Bloque 1 Conceptos fundamentales de los circuitos eléctricos

Bloque 5
Análisis de circuitos en
régimen transitorio
Teoría de Circuitos
5.1 Análisis de circuitos de primer
orden en régimen transitorio
Régimen transitorio de los
circuitos eléctricos
•
En los capítulos anteriores se han analizado los circuitos en RÉGIMEN
PERMANENTE: ESTADO DE EQUILIBRIO impuesto por los
parámetros de la red.
•
Ante cualquier maniobra (conmutación / encendido / apagado / fallos /
variaciones de la carga...), antes de alcanzar el equilibrio: RÉGIMEN
TRANSITORIO
•
Las variables del circuito están sometidas a factores
EXPONENCIALES DECRECIENTES cuyos valores dependen de los
parámetros del circuito
•
De corta duración (del orden de milisegundos) pero pueden ocasionar
problemas en los circuitos y máquinas eléctricas.
Régimen transitorio de los
circuitos eléctricos
• Al aplicar los lemas de Kirchhoff a los circuitos con
bobinas y condensadores (elementos dinámicos)
resultan ecuaciones diferenciales que deben resolver
para conocer u, i.
• Estudiaremos únicamente circuitos de primer orden
(=con un solo elemento dinámico)
df (t )
a⋅
+ b ⋅ f (t ) = g (t )
dt
Circuito RL serie
t=t0
+
u
uR
i
u = uR + uL
R
uL
di
u = Ri + L
dt
uR = Ri
di
uL = L
dt
Ecuación diferencial de
primer orden
Solución de la ecuación homogénea: Respuesta natural del sistema
Solución
+
Solución particular: Respuesta forzada
es la que hemos
estudiado hasta el
momento
Circuito RL
• Solución de la ecuación homogénea
di
Ri + L = 0
dt
ih = Ae
R
− t
L
di
R
∫ i = ∫ − L dt
R
ln i = − t + K
L
Exponencial decreciente con constante de
tiempo L/R
La respuesta natural del sistema
está superpuesta a la forzada
durante un cierto tiempo
L
τ=
R
Función exponencial decreciente
• f(0+)=K
−t
f (t ) = K ⋅ e τ
f(t)
• f(inf)=0
12
10
•Para t= τ f=0,368f(0)
(decae un 63,2%)
f(0+)=K
8
• Para t= 5τ fin del
transitorio (<1% del
valor inicial)
6
4
2
0
0
τ
0,5
1
2τ
1,5
3τ
2
4τ
2,5
5τ
t
•Cuanto menor sea τ,
más rápido pasa el
transitorio
τ es el tiempo que tarda la función f(t) en decaer un 63,2%
Circuito RL
• Solución particular: es la respuesta del sistema a
una excitación
i p = i∞ (t )
• Solución de la ecuación diferencial: i(t)=ih+ip
i (t ) = Ae −t τ + i∞ (t )
Para hallar la constante A hay que imponer una condición de contorno
+
−
i (t0 ) = i (t0 )
La corriente no puede variar bruscamente en el
momento de cerrar el interruptor
Circuito RL
i (t ) = Ae −t τ + i∞ (t )
Aplicando la condición de contorno:
+
(
+
i (t0 ) = Ae−t0 τ + i∞ (t0 )
(
+
+
+
)
A = i (t0 ) − i∞ (t0 ) et0 τ
+
)
i (t ) = i (t0 ) − i∞ (t0 ) e −(t −t0 ) τ + i∞ (t )
Circuito RL
• Cualquier circuito de primer orden, por complejo que
sea se puede sustituir por un circuito como el
analizado mediante el cálculo de su equivalente
Thevenin
t=t0
+
uth
uR
i
Rth
uL
L
τ=
Rth
(
+
+
)
i (t ) = i (t0 ) − i∞ (t0 ) e −(t −t0 ) τ + i∞ (t )
Simulación conexión de una
bobina en continua
t=5τ=10ms RP
t=τ=2ms 68%RP
El conmutador
conecta en t=0
τ=
L 0.02
=
= 0.002s
R
10
Simulación conexión de una
bobina en continua
Al disminuir la
resistencia aumenta la
constante de tiempo
τ=0.02s
Carga y descarga de una bobina
Segundo transitorio
1. Antes de cerrar: UL=0
2. Primer transitorio: La bobina se carga
y entre sus terminales aparece
tensión: por la resistencia circula
corriente
2. En régimen permanente UL=0
3. Segundo transitorio: La bobina se
descarga por la resistencia (se
comporta como una fuente de
corriente)
Primer transitorio
Circuito RC paralelo
iC
iN = iR + iC
iR
iN
Rth
u
iN =
•
u
du
+C
Rth
dt
u
iR =
Rth
du
iC = C
dt
Ecuación diferencial de
primer orden
u (t ) = uh + u p
Solución de la ecuación homogénea
du u
C
+
=0
dt Rth
du
1
∫ u = ∫ − RthC dt
uh = Ae
−
t
CRth
τ = CRth
Circuito RC
• Solución particular
u p = u∞ (t )
• Solución de la ecuación diferencial: i(t)=ih+ip
u (t ) = Ae −t τ + u∞ (t )
condición de contorno
+
−
u (t0 ) = u (t0 )
La tensión en un condensador no puede variar
bruscamente
Circuito RC
u (t ) = Ae −t τ + u∞ (t )
Aplicando la condición de contorno:
+
(
+
u (t0 ) = Ae −t0 τ + u∞ (t0 )
(
+
+
+
)
u (t ) = u (t0 ) − u∞ (t0 ) e −(t −t0 ) τ + u∞ (t )
τ = CRth
+
)
A = u (t0 ) − u∞ (t0 ) et0 τ
Carga de un condensador
El condensador
mantiene su carga
10
0.02
En t=0s se cierra el interruptor y en t=0.2s se vuelve a abrir
Carga de un condensador
10
0.002
Aunque un condensador en continua se comporta como un circuito abierto
durante el transitorio circula corriente
Carga de un condensador
10
0.002
Aunque un condensador en continua se comporta como un circuito abierto
durante el transitorio circula corriente
Carga y descarga de un
condensador
Apertura interruptor
Al abrir el interruptor el condensador se descarga por la resistencia de 5 Ω
Resolución sistemática de
circuitos en régimen transitorio
1. Dibujar el circuito para t<t0 y calcular el valor de la corriente en régimen
permanente en la bobina o de la tensión en régimen permanente en el
condensador.
+
−
i (t0 ) = i (t0 )
+
−
u (t0 ) = u (t0 )
2. Dibujar el circuito para t>t0 y calcular la Rth vista en bornes de la bobina
o del condensador. Calcular τ
τ RL
L
=
Rth
τ RC = CRth
Resolución sistemática de
circuitos en régimen transitorio
3. Calcular la respuesta en régimen permanente y particularizar para t=t0
4. Escribir la solución completa
(
+
+
)
i (t ) = i (t0 ) − i∞ (t0 ) e −(t −t0 ) τ + i∞ (t )
(
+
+
)
u (t ) = u (t0 ) − u∞ (t0 ) e −(t −t0 ) τ + u∞ (t )
5. Calcular otras variables de interés del circuito