ACCESO GRADO SUPERIOR 13-14 RADICALES Un ra d i c a l e s una e x p re s i ó n d e l a fo rma , e n l a q ue n y a ; c o n ta l q ue c ua nd o a s e a neg a t ivo , n ha d e s e r i mp a r. Se p ue d e e xp re s a r ra d i c a l en f o rma p o t e nc i a: un de Radicales equivalentes Utilizando la notación de exponente fraccionario y la propiedad de las fracciones que dice que si se multiplica numerador y denominador por un mismo número la fracción es equivalente, obtenemos que: Si s e mul t i p l i c a n o d i vi d e n e l í ndi c e y e l e x po ne nt e d e un ra d i c a l po r un mi s mo nú me ro na t u r a l , s e o b t ie ne o t ro rad i c a l e q ui va l e nt e . Simplificación de radicales Si e x i s t e un nú me ro na t ura l q u e d i vi d a al í nd i c e y a l e x p o ne nt e ( o lo s e x po ne nt e s ) d e l ra d i c a nd o , s e o bt i e ne un ra d i c a l s i mp l if i c ad o . Reducción de radicales a índice común 1 Hallamos el mí ni mo c o mún múl t i p l o d e l os í nd i c e s, que será el común índice 2 Di vi d i mo s e l co mún í nd i c e p o r c ad a uno d e l o s í nd i c e s y cada resultado obtenido se mul t i p l i c a por s us e x p o ne nt e s correspondientes. ROSA 1 ACCESO GRADO SUPERIOR 13-14 Extracción de factores fuera del signo radical Se d e s c o mp o ne el radicando e n f a c to re s . Si: Un e x p o ne nt e e s me no r que el índice, el factor correspondiente se d e ja e n e l ra d i c a nd o . Un e x p o ne nt e e s i g ua l al índice, el factor correspondiente s a l e f ue ra d e l ra d i ca nd o . Un exponente e s ma yo r q ue e l í nd i c e , s e d i vi d e dicho exponente po r e l í nd i c e . El c oc i e nt e obtenido es el e xp o ne nt e d e l f a ct o r f ue ra del radicando y el re s to es el ex po ne nt e d e l f a c to r d e nt ro del radicando. Introducción de factores dentro del signo radical Se i nt ro d uc e n los f a c t o re s e l e va d o s c o rre s p o nd i e nt e d e l rad i c a l . al í nd i c e Operaciones con radicales Suma de radicales So l a me nt e p ue d e n s uma rs e ( o re s ta rs e ) do s ra d ic a l e s c ua nd o s o n ra d i c a l e s s e me j a nt es , e s d ec ir, s i s o n ra d i c a l e s c o n e l mi s mo í nd i c e e ig ua l ra d i c a ndo . ROSA 2 ACCESO GRADO SUPERIOR 13-14 Multiplicación de radicales Radicales del mismo índice Para multiplicar radicales con el mismo índice s e ra d i c a nd o s y s e d e j a e l mi s mo í nd ic e . mul t i pl i c a n l o s Cua nd o t e rmi ne mo s d e re a l i za r u na o p e ra c i ó n e x t ra e re mo s f a c to re s d e l ra d i c a l , s i e s p os i b l e. Radicales de distinto índice Pri me ro s e re d uc e n a í nd i c e c o mún y l ue g o s e mul t i p l i c a n. División de radicales Radicales del mismo índice Para dividir radicales con el mismo índice se d i vi d e n l o s ra d i c a nd o s y s e d e j a e l mi s mo í nd i ce . Radicales de distinto índice Pri me ro s e re d uc e n a í nd i c e c o mún y l ue g o s e d i vi d e n. ROSA 3 ACCESO GRADO SUPERIOR 13-14 Cua nd o t e rmi ne mo s de re a l i za r s i mp l i f i c a re mo s e l ra d i ca l , s i e s pos i b l e . una o p e ra c i ó n Potencia de radicales Para elevar un radical a una potencia s e e l e va a d i c ha p ot e nc i a e l ra d i c a nd o y s e de j a e l mi s mo í nd i ce . Raíz de un radical L a ra í z d e un ra d i c a l e s o t ro ra di c a l d e i g ua l ra d i c a ndo y c uyo í nd i c e e s e l p rod uc t o d e lo s do s í nd i c es . Racionalizar Co ns i s t e e n q ui ta r l o s ra di c a l e s d el d e no mi na d o r, lo que permite facilitar el cálculo de operaciones como la suma de fracciones. Podemos distinguir tres casos. ROSA 4 ACCESO GRADO SUPERIOR 13-14 1 Del tipo Se mul t i p l i c a e l nume ra d o r y e l d e no mi na d o r p o r . 2 Del tipo Se mul t i p l i c a nume ra d o r y d e no mi n a d o r po r . 3 Del tipo , y en general cuando el denominador sea un b i no mi o c o n a l me no s un ra d i c a l . Se mul t i p l i c a e l nume ra d o r y d e no mi na d o r p o r e l c o nj ug a d o d e l de no mi na d o r. El c o nj ug a d o d e un b i no mi o e s i g ua l a l b i no mi o c o n e l s i g no c e nt ra l c a mb i a do : ROSA 5 ACCESO GRADO SUPERIOR 13-14 También tenemos que tener en cuenta que: "s uma p o r d i f e re nc i a e s i g ua l a d if e re nc i a d e c ua d ra d os ". ROSA 6 ACCESO GRADO SUPERIOR 13-14 Un radical es u na ex pres ió n de la for ma a , e n la q ue n y ; co n ta l q ue cu and o a sea neg ativ o, n h a de ser impar. Potenci as y radic ales Se puede expre sar un radical en form a de potenci a: R a d i a l e s e q u i v a l e n te s Utilizand o la not ac ió n de expone nte fra cc io nar io y la pr op iedad de la s fraccione s que d ice que si se mu ltip lica numerad or y ROSA 7 ACCESO GRADO SUPERIOR 13-14 denominador por un mismo número la fracción es eq uiv ale nte, obtenemos que: Si se radic al mu lt iplic an por un mismo o div iden e l ín dic e y número nat ural, se el expon ent e de obt iene otro un radic al equ ival ent e. S i m p l i f i c a c i ón d e r a d i c a l e s Si ex iste un número natural que d ivida al ín dice y al expon ent e (o los exp one ntes) de l ra dicand o, se obt ie ne u n radical simpl ificado. 1Halla mo s el míni mo co mún múl tiplo de l os índic es, que será el co mún índ ice 2Dividi mos el comú n índic e po r cada uno de los ín dic es y cada resu ltad o obten id o se multi plic a po r sus expon ent es correspondientes. ROSA 8 ACCESO GRADO SUPERIOR 13-14 Ex t r a c c ió n de fa c to re s fue r a de l s i g n o r a d i ca l Se desco mpone e l r adican do en f acto res. Si: 1 Un expon ent e es menor que el índ ice, el fact or corre spondiente s e deja en el radic an do. 2Un expon ente es igual a l índ ic e, el fa ctor c orresp ond ie nte sale f uera del radic ando. 3Un exponente es mayor que el ín dic e, se divi de d ich o expone nte po r el í ndic e. E l cocient e obte nid o es el expo nen te del factor fuera de l ra dicand o y el resto es el expo nen te del facto r den tro de l r adica ndo. ROSA 9 ACCESO GRADO SUPERIOR 13-14 I n t r o du c c i ón de fa c to re s d en t ro d e l s i gn o r a d i ca l Se introducen lo s facto res elev ado s al í n dice corre spo nd iente del radic al. Solamente pueden s umars e (o restarse) dos radical es cua ndo so n radical es se me jan tes, e s dec ir , si so n radicales co n e l mismo ín dice e i gu al radic an do. ROSA 10 ACCESO GRADO SUPERIOR 13-14 Radic ales del mis mo í ndice Para m ulti plicar radical es con el mismo ín dice se multi plican los radic an dos y s e deja el m ismo ín dic e. Cua ndo term in em os de rea lizar una operación e xtraeremos factores del radical, s i e s p os ib le. Radic ales de distint o ín dice Primero se re ducen a í ndic e co mún y lueg o se multi plic an. ROSA 11 ACCESO GRADO SUPERIOR 13-14 Ra dica le s de l mis mo ín dice Para d ivid ir r adica les con el mismo índ ice se div iden los radic an dos y s e dej a el mis mo í ndic e. Ra dica le s de dis tin to ín dice Primero se re ducen a í ndic e co mún y lueg o se divi de n. ROSA 12 ACCESO GRADO SUPERIOR 13-14 Cua ndo term ine mo s de re alizar una oper ac ión si mplificare mos el radical, s i e s p os ib le. Para e levar un radic al a una potenci a, se eleva a d ic ha pot enci a e l radic an do y se dej a e l mism o í ndice. ROSA 13 ACCESO GRADO SUPERIOR 13-14 La raíz de un radic al es otr o radic al de igual radican do y cuyo ín dice es e l producto de l os dos ín di ces. ROSA 14 ACCESO GRADO SUPERIOR 13-14 La racion aliz ación de radic al es consiste en quit ar los radic ales del de nom inador, lo que perm ite fac ilitar e l cá lc ulo de operac ione s com o la s uma de fra cc io nes. Podem os d ist ing uir tres c as os. 1Racion aliz ació n de l t ip o Se mu lti plica el n um erador y el deno min ador po r . 2Racion aliz ació n de l t ip o Se mu lti plica num erado r y den omi nado r po r . ROSA 15 ACCESO GRADO SUPERIOR 13-14 3Racion aliz ació n de l t ipo , y en general cuando el denom inador sea un bi nomi o con al men os un radical. Se multi plic a el nu merador y denomi nador po r el co nju gado del deno min ador. El co njug ado de u n bino m io e s igua l al binom io c on e l signo central cambiado: Tambié n tenemos que tener en cuenta que: "suma por diferencia es i gu al a diferenci a de cu adrados". ROSA 16 ACCESO GRADO SUPERIOR 13-14 RESUMEN Un radical es un a expresió n de la f orma y a ; con t al que cu an do a s ea , en la que n negat ivo, n ha de ser impar. Se puede expresar u n radical en f orma de potencia: R a d i a l e s e q u i v a l e n te s S i m p l i f i c a c i ón d e r a d i c a l e s ROSA 17 ACCESO GRADO SUPERIOR 13-14 Si exist e expon ent e (o un los nú mero nat ural exponentes ) del qu e divi da al radican do, ín dice se y obt ien e al un radic al sim plific ado. R e d u c c i ó n d e r a d i c a l e s a í n d i c e c o mú n 1Halla mo s el míni mo co mún múl tiplo de l os índic es, que será el co mún índ ice 2Dividi mos el comú n índic e po r cada uno de los ín dic es y cada resu ltad o se obten id o multi plic a po r sus expon ent es correspondientes. E x t r a c c i ón d e f a c t or e s f u e r a d e l s i g n o r a d i c a l Se desco mpone e l r adican do en f acto res. Si: Un expon ente es menor que el índ ice, el factor corre spondiente s e deja en el radic an do. Un e xpone nte es igual a l índ ic e, el fa ctor corre spo ndiente s al e fuera del radican do. Un exponente es mayor qu e el í ndic e, se divi de d ich o expone nte po r el í ndic e. E l cocient e obte nid o es el expo nen te del factor fuera de l ra dicand o y el resto es el expo nen te del facto r den tro de l r adica ndo. I n tr o d u c c i ón d e f a c t o r e s d e n tr o d e l s i g n o r a d i c a l Se introducen los fact ores el ev ados al ín dice corres pon di ente del radic al. ROSA 18 ACCESO GRADO SUPERIOR 13-14 O p e r a ci o ne s co n r a d i ca le s Su ma de radic ale s Solamente pueden sumarse (o restarse) dos radical es cuan do so n radicales s em ej ant ess, es decir, si son radical es con el mis mo í ndic e e igual radic an do. Produc to de radicale s Radic ales del mis mo í ndice Radic ales de distint o ín dice Prim ero se reduc en a ín dice c omú n y lu ego s e mu lti plican. C o c i e n te d e r a d i c a l e s Radic ales del mis mo í ndice Radic ales de distint o ín dice Prim ero se reduc en a ín dice c omú n y lu ego s e divi den. Pote nci a de ra di cal es ROSA 19 ACCESO GRADO SUPERIOR 13-14 R a í z d e u n r a di c a l R a c i on al i za r Consiste en permite fac ilit ar quit ar l os radical es el c álcu lo de del denomin ado r, op eraciones como la lo que suma de fraccione s. Podem os d ist ing uir tres c as os. 1Del t ipo Se mu lti plica el n um erador y el deno min ador po r . 2Del t ipo Se mu lti plica num erado r y den omi nado r po r . ROSA 20 ACCESO GRADO SUPERIOR 13-14 3Del tip o , y en general cuando el denominador sea un bin omi o con al m enos un radic al. Se multi plic a el nu merador y denomi nador po r el co nju gado del deno min ador. ROSA 21 ACCESO GRADO SUPERIOR 13-14 EJERCICIOS RADICALES 1 Ca l cu la l o s val or e s d e la s si g ui e n tes p o t e n ci a s: 1 2 3 4 2 Ext r a e r f a ct o r e s: 1 2 3 I n t r o du cir f a cto r e s : 1 2 4 Po n e r a co mú n í n di ce : 5 Re a li za la s su ma s: 1 ROSA 22 ACCESO GRADO SUPERIOR 13-14 2 3 4 6 Ha ll a l a s su ma s: 1 2 3 4 7 Ef e ct ú a l a s su ma s: 1 2 8 Re a li zar l o s pr o d u cto s: 1 2 3 9 Efectúa las divisones de radicales: ROSA 23 ACCESO GRADO SUPERIOR 13-14 1 2 3 1 0 Calcula: 1 1 O p e r a: 1 2 Re al i za l a s o pe r a ci o ne s co n po t e nci a s: 1 2 13Realiza l as op er ac i on es : ROSA 24 ACCESO GRADO SUPERIOR 13-14 1 2 3 4 14Ca lc u la: 1 2 15Efe ctuar: 1 2 3 16Racionalizar los rad ica le s: ROSA 25 ACCESO GRADO SUPERIOR 13-14 1 2 3 4 5 17Racionalizar 1 2 3 4 5 ROSA 26 ACCESO GRADO SUPERIOR 13-14 ROSA 27