BOL. SOC. ESP. CERAM. VIDR. 32 (1993) 5, 293-298 TRABAJO DE REVISION Resistencia de los refractarios al choque térmico. II: Teoría unificada de Hasselman C. BAUDIN Instituto de Cerámica y Vidrio (CSIC). 28500 Madrid (España). RESUMEN: Resistencia de los refractarios al choque térmico. II: Teoría unificada de Hasselman. ABSTRACT: Thermal Shock Resistance of Refractories II: Unified Theory of Hasselman. En este trabajo se reescribe la Teoría Unificada de Hasselman utilizando un lenguaje matemático sencillo basado en el criterio de energía potencial mínima. Asimismo se revisan los trabajos experimentales encaminados a determinar la validez de los factores de mérito derivados de esta teoría para estudiar el comportamiento de materiales refractarios en distintas condiciones experimentales. The Unified Theory of Thermal Shock proposed by Hasselman analyzed using a simple mathematical language based on the minimal potential energy criterion. The experimental work on Hasselman thermal shock parameters validity for refractories is reviewed. PALABRAS CLAVE: Refractarios, choque térmico, propiedades mecánicas, temperatura, termoelasticidad, energía. 1. INTRODUCCIÓN La fig. 1 recoge el comportamiento general de un material frágil sometido a enfriamientos bruscos de distinta severidad AT(l-3). A partir de los resultados de la teoría termoelástica, es posible predecir la existencia del primer incremento de temperatura crítica, AT^, o mínima diferencia de temperatura que origina la fractura del material. Utilizando un criterio de balance energético es posible predecir el grado de daño sufrido por la pieza. Pero, de ninguna de estas dos aproximaciones surgen como conclusión los tramos restantes de la curva de la figura: grado de daño constante en una región de AT, existencia de un segundo incremento de temperatura crítica, AT'c, y aumento gradual del grado de daño para choques de intensidad superior a AT^ (4). La Teoría Unificada de Hasselman (5-6) engloba tanto el momento de la nucleación de la grieta como su propagación y permite predecir completamente el comportamiento de un material frágil frente al choque térmico mostrado en la fig. 1. Esta teoría está basada en un criterio de mínima energía potencial, del mismo tipo que el utilizado por Griffith para estudiar la fractura de sólidos frágiles (7). En el primer artículo (5), el histórico, Hasselman toma como modelo un sólido que contiene N grietas circulares planas por unidad de volumen, al cual se le impide contraer por estar sus superficies sujetas rígidamente y que es enfriado uniformemente. De todos los casos posibles, el correspondiente a este modelo es el que maximiza las solicitaciones a las que está sometido el cuerpo ya que, todos los puntos del sólido están sometidos a un estado triaxial de tensiones. El modelo bidimensional propuesto por Hasselman en 1971 (6), se ajusta más a la reahdad del choque térmico ya que se puede asimilar a la superficie de un cuerpo enfriado bruscamente. Recibido el 7-6-93 y aceptado el 30-6-93 SEPTIEMBRE-OCTUBRE, 1993 KEY WORDS: Refractories, thermal shock, mechanical properties, temperature, thermoelasticity, energy. Por otra parte, su tratamiento matemático es más simple. Las conclusiones obtenidas en lo que se refiere a las características de los materiales, forma de propagación de las grietas, etc. son del mismo tipo en ambos modelos. En este trabajo se reescribe la Teoría Unificada de Hasselman utilizando un lenguaje matemático sencillo Fig. 1. Resistencia a la fractura de un material frágil sometido a enfriamientos bruscos de distintas intensidades. basado en el criterio de energía potencial mínima y utilizando como modelo el propuesto por Hasselman en 1971. Asimismo, se revisan los trabajos experimentales encaminados a determinar la validez que tienen los factores de mérito derivados de esta teoría a la hora de predecir el comportamiento de materiales refractarios en distintas condiciones experimentales. 293 C. B AUDIN 2. tables respectivamente. La condición dW/dl = O, proporciona el incremento mínimo de temperatura para que las grietas se propaguen, AT^ : MODELO Y CRITERIO El modelo utilizado es el indicado en la fig. 2. U n a lámina -infinita en la dirección X y cuya deformación en la dirección Y está impedida- de un material completamente frágil que contiene N grietas, de longitud 2^ por unidad de superficie, es enfriada u n i f o r m e m e n t e un incremento de temperatura AT. Se asume que las grietas no interaccionan y que la fractura tiene lugar, cuando AT = AT^, por la propagación simultánea de las N grietas. ATc = (2 • G / 71 • £• a2 • E)l/2 • (1 + 27i • N • 62) [6] 1) Para grietas cortas (2K - N - 6 2 < < i ) e l incremento crítico de temperatura es: A T c = ( 2 - G / 7 i - e-a2-E)l/2 [7] proporcional a í-^^^ e independiente de N. 21 2) Para grietas largas (2K - N * 6 2 > > i ) e l incremento de temperatura crítico: ->X Fig. 2. Modelo utilizado en La Teoría Unificada de Hasselman en dos dimensiones. El estado de equilibrio de un sólido elástico sometido a fuerzas externas es aquel en el que la energía potencial de todo el sistema es mínima. Para utilizar este teorema al estudiar la fractura de sólidos reales es preciso considerar, además de la variación en la energía elástica, el aumento de energía potencial que supone la creación de dos nuevas superficies. El módulo de Young de la placa viene dado por (8-9): -ef- : E / (1 + 271 • N • ^2) ATc' = ( 8 7 i - G - N 2 - e 3 / o c 2 . E ) l / 2 proporcional a ß^^^ y a la densidad de grietas, N. La aproximación de grietas largas es discutible ya que una de las asunciones de la teoría de Hasselman es que las grietas no interaccionan, hipótesis que no será cierta para una alta densidad de grietas de tamaño, I, grande (10). En el caso de grietas cortas, si se tiene en cuenta la relación derivada del criterio de Griffith para grietas planas, se tiene que: ATc - Gf • / a • E ATc - Gf • (1- v)/ a • E W.= [11] [3] donde, a, es el coeficiente de dilatación del material. La energía superficial por unidad de superficie debida a la presencia de las N grietas es: Wp = 4 • G • N • e [10] por lo que, se recupera el parámetro R de resistencia al choque térmico de la teoría termoelástica [11-13]: R = Gf • (1- v) / a • E Ö? • (AT)2 • E 2 • (1 + 27C • N • £2) [9] y, para grietas circulares planas, el modelo tridimensional [5] proporciona: [1] donde E es el módulo de Young del material sin grietas. La energía elástica por unidad de superficie acumulada en la placa cuando es enfriada uniformemente un AT es: [8] lo cual es coherente ya que la teoría termoelástica analiza la condición para el inicio de la fractura. En el caso de grietas largas, el parámetro que optimiza la resistencia del material frente al choque térmico es diferente e incluye la energía de fractura. A partir de la ec. [8]: [4] [12] RQI donde G es la energía requerida para producir una unidad de superficie de grieta (equivalente a la energía superficial de fractura efectiva del criterio de balance energético). La fractura tendrá lugar si dW/d6<0, donde W = W^ + Wg es la energía potencial del sistema. a^E este parámetro no tiene equivalente ni en los resultados derivados de la teoría termoelástica (9-10) ni en los derivados del criterio de balance energético (11-14). 3.2. 3. CONCLUSIONES D E R I V A D A S D E LA T E O R Í A U N I F I C A D A D E HASSELMAN 3.1. Condición térmica para el inicio de la fractura Utilizando el criterio de disminución de la energía potencial, se tiene: dW>0, dW<0, grietas estables e ines- 294 Regiones de estabilidad de las grietas Para una placa de un material con una densidad de grietas dada, el plano AT^ - I queda dividido en zonas de estabilidad e inestabilidad, d e l i m i t a d a s p o r la curva dW/d6=0. En la fig. 3 se muestran las mencionadas zonas para placas con densidad de grietas N = 10/271; y 112% e idénticas propiedades E, G y a . D e esta figura se deduce que, para un valor AT^", la fractura de la placa tiene lugar si el tamaño de las grietas está situado entre dos valores de BOL. SOC. ESP. CERAM. VIDR. VOL. 32 - NUM.5 Resistencia de los refractarios al choque térmico. II: teoría unificada de Hasselman donde ^ y ^ son las longitudes inicial y final de las grietas. Teniendo en cuenta las expresiones [3] y [4], es posible calcular la longitud final de las grietas, í{. Diferencia criUca de temperatura para (a inestabilidad de las grietas Ö Ö •^ csi "O LLI o» a2(AT,)2E| 1 = 4 - G - N - ( ^ g [15] (l + 27i:-N-^2)2 (i+27i-N-^2)2 2 ^ relación indicada en la figura 4 con línea discontinua. En el caso de grietas cortas ( ^ < < ^ ) , se tiene que: .y g o c 1) (1+271-N- ^2)/(i+27i-N- ^ ) - O [16] y, utilizando la ec. [7], la longitud final viene dada por: Longitud de la grieta ( I ) Fig. 3. í. El valor máximo del tamaño de las grietas que no daría lugar a la fractura de las placas, ^^\ es el mismo en el caso de alta densidad de grietas (10/2TC) que en el caso de baja d e n s i d a d de grietas {llln). Sin e m b a r g o , el t a m a ñ o máximo de grieta para el que la fractura tendrá lugar es menor para la placa con alta densidad de grietas (E^") que para la placa con baja densidad de grietas (^"). 3.3. Íi=(4 7i-N%)-1 Zonas de estabilidad en el plano AT^ -1 para materiales con densidad de grietas N=10/2n y 1/2TÍ. Aplicando, igual que en el caso anterior, la relación de Griffith para grietas planas, se tiene que la longitud final de grietas inicialmente cortas es: í^ = (671 • N)l/2 c^ G E h Sf^ af^(l-v) G E [20] por lo que se recuperan los parámetros R ' " y R " " de resistencia al choque térmico obtenidos utilizando el criterio del balance energético (11-12,14). R •= [20] Gf • (1 - V) R"'' = G R ' " [21] [13] Sea, £, la longitud de las grietas existentes en la placa: 1) si 6> Ejji' entonces d^W/d^^ > O, condición de equilibrio estable por lo que, su forma de propagación será cuasiestática, 2)úl< £jn, entonces d^W/dE 2< O, condición de equilibrio inestable, por lo que, su forma de propagación será cinética. La expresión [13] indica que el t a m a ñ o máximo de grieta, £, que separa las regiones de propagación estable e inestable es tanto mayor cuanto menor sea la densidad de grietas en el material. Esto tiene una implicación práctica i m p o r t a n t e ya q u e indica que los materiales con más defectos en su interior sufren un d a ñ o m e n o r cuando tiene lugar la fractura por choque térmico. 3.5. Resumen En resumen, el modelo de Hasselman permite obtener, a partir de una única expresión que engloba la suma de energías elástica y superficial, las siguientes soluciones: 1) Condición térmica para el inicio de la fractura, esto es: diferencia crítica de temperatura para la propagación de grietas cortas (1 < ^ , ^ ~ N'^^^). El parámetro que maximiza AT^ es el mismo que se obtenía en la aproximación termoelástica R (ec. 11). La ecuación de dimensiones de este parámetro es: [R]-T 3. 4. [19] y, en el modelo tridimensional (5): Forma de propagación de las grietas La condición dW/dß = O es una condición de equilibrio. Para que la fractura tenga lugar, la tensión térmica deberá ser un infinitésimo superior a la correspondiente a esta condición (i.e: AT^, es un infinitésimo superior). El signo de dW^/dE^ determina el tipo de equilibrio y, con ello, el t i p o de p r o p a g a c i ó n q u e t e n d r á n las grietas cuando AT es un infinitésimo superior a AT^. La condición dW^/d^^ = O proporciona: [18] [21] Grado de propagación cinética Las grietas con £ < ^ se propagan hasta que la disminución de la energía elástica iguala al aumento de energía superficial debido a la extensión de las grietas. We(g-We(^)-W3(^)-W,(y SEPTIEMBRE-OCTUBRE, 1993 [14] por lo que, su significado físico es claro, el incremento de temperatura crítico es proporcional a R. 2) Grado de propagación cinética de las grietas cortas. El área a través de la que se propagan es inversamente proporcional a la energía superficial necesaria para su 295 C. B AUDIN propagación (G) y directamente proporcional a la energía elástica acumulada (~ Of^/E). Los parámetros que minimizan el daño sufrido por el material son los parámetros de resistencia al choque térmico R'" y R"" (ec. 21 y 22), definidos utilizando para el estudio de la resistencia al choque térmico el criterio de balance energético. La ecuación de dimensiones de R"" es: frente al choque térmico suele ir ligada a altos valores del parámetro Rst (ec. [12]) (13,16-21) o parámetros equivalentes (22), lo cual es expHcable dado que a la fractura Diferencia crítica de temperatura a 100 [R""] = L / Longitud de las grietas resultantes de la propagación inestable de grietas l o < l m [24] / / Q-CM dimensiones debidas a que, en realidad, en la proporcionalidad entre el área a través de la cual se propaga la grieta y R"" hay un efecto de la microestructura del material que no está incluido en R"". En efecto: •o ULI 8"^ ^ :f(N,g-R' [25] / ü - ^-^ •5 <• /A ^ ^ ~ 100 m 2TI AT;' 10 10 ATc AT¿' y i-^ c 3) Lo más novedoso de la teoría de Hasselman es que permite explicar el comportamiento que van a tener las grietas largas (B>^), preexistentes en el material o fruto de la propagación cinética de grietas cortas. La diferencia mínima de temperatura necesaria para propagar grietas largas es proporcional al parámetro R^^ (ec.l2). Este parámetro tampoco tiene significado físico directo ya que su ecuación dimensional es: [R,t] = T-Ll/2 [26] dado que: Ar,^f(N,y-R,t APLICACIÓN DE LOS PARÁMETROS DE RESISTENCIA AL CHOQUE TÉRMICO AL ESTUDIO DEL COMPORTAMIENTO DE LOS MATERIALES REFRACTARIOS 4.1. Revisión bibliográfica Para correlacionar el comportamiento de los materiales refractarios con los parámetros derivados de la Teoría Unificada de Hasselman, es preciso tener en cuenta que el tipo de fractura depende no sólo del tipo de material sino, también, de la densidad de grietas que colaboran a la fractura. En el caso de calentamiento por radiación (15-16), se suele observar una sola grieta paralela a la cara caliente y que se desarrolla hacia la superficie. En general, en este tipo de ensayos se encuentra correlación entre una alta resistencia al choque térmico y los parámetros R'" o R"" ec[21] y [22] , que describen el comportamiento de grietas cuya propagación es cinética. Esta situación es asimilable a un material con densidad de grietas baja en el que, el tamaño de grieta, ^ , límite entre fractura cinética y fractura cuasiestática es grande (fig. 3). Un mismo material puede presentar los dos tipos de fractura (cinética, cuasiestática) dependiendo del tipo de ensayo. Así materiales que presentan fractura cinética en el caso de calentamiento por radiación pueden presentar una disminución gradual del módulo de rotura al aumentar la severidad del choque térmico cuando éste se produce por enfriamiento (16). En el caso de enfriamientos bruscos, la bondad relativa de los materiales refractarios 296 b 1 lO"'' Ib lo , ! 10"^ Im íT Im 1 I f Longitulde la grieta 1 1 If 1 10 (I) Fig. 4. Curvas de Hasselman. En línea discontinua se muestra el tamaño final alcanzado por grietas de tamaño menor que í^. por enfriamientos bruscos colaboran un alto niimero de grietas superficiales. Pero, en muchos casos, si los materiales refractarios ensayados poseen una alta resistencia a la fractura, el grado de daño sufrido presenta una correlación mejor con los parámetros R'" y R"" que con R^^ (13, 17-18, 21). Este resultado puede ser derivado asimismo de la Teoría Unificada de Hasselman ya que una alta resistencia a la fractura equivale a tamaños iniciales de grieta, ^, pequeños por lo que, la fractura es de tipo cinético (fig. 3). En los ensayos realizados a nivel industrial, normalmente se somete a los materiales a ciclos y gradientes. Las ventajas de este tipo de ensayos es que están más cerca de la reahdad de las condiciones de los materiales durante el uso y que magnifican el daño. Una desventaja clara es que su interpretación teórica es más difícil. Se ha encontrado tanto correlación entre el grado de daño sufrido por los materiales después de un cierto número de ciclos y el parámetro R"" (23-26) como con el parámetro R^^ (2627). En este caso, el número y el tipo de grietas que se propagan durante la fractura del material son distintos durante el calentamiento y el enfriamiento y pueden interaccionar. Además, las propiedades del mateial después de sufrir un ciclo son diferentes a las del material original ya que, para choques de baja intensidad es de esperar que los fenómenos subcríticos tengan gran importancia. 4.2. Ejemplo de aplicación La Teoría Unificada de Hasselman permite explicar el comportamiento de los materiales recogido en la fig. 5 (28) y, que no era posible analizar utilizando únicamente la aproximación termoelástica y el criterio de balance energético (parámetros R y R"") (4). Estos materiales han sido ensayados vertiendo acero fundido en una cuchara precalentada a distintas temperaturas y vaciando, a continuación, la cuchara. En la tabla I se recogen los valores del parámetro de resistencia al choque térmico, R^^, calculados para estos materiales. BOL. SOC. ESP. CERAM. VIDR. VOL. 32 - NUM.5 Resistencia de los refractarios al choque térmico. II: teoría unificada de Hasselman de dos temperaturas críticas, en el caso de materiales con longitudes de grietas pequeñas. Este es el caso del material A (silicoaluminoso). La diferencia entre la forma de degradación del material A y de los materiales C, D y F puede ser atribuida a la diferencia entre las resistencias a la fractura de estos materiales (tabla I), ya que esta es superior para el material silicoaluminoso. Sin embargo, no es posible predecir en qué valor del módulo de rotura se encuentra el límite entre fractura cinética/fractura cuasiestática. 5. 500 1000 ATCC) Fig. 5. Variación del módulo de rotura de materiales refractarios sometidos a choques térmicos de distinta intensidad. A: silicoaluminoso, C: bauxita, D: alúmina electro fundida, F: magnesita. El parámetro R^^ permite explicar las diferencias encontradas entre el comportamiento de los materiales C (bauxita), D (alúmina electrofundida) y F (magnesita) ya que decrece en el mismo sentido que lo hace AT^'. El incremento crítico de temperatura para estos materiales es del tipo AT^'(grietas largas, fig. 1) ya que la degradación que sufren los materiales es gradual. Por otra parte, la Teoría Unificada de Hasselman predice la existencia CONCLUSIONES Los resultados de la teoría de Hasselman tiene implicaciones prácticas muy importantes en lo que se refiere a la selección de materiales para trabajar en condiciones térmicas severas, bajo las que no es posible evitar el inicio de la fractura por tensiones térmicas, o que contienen defectos de gran tamaño en su interior. En este caso es preciso utilizar materiales con valores altos de los parámetros R"" y Rgt, condición que, en general, implica minimizar R. Pero, además, las ecuaciones [8] y [19] indican que un material de baja resistencia a la fractura será tanto más resistente al choque térmico cuantos mayores sean la densidad de grietas y el tamaño de éstas. En general, los estudios encaminados a comprobar la validez de los parámetros de Hasselman se realizan comparando una serie de materiales para los que los parámetros de resistencia al choque térmico calculados con propiedades globales de los materiales son muy diferentes. En estos casos, como ha sido mencionado anteriormente, el acuerdo encontrado entre los resultados y la teoría es relativamente bueno. Sin embargo, los materiales refractarios se alejan en gran medida de las hipótesis de isotropía y homogeneidad asumidas en la Teoría Unificada de Hasselman (5-6). Sería preciso desarrollar modelos en los que pudiera incluirse el efecto de las microtensiones localizadas debidas a la gran diferencia que existe entre las propiedades de las distintas fases presentes en un material cerámico. De hecho, es posible encontrar respuestas frente a las tensiones térmicas muy diferentes para materiales refractarios con parámetros de Hasselman de valores equivalentes y microestructuras muy diferentes (29). Este es un campo abierto en el que, previo a un desarrollo teórico, es necesario un gran esfuerzo experimental sobre materiales modéhcos con microestructura y propiedades muy controladas. TABLA I VALORES DEL PARÁMETRO D E RESISTENCIA AL CHOQUE TÉRMICO R,^ Y DEL MODULO DE ROTURA PARA LOS MATERIALES CUYO COMPORTAMIENTO SE RECOGE EN LA FIG. 5 R,t(xl02«C^i/2) Módulo de Rotura (MPa) Silicoaluminoso 3.3 16 Bauxita 2.5 12 Alúmina electrofundida 1.3 11 Magnesita 0.5 7 Material SEPTIEMBRE-OCTUBRE, 1993 6. REFERENCIAS 1. HASSELMAN, D . P . H . : Strength Behavior of PolycrystallineAlumina Subjected to Thermal Shock. /. Am. Ceram. Soc, 53, (9), 1970, 490-495. 2. AiNSWORTH, J. H . Y M O O R E , R . E . : Fracture Behavior of Thermally Shocked Aluminum Oxide. /. Am. Ceram. 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