Señales y Espectros

Definición de sistemas de comunicaciones
Podemos definir como sistema de comunicaciones a todo aquel que
permite la “transmisión de información”. A su vez definimos información como
todo aquello que nos da conocimiento. En un sistema de comunicaciones, al
ente que transfiere la información de un lado a otro se lo denomina señal.
En un sistema de comunicaciones hay tres elementos que se ponen de
manifiesto: el transmisor, el receptor y el canal de comunicaciones. Llámese
transmisor al equipo encargado de procesar la información para que, ya sea en
forma de señal eléctrica o electromagnética, pueda transmitirse por un canal de
comunicaciones. El equipo receptor, “recibe” la señal eléctrica del canal de
comunicaciones y la procesa para transformarla en su forma original (ya sea
una información visual, audible o parte de un sistema de control).
Cuando se transmite una información a distancias pequeñas, muy poco
puede ocurrirle a la señal ya que las mismas viajan prácticamente a la
velocidad de la luz y sólo les tomará algunos picosegundos recorrer el canal en
busca del receptor. Pero, en realidad, un canal de comunicaciones puede
alcanzar distancias de varios miles o millones de km. como en el caso de una
transmisión en el espacio, en la cual el medio de transmisión afecta a la señal
produciendo atenuaciones y/o deformaciones o distorsiones de amplitud y fase.
Las señales como portadoras de información
Las señales eléctricas se caracterizan por su forma de onda, amplitud,
frecuencia y fase.
Las tensiones e intensidades, como funciones temporales, que pueden
presentarse en los circuitos eléctricos son de alguno de los tres tipos
siguientes:
• Funciones periódicas
• Funciones no periódicas
• Funciones aleatorias
Una señal v(t) es periódica con período T si v(t)=v(t+T) para todo t .
La señal senoidal es periódica y posee amplitud, frecuencia, y fase definidas,
por lo cual, por sí misma no transporta información. Por esta razón, la onda
senoidal es considerada desde el punto de vista eléctrico como una señal
primaria y pura, pues además resulta fácil de analizar. Además, cualquier señal
eléctrica puede descomponerse en sumas de señales senoidales.
Una tensión sinusoidal v(t) está dada por:
v(t) = Emax cos (ωt +φ )
donde Emax es la amplitud, ω es la pulsación o frecuencia angular y φ es el
ángulo de fase. La pulsación ω puede expresarse en función del período T o
de la frecuencia f, donde f= 1/T. La frecuencia se mide en hercios, Hz, o
ciclos/s.
Puesto que cos ω = cos (ωt + 2π),ω y T están relacionados por ωT = 2π .
Si se toma T en segundos, la v(t) pasará por su valor original, 1/T ciclos en un
segundo.
Desfases temporal y angular:
Una función retrasada τ segundos respecto de v(t) = cos ωt se obtiene
haciendo v(t -τi) = cos ω(t -τ) = cos (ωt - φ), donde φ =ωT. Gráficamente este
retardo significa que la cura v(t) se desplaza hacia la derecha un valor de τ
segundos, lo que corresponde a un retraso de fase de φ =ωτ = 2πfτ.
La función v(t + τ) está desplazada hacia la izquierda T segundos teniendo
entonces un desfase temporal de T segundos, lo que representa un ángulo de
fase en adelanto.
En general todas las señales que se repiten en el tiempo como las ondas
cuadradas, triangulares, etc., no transmiten información por ellas mismas y se
denominan señales periódicas ya que se repiten con un período T. Si algún
parámetro de esas señales (amplitud, frecuencia o fase) varían en forma
aleatoria, se dice que transmiten información pues no se puede predecir en que
forma variarán, con el próximo ciclo de la señal.
Ancho de banda:
Se define como ancho de banda a la banda de frecuencias que es capaz
de manejar un elemento o equipo. Matemáticamente se expresa como:
BW (band wide)= fmáx. - fmín.
fmáx: máxima frecuencia de trabajo
fmín: mínima frecuencia de trabajo
Ondas y espectro radioeléctrico
Las ondas electromagnéticas se propagan en el espacio y su alcance
depende, fundamentalmente de la frecuencia de las mismas. De aquí que
dichas ondas se clasifican en “bandas” dentro de un espectro: “El espectro
radioeléctrico”. Una onda electromagnética u “onda de radio” se propaga
gracias al intercambio continuo de energía eléctrica y energía magnética. Una
propiedad fundamental de estas señales es que se propagan a velocidad
constante en el vacío con un valor de aproximadamente 300.000 km./s. La
velocidad de la onda dependerá de su frecuencia y se calcula como:
λ=v/f
λ : longitud de onda (m)
v: velocidad de propagación (km. / seg.)
f: frecuencia de la señal (Hz)
El término “espectro” se usa para indicar un margen de banda de frecuencias y
el espectro radioeléctrico cubre frecuencias desde 3 Khz a 1012 Hz. Según se
indica en la siguiente tabla.
BANDA
VLF
LF
MF
HF
VHF
MARGEN DE
FRECUENCIAS
3 a 30 KHz
30 a 300 KHz
300 KHz a 3
MHz
3 a 30 MHz
30 a 300 MHz
LONGITUD
DE ONDA
100 a 10 km
10 a 1 km
USOS PRINCIPALES
100 a 10 m
10 a 1 m
Radiodifusión (OC), radiotelef.
Radiodifusión (OC y FM)./ T.V./
Radcomunic./radnaveg.aerea
T.V./equipos móviles/Rnav./Radar/
Radioenlaces
Radioenlaces/ Radar/ comunic.
satelitales
Radar/ comunic. satelitales
Comunicaciones a gran distancia.
Radiodifusión/ radionavegación
marítima
1 km a 100 m Radiodifusión (OL y OM), radiotelef.
1 m a 10 cm
SHF
300 Mhz a 3
GHz
3 a 30 GHz
EHF
30 a 300 GHz
1 cm a 1 mm
UHF
10 a 1 cm
Introducción al concepto de modulación: su justificación
A las señales de información se las denomina genéricamente como
señales de “banda base”. La eficacia de la transmisión requiere que las señales
que llevan información sean procesadas de alguna forma antes de que se
transmitan por un determinado medio. Muy comúnmente, las señales de banda
base tienen que ser desplazadas a frecuencias superiores para que la
transmisión sea más eficiente. Esto se logra por medio de la variación de
amplitud, frecuencia o fase de una onda senoidal de alta frecuencia a la que se
denomina “Portadora”, de acuerdo con la información que se va a transmitir.
Este proceso de alteración de las características de una onda senoidal
portadora se conoce con el nombre de “modulación”. Las señales de banda
base constituyen la señal “moduladora”, y la señal que resulta del proceso es la
“Portadora modulada” de alta frecuencia. El uso de altas frecuencias
proporciona una radiación de la energía eléctrica más eficiente y pone al
alcance anchos de banda mayores para una transferencia de información
superior a la que es posible con bajas frecuencias.
Propiedades de las señales y del ruido
En los sistemas de comunicaciones las formas de onda recibidas están
usualmente categorizadas en una parte deseada que contiene información y
una parte no deseada: a la primera se la denomina “señal” y a la segunda
“ruido”.
La forma de onda de interés puede ser una variación de tensión como
función del tiempo v(t), o una variación de corriente como función del tiempo
i(t). Generalmente la forma de onda se denotará como f(t) cuando no se
especifique expresamente con cual de ellas estamos tratando.
Valor medio de continua:
El valor medio de una forma de onda f(t) está dado por:
f(t) = lim 1/T f(t) dt
T
En algunos casos nos puede interesar evaluar el valor medio solamente sobre
un intervalo finito, por ejemplo desde T1 hasta T2, o sea:
f(t) =
1
T2 - T1
f(t) dt
Potencia:
Sea un circuito C con un par de terminales sobre los cuales hay una
tensión v(t) aplicada y por los que circula una corriente i(t) como se ve en la
figura.
La “potencia instantánea” que consume este circuito está dada por:
p(t) = v(t) . i(t)
donde si la p(t) fluye dentro del circuito , es positiva y si fluye hacia fuera , es
negativa.
La potencia media está dada por:
---- ---------P = p(t) = v(t) . i(t)
Valor eficaz:
También conocido como valor cuadrático medio (RMS) está dado por:
---fRMS = f2(t)
Si alimentamos una carga resistiva pura, la potencia media estará dada por:
P = v2(t) = i2(t) . R = Vef2 = Ief2 . R = Vef . Ief
R
R
Para una forma de onda sinusoidal con amplitud máxima V o I, el valor eficaz
correspondiente será:
Vef = Vmax / 2 o Ief = Imax / 2
Y la potencia media será por lo tanto: P = ½ . Vmax . Imax
Potencia y energía normalizadas
La “potencia media normalizada” es la potencia media desarrollada sobre una
resistencia de 1 y está dada por:
P = f2(t) = lim 1/T
f2(t) dt
La “energía total normalizada” está dada por:
E = lim
f2(t) dt
Revisión del concepto de fasor
Las amplitudes instantáneas de una señal senoidal se pueden asociar a
un vector giratorio que tenga una longitud igual a la máxima amplitud de la
forma de onda, como se ve en la figura:
Por medio de funciones trigonométricas podemos hallar el valor instantáneo
multiplicando la máxima amplitud por el seno del ángulo:
e = E . sen θ
e: valor instantáneo
E: valor máximo
θ :ángulo entre el vector y el eje de referencia
Este vector gira a una determinada velocidad angular ω , la cual está
relacionada con la frecuencia de la forma de onda por: ω = 2π f .
El vector en su desplazamiento barrerá un cierto ángulo en un cierto tiempo , el
cual se expresa como ω.t . Por lo tanto el valor instantáneo de la forma de onda
podrá expresarse como:
e = E . sen (ωt +θ )
donde θ expresa una cierta posición inicial del vector para t = 0 y que se
denomina “ángulo de fase”. Este nos define las condiciones de adelanto o
atraso de la señal. De lo antes expuesto definimos al “fasor” como un vector
rotante cuya función matemática la asimilamos con la representación de una
forma de onda senoidal.
El fasor puede ser descompuesto en sus “componentes en cuadratura”,
las que se obtienen al proyectar al vector sobre los ejes cartesianos.
e = E . sen (ω t +θ ) = an . cos ωt + bn . sen ωt
donde :
r = an cuando θ = 0º
y
r = bn cuando θ= 90º
Por otra parte, como el fasor es un número complejo puede ser escrito así:
e = x + j y = e . ej = e
donde: e = r = E = an +
y
bn
θ = arctg (y/x) = arctg (bn / an )
El dominio de la frecuencia
En la siguiente figura podemos observar distintos tipos de señales:
La señal a) es una onda senoidal con una amplitud de pico Vp y un periodo T.
Este tipo de forma de onda es el más fundamental que existe. En
contraposición, a las señales b), c) y d) se las denomina “no senoidales”.
También se las caracteriza como “periódicas” pues se repiten cíclicamente
cada cierto tiempo T (período).
Armónicas: Toda señal periódica y continua puede ser reproducida por una
suma infinita de ondas senoidales, es decir, si se suman ondas senoidales con
la amplitud, frecuencia y fases adecuadas, podrá reproducirse cualquiera de las
señales vistas. En otras palabras, cualquier onda periódica es el resultado de la
superposición de ondas senoidales, las cuales se encuentran armónicamente
relacionadas, es decir, que sus respectivas frecuencias son “armónicas”
(múltiplos) de una “fundamental” (frecuencia menor).
Dada una onda periódica será posible medir su período en un osciloscopio.
El recíproco del valor T será igual a la frecuencia fundamental: f1 = 1/T
La segunda armónica tiene una frecuencia igual a: f2 = 2 . f1
La tercera armónica tiene una frecuencia igual a: f3 = 3 . f1
Y en gral.. la enésima armónica tiene una frecuencia igual a: fn = n .f1
En las siguientes figuras se representan una onda cuadrada y una diente de
sierra como la suma de sus primeras armónicas:
allí podemos observar que:
1) En la medida que se suman más armónicos, se tiene una mejor
aproximación.
2) La mejor aproximación se aprecia con mayor claridad en los flancos
abruptos.
3) La cantidad de armónicas es infinita pero sus amplitudes van
decreciendo a medida que crecen sus frecuencias, tendiendo a 0.
Serie de Fourier
Lo antes visto puede expresarse matemáticamente así:
+ a1 cos ωt + a2 cos 2ωt + a3 cos 3ωt +.....+an cos nωt+.......
.......+ b1 sen ωt + b2 sen 2ωt + b3 sen 3ωt +....+bn sen nωt +......
V(t) = ½. a0
Esta ecuación se conoce como “serie de fourier” y expresa que una onda
periódica es la superposición de ondas senoidales relacionadas
armónicamente. El voltaje v es el valor instantáneo de la onda periódica, el cual
se obtiene al sumar la componente de continua más los valores instantáneos
de cada una de las armónicas.
En dicha ecuación a0 es la designación del término de c.c. (valor medio). Las
a1 y b1 de las series coseno y seno representan la componente de la señal
fundamental de la forma de onda.
La señal de frecuencia más baja contenida en la forma de onda representa
también la frecuencia fundamental de la propia señal y debe ser considerada
en cualquier serie de Fourier. Los subíndices más altos asignados a an y bn
indican los armónicos de orden más alto de la fundamental (múltiplos de la
frecuencia fundamental de la señal).
La serie de Fourier se puede expresar así
a0 / 2 + Σ (an cos nωt + bn sen nωt)
Si bien n ---- ∞ , en el laboratorio, con 5 o 10 armónicas es suficiente para
sintetizar una onda periódica con una tolerancia del 5 %.
Espectro de una señal
Al descomponer una onda periódica a sus respectivas armónicas para
su análisis se está analizando a forma indirecta la propia onda periódica. En
otras palabras existen dos formas para estudiar una señal no senoidal, una
consiste en considerar lo que hace la onda periódica en cada instante (análisis
en el dominio del tiempo), y la otra consistiría en determinar lo que hace cada
armónica (análisis en el dominio de la frecuencia).
Componentes espectrales:
Supóngase que A representa el valor pico a pico de una onda diente de
sierra. Mediante matemáticas avanzadas se puede demostrar que:
Vn = A / nπ
Por ejemplo la figura muestra una onda diente de sierra con una amplitud pico
a pico de 100 V, por lo tanto las armónicas tendrán los siguientes valores pico y
de frecuencia:
c = Vo
f1, V1
f2, V2
f3, V3
..........
fn, Vn
Vo = área bajo curva = 20 V
T
f1 = 1/ T = 1 Mhz ; V1 = A / π = 31,8 V
f2 = 2 f1 = 2 Mhz ; V2 = A / 2π = 15,9 V
f3 = 3 f1 = 3 Mhz ; V3 = A / 3π = 10,6 V
...............................................................
...............................................................
El diagrama donde se representan las amplitudes de cada uno de los
armónicos que constituyen una onda se denomina “espectro de la onda”
La amplitud de los armónicos decrece rápidamente para ondas con series que
convergen rápidamente. Las ondas con discontinuidades, como la onda de
dientes de sierra o la onda cuadrada, tienen un espectro cuyas amplitudes
decrecen lentamente, ya que sus desarrollos en serie tienen armónicos de
elevada amplitud. Los armónicos décimos tendrán a menudo amplitudes de
valor significativo comparados con el fundamental.
En contraste, los desarrollos en serie para las ondas sin discontinuidades, y
con una apariencia generalmente suave, convergen rápidamente, por lo que
para generar la onda se requieren muy pocos términos del desarrollo en serie.
Tal convergencia rápida se hace evidente en el espectro de la onda, donde las
amplitudes de los armónicos decrecen rápidamente, de forma que por encima
del quinto o del sexto son insignificantes.
El contenido en armónicos y el espectro de la onda son parte de la propia
naturaleza de dicha onda y nunca cambian.
Los armónicos que aparecen en los desarrollos tienen amplitudes
representadas con la forma :
co= I ½. a0 I y
cn=
a +b para todo n≥1
Veamos algunos ejemplos comunes de forma de onda y sus espectros.
Mediante un osciloscopio (un instrumento en el dominio del tiempo) se observa
la señal periódica como función del tiempo (ver figs. a,b,c y d), donde el eje
vertical representa el voltaje de la señal y el eje horizontal representa el tiempo.
Es decir, la imagen del osciloscopio es la representación gráfica del valor
instantáneo v de la onda periódica.
Un “analizador de espectros” es un instrumento en el dominio de la frecuencia:
su eje horizontal representa la frecuencia y su eje vertical los valores pico de
voltaje de las armónicas. El espectro normalmente, difiere de una señal
periódica a otra
Por ejemplo, para el caso del diente de sierra antes visto, se verá en el
analizador una imagen como la de la figura b).
Simetría de las señales
Los términos de la serie de Fourier seno o coseno pueden tener amplitud
cero , dependiendo de las características de una forma de onda compleja en
particular ; Estos factores se pueden determinar por la propia forma de onda
comparando su configuración con las características de simetría que se
observen.
Por ejemplo, consideremos las formas de onda compleja representadas en la
figuras (a) y (b):
La línea vertical marcada “y” divide en dos partes iguales dicha figura (a) , lo
que evidencia la simetría con respecto al eje vertical: Esta simetría de eje
vertical corresponde a una” función par”, en la cual las constantes seno (bn)
son todas nulas. Para una forma de onda compleja con este eje de simetría el
punto situado a la izquierda del eje vertical (-ωt) tiene la misma amplitud y polaridad eléctrica que el punto (+ωt) simétrico situado a la derecha del eje vertical.
Como las constantes seno son cero, la forma de onda sólo contiene valores
coseno (an) y de c.c. (ao). Los términos coseno tienen los mismos signos
algebraicos para los puntos -ωt y +ωt representados en dicha figura (a). En
cambio, los términos seno tienen signos contrarios en los puntos -ωt y +ωt.
Para el tipo de forma de onda representado en la figura(b), la línea vertical (y)
divide a la forma de onda entre las secciones positiva y negativa. Los puntos
equidistantes del eje vertical -ωt y +ωt tienen la misma amplitud, pero
polaridades eléctricas opuestas, contrariamente a los de la figura (a) en que los
dos puntos tienen la misma polaridad. Así la forma de onda de la figura (b)
tiene simetría de punto (simetría con respecto al origen) y se la denomina
función impar. Una señal con estas características indica que las constantes
coseno (an) son todas cero, y que en la serie de Fourier sólo se utilizan los
términos seno (bn) y la corriente continua.
Las formas de onda que contienen sólo señales armónicas impares son
simétricas con respecto al eje horizontal;
De las formas de onda mostradas hay 2 que poseen armónicas impares
solamente. Cualquier forma de onda con “simetría de media onda” tiene la
propiedad de poseer solo armónicas impares. Tener simetría de media onda
significa que si se invierte el semiciclo negativo de la señal se obtiene un
duplicado exacto del semiciclo positivo. Veamos los siguientes ejemplos:
Los casos a) y b) presentan simetría de media onda, no así el caso c), pues si
invertimos el semiciclo negativo y lo desplazamos hacia la izquierda vemos que
no hay una correspondencia completa. Por lo tanto esta señal tendrá también
armónicas pares.
Espectros continuos y discretos
Consideremos ahora un tren de pulsos de amplitud A, ancho τ
y
período T. Su espectro estará dado por la siguiente figura, donde las
amplitudes de las armónicas se calculan con la función envolvente:
A . sinc f = A (sen f/ f)
Si aumentamos el período T a un valor T’, las armónicas se comprimen en
frecuencia pues si T aumenta entonces 1/ T disminuye. En el caso límite en
que T tiende a infinito, la forma de onda se convierte en “aperiódica” y las
armónicas se han unificado en un “espectro continuo”.
Efecto de la componente continua en el espectro
Si se añade una componente de corriente continua a cualquier forma de
onda, el único cambio en el espectro es la presencia de una línea en la
frecuencia 0. La altura de esta línea representa la magnitud del voltaje de
corriente continua.
Distorsión armónica
Dada una etapa amplificadora con un transistor cuya curva de
trasconductancia es la que se ve en la figura:
Cuando una señal amplificada es pequeña solo se emplea una pequeña parte
de la curva mostrada, y por ello, la operación tiene lugar sobre un tramo de la
misma que es prácticamente lineal. Una operación de este tipo se la llama
“lineal” pues los cambios en la corriente de salida (Ic) son proporcionales a los
cambios en el voltaje de entrada (VBE). O sea, la forma de onda de la señal
amplificada es proporcionalmente igual a la forma de onda de la señal de
entrada. Esto implica que no se produce ninguna distorsión cuando se opera
linealmente con pequeñas señales de entrada.
Sin embargo, cuando la señal de entrada es grande (como se ve en la
fig.), los cambios en la corriente de salida dejan de ser proporcionales a los
cambios de la señal de entrada. Esto indica que se produce “distorsión no
lineal” a causa de la falta de linealidad de la curva de trasconductancia, la cual
hace que la I de salida deje de ser senoidal pura.
Arbitrariamente se ha mostrado más ganancia en uno de los semiciclos
que en el otro; este tipo de distorsión se denomina “distorsión de amplitud”.
En la siguiente figura se muestra esta distorsión desde el punto de vista
del tiempo (fig. a).
La figura b) muestra la manera en que se visualiza la misma situación en
el dominio de la frecuencia.
El espectro de entrada está compuesto por una sola línea en f1
(frecuencia de la señal de entrada). La señal de salida está distorsionada pero
sigue siendo periódica, por lo tanto, contiene la componente de continua y las
armónicas mostradas (arbitrariamente sólo se han considerado cuatro
armónicas). La intensidad de las armónicas superiores nos permitirá determinar
la magnitud de la distorsión en términos del dominio de la frecuencia, razón por
la cual se la conoce como “distorsión armónica”. Así, cuanto mayores sean los
valores pico de las armónicas, mayor será la distorsión armónica.
Se define el porcentaje de distorsión de segunda armónica como:
(V2/ V1) . 100 %
El porcentaje de distorsión de tercera armónica como:
(V3/ V1) . 100 %
Y así sucesivamente para cualquier armónica, hasta la enésima:
(Vn/ V1) . 100 %
Por lo general, las hojas técnicas de los fabricantes de equipos indican el valor
de la “distorsión armónica total”, definida como:
DTOTAL = (% 2º arm.)2 + (% 3º arm.)2 + ...
Distorsión de frecuencia
Es diferente a la distorsión no lineal, pudiendo aun ocurrir en operación
de pequeña señal, y es debida a un cambio en la ganancia del amplificador con
la frecuencia. La figura siguiente muestra el espectro de entrada formado
arbitrariamente con varias componentes armónicas de amplitudes iguales.
Si la frecuencia de corte del amplificador es menor que la mayor de las
frecuencias de las senoides, las frecuencias más altas son atenuadas. En otras
palabras, la distorsión en frecuencia es un cambio en el espectro de la señal
ocasionado por las frecuencias de corte del amplificador.
Distorsión de fase
Se produce cuando la fase de una armónica se desfasa con respecto a
la fundamental. Por ejemplo, en la figura se muestra el pico de la 3º armónica
en fase con el pico de la fundamental. Si se presenta distorsión de fase, la 3º
armónica se desfasará con respecto a la fundamental de salida. Casi siempre
la distorsión de frecuencia y de fase se presentan juntas. En la banda media de
un amplificador, la ganancia de tensión y el corrimiento de fase son constantes
(ya sea 0º o 180º). Por lo tanto, no ocurrirá ninguna distorsión de frecuencia o
de fase si todas las componentes senoidales se encuentran en la banda media
del amplificador. Fuera de la banda media la ganancia de tensión decae y el
ángulo de fase cambia; por lo tanto, se producirá distorsión de frecuencia y de
fase si el espectro contiene componentes fuera de la banda media.
Valor eficaz y potencia media de una señal poliarmónica
El valor eficaz de (rms) de la función
+ a1 cos ωt + a2 cos 2ωt + a3 cos 3ωt +.....+an cos nωt+.......
.......+ b1 sen ωt + b2 sen 2ωt + b3 sen 3ωt +....+bn sen nωt +......
V(t) = ½. a0
Es de la forma:
Partiendo de un circuito lineal con una tensión aplicada periódica, debería
esperarse que la intensidad resultante contuviera los mismos términos de
armónicos que la tensión, aunque con amplitudes de diferente magnitud
relativa, ya que la impedancia varía con nω . Es posible que algunos armónicos
no aparezcan en la intensidad; por ejemplo, en un circuito paralelo LC puro,
una de las frecuencias de los armónicos puede coincidir con la frecuencia de
resonancia, haciendo que la impedancia para esa frecuencia sea infinita.
En general puede escribirse los correspondientes valores eficaces de
La potencia media P se obtiene de la integración de la potencia instantánea, la
cual se obtiene del producto de v e i.Por tanto, la potencia media es
P = Vo.lo + ½ Vl.I1 cos
θ1 + ½.V2.I2 cos θ 2 + ½. V313 cos θ3 + .. .
donde θn es el ángulo de la impedancia equivalente del circuito para la
frecuencia nω y Vn e 1n son los valores máximos de sus funciones senoidales
respectivas.
En el caso especial de una tensión senoidal de una única frecuencia, Vo
= V2 = V3 = · · = 0 y P se reduce a la expresión conocida
P = 1/2 .V1.I1 cos θ1 = Vef. lef cosθ\
En lo que a potencia se refiere a cada armónico actúa en forma independiente
P = P0 + P1 + P2 + P3 + .........