PROPAGACIÓN DE LA LUZ

CAPITULO 3
PROPAGACION DE LA LUZ
Las leyes fundamentales de la propagación de la luz
Buena parte de la controversia sobre la naturaleza de la luz entre los
seguidores de la Teoría Corpuscular, como Isaac Newton, y de la Teoría
Ondulatoria, como Christian Huygens y Robert Hooke, se basó en las distintas
interpretaciones sobre la manera cómo la luz se mueve y progresa a través de
distintos materiales, cómo es afectada en su trayectoria al pasar de un medio a
otro y, sobretodo, cuál es la naturaleza de la interacción que se produce en la
frontera entre dos medios.
Cuando la luz se propaga en el vacío o en un medio material homogéneo,
observamos que lo hace en línea recta, pero al pasar de un medio a otro se puede
producir una situación en la que el haz incidente es en parte reflejado nuevamente
al medio de propagación original, otra parte es absorbido por el material y una
última parte puede atravesar la frontera o interfase y transmitirse a través del
segundo medio hasta encontrar una nueva interfase en la cual ocurre algo similar.
Los fenómenos luminosos más evidentes en la propagación de la luz son los
siguientes:
La reflexión:
El fenómeno de reflexión de un haz de luz en la interfase de dos medios es
muy semejante al rebote de un cuerpo elástico sobre una pared muy rígida; de
hecho se observa que el ángulo reflejado r resulta ser exactamente igual al
ángulo incidente i
i = r
Ley de la reflexión*
[1]
donde ambos están referidos al ángulo que forman los haces reflejados e
incidente respecto a la normal al plano de la frontera entre los dos medios
(interfase), como muestra la figura Nº 1.
Normal
(a)
interfase
(b)
i
r
i
r
Figura Nº 1.- (a) Cuando un haz de luz incide sobre una superficie reflectante, tal como vidrio, agua
o metal pulido, parte de su energía es reflejada con un ángulo r igual al ángulo incidente i, y otra
puede ser transmitida dentro del nuevo medio. (b) De modo similar una esfera elástica rebotará
sobre una superficie plana dura y sin rozamiento; la cantidad de movimiento de la partícula paralela
a la superficie se mantiene constante, mientras la componente normal se invierte si la masa de la
pared es muy grande. 
La ley de reflexión apareció por primera vez en el libro titulado “Catóptrica” cuya autoría se le atribuye a
Euclides.
*
Por cierto que esta similitud sirvió de argumento para que Newton y sus
seguidores mantuvieran la tesis que consideraba la luz como un chorro de
partículas emanadas de una fuente y que, directamente o reflejadas en otros
cuerpos, producían la sensación de la visión al llegar al ojo. Ya veremos que se
puede deducir correctamente la ecuación [1] a partir de argumentos ondulatorios,
como el Principio de Huygens.
Es conveniente aclarar que la reflexión de la luz aunque siempre cumple la
ecuación [1], sólo se observa en superficies pulidas, en las cuales se llama
reflexión regular o especular, como es el caso de la luz reflejada en un espejo o
vidrio. Si toda la luz que incide sobre una superficie se reflejara especularmente,
no podríamos ver la superficie sino solamente las imágenes de otros objetos. En la
mayoría de los casos la superficie es rugosa e irregular, por lo cual dispersa la luz
incidente en diversas direcciones, dando como resultado que se ilumine la
superficie haciendo notable su forma y color. Este tipo de reflexión llamada
reflexión difusa cumple plenamente con la ecuación [1], pero, por supuesto, la
dirección de la normal será distinta prácticamente en cada punto; tal como se
muestra esquemáticamente en la figura Nº 2.

(a)
i
(b)
r
Figura Nº 2.- (a) Reflexión especular. (b) Reflexión difusa.
La refracción:
El otro fenómeno asociado a la propagación de la luz se refiere a la observación
de que el haz transmitido en un medio transparente, justamente al pasar la
frontera, cambia de dirección. Este fenómeno se conoce como refracción de la
luz. Cuando un haz de luz pasa de un medio liviano a otro más denso (como por
ejemplo del aire al vidrio o al agua) se observa que el haz es refractado hacia la
normal, es decir, el ángulo transmitido es menor que el ángulo incidente, t < i,
pero, si ocurre al contrario, el haz transmitido a un medio menos denso se refracta
alejándose más de la normal, de modo que t > i. La relación exacta entre los
ángulos fue establecida independientemente por Snell y Descartes y viene dada
por:
ni sen i = nt sen t Ley de la refracción [2]
i
donde ni y nt son los índices de refracción de
los medios donde se propagan el haz incidente
t
y el refractado respectivamente.
Esta ley también se deduce con facilidad a
partir de los principios de Huygens y Fermat,
Figura Nº 3.- Refracción de la luz según
la teoría corpuscular de Newton

como veremos más adelante, pero vale la pena
De hecho muchos autores la denominan Ley de Snell, aunque en justicia considerando los trabajos de
Descartes sería más apropiado llamarla simplemente Ley de Refracción.
comentar los argumentos esgrimidos por Newton para explicar este fenómeno
desde la perspectiva corpuscular de la luz. En la figura Nº 3, se muestra
esquemáticamente el paso de una partícula luminosa, de un medio como el aire a
otro más denso, como el agua o vidrio, según Newton las partículas de luz serían
atraídas por el medio más denso lo que aumentaría la componente normal de su
cantidad de movimiento, lo cual explicaría la desviación hacia la normal.
Esto, aunque lucía lógico, dejaba dudas sobre la relación entre la densidad y
viscosidad del medio y la “atracción” ejercida sobre la luz (que implica una
aceleración y aumento de velocidad), mientras que, contradictoriamente, la teoría
ondulatoria partía del principio más simple y evidente de que la luz viaja más
lentamente en un medio más denso.
La refracción explica fenómenos cotidianos, esquematizados en la figura Nº 4;
como la aparente distorsión de los objetos que se sumergen parcialmente en
agua, por ejemplo, un lápiz dentro de un vaso de agua se verá “partido” por efecto
de la refracción distinta que sufren los rayos provenientes de la parte de lápiz
“seco” y de la parte de lápiz “mojado”; e igualmente lo que ocurre con un tiburón
en aguas tranquilas y transparentes donde el observador lo ubica más cerca de la
superficie de lo que en realidad se encuentra.
Buena parte de las ilusiones ópticas son producto de la interpretación que
nuestro cerebro hace de situaciones a la que nos hemos acostumbrado percibir de
cierta manera a través del sentido de la vista. Por ejemplo, dado que en la mayoría
de las oportunidades observamos la luz viajando en línea recta, siempre
suponemos que “siempre” la luz viajará de esa manera entre el objeto y nuestros
ojos, pero, por supuesto, la dirección de la luz es “quebrada” cuando pasa de un
medio a otro.
Figura Nº 4.- La refracción de la luz produce fenómenos visuales muy curiosos
distorsionando las imágenes. (a) El lápiz parece haberse quebrado en la interfase, (b) El
tiburón parece estar más cerca de la superficie.

Esto significa que la refracción es la causa de
que un objeto sumergido, en un líquido de mayor
d

n2
A
B

n1
 yi
índice de refracción que el aire, parece estar más
cerca de la superficie de lo que realmente está,
como se esquematiza en la figura Nº 5. El objeto
I
yo
O lo visualizamos en I debido a la refracción en la

interfase. La profundidad aparente se simboliza
como “yi” y la profundidad verdadera del objeto
O
Figura Nº 5.- Relación entre
profundidades real y aparente.
las
se representa por “yo”.
Se observa que:
AOB = 1
y
AIB = 2
y también que:
sen 1 
d
OA
y
sen  2 
d
IA
Ahora usando la ley de refracción [2] y haciendo itni = n1 y nt = n2
resultará:
sen 1 d OA IA n2



sen  2
d IA OA n1
[3]
Si la visión es casi normal (rayos verticales), los ángulos it serán
pequeños, por lo que se pueden aplicar las aproximaciones siguientes:
OA  yo y IA  yi
de lo cual se obtiene:
y
sen 1 n2

 i
sen  2 n1 yo
[4]
La refracción además es responsable
de la dispersión de la luz, debido a su
dependencia de la longitud de la onda
electromagnética,
más
exactamente,
debido a la dependencia del índice de
refracción respecto a la frecuencia o
longitud de onda de la luz, por lo cual al
observar el espectro electromagnético
Figura Nº 6.- Dispersión de la luz blanca.
visible mediante un prisma, una red de
difracción o una burbuja, lo que estamos presenciando es la refracción simultánea
de las ondas de diferente longitud de onda componentes de la luz blanca con
ángulos de transmisión diferentes. El experimento de dispersión de la luz de
Newton, como se aprecia en la figura Nº 6, es uno de los más famosos y
espectaculares de los realizados por el padre de la Física Clásica.
Otro fenómeno interesante es el arco iris en el cual intervienen la refracción, la
reflexión interna y la dispersión de la luz del Sol por las gotas de lluvia. Cada gota
refracta y refleja la luz tal como se muestra en la figura Nº 7.
gota
Figura Nº 7.- Refracción a través de una gota
de agua, cuando se produce el arco iris.
Adicionalmente, a las leyes de reflexión y refracción, aparece asociada una
tercera ley empírica, como es el hecho de en cualquier circunstancia el rayo
incidente, el rayo reflejado, el rayo refractado y la normal a la interfase se
encuentran en el mismo plano, llamado “ plano de incidencia”.
El Principio de Huygens:
En 1690 el físico holandés Christian Huygens en el trabajo titulado “Traité de la
Lumière”, publica sus resultados sobre la teoría de la propagación de la luz, que
responde a las interrogantes sobre la modificación de las características de los
frentes de onda† luminosos al cambiar cualquier característica del medio traslúcido
en que se mueva.
En primer lugar, Huygens hizo notar una de las mayores dificultades de la teoría
corpuscular cuando escribió:
Si, más aún, prestamos atención y valoramos la extraordinaria velocidad con
que la luz se propaga en todas direcciones, tomando en cuenta el hecho de
que proviene de direcciones diferentes e incluso opuestas, los rayos se
penetran sin obstaculizarse, por lo que podemos entender que siempre que
veamos un objeto luminoso, esto no puede deberse a la transmisión de
materia que nos llega desde el objeto, como si fuera un proyectil o una flecha
volando en el aire. (Huygens, Ch., citado por Tippens, P., 2001, p. 729)
Postula entonces la teoría ondulatoria basándose en la observación de que si
dejamos caer un objeto en un pozo agua en reposo se genera una perturbación en
la superficie, que puede continuar propagándose mucho después que el objeto
halla llegado al fondo del pozo.
De este forma, dedujo Huygens que las perturbaciones producidas en todos los
puntos a lo largo de un frente de ondas en movimiento en un instante
†
Un frente de onda es una superficie sobre la cual la onda, en este caso el disturbio óptico, tiene una fase
constante. Puede tener entonces cualquier forma como se planteó en el capítulo 1 de estos apuntes.
determinado, eran responsables de la aparición de las ondas subsiguientes, con
mayor precisión:
Cada punto de un frente de onda (llamado primario) que se propaga en el
espacio representa una nueva fuente de pequeñas ondas esféricas, las cuales
avanzan con la misma rapidez y frecuencia a la onda primaria en cada punto
del espacio, siempre que el medio sea homogéneo. El nuevo frente de onda
(llamado secundario) será la envolvente de las onditas esféricas. Este proceso
se vuelve a repetir inmediatamente con el frente de onda secundario actuando
ahora como primario.
vt
vt
vt
Figura Nº 8.- La propagación de los frentes de onda (líneas negras) según el Principio de
Huygens se realiza de modo que cada punto de un frente se convierte en una fuente de
onditas (líneas azules) cuya envolvente representa el nuevo frente. (a) Frentes de onda
esféricos, (b) Frentes de onda planos, (c) Frente de onda de forma cualquiera.
Por supuesto que, como muestran las ilustraciones de la figura Nº 8, los frentes
de onda conservan su forma siempre que no aparezca en su camino algún
obstáculo que lo obligue a cambiar (como por ejemplo un espejo, un lente, una
abertura u obstrucción muy pequeñas)
Cuando una porción de un frente de onda penetra, por ejemplo, en un vidrio de
espesor variable, lógicamente la velocidad de cada punto del frente de onda al
entrar y salir del medio no será la misma, por lo cual el radio de las onditas vt
diferirá y, en consecuencia, la forma del frente de onda cambia, tal como se ilustra
en la figura Nº 9. Como veremos, el principio de Huygens no sólo permite deducir
adecuadamente las leyes de reflexión y refracción, sino también, permite explicar
los fenómenos de interferencia y difracción que estudiaremos más adelante.
Figura Nº 9.- -Cuando una porción de un frente de onda penetra, por ejemplo, en un vidrio de
espesor variable, la velocidad de los puntos del frente se reduce a medida que hacen contacto o
abandonan el vidrio, por lo cual el radio de las onditas de Huygens será distinta modificando, la
forma del frente de onda.
Deducción de las leyes de propagación usando el principio de Huygens:
Las leyes de reflexión y refracción se pueden deducir gráficamente, de manera
simple y adecuada, a partir de la aplicación del Principio de Huygens a la
propagación de un frente de onda plano que se mueve con velocidad vi en un
medio homogéneo, de índice de refracción ni, que incide formando un ángulo de
inclinación i sobre una superficie horizontal de un material traslúcido, igualmente
homogéneo, de mayor índice de refracción nt., (nt. > ni), de modo que al penetrar
en él la luz disminuye a una velocidad vt (vt < vi ), como se muestra en la figura
Nº 10.
B
vi t
vi t
A’’
vi
i
A
vt t
t
r
B’
A’’’
vi
INTERFASE
t
i
r
ni
nt
vt
Figura Nº 10.- -Propagación de un frente de onda plano al
encontrar una interfase plana de un material traslucido y
homogéneo..
En la interfase (línea negra) o frontera que separa los dos medios, la energía
del haz incidente (líneas azules) se divide en dos nuevos haces luminosos, el
reflejado (líneas rojas) y el transmitido o refractado (líneas amarillas). Es fácil
apreciar que por moverse en el mismo medio los frentes incidente y reflejado
viajan exactamente a la misma velocidad, la cual es mayor, en el caso analizado,
a la velocidad del frente de onda refractado.
En la ampliación se observan los radios de tres onditas de Huygens trazadas un
tiempo t después que el frente incidente ha hecho contacto con la interfase, la
primera con centro en A y radio vi t, ubica la posición de este punto en el haz
reflejado, indicado como A’; la segunda ondita también con centro en A y radio vt t,
nos indica cuanto ha avanzado dentro del nuevo medio y se indica por el punto A’’
y, finalmente, la ondita con centro en B en la onda original y radio vi t, ubica el
mismo punto B del frente incidente pasado un tiempo t.
A partir de este diagrama se puede construir el esquema mostrado en la figura
Nº 11, el cual muestra la geometría completa para los tres haces de luz en la
interfase.
Es notable que el lado AB’ es la hipotenusa común de los triángulos
rectángulos ABB’, AA’’B’ y AA’’’B, los cuales corresponden a los haces
incidente, reflejado y transmitido respectivamente. Por lo cual aplicando
simultáneamente la ley de los senos a los triángulos se tiene que:
sen i sen r sen t
1



BB'
AA'' AA'' ' AB'
[5]
HAZ
INCIDENTE
Figura Nº 11- Geometría de los haces luminosos en la interfase para la
deducción de las leyes de reflexión y refracción.
i 
B
A’’
i
HAZ
REFLEJADO
r
t
A
t
A’’’
r
B’=B’’=B’’’
ni
nt
HAZ
TRANSMITIDO
Figura Nº 9- Geometría de los haces luminosos en la interfase para la deducción
de las leyes de reflexión y refracción.
Obviamente, relacionándolos con la figura Nº 10, los catetos de los triángulos
serán AA’’ = vi t, BB’ = vi t
y AA’’’ = vt t , por lo cual la ecuación [5] se puede
escribir como:
sen i sen r sen t


vi
vi
vt
[6]
Tomando los primeros dos términos de esta ecuación, simplificando se arriba a
la ecuación [1] que describe la ley de reflexión:
i = r
ley de la reflexión
[1]
Para encontrar la ley de refracción se debe tener en cuenta que la relación
entre las velocidades de la luz en distintos medios viene dada, en función de sus
índices de refracción por :
v i nt

v t ni
[7]
luego si se toman el primer y tercer término de [6], combinando con [7], se obtiene:
sen i vi
 ; [8]
sen t vt
sen i nt
 ; [9]
sen t ni
y a partir de esta última se encuentra la ecuación [2]:
ni seni  nt sent
ley de la refracción [2]
De esta ecuación se deduce que el haz de luz se refractará hacia la normal
cuando nt. > ni porque vt < vi , pero, se refractará alejándose de la normal si nt. < ni
debido a que vi < vt.
El Principio de Fermat:
En el siglo XVII el matemático francés Pierre de Fermat enunció un interesante
principio, conocido como el principio del tiempo mínimo o principio de Fermat, el
cual se puede enunciar con el propósito de deducir a partir de él las leyes de
propagación de la luz de la siguiente manera:
El camino recorrido por la luz al propagarse de un punto otro,
independientemente del medio en el cual lo haga, será aquél para el cual el
tiempo usado para recorrerlo sea mínimo, comparado con cualquier otro
camino próximo.
Para deducir la ley de reflexión a partir del principio de Fermat analicemos el
diagrama de la figura Nº 12, que incluye una representación usando rayos de
luz‡, que representan la dirección de propagación del haz luminoso y son
perpendiculares al frente de onda.
Aplicando entonces el principio de Fermat el problema consiste en encontrar la
longitud de camino óptico, que recorre un rayo luminoso que, partiendo del
punto A, llega al punto B, luego de reflejarse en la interfase reflectante. Como en
este caso, el rayo sólo se propagará en el primer medio se entiende que su
velocidad permanecerá constante durante todo el recorrido, por lo cual, si nos
atenemos al principio de Fermat, el tiempo mínimo en este caso corresponde
‡
Un rayo no es en realidad una entidad física pero resulta un instrumento matemático muy útil en el estudio
de la propagación de la luz a través de sistemas ópticos complicados. “Un rayo es una línea en el espacio que
corresponde a la dirección de flujo de la energía radiante”. La base para el trazado de los rayos es el teorema
de Malus y Dupin de acuerdo al cual un grupo de rayos preservará su congruencia normal después de
cualquier número de reflexiones y refracciones, es decir permanecen ortogonales a los frentes de onda.
exactamente al camino más corto entre A y B, luego de reflejarse en algún punto
de la interfase.
A
B
i
r
C
A’
Figura Nº 12- Diagrama de los rayos de luz incidente y reflejado, para la
deducción de las leyes de reflexión y refracción, a partir del principio de
Fermat.
El esquema de la figura Nº 12 sirve para verificar que tal punto es C ya que la
trayectoria ACB es precisamente la distancia más corta que puede recorrer la luz.
Como se aprecia el punto A’, equidistante de la interfase respecto a A, sugiere
que las distancias ACB y A’CB son exactamente iguales, si a esto agregamos que
la distancia más corta entre dos puntos es precisamente una línea recta, se
concluye que la luz se refleja en C, y por tanto, el ángulo de incidencia i es
justamente igual al ángulo de reflexión r, es decir:
i = r
ley de la reflexión
[1]
Para deducir ahora la ley de refracción, partiendo del principio de Fermat, es
necesario trabajar un poco más. Para entender
A
el problema a resolver, es conveniente observar
la figura Nº 13. Se trata de encontrar la
longitud de camino óptico entre los puntos A
C1 C2
C
ni
y B de un rayo que se refracta en la interfase de
nt
dos medios, tales que nt. > ni, es decir, se debe
hallar el punto C para el cual la luz recorre en el
menor tiempo posible la trayectoria entre A y B.
B
Figura Nº 13.- Refracción de la luz
siguiendo el principio de Fermat
Es
claro
que
tal
distancia
no
es
necesariamente AC2B, que une a los puntos A
y B con una recta, porque la velocidad de la luz
en el segundo medio es menor que en el primero, lo cual implica que, aunque la
distancia es más corta, el tiempo total de recorrido será mayor por lo largo del
tramo C2B.
Por el contrario, si se selecciona una trayectoria que pase por un punto
colocado más a la derecha que C2, como por ejemplo el punto C, es claro que el
tiempo ahorrado en recorrer el tramo en el medio más denso (CB) compensará en
exceso el tiempo agregado por el aumento del recorrido del tramo en el medio
menos denso (AC). Un razonamiento similar conduce a un resultado contrario
cuando el primer medio es más denso que el segundo; esto es, la trayectoria
correspondiente al tiempo mínimo es alguna como la AC1B.
Con esto solamente se ha seguido un razonamiento, a partir del principio de
Fermat, que lleva a un resultado acorde con lo observado en los rayos de luz
refractados: (a) el rayo se refracta hacia la normal (t < i) si el primer medio es
menos denso que el segundo (nt. > ni), (b) el rayo se refracta alejándose de la
normal (t > i) si el primer medio es más denso que el segundo (nt. < ni). Sin
embargo, encontrar la ley de refracción requiere todavía más trabajo.
Deducción de las ley de refracción usando el principio de Fermat:
El diagrama de la figura Nº 14 muestra la geometría necesaria para resolver el
problema de encontrar la trayectoria correspondiente al tiempo mínimo que ocupa
a la luz viajar entre A y B.
El tiempo que tarda la luz en recorrer los tramos ℓi y ℓt vendrá dado por la
expresión:
t
i t


n  n 
  i  t  i i t t
vi vt c ni c nt
c
c
[10]
d
A
vi
d-x
ℓi
ha
i 
ni
C
nt
x
t 
ℓt
vt
hb
B
Figura Nº 14.- Geometría para encontrar la ley de refracción
siguiendo el principio de Fermat.
Siguiendo el principio de Fermat las ondas luminosas recorrerán el trayecto en
el cual este tiempo sea mínimo. La magnitud nℓ conocida como la longitud de
camino óptico, es precisamente ese camino.
Para encontrar la ley de refracción se colocan todas las longitudes en función
de x y se deriva la ecuación [10], se iguala a cero y se obtiene la posición del
punto C que corresponde al tiempo mínimo. Así:
2i  ha2  x 2
[11]
2t  hb2  d  x
Sustituyendo, derivando e igualando a cero
2
[12]
d
dt 1  d i
  ni
 nt t
dx c  dx
dx
ni
ni

0

d i
d
 nt t  0
dx
dx
[13]
[14]
 d  x
x
  0
 nt  
i

t


[15]
Como es evidente de la figura que:
x
 sen i
i
[16]

dx
  sen t [17]
t
Podemos concluir finalmente que:
ni sen i  nt  sent   0
ni sen i  nt sen t
o
[18]
[2]
Cuando un haz de luz atraviesa un conjunto de m capas de diversos materiales
traslúcidos, de distintos índices de refracción, como muestra la figura Nº 15,
entonces el tiempo que tardará la luz en viajar desde el punto A al punto B será:
t

1  2  3
   m
v1 v2 v3
vm
i
i 1 vi
m
o resumiendo;
t
[20]
[19]
donde ℓi y vi son, respectivamente, las longitudes y velocidades de cada tramo, de
modo que podemos escribir:
t
A
ℓ1
1 m
 ni  i
c i 1
[21]
n1
ℓ2
La sumatoria representa precisamente la
n2
ℓ3
n3
ℓi
ni
llamada
“longitud
(L.C.O.)
de
recorrida
camino
por
óptico”
el
rayo:
m
L.C.O.   ni  i
i 1
ℓm
Figura Nº 15.- Longitud de
camino óptico y el principio de
Fermat.
nm
, la cual es diferente
obviamente de la longitud del camino
B
m
espacial que viene dada por:
L  i .
i 1
Si el camino recorrido por la luz atraviesa por un medio continuamente no
homogéneo, de modo que el índice de refracción varía según una función de la
posición, es decir n(ℓ), entonces la longitud de camino óptico vendrá dada por la
integral:
B
L.C.O.   ni  i
A
[22]
Un interesante ejemplo de refracción de la luz en un medio no homogéneo
supone el hecho de que, independientemente del sitio de la Tierra donde se
observe el alba o el ocaso, se puede ver la luz del Sol antes de que éste salga en
el horizonte, en el primer caso, o después de que ya se halla ocultado, en el
segundo. De cualquier modo, la luz llega a nuestros ojos sin seguir una línea recta
(en tal caso veríamos siempre directamente la fuente), sino curvando su
trayectoria a través de la capa atmosférica no homogénea que rodea la Tierra, de
tal forma que los haces luminosos se desvían hacia abajo a fin de atravesar las
regiones inferiores más densas de la atmósfera tan rápidamente como sea
posible, es decir, en un tiempo para el cual la L.C.O. es mínima.
Algo como esto, se puede simular en un pequeño tanque transparente de agua,
en la cual se disuelve abundante azúcar con el fin de lograr una solución de
densidad no homogénea, haciendo pasar a través de ella un haz de luz, se podrá
observar la curvatura por refracción continua a lo largo de la trayectoria.
Finalmente, es curioso analizar la razón por la cual, en ocasiones, cuando se
avanza en una carretera larga en un día muy caliente, se observan a lo lejos
“espejismos” en forma de charcos de agua brillantes, que luego resultan ser meras
ilusiones ópticas. Lo que ocurre es que las capas más calientes de aire cercanas a
la calzada son mucho menos densas que las capas superiores, de modo que los
rayos provenientes de los objetos tomarán el camino más corto posible hasta el
observador, pasando muy cerca del pavimento y aparentando una especie de
espejo en la superficie de la carretera.
Las ecuaciones de Fresnel:
Aunque se hallan deducido las leyes de propagación de la luz a partir de
distintos principios§, sin embargo, no tenemos nada que nos permita determinar de
que modo se reparte la energía radiante o densidad flujo luminoso, entre los haces
incidente, reflejado y transmitido. Un estudio detallado de la relación entre las
fases y las amplitudes de las ondas electromagnéticas en la frontera de dos
medios permite deducir las conocidas ecuaciones de Fresnel para dos casos
particulares, pero muy importantes, como son:

El campo eléctrico E es perpendicular al plano de incidencia** (el campo
magnético B es paralelo).

El campo eléctrico E es paralelo al plano de incidencia (el campo
magnético B es perpendicular).
Si se asume que la onda de luz monocromática incidente es plana y está
polarizada en un plano, se puede representar por:
E i = E0i cos (ki . r - i t)
§
[23]
Para apreciar la deducción de las leyes de reflexión y refracción, a partir de otros principios distintos a los de
Huygens y Fermat, tales como el teorema de Malus y Dupin, la teoría electromagnética y hasta el modelo
fotónico se recomienda ver “Óptica” (HETCH y ZAJAC, 1994)
**
El plano de incidencia es aquél que contiene los rayos incidente, reflejado y transmitido, por lo cual es
perpendicular a la interfase.
De manera similar las ondas reflejada y transmitida se pueden escribir como:
E r = E0r cos (kr . r - r t)
[24]
E t = E0t cos (kt . r - t t)
[25]
La deducción detallada la obviaremos pero se recomienda revisar la bibliografía
recomendada. Resumiremos las ecuaciones resultantes para ambos casos en la
tabla Nº 1, tanto las de uso completamente general aplicables a cualquier medio
homogéneo, isotrópico y lineal, como las de uso más específico que sólo se
aplican a dieléctricos cuyo constante de permeabilidad magnética “" es
aproximadamente igual a la del vacío 4 x 107 N s2 C-2 o, lo que resulta
equivalente, que la permeabilidad relativa del material transparente sea
aproximadamente igual a uno.
Usaremos los subíndices  y  para recordar en cada caso si E es
perpendicular o paralelo.
Las consecuencias físicas de estas ecuaciones son muy importantes, pues a
partir de ellas, no sólo se puede establecer como se fracciona la amplitud del haz
incidente, en los haces reflejado y refractado, sino que también se verifica
cualquier corrimiento de fase que pueda aparecer durante el paso en la frontera.
Tabla Nº 1
ECUACIONES DE FRESNEL
Caso
E
perpendicular
al plano de
incidencia
ni
cos t


t
  i
  ni cos  nt cos
i
t
 E 0t

 E 0i
cos i

i
 
  ni cos  nt cos
i
t
i
2
26
E
r   0 r
 E 0i

n cos  i  n t cos  t
  i
  n i cos  i  n t cos  t
30
27
E 
2n i cos  i
t    0t  
E
n
cos
 i  nt cos  t
i
 0i  
31
E 
n cos  i  ni cos  t
r//   0 r   t
 E 0i  // ni cos  t  nt cos  i
32

2ni cos  i
 
  ni cos  t  nt cos  i
33
ni
i
r  
sen  i   t 
sen  i   t 
34
t  
2sen  t cos i
sen  i   t 
35
t
cos i 
ni
cos t

t
i
 
 // ni cos  nt cos
t
i
 E 0t

 E 0i
cos i

i
 
 // ni cos  nt cos
t
i
i
28
r//  
tan  i   t 
tan  i   t 
36
t
2
i
Ecuación simplificada
t
 E0r

 E 0i
plano de
incidencia
cos i 
nt
 E0r

 E 0i
nt
E paralelo al
Ecuación dieléctrico  = 0
Ecuaciones generales
ni
t
29
E
t    0t
 E 0i
t //  
2sen  t cos i
sen  i   t  cos  i   t 
37
Coeficientes de amplitud:
Es interesante, por ejemplo, revisar el comportamiento de los coeficientes de
amplitud de reflexión (r)
y transmisión (t) como una función del ángulo de
incidencia, tanto a reflexión externa (nt > ni) como a reflexión interna (nt < ni), en
una interfase aire-vidrio
En el primer caso se observa que
Figura Nº 16.- Coeficientes de amplitud de
reflexión y transmisión vs. ángulo de
incidencia, para reflexión externa nt > ni en
una interfase aire-vidrio.
Figura Nº 17.- Coeficientes de amplitud de
reflexión y transmisión vs. ángulo de
incidencia, para reflexión interna nt < ni en
una interfase aire-vidrio.
(a) De la figura Nº 16, para reflexión externa, cuando nt > ni ,
entonces siempre r < 0, mientras que, r es positiva entre 0 <
se denomina “ángulo de polarización”
cuando (i +
i > t , y
i < p, donde p
o “ángulo de Brewster”, lo cual ocurre
t) = 90º, y allí r = 0. Cuando i > p, r < 0 hasta que, para
i = 90º, r = -1. Aquí los signos negativos de los coeficientes tienen que ver con
la diferencia de fase entre el haz incidente y el reflejado.
Del mismo diagrama de la figura Nº 15, se observa además que se cumple la
relación:
(-r) + t = 1
para cualquier valor de
[37]
i , mientras que, sólo para incidencia normal i = 0º, se
cumple esta otra:
r+ t = 1 [39]
(b) De la figura Nº 17, para reflexión interna, cuando nt < ni , se tiene que
i < t, y entonces siempre r > 0, variando desde un valor cualquiera positivo
con i = 0, hasta r = 1, a partir de un valor particular de
crítico” para el cual
i = c llamado “ángulo
t = /2 y a partir del cuál ocurre la reflexión total. Por otro
lado, r varia desde valores negativos hasta llegar a r = 1, a partir del mismo
ángulo crítico
c, pasando por cero cuando i = ’p, el cuál resulta ser el
complementario de p.
Corrimientos de fase:
Sobre la relación entre las fases de los campos eléctricos en la interfase, se
pueden hacer las siguientes consideraciones:
(a) la componente del campo eléctrico normal al plano de incidencia sufre un
corrimiento de fase de  radianes bajo reflexión cuando el medio incidente tiene
un índice más bajo que el medio transmisor (nt > ni ,
i > t, y entonces siempre
r < 0), esto es lo mismo que decir que [Ei] y [Er] son siempre antiparalelos y
muestran un corrimiento de fase  =  radianes.
(b) Igualmente, cuando el medio incidente tiene un índice más bajo que el
medio transmisor, la componente del campo eléctrico paralela al plano de
incidencia no sufre un corrimiento de fase bajo reflexión ( = ), siempre que
i ≤ p, y, de este valor en adelante (i > p), sufre un corrimiento de fase de 
radianes bajo reflexión.
(c) Al mismo tiempo, la componente del campo eléctrico normal y tangencial al
plano de incidencia no sufre ningún corrimiento de fase bajo refracción, es decir,
siempre ocurre que t > 0 y t > 0 y en consecuencia,  = 0. En términos de los
campos, se tiene que [Ei] y [Et] son paralelos.
(d) Por otro lado, la componente del campo eléctrico normal al plano de
incidencia no sufre corrimiento de fase (bajo reflexión, cuando el medio
incidente tiene un índice mayor que el medio transmisor (nt < ni) , siempre que
i
< c, para los cuales siempre r > 0. Esto es, [Ei] y [Er] son paralelos y no
muestran un corrimiento de fase para ángulos de incidencia menores que el
ángulo crítico; para ángulos mayores que
c los coeficientes de amplitud son
cantidades complejas.
(e) También a reflexión interna, cuando el medio incidente tiene un índice mayor
que el medio transmisor, la componente del campo eléctrico paralela al plano de
incidencia sufre un corrimiento de fase bajo reflexión ( = ), siempre que
i ≤ p’, de este valor hasta c, (p’ <i < c) no sufre ningún corrimiento de fase
y para ángulos mayores que
complejas.
c los coeficientes de amplitud son cantidades
Reflectancia y transmitancia:
A partir de la densidad de flujo radiante (W/m2) o irradiancia (I) que, como se
recordará, representa la energía promedio por unidad de tiempo que cruza un área
unitaria normal al vector de Pointing ( S = c2  0 E x B ) y se calcula como:
I S 
c 0 2
E0 [40]
2
Si Ii, Ir e It son, respectivamente, las densidades de flujo incidente, reflejado y
transmitido, la porción de energía incidente, reflejada y transmitida normalmente
por unidad de área unitaria de la interfase por segundo, serán: (Ii cosi), (Ir cosr)
y It cos t , respectivamente.
(a) La reflactancia R es la razón del flujo (o potencia) reflejado al incidente, esto
es:
R
I r cos r I r

I i cosi
Ii
[41]
2
vr  r E02r 2  E0 r 
  r 2
R
 
2
vi  i E 0 i 2  E 0 i 
[42]
(b) La transmitancia T es la razón del flujo (o potencia) transmitido al incidente,
esto es:
T
I t cos t
I i cos i
[43]
asumiendo que i = t =0 se puede escribir:
n cos t
T t
ni cos i
 E0t

 E0i
2
  nt cos t
  
  ni cos i
2
t [44]

A partir del principio de conservación de la energía, es claro que en la interfase
debe cumplirse que:
Ii A cosi = Ir A cosr + It A cos t [45]
Al multiplicar ambos lados de esta expresión por la velocidad de la luz en el
vacío c, se obtiene:
ni E02i cosi  ni E02r cosi  nt E02t cost
[46]
Despejando y arreglando:
E
1   0 r
 E0i
2
  nt cos t
  
  ni cos i
 E0t

 E0i



2
[47]
Lo que se puede escribir sucintamente como:
R + T = 1 [48]
cuando no hay absorción.
Estas ecuaciones se pueden escribir en términos de las componentes como
sigue;
R  r2
[49]
R//  r//2
[50]
 n cos  t
T   t
 ni cos  i
 2
t  [51]

 n cos  t
T//   t
 ni cos  i
 2
t // [52]

R// T//  1 [54]
R  T  1 [53]
Cuando i = 0 (incidencia normal) el plano incidente queda indefinido y las
componentes paralela y perpendicular de R y T no se diferencian, y se puede
escribir:
 n  ni 

R  R//  R   t
n

n
i 
 t
2
[55]
T  T//  T 
4nt ni
nt  ni 2
[56]
Reflexión total interna:
Cuando el medio donde se propaga el haz incidente tiene menor índice de
refracción que el medio donde se propaga el haz transmitido, es decir, nt > ni ó
nti = nt / ni < 1, ocurre que si aumentamos paulatinamente el ángulo de incidencia
i el haz transmitido se aproxima a la interfase reduciendo su intensidad, y
aumentando la del haz reflejado, hasta desaparecer cuando t = 90º, como
muestra la figura Nº 18.
t
nt
ni
i
r
Figura Nº 18.- Como ni > nt a medida que incrementamos i el haz
transmitido se va acercando a la interfase (rayos rojos y azules),
hasta que en t = 90º (rayos amarillos) desaparece y se tiene
reflexión interna total para cualquier ángulo de incidencia que cumpla
la condición i ≥ p (rayos verdes)

A este caso, cuando no hay luz transmitida sino solamente luz reflejada se le
llama reflexión total interna.
Entonces, cuando t = 90º, sen t = 1 y de la ley de refracción nos queda:
ni seni  nt sent
Este valor de
sen i 
nt
sen t
ni
sen c 
nt
ni
[57]
i =c para el cual el ángulo de transmisión t = 90º, se conoce
como ángulo crítico, de modo que para valores de
luminosa se refleja.
i ≥c toda la energía