2) la razón entre las áreas de los triángulos ACB y AHC
Sean ABC y A’B’C’ dos triángulos semejantes, tal que la
razón de semejanza del primero respecto del segundo es k.
Es decir:
AB
BC
AC
=
=
=k
A' B' B' C ' A' C '
Luego:
Perimetro( ABC )
=k
Perimetro( A' B ' C ' )
Area ( ABC )
= k2
Area ( A' B ' C ' )
LMDE
17
LMDE
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Ejercicios
Ejercicio 12
1. a) ¿Todos los triángulos equiláteros son semejantes?
b) ¿Todos los triángulos rectángulos son semejantes?
c) ¿Todos los triángulos rectángulos isósceles son
semejantes?
Considerar los triángulos de la figura.
1. Determinar si los triángulos son semejantes.
2. En caso de ser semejantes, hallar la razón de semejanza del
primero respecto del segundo; y la razón entre sus áreas.
3. Sea T un tercer triángulo semejante a los dos triángulos
dados, tal que la razón entre las áreas del primero respecto
del tercero es 4/9. Hallar las medida de los lados del tercer
triángulo.
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2. Sean T1 y T2 dos triángulos semejantes tal que la razón de
semejanza de T1 y T2 es 2:3.
(A) Si el perímetro de T1 es 18cm, hallar el perímetro de T2.
(B) Si el área de T2 es 48, hallar el área de T1.
3. Dado un segmento p. Construir un triángulo equilátero tal que
el segmento p, sea su perímetro. Explicar y justificar su
construcción.
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4.
Sea ABDE un paralelogramo.
Considerando los datos en la figura, ¿cuál es el perímetro de
ABDE?.
6. Determinar x, en cada figura. Justificar.
5. En el trapecio del dibujo, MN es paralela a las
bases. Si el punto M divide al lado AD de modo
que DM:MA = 1:4,
¿cuánto mide MN si la base menor del trapecio
mide 25 cm y la mayor 60 cm?
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7. En la siguiente red de puntos,
construir un triángulo A’B’C’
semejante al triángulo ABC tal
que la razón de semejanza sea
3:2
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9. En la figura, DEFG es un cuadrado, y el ángulo ACB es recto.
a) Probar que los triángulos ADG y GCF son semejantes.
b) Probar que los triángulos ADG y FEB son semejantes
c) ¿Es cierto que DE2=AD*EB?. Justificar.
8. Considerando los datos en la figura,
hallar la medida de cada segmento que
se encuentra en la figura:
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LMDE
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