ESTABILIDAD II: Termoelasticidad

ESTABILIDAD II:
Termoelasticidad
Año 2012
CIMTA
Centro de Investigaciones en Mecánica Teórica y Aplicada
Universidad Tecnológica Nacional – Facultad Regional Bahía Blanca
Objetivo
Establecer una teoría que permita obtener desplazamientos,
tensiones y deformaciones en cuerpos sometidos a estados de
cargas mecánicos y térmicos.
• Hasta ahora se ha estudiado y aplicado la Teoría de la Elasticidad
considerando cuerpos sometidos a estados de carga mecánicos, pero
únicamente expuestos a temperatura ambiente.
• La consideración de una temperatura distinta a la de referencia, o de
variaciones de temperatura genera en el cuerpo dilataciones y/o
contracciones.
Dilatación lineal y deformación lineal
El cambio de una dimensión en un sólido se denomina dilatación lineal
o expansión lineal.
Dilatación lineal:
Deformación lineal:
α: coeficiente de dilatación térmica lineal, [α] = 1/ºK.
Estado termoelástico de tensiones
y deformaciones
Utilizando el Principio de Superposición, las ecuaciones constitutivas se
expresan mediante la Ley de Hooke se como
IMPORTANTE: Las deformaciones producidas por el efecto térmico realizan
su aporte únicamente a las deformaciones lineales y no en las angulares.
Estado termoelástico de tensiones
y deformaciones
Las tensiones en función de las deformaciones se expresan
siendo el coeficiente de Lamé:
y la dilatación volumétrica:
Ecuaciones de equilibrio y
relaciones cinemáticas
Las ecuaciones de equilibrio y las relaciones cinemáticas de la Teoría de
la Elasticidad permanecen inalteradas.
Ecuaciones
de
Equilibrio:
Ecuaciones de equilibrio y
relaciones cinemáticas
Las ecuaciones de equilibrio y las relaciones cinemáticas de la Teoría de
la Elasticidad permanecen inalteradas.
Ecuaciones
Cinemáticas:
Ecuaciones de Cauchy
Las ecuaciones de Cauchy, empleadas en el planteo de las condiciones
de borde de la Teoría de la Elasticidad también permanecen inalteradas.
Ecuaciones
de Cauchy:
Ecuaciones de Navier termoelásticas
A partir de las ecuaciones constitutivas, de equilibrio y cinemáticas, las
ecuaciones de Navier se expresan como
Resolviendo este sistema de ecuaciones, con la aplicación de las
condiciones de borde correspondientes, pueden obtenerse los
corrimientos u, v y w.
Ecuaciones de Navier termoelásticas
A partir de las ecuaciones constitutivas, de equilibrio y cinemáticas, las
ecuaciones de Navier se expresan como
PROBLEMA: Para resolver las ecuaciones se requiere conocer el estado
térmico en cada punto del cuerpo que se está estudiando (dominio).
Transmisión del calor
Cuando dos sistemas (por ejemplo, dos puntos de un cuerpo) se
encuentran a distinta temperatura, se produce un flujo de energía desde
el sistema de mayor temperatura hacia el de menor temperatura.
Transmisión del calor
Mecanismos de transmisión del calor
• Conducción: Propagación por contacto directo entre las partículas
de un cuerpo, o entre cuerpos a distintas temperaturas.
EN TERMOELASTICIDAD NOS INTERESA LA CONDUCCIÓN
• Convección: Propagación mediante el movimiento de las partículas
de un fluido (líquido o gaseoso) desde una región a otra del espacio.
• Radiación: Propagación mediante la emisión
electromagnéticas por parte de una sustancia emisora.
de
ondas
Transmisión del calor por conducción
• Conducción: Propagación por contacto directo entre las partículas
de un cuerpo, o entre cuerpos a distintas temperaturas.
Su tratamiento analítico consiste en establecer el campo de
temperaturas, es decir, establecer la ecuación:
Campo de temperaturas en régimen transitorio:
Campo de temperaturas en régimen estacionario:
Transmisión del calor por conducción
Flujo de calor
Dado un cuerpo, limitado por dos
superficies paralelas de área A,
sometidas a temperaturas T0 > T.
Se ha establecido experimentalmente que
Q: tasa de transferencia de energía
térmica, [Q] = W.
Transmisión del calor por conducción
Ley de Joseph Fourier (1822)
Consideremos ahora la varilla de la figura. En base a los
experimentos mencionados, Fourier expresó la siguiente ley de
variación
q: tasa de transferencia de energía térmica (flujo de calor), por
unidad de área perpendicular a la dirección de flujo, [q] = W/m2.
k: conductividad térmica (capacidad del material para conducir
calor), [k] = W/(mºK).
Transmisión del calor por conducción
Ley de Joseph Fourier (1822)
La temperatura de un cuerpo puede variar según las tres direcciones
coordenadas. Así, la Ley de Fourier se generaliza definiendo el
vector de flujo térmico por conducción de la siguiente manera
es decir:
(Válido para materiales isótropos, k constante)
Ecuación diferencial de conducción del calor
Principio de Conservación de la Energía
Energía entrante:
Energía saliente:
Energía generada:
Energía acumulada:
Ecuación diferencial de conducción del calor
Principio de Conservación de la Energía
Sumando los términos y considerando también flujo en y y z, se obtiene:
c: calor específico del material, [c] = J/(KgºK);
δ : densidad del material, [δ] = Kg/m3.
Dividiendo por el volumen e considerando las expresiones de qx, qy y qz:
se obtiene la ecuación diferencial de conducción del calor como:
Ecuación diferencial de conducción del calor
Ecuación de Fourier y Ecuación de Laplace
se conoce como Ecuación de Fourier y es válida para flujo transitorio.
Si se considera estado estacionario, la derivada temporal es nula,
entonces se tiene:
o bien:
conocida como Ecuación de Laplace.
Ecuación diferencial de conducción del calor
Condiciones de borde
(a)
De primer tipo o de Dirichlet. Se conoce la temperatura en la
superficie exterior del cuerpo.
(b)
De segundo tipo o de Neumann. Se conoce el valor del flujo
térmico en la superficie exterior del cuerpo.
Por ejemplo, para considerar aislaciones térmicas o bien en el
caso de simetría plana.
Problema de Termoelasticidad Estacionario
Se requiere resolver el sistema de ecuaciones diferenciales dado por
junto con sus condiciones de borde, para las variables u, v, w y ∆T.
ESTABILIDAD II:
Termoelasticidad
Año 2012
CIMTA
Centro de Investigaciones en Mecánica Teórica y Aplicada
Universidad Tecnológica Nacional – Facultad Regional Bahía Blanca