UNIVERSIDAD NACIONAL AGRARIA LA MOLINA-ESCUELA DE POSTGRADO MAESTRIA EN RECURSOS HÍDRICOS - INGENIERIA DE RECURSOS HIDRICOS CURSO: MÉTODOS DE ANÁLISIS EN RECURSOS HÍDRICOS ING. EDUARDO A. CHAVARRI VELARDE CLASE IX TRÁNSITO DE AVENIDAS 1. Definición El tránsito de avenidas es un procedimiento matemático para predecir el cambio en magnitud, velocidad y forma de una onda de flujo en función del tiempo (Hidrograma de Avenida), en uno o más puntos a lo largo de un curso de agua (Cauce o canal). El curso de agua puede ser un río, una quebrada, un canal de riego o drenaje, etc, y el hidrograma de avenida puede resultar del escurrimiento producto de la precipitación y/o deshielo, descargas de un embalses etc. En 1871, Barré de Saint Venant formuló la teoría básica para el análisis unidimensional del flujo transitorio o no permanente, sin embargo para obtener soluciones factibles que describan las características más importantes de la onda de flujo y su movimiento, es necesario realizar simplificaciones de dichas ecuaciones. Los métodos de tránsito de flujo se pueden clasificar en agrupados (lumped) o distribuidos (distributed). En el tránsito de flujo agrupado o tránsito hidrológico el flujo se calcula como una función del tiempo para todo un tramo a lo largo de un curso de agua. En el tránsito de flujo distribuido o tránsito hidráulico, el flujo se calcula también como una función de tiempo pero de manera simultánea en varias secciones transversales a lo largo del curso de agua. (Ver Figura 1). Punto de ingreso del flujo Condiciones Aguas Arriba Q(t),h(t) Secciones transversales Condiciones Aguas Abajo Q(t),h(t),Q(h) Punto de salida del flujo Tránsito Hidrológico Tránsito Hidráulico Figura N°1 1 11/04/08 UNIVERSIDAD NACIONAL AGRARIA LA MOLINA-ESCUELA DE POSTGRADO MAESTRIA EN RECURSOS HÍDRICOS - INGENIERIA DE RECURSOS HIDRICOS CURSO: MÉTODOS DE ANÁLISIS EN RECURSOS HÍDRICOS ING. EDUARDO A. CHAVARRI VELARDE 2. Tránsito de flujo del tipo agrupado (Tránsito hidrológico) Considerando flujo no permanente a lo largo de un curso de agua (Figura N°1), en el cual la descarga de entrada I(t) en el extremo aguas arriba y la descarga de salida Q(t) en el extremo aguas abajo del curso de agua están en función del tiempo. Se aplica el principio de la conservación de la masa igualando la diferencia entre las descargas con el cambio de almacenamiento S en el intervalo de tiempo entre los extremos: I (t ) − Q (t ) = dS (1) dt Generalmente los diversos métodos existentes relacionan el almacenamiento S con I y/o Q mediante una función denominada de almacenamiento y del tipo empírica. Entre las relaciones más simple se tiene S=f(Q) ó S=f(h), esto último implica la existencia de una relación directa entre la superficie de agua y el caudal o nivel a lo largo del cuerpo de agua, usualmente esta relación se utiliza en los casos de tránsito de flujo a través de un lago o reservorio. La solución de la ecuación (1), es relativamente simple en comparación con los métodos de tránsito distribuido debido a que existen técnicas gráficas y matemáticas bastante conocidas. Las limitaciones que tienen éstos métodos son la no posibilidad de describir el efecto de remanso así como también no son lo suficientemente exactos para transitar hidrogramas de rápido ascenso o lo largo de ríos con poco pendiente o para grandes embalses. Entre los principales tipos de modelos, se pueden citar los siguientes: Tipo de Modelo Nombre Puls,Goodrich Modified Puls Para reservorios Runge-Kutta Iterative trapezoidal integration Kalinin-Miljukov Lag and Route Tránsito del almacenamiento Muskingum SSARR Tatum Linear reservoir SOSM Sistemas Lineales Linearized St.Venant Multiple linearized CLS 2 11/04/08 UNIVERSIDAD NACIONAL AGRARIA LA MOLINA-ESCUELA DE POSTGRADO MAESTRIA EN RECURSOS HÍDRICOS - INGENIERIA DE RECURSOS HIDRICOS CURSO: MÉTODOS DE ANÁLISIS EN RECURSOS HÍDRICOS ING. EDUARDO A. CHAVARRI VELARDE 2.1Tránsito a través de reservorios Esta técnica asume que el reservorio tiene una superficie de agua lo suficientemente horizontal a lo largo de toda su longitud, similar al nivel de una piscina (Level pool). Se asume que los cambios de la elevación de la superficie de agua h con el tiempo h(t) y la salida de agua desde el reservorio tienen relación directa. Este es el caso de reservorios con vertederos de demasías de descarga libre. También se puede realizar el cálculo para vertederos con compuerta o controlados sin embargo debe tenerse en cuenta que el caudal de salida por el vertedero (outflow) sólo debe ser función de h, por lo que se debe considerar completamente abierta las compuertas. 2.1.1 Método iterativo de integración trapezoidal La solución del método consiste en utilizar la regla trapezoidal para integrar la ecuación de la conservación de la masa. La tasa de variación temporal del almacenamiento es producto del área del reservorio y del cambio de la elevación de la superficie de agua h en el paso de tiempo j. dS 0.5( Sa j + Sa j +1 )(h j +1 − h j ) = dt ∆t j Se asumen que se conoce las curvas características del embalse h-vol-área o se tiene tablas con la relación entre la superficie Sa y h. Usando valores promedio para I(t) y Q(t) en el intervalo de tiempo ∆t, se tiene: 0.5( I j + I j +1 ) − 0.5(Q j + Q j +1 ) − 0.5( Sa j + Sa j +1 )(h j +1 − h j ) ∆t j =0 Los términos conocidos son: I en j y j+1, Qj (Se tiene la ecuación de descarga del vertedero Q=f(h) y las curvas características del embalse para determinar Saj). Los términos no conocidos serán: hj+1, Qj+1, Saj+1, en vista que los dos últimos son función de hj+1, puede ser resuelto en términos de hj+1 mediante el método iterativo de Newton Raphson. 3 11/04/08 UNIVERSIDAD NACIONAL AGRARIA LA MOLINA-ESCUELA DE POSTGRADO MAESTRIA EN RECURSOS HÍDRICOS - INGENIERIA DE RECURSOS HIDRICOS CURSO: MÉTODOS DE ANÁLISIS EN RECURSOS HÍDRICOS ING. EDUARDO A. CHAVARRI VELARDE Procedimiento para calcular el hidrograma de salida de un embalse con una superficie de agua horizontal S j +1 ∫ ( j +1) ∆t dS = ∫ j∆t Sj ( j +1) ∆t I (t )dt − S j +1 − S j = ∫ Q(t )dt j∆t I j + I j +1 2 ∆t − Q j + Q j +1 2 ∆t Flujo de Entrada Ij+1 2 Flujo de Salida Ij Qj+1 Qj S j +1 ∆t + Q j +1 = I j + I j +1 + ( 2S j ∆t − Qj ) J=1 TO n ∆t Función Almacenamiento – Caudal de Salida del Embalse Q Q IF J=1 Si 2 S2 + Q2 = I 2 ∆t S 2 S∆2t − Q2 = 2 2 + Q2 − 2Q2 ∆t H 2 S S +Q ∆t S S I j + I j +1 + 2 j − Q j = 2 j +1 + Q j +1 t ∆t ∆ 2 S − Q j +1 = 2 j +1 + Q j +1 − 2Q j +1 ∆t ∆t S j +1 H ECHV-2005 4 11/04/08 UNIVERSIDAD NACIONAL AGRARIA LA MOLINA-ESCUELA DE POSTGRADO MAESTRIA EN RECURSOS HÍDRICOS - INGENIERIA DE RECURSOS HIDRICOS CURSO: MÉTODOS DE ANÁLISIS EN RECURSOS HÍDRICOS ING. EDUARDO A. CHAVARRI VELARDE 2.2 Tránsito a lo largo de cauces - Método Muskingum Se asume la siguiente ecuación cinemática tipo descarga - almacenamiento: S = K [XI + (1 − X )Q ] {[ ][ dS S j +1 − S j K XI j +1 + (1 − X )Q j +1 − XI j + (1 − X )Q j = = dt ∆t j ∆t j ]} (2) Sustituyendo la ecuación 2 en 1 y resolviendo se determina que: Q j +1 = C1I j +1 + C2 I j + C3Q j C1 = ∆t − 2 KX 2 K (1 − X ) + ∆t C2 = ∆t + 2 KX 2 K (1 − X ) + ∆t C3 = 2 K (1 − X ) − ∆t 2 K (1 − X ) + ∆t Donde C1 + C2 + C3 = 1 y K/3 <= ∆t <=K K y X son determinados mediante calibración de hidrogramas observados de entrada y salida de un tramo del río. K= [ 0.5∆t I j +1 + I j − (Q j +1 + Q j ) X (I j +1 5 j − I ) + (1 − X )(Q 11/04/08 j +1 ] − Q j) UNIVERSIDAD NACIONAL AGRARIA LA MOLINA-ESCUELA DE POSTGRADO MAESTRIA EN RECURSOS HÍDRICOS - INGENIERIA DE RECURSOS HIDRICOS CURSO: MÉTODOS DE ANÁLISIS EN RECURSOS HÍDRICOS ING. EDUARDO A. CHAVARRI VELARDE Ejemplo: Supongamos que se dispone de los registros de los hidrogramas de entrada y salida de un tramo de río. [ Definiendo Numerador = 0.5∆t I X (I j +1 j − I ) + (1 − X )(Q j +1 j +1 ] I j − (Q j +1 + Q j ) y Denominador = j −Q ) t (días) I (m3/s) O (m3/s) Numerador Suma Numerador Denominador Suma Denominador 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 59 93 129 205 210 234 325 554 627 526 432 252 203 158 130 105 90 80 68 59 59 42 70 76 142 183 185 213 293 397 487 533 481 371 252 196 161 143 112 95 83 75 20 38 58 45 38 80.5 186.5 245.5 134.5 -31 -165 -198.5 -131 -80 -61 -54.5 -42.5 -29.5 -25.5 -20 20 58 116 161 199 279.5 466 711.5 846 815 650 451.5 320.5 240.5 179.5 125 82.5 53 27.5 7.5 29.2 12 68 33.8 6.4 40.6 109.8 97.8 51.8 18 -77.6 -97.8 -104.2 -50.4 -33 -17.4 -26.8 -16 -11.4 -6.4 29.2 41.2 109.2 143 149.4 190 299.8 397.6 449.4 467.4 389.8 292 187.8 137.4 104.4 87 60.2 44.2 32.8 26.4 Se encuentra para )t = 1 día, los valores de X = 0.2 y K = 1.834, según la siguiente figura: Suma Numerador Cálculo de X y K 900 800 700 600 500 400 300 200 100 0 y = 1.8339x - 43.127 2 R = 0.9865 0 100 200 300 Suma Denominador 6 11/04/08 400 500 UNIVERSIDAD NACIONAL AGRARIA LA MOLINA-ESCUELA DE POSTGRADO MAESTRIA EN RECURSOS HÍDRICOS - INGENIERIA DE RECURSOS HIDRICOS CURSO: MÉTODOS DE ANÁLISIS EN RECURSOS HÍDRICOS ING. EDUARDO A. CHAVARRI VELARDE Los valores de C1, C2 y C3 serán: C1 C2 C3 I (m3/s) 118.0 186.0 258.0 430.5 441.0 491.4 682.5 1274.2 1442.1 1209.8 993.6 655.2 527.8 410.8 338.0 273.0 126.0 112.0 95.2 82.6 82.6 O(m3/s) 118.0 122.6 159.7 221.4 328.4 389.0 454.0 610.2 959.1 1188.9 1184.9 1064.7 847.9 677.3 536.9 431.4 340.9 230.7 169.2 130.7 106.3 Transito de la onda de avenida mediante el método de Muskingum I (m3/s) O(m3/s) 1600 1400 1200 Q(m3/s) t (días) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 0.068 0.441 0.492 1000 800 600 400 200 0 0 1 7 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Tiempo (días) 11/04/08 UNIVERSIDAD NACIONAL AGRARIA LA MOLINA-ESCUELA DE POSTGRADO MAESTRIA EN RECURSOS HÍDRICOS - INGENIERIA DE RECURSOS HIDRICOS CURSO: MÉTODOS DE ANÁLISIS EN RECURSOS HÍDRICOS ING. EDUARDO A. CHAVARRI VELARDE 3. Tránsito de flujo del tipo distribuido (Tránsito hidráulico) 3.1 Método de la Onda cinemática - Ecuación de continuidad (Ecuación de almacenamiento) ∂A ∂Q + =q ∂t ∂x - (3) Ecuación de cantidad de movimiento Q = αy β (4) La ecuación (3) es integrada de acuerdo a la regla trapezoidal en un esquema implícito de diferencias finitas. La integral es expresada en términos de gasto al tiempo t j-1 y de la misma incógnita al tiempo t j. El enfoque de la integración numérica es el Euleriano, el cual consiste en analizar los intercambios de masa y energía a través de las fronteras de una región de estudio fija (volumen de control) en el sistema coordenado x-t. Este sistema es de estructura rectangular, compuesto por celdas o volúmenes de control trapezoidales para las cuales se introducen los subíndices i y j para denotar el espacio y tiempo respectivamente. La principal deformación del perfil de la corriente durante el tránsito del escurrimiento ocurre en el frente o frontera de aguas abajo en la fase de avance de tal manera que después de cada intervalo de tiempo se determina en función del gasto calculado en la estación (i-1) la longitud de avance desde dicha estación. La cual si es mayor que la longitud de la celda se procede a calcular el gasto que pasa por la estación (i) de lo contrario se simula otro intervalo de tiempo. La siguiente ecuación de almacenamiento : Ve - Vs = ∆Valm + ∆Vinf (5) Ve : Volumen de entrada al plano de escurrimiento Vs : Volumen de salida del plano de escurrimiento ∆Valm : Cambio del volumen almacenado = Vj - Vj-1 ∆Vinf : Cambio del volumen infiltrado = Vinf j - Vinf j-1 La ecuación anterior puede ser expresada como : 8 11/04/08 UNIVERSIDAD NACIONAL AGRARIA LA MOLINA-ESCUELA DE POSTGRADO MAESTRIA EN RECURSOS HÍDRICOS - INGENIERIA DE RECURSOS HIDRICOS CURSO: MÉTODOS DE ANÁLISIS EN RECURSOS HÍDRICOS ING. EDUARDO A. CHAVARRI VELARDE tj tj ∫Q i −1dt − t j −1 xi xi i t xi xi ∫ Q dt = ∫ A(x,t )dx + ∫ A (x,t )dx + ∫ A (x,t )dx − ∫ A(x,t j j −1 z xi −1 j j p xi −1 xi −1 j −1 xi )dx − xi −1 ∫ A (x,t z xi −1 j −1 xi )dx − ∫ A (x,t p xi −1 Las dos integrales en el tiempo del miembro izquierdo de la ecuación anterior representan el volumen de entrada (Ve) y salida (Vs) y son aproximados por la expresión algebraica siguiente: tj ∫Q i −1dt [ ] = Ve = w.Qi j−1 + (1 − w).Qi j−−11 .∆t t j −1 tj ∫ Q dt = Vs = [w.Q i i ] + (1 − w).Qi j −1 .∆t j t j −1 El término w depende de la variación de los parámetros en el intervalo de tiempo considerado. El criterio de aproximación común es similar al de la regla trapezoidal que considera variación aproximadamente lineal para intervalos de tiempos cortos. Las aproximaciones de la demás integrales serán: xi ∫ A( x, t j [ ] )dx = V .alm j = φAi j−1 + (1 − φ ) Ai j ∆x xi −1 xi ∫ A ( x, t z [ ] j )dx = V .inf j = φzA.infi −j 1 + (1 − φz ). A.infi j ∆x j )dx = Vpp j = L jpp ∆x xi −1 xi ∫ A ( x, t p xi − 1 xi ∫ A( x, t j −1 [ ] )dx = V .alm j −1 = φAi j−−11 + (1 − φ ) Ai j −1 ∆x xi −1 xi ∫ A ( x, t z j −1 )dx = V .inf j −1 [ ] = φzA.inf i −j −11 + (1 − φz ). A.inf i j −1 ∆x xi −1 9 11/04/08 j −1 )dx UNIVERSIDAD NACIONAL AGRARIA LA MOLINA-ESCUELA DE POSTGRADO MAESTRIA EN RECURSOS HÍDRICOS - INGENIERIA DE RECURSOS HIDRICOS CURSO: MÉTODOS DE ANÁLISIS EN RECURSOS HÍDRICOS ING. EDUARDO A. CHAVARRI VELARDE xi ∫ A ( x, t p j −1 j −1 )dx = Vpp j −1 = L pp ∆x xi −1 j Donde L pp = pp j L pp = j (Para j=1) pp j + pp j −1 (Para j ≥ 2) 2 Los términos φ y φz dependen de la variación de los parámetros asumidos a través de la longitud de las celdas. En la mayoría de ellas, se asume una variación lineal, así que φ = φz = 1/2; cuando este tipo de variación no puede ser asumida, como en el caso del frente de la onda, en la cual se concentra la no linealidad del perfil del flujo, los coeficientes de ponderación en el espacio deben ser valorados apropiadamente. Redefiniendo los términos de la ecuación (5) y considerando a Q, A, Az y Ap unitarios (por unidad de ancho de plano) además de poner todos los términos en función del gasto mediante la (4), tendremos: [ Vs = [w.Q ] Ve = w.Qi j−1 + (1 − w).Qi j−−11 .∆t i j ] + (1 − w).Qi j −1 .∆t 1 1 1 β β β 1 V .alm j = φQi j−1 + (1 − φ )Qi j α [ ∆x ] V .inf j = φzZ .inf i −j 1 + (1 − φz ).Z .inf i j ∆x j Vpp j = L pp ∆x 1 V .alm j −1 V .inf j −1 1 1 1 β j −1 β j −1 β = φQi −1 + (1 − φ )Qi α [ ∆x ] = φzZ .inf i −j −11 + (1 − φz ).Z .inf i j −1 ∆x j −1 Vpp j −1 = L pp ∆x 10 11/04/08 UNIVERSIDAD NACIONAL AGRARIA LA MOLINA-ESCUELA DE POSTGRADO MAESTRIA EN RECURSOS HÍDRICOS - INGENIERIA DE RECURSOS HIDRICOS CURSO: MÉTODOS DE ANÁLISIS EN RECURSOS HÍDRICOS ING. EDUARDO A. CHAVARRI VELARDE j j −1 Considerando que los valores de Qi −1 , Z . inf i j y Lpp ∆x , son conocidos y que la solución en el tiempo tj-1 ha sido obtenida la incógnita a resolver es Qi j . La solución numérica parte de una cierta condición inicial la cual determina las celdas en las cuales se aplicará el balance de masa mediante las ecuaciones anteriores, obteniéndose en cada una de ellas el gasto de salida que constituye el gasto lateral de la siguiente celda aguas abajo. En el caso de la fase de avance si dicho gasto lateral es suficiente para alcanzar la frontera derecha de la celda se aplica nuevamente el balance de masa, de lo contrario se simula otro intervalo de tiempo. En la fase de almacenamiento y recesión el balance de masa se aplica en todas las celdas para cada intervalo de tiempo. Cada plano se divide en N celdas y N+1 nodos que no necesariamente corresponden a las estaciones que se van determinando en la fase de avance y como la frontera izquierda, el gasto se conoce se tendrá en general N incógnitas que se equilibran con las N ecuaciones aplicadas en cada celda. La naturaleza no lineal de la ecuación hace necesario resolver ésta en forma iterativa por lo que se utilizará el procedimiento Newton-Raphson para encontrar la solución. Método Newton - Raphson Qi j k +1 k = Qi j + δQm δQm = −rm ∂rm ∂Qi j ∂r ∂Qi j 1 ∆x 1 = (1 − φ ) ( ) β Qi j β α 1− β β + w∆t rm = V .em + V . ppm − V .Sm − ∆V . inf m → 0 11 11/04/08 UNIVERSIDAD NACIONAL AGRARIA LA MOLINA-ESCUELA DE POSTGRADO MAESTRIA EN RECURSOS HÍDRICOS - INGENIERIA DE RECURSOS HIDRICOS CURSO: MÉTODOS DE ANÁLISIS EN RECURSOS HÍDRICOS ING. EDUARDO A. CHAVARRI VELARDE Ejemplo de programa para simular el tránsito de flujo mediante el método de la onda cinemática. Dim alfa, beta, t1, t2, t3, t4, r, dr_dq, delta_q, qk, k As Single Dim q(100, 2000) As Single Dim num_est, int_de_tiempo As Integer ' Ejemplo Programa Onda Cinemática ' E. Chávarri V. Private Sub Command1_Click() 'Crea base de datos que contiene los resultados de la 'simulación ruta = App.Path If Right(ruta, 1) <> "\" Then ruta = ruta & "\" End If Set cp = New Connection Set rsP = New Recordset With cp .Provider = "Microsoft.Jet.OLEDB.4.0" .ConnectionString = "Data Source=" & ruta & "kinematic.mdb" .Open End With rsP.CursorLocation = adUseClient rsP.Open "Select * From RESULTADOS", cp, adOpenDynamic, adLockOptimistic ' Se borra toda información que contenga la base de datos If rsP.RecordCount > 0 Then rsP.MoveFirst For m = 1 To rsP.RecordCount rsP.Delete rsP.MoveNext Next End If alfa = (t_manning * t_base ^ 0.667 / t_pend ^ 0.5) ^ 0.6 beta = 0.6 num_est = CInt(t_long / t_delta_x) + 1 int_de_tiempo = CInt(t_tiempo / t_delta_t) For i = 1 To num_est q(i, 1) = 750 Next For j = 2 To int_de_tiempo For i = 1 To num_est q(i, j) = 0 Next Next For j = 2 To num_est q(1, j) = Sin(j) + 750 Next 12 11/04/08 UNIVERSIDAD NACIONAL AGRARIA LA MOLINA-ESCUELA DE POSTGRADO MAESTRIA EN RECURSOS HÍDRICOS - INGENIERIA DE RECURSOS HIDRICOS CURSO: MÉTODOS DE ANÁLISIS EN RECURSOS HÍDRICOS ING. EDUARDO A. CHAVARRI VELARDE For j = 2 To int_de_tiempo q(2, j) = q(2, j - 1) For i = 2 To num_est k=1 Do If k = 1 Then If i = 2 Then q(2, j) = q(2, j - 1) Else q(i, j) = q(i, j - 1) End If Else q(i, j) = q(i, j) + delta_q End If k=k+1 t1 = t_delta_t * q(i, j) / t_delta_x t2 = alfa * q(i, j) ^ beta t3 = t_delta_t * q(i - 1, j) / t_delta_x t4 = alfa * q(i, j - 1) ^ beta r = t1 + t2 - t3 - t4 ' - t5 dr_dq = Val(t_delta_t) / Val(t_delta_x) + alfa * beta * q(i, j) ^ -0.4 delta_q = -r / dr_dq qk = q(i, j) + delta_q Loop Until Abs(qk - q(i, j)) <= 0.0001 * qk rsP.AddNew rsP!i = i rsP!j = j rsP!q = q(i, j) rsP!r = r rsP.Update rsP.MoveNext Next Next End End Sub 13 11/04/08 UNIVERSIDAD NACIONAL AGRARIA LA MOLINA-ESCUELA DE POSTGRADO MAESTRIA EN RECURSOS HÍDRICOS - INGENIERIA DE RECURSOS HIDRICOS CURSO: MÉTODOS DE ANÁLISIS EN RECURSOS HÍDRICOS ING. EDUARDO A. CHAVARRI VELARDE 3.2 Método Muskingum - Cunge Aunque el método de Muskingum es popular y fácil de usar, incluye parámetros que no poseen base física y son dificultosos de estimar. El método de Muskingum - Cunge es una variación del método de Muskingum hecha por Cunge et al, la cual consiste en cambiar la base cinemática del método de Muskingum a un método análogo del tipo difusivo para tener la capacidad de predecir la atenuación de la onda del hidrograma. El modelo se basa en la solución de la ecuación de continuidad (Incluyendo flujo lateral). ∂A ∂Q + =q ∂t ∂x Además de la forma de difusión de la ecuación de momento S f = S0 − ∂y ∂x Combinando las dos ecuaciones anteriores, se produce la denominada ecuación de difusión convectiva (Miller y Cunge, 1975). ∂ 2Q ∂Q ∂Q = µ 2 + cq +c ∂x ∂t ∂x Donde 'c' es la celeridad de la onda y 'µ' la difusividad hidráulica. c= dQ dA y µ= Q 2BS0 Donde 'B' es el ancho superior de la superficie de agua. El método Muskingum-Cunge es más efectivo al ser utilizado con técnicas distribuidas de tránsito de flujo. La ecuación recursiva aplicable a cada ∆x para cada ∆t es: O j = C1I j −1 + C2 I j + C3O j −1 + C4 ( q∆x ) 14 11/04/08 UNIVERSIDAD NACIONAL AGRARIA LA MOLINA-ESCUELA DE POSTGRADO MAESTRIA EN RECURSOS HÍDRICOS - INGENIERIA DE RECURSOS HIDRICOS CURSO: MÉTODOS DE ANÁLISIS EN RECURSOS HÍDRICOS ING. EDUARDO A. CHAVARRI VELARDE Los coeficientes serán: C1 = C2 = C3 = C4 = ∆t + 2X K ∆t + 2(1 − X ) K ∆t − 2X K ∆t + 2(1 − X ) K 2(1 − X ) − ∆t K ∆t + 2(1 − X ) K 2( ∆t ) K ∆t + 2(1 − X ) K En el método Muskingum-Cunge, K y X son calculados mediante (Cunge 1969, Ponce 1978). K= X= ∆x c 1 Q (1 − ) 2 cBSo ∆x Pero c, Q y B cambian con el tiempo, así que los coeficientes C1, C2, C3 y C4 deben también cambiar. Para el método Muskingum - Cunge, la elección de los pasos de tiempo (∆t) y distancia (∆x) son bastante críticos. Con respecto al paso de tiempo (∆t), se ha encontrado que: ∆t ≤ Tr M Donde M >= 5 y Tr es el tiempo de ascenso del hidrograma. 15 11/04/08 UNIVERSIDAD NACIONAL AGRARIA LA MOLINA-ESCUELA DE POSTGRADO MAESTRIA EN RECURSOS HÍDRICOS - INGENIERIA DE RECURSOS HIDRICOS CURSO: MÉTODOS DE ANÁLISIS EN RECURSOS HÍDRICOS ING. EDUARDO A. CHAVARRI VELARDE El manual del HEC-HMS, señala que el ∆t debe ser el valor mínimo de lo siguiente: - El paso de tiempo especificado en el 'control de especificaciones'. El tiempo de viaje a lo largo del tramo de cauce. M = 20 Una vez definido ∆t se calcula ∆x como: ∆x = c ∆t Qo 1 ∆ x < c ∆ t + ( ) Sin embargo ∆x tiene una restricción: cBSo 2 Donde Q0 = QB + 1 (Q pico − QB ) 2 QB : Caudal base Qpico : Caudal pico 16 11/04/08 UNIVERSIDAD NACIONAL AGRARIA LA MOLINA-ESCUELA DE POSTGRADO MAESTRIA EN RECURSOS HÍDRICOS - INGENIERIA DE RECURSOS HIDRICOS CURSO: MÉTODOS DE ANÁLISIS EN RECURSOS HÍDRICOS ING. EDUARDO A. CHAVARRI VELARDE Ejemplo: Tránsito de la onda de flujo mediante el método de Muskingum - Cunge Tr (días) M Delta t (días) So n Qbase (m3/s) Qpico (m3/s) Q.lateral (m3/s) Delta t Delta x t (días) B (m) I (m3/s) y (m) c (m/s) (días) (m) 1.3 1.3 1.3 1.3 1.3 1.3 1.3 1.3 1.3 1.3 1.3 1.3 1.3 1.3 1.3 1.3 1.3 1.3 1.3 1.3 1.3 1.3 2.7 4.0 5.3 6.7 8.0 9.3 10.7 12.0 13.3 14.7 16.0 17.3 18.7 20.0 21.3 22.7 24.0 25.3 26.7 28.0 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 118.0 186.0 258.0 430.5 441.0 491.4 682.5 1274.2 1442.1 1209.8 993.6 655.2 527.8 410.8 338.0 273.0 126.0 112.0 95.2 82.6 82.6 0.37 0.48 0.58 0.79 0.81 0.86 1.05 1.52 1.64 1.48 1.31 1.02 0.90 0.77 0.69 0.60 0.38 0.35 0.32 0.29 0.29 5.4 6.5 7.4 9.0 9.1 9.5 10.9 13.9 14.7 13.7 12.6 10.7 9.8 8.9 8.2 7.5 5.5 5.3 4.9 4.7 4.7 8 6 1.3 0.025 0.025 50.0 1442.1 0 Delta x crít.(m) K X c1 c2 c3 c4 O (m3/s) 31.3 27.4 25.2 22.5 22.4 22.0 21.0 20.0 20.0 20.0 20.2 21.1 21.8 22.7 23.7 24.8 30.7 31.8 33.5 35.1 35.1 1.33 1.33 1.33 1.33 1.33 1.33 1.33 1.33 1.33 1.33 1.33 1.33 1.33 1.33 1.33 1.33 1.33 1.33 1.33 1.33 1.33 -0.11 -0.17 -0.21 -0.29 -0.29 -0.31 -0.37 -0.48 -0.51 -0.47 -0.43 -0.36 -0.32 -0.28 -0.25 -0.22 -0.12 -0.10 -0.08 -0.07 -0.07 0.242 0.199 0.167 0.117 0.115 0.104 0.071 0.009 -0.003 0.014 0.034 0.075 0.097 0.122 0.141 0.162 0.236 0.247 0.262 0.275 0.275 0.379 0.401 0.416 0.442 0.443 0.448 0.464 0.496 0.502 0.493 0.483 0.462 0.452 0.439 0.430 0.419 0.382 0.377 0.369 0.362 0.362 0.379 0.401 0.416 0.442 0.443 0.448 0.464 0.496 0.502 0.493 0.483 0.462 0.452 0.439 0.430 0.419 0.382 0.377 0.369 0.362 0.362 0.621 0.599 0.584 0.558 0.557 0.552 0.536 0.504 0.498 0.507 0.517 0.538 0.548 0.561 0.570 0.581 0.618 0.623 0.631 0.638 0.638 118.0 145.2 199.0 308.1 381.0 436.7 554.7 912.4 1176.9 1196.9 1099.1 885.9 701.9 552.9 440.6 353.7 247.7 166.5 125.9 101.8 89.5 7.2 8.6 9.8 12.1 12.2 12.7 14.5 18.6 19.5 18.2 16.8 14.3 13.1 11.8 10.9 10.0 7.4 7.0 6.6 6.2 6.2 17 11/04/08 UNIVERSIDAD NACIONAL AGRARIA LA MOLINA-ESCUELA DE POSTGRADO MAESTRIA EN RECURSOS HÍDRICOS - INGENIERIA DE RECURSOS HIDRICOS CURSO: MÉTODOS DE ANÁLISIS EN RECURSOS HÍDRICOS ING. EDUARDO A. CHAVARRI VELARDE Tránsito de la onda de flujo mediante el Método de Muskingum - Cunge O (m3/s) Días 18 11/04/08 21 19 17 15 13 11 9 7 5 3 1600.0 1400.0 1200.0 1000.0 800.0 600.0 400.0 200.0 0.0 1 Q(m3/s) I (m3/s) UNIVERSIDAD NACIONAL AGRARIA LA MOLINA-ESCUELA DE POSTGRADO MAESTRIA EN RECURSOS HÍDRICOS - INGENIERIA DE RECURSOS HIDRICOS CURSO: MÉTODOS DE ANÁLISIS EN RECURSOS HÍDRICOS ING. EDUARDO A. CHAVARRI VELARDE 19 11/04/08