MATRICES: INVERSA DE PENROSE.

MATRICES:
INVERSA GENERALIZADA DE
MOORE-PENROSE.
Jorge Eduardo Ortiz Triviño
jeortizt@unal.edu.co
http:/www.docentes.unal.edu.co
Matrices
Elemento: aij
Tamaño: m  n
Matriz cuadrada: n  n
(orden n)
Elementos de la diagonal: ann
Vector columna
(matriz n x 1)
Vector fila
(matriz 1 x n)
 a11 a12  a1n 


 a21 a22  a2 n 
 
 


 am1 am 2  amn 
 a1 
 
 a2 

 
 an 
(a1 a2  an )
2
Suma:
3
 2 1
 4 7  8




A 0 4
6 , B   9
3
5
  6 10  5 
 1 1

2




 24

AB  09
  6 1

1  7
3  (8)   6
 
43
65   9
10  (1)  5  2    5
6
7
9
5 

11 
 3 
Multiplicación por un escalar:
 ka11 ka12  ka1n 


 ka21 ka22  ka2 n 
kA  

(
k
a
)
ij
mn





 kam1 kam 2  kamn 
3
Si A, B, C son matrices mn, k1 y k2 son escalares:
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
(v)
(vi)
A+ B =B +A
A + (B + C) = (A + B) + C
(k1k2) A = k1(k2A)
1A=A
k1(A + B) = k1A + k1B
(k1 + k2) A = k1A + k2A
4
Multiplicación:
4 7
 9  2
(a) A  
,B

8
 3 5
6
 4．9  7．6 4．(2)  7．8   78 48 
AB  


 3．9  5．6 3．(2)  5．6   57 34 
5 8
(b)


  4  3
A  1 0 , B  

0
 2
2 7


 5．(4)  8．2 5．(3)  8．0    4  15 

 

AB   1．(4)  0．2 1．(3)  0．0     4  3 
 2．(4)  7．2 2．(3)  7．0   6  6 

 

Nota: En general, AB  BA
5
Potencias de una matriz
Sea A, una matriz n × n. Definimos la
potencia m-ésima de A como:
A  AAA
A


m
m factores
6
Transpuesta de una matriz A:
 a11

 a12
T
A 


 a1n
a21  am1 

a22  am 2 
 

a2 n  amn 
(i) (AT)T = A
(ii) (A + B)T = AT + BT
(iii) (AB)T = BTAT
(iv) (kA)T = kAT
Nota:
(A + B + C)T = AT + BT + CT
(ABC)T = CTBTAT
7
Determinantes
a11
det A 
a12
a21 a22
a11
 a11a22  a12 a21
a12
a13
det A  a21 a22
a23
a31 a32
a33
 a11a22a33  a12a23a31  a13a21a32  a13a22a31
 a11a23a32  a12a21a33 .
det A  a11
a22
a23
a32
a33
 a21 a23
 a12  
 a31 a33
a21 a22

  a13
a31 a32

Expansión por cofactores a lo largo de la primera fila.
8
a11
a12
a13
det A  a21 a22
a23
a31 a32
a33
C11 
a22
a23
a32
a33
C12  
El cofactor de aij es
Cij = (–1)i+ j Mij
donde Mij se llama menor.
a21 a23
a31 a33
C13 
a21 a22
a31 a32
det A = a11C11 + a12C12 + a13C13
... O por la tercera fila:
det A = a31C31 + a32C32 + a33C33
Podemos expandir por filas o columnas.
9
2 4 7
2 4 7


A   6 0 3
det A  6 0 3  2C11  4C12  7C13
 1 5 3
1 5 3


2 4 7
11
11 0 3
C11  (1) 6 0 3  (1)
5 3
1 5 3
2 4 7
1 2
C12  (1)
1 2
6 0 3  (1)
1 5 3
2 4 7
13
C13  (1)
13
6 0 3  (1)
1 5 3
6 3
1 3
6 0
1 5
10
2 4 7
det A  6 0 3  2C11  4C12  7C13
1 5 3
11 0 3
1 2 6 3
13 6 0
det A  2(1)
 4(1)
 7(1)
5 3
1 3
1 5
 2[0(3)  3(5)]  4[6(3)  3(1)]  7[6(5)  0(1)]  120
Más corto desarrollando por la segunda fila...
det A  6C21  0C22  3C23
1 2
 6(1)
4 7
5 3
 3(1)
 6(23)  3(6)  120
23
2 4
1 5
11
 6 5 0 


A   1 8  7
 2 4 0 


6 5
0
det A   1 8  7  0C13  (7)C23  0C33
2 4
0
6 5 0
 (7)( 1)
23
1 8 7  (7)( 1)
2 4 0
23
6 5
2 4
 7[6(4)  5(2)]  238
12
Inversa clásica
La matriz B (denotada por A-1) se denomina
inversa (clásica) de la matriz A si
AB = BA = I
• A-1 no existe para todas las matrices A
• A-1 existe únicamente si A es una matriz
cuadrada y |A| ≠ 0
• Si A-1 existe entonces el sistema de
ecuaciones lineales Ax  b tiene una
única solución x  A1b
Inversa de un matriz
Sea A una matriz n  n. Si existe una matriz
n  n B tal que
AB = BA = I
donde I es la matriz identidad n  n, entonces se
dice que A es una matriz no singular o invertible.
Y B es la matriz inversa de A.
Si A carece de inversa, se dice que es una matriz
singular.
Sean A, B matrices no singulares.
(i)
(A-1)-1 = A
(ii) (AB)-1 = B-1A-1
(iii) (AT)-1 = (A-1)T
14
Matriz adjunta
Sea A una matriz n × n. La matriz formada por la
transpuesta de la matriz de cofactores
correspondientes a los elementos de A:
T
 C11 C12  C1n 
 C11 C21  Cn1 




 C21 C22  C2 n 
 C12 C22  Cn 2 

 
 
 
 




 Cn1 Cn 2  Cnn 
 C1n C2 n  Cnn 
se llama adjunta de A y se denota por adj A.
15
Encontrar la matriz inversa:
Sea A una matriz n × n. Si det A  0, entonces:
 1 
A 
 adj A
 det A 
1
Para n =3:
 a11 a12 a13   C11 C21 C31 



A(adj A)   a21 a22 a23   C12 C22 C32 
a
 C

a
a
C
C
 31 32
33   13
23
33 
0
0 
 det A


 0
det A
0 
 0

0
det
A


16
1 4 
A

 2 10 
1  10  4   5  2 
A  


1
2 2
1   1
2
1
 1 4  5  2  5  4  2  2  1 0
AA  






 2 10    1 12  10  10  4  5   0 1
1
 5  2   1 4   5  4 20  20   1 0 
A A




1
  1  1  4  5   0 1
 1
2   2 10 
1
17
 2 2 0


A    2 1 1
 3 0 1


C11 
1 1
0 1
C21  
C31 
 1 C12  
2 0
0 1
2 0
1 1
 2
2
2 1
3 1
C22 
C32  
5
2 0
3 1
2 0
2 1
C13  
2 1
 3
3 0
 2 C23  
2 2
 2 C33 
2 2
3 0
2
1
6
6
1
2   112  16
 1 2
6
  5

1
1
1
1
A   5
2  2    12
 6
6
12 
  1
1
1 

3
6
6

  4
2
2
18
a11x1  a12 x2    a1n xn  b1
a21x1  a22 x2    a2 n xn  b2


AX = B
am1x1  am 2 x2    amn xn  bm
 a11 a12  a1n 
 x1 
 b1 


 
 
 a21 a22  a2 n 
 x2 
 b2 
A
,
X

,
B


  

 


 
 
 am1 am 2  amn 
 xn 
 bm 
Si m = n, y A es no singular, entonces:
X = A-1B
19
2 x1  9 x2  15
3x1  6 x2  16
2 9
3
6
 2  9   x1  15 

  
6   x2  16 
3
1
 39  0
 2  9
1  6 9

  

39   3 2 
6
3
 x1  1  6 9  15  1  234   6 
  
  
  1
 x2  39   3 2  16  39   13   3 
x1  6 , x2  1/3
20
2 x1  x3  2
5 x1  5 x2  6 x3  1
 2 x1  3x2  4 x3  4
 x1   2
  
 x2     2
x  5
 3 
 2

 8
 5

1

3 4
5 6 
5
 2 0 1


A    2 3 4
  5 5 6


1
 2
 
 4
  1
 
 3   2   19 
  

17  10   4    62 
 10
6    1   36 
0
x1  19 , x2  62 , x3  36
21
 C11 C21  Cn1   b1 

 
1  C12 C22  Cn 2   b2 
-1
XA B
   
det A  

  
 C1n C2 n  Cnn   bn 
 b1C11  b2C21    bn cn1 


1  b1C12  b2C22    bn cn 2 



det A 


 b1C1n  b2C2 n    bn cnn 
Regla
de
Cramer
b1C1k  b2C2 k    bnCnk
xk 
det A
det A k

det A
22
Inversa Generalizada
Para una matriz A de orden p  q se dice que la
matriz G de orden q×p es su inversa
generalizada cuando:
AGA  A
Ejemplo:
1 2 5 2 
A   3 7 12 4 
0 1 3 2 
Es fácil verificar que : AGA  A
 7 2
 3 1
G
0 0

0 0
0
0 
0

0
Inversa Generalizada
1. Cuando A tiene inversa clásica
2. G Siempre existe.
G  A1
a) Para matrices rectangulares.
b) Para matrices clásicas.
c) Para matrices singulares.
3. G No es única.
a) Existe por lo menos una.
b) Es única para matrices cuadradas de rango completo.
Existencia de G
 A11

 A21
A12 
A22  de forma que A11 es una
• Sea Apq
submatriz de orden r  r y rango r.
• Tomando :
Gq p
• Es claro que:
 A111 0


0
0


A
AGA   11
 A21

A21 A111 A12 
A12
• Puesto que A es de rango r
 A21
A22   K  A11
A12 
K  A21 A111
A22  KA12  A21 A111 A12
Algoritmo para encontrar una G
Sea A una matriz A de orden p  q .
Calcule r  Rango  A .
Inicialice G  0 .
Sea M rrcualquier menor de rango completo.
T
1
Calcule B  .M 
Reemplace cada elemento de B en G  0
teniendo en cuenta la posición del menor M rr
en A.
T T
7. Determine G .  G 
1.
2.
3.
4.
5.
6.
T
pq
rr
T
pq
Ejemplo
4 1 2 0 
A  1 1 5 15
 3 1 3 5 
1. Sea
2. Entonces :
3. También :
r2
0 0 0 0 
GT  0 0 0 0 
0 0 0 0  34
4. Tomando : M  43 05


3
5

5. Así que:
 20
20 
M 

4 
0
6. Por lo tanto :  20 
22
1
22
 5
 20
B
 3
 20

0

4
20 
 5
 20 0 0

GT   0
0 0
 3
0 0

 20

0

0
4

20  34
Definición
B (denotada por A-) se denomina inversa generalizada de
Moore – Penrose de A si
1. ABA = A
2. BAB = B
3. (AB)' = AB
4. (BA)' = BA
Observación : A- es única
Demostración: Sean B1 y B2 matrices que satisfacen:
1. ABiA = A
2. BiABi = Bi
3. (ABi)' = ABi
4. (BiA)' = BiA
Por lo tanto:
B1 = B1AB1 = B1AB2AB1 = B1 (AB2)'(AB1) '
= B1B2'A'B1'A'= B1B2'A' = B1AB2 = B1AB2AB2
= (B1A)(B2A)B2 = (B1A)'(B2A)'B2 = A'B1'A'B2'B2
= A'B2'B2= (B2A)'B2 = B2AB2 = B2
La solución general del sistema de ecuaciones
Ax  b
Está dada por :
x  A b   I  A A z

b   I Donde
A A z Es arbitrario

Suponga que una solución existe :
Ax0  b
Sea:
x  Ab   I  A A z
Entonces :
Ax  A  Ab   I  A A z 



  AA b   A  AA A z 

 AA Ax0  Ax0  b
Cálculo de la g-inversa de Moore-Penrose
Sea A una matriz de orden p×q de rango q < p,
A   AA A

1
Demostración:
 

A A   A A


Asi que :
También:
1
 

A  A  A A

1
A A  I
AA A  AI  A y A AA  IA  A
A A  I es simétrica
 
y AA  A A A
1
A es simétrica
Sea B una matriz de orden p×q de rango p < q,
B  B  BB

Demostración :
 

BB  B  B BB


Asi que :
También :
 

 BB

BB

1
I
BB B  IB  B y B BB  B I  B
BB  I es simétrica
 
y B B  B BB

1
1
1
B es simétrica
Sea C una matriz de orden p×q de rango k < min(p,q),
Con C = AB donde A es una matriz de orden p×k de rango k y B
es una matriz de orden k×q de rango k
Entonces C  B  BB 

Demostración:
1
 AA A
   A A

CC   AB  B BB

1
1
1
 

A  A A A

1
A
Es simétrica, como también lo es:
  
 
 
 
  
  
1
1
1
 

C C   B BB
A A A AB  B BB B


1


También CC C   A A A A AB  AB  C


1
1
1




y C CC    B BB B   B BB
A A A

  1

1
 B BB
A A A  C 
