Geometria Analitica – Daniel Quintero

Geometría Analítica
Lcdo Daniel A Quintero R
PROGRAMA
GEOMETRÍA ANALÍTICA
OBJETIVO GENERAL:
Resolver problemas sobre lugares
geométricos en el plano y/o espacio, a
partir del análisis de sus ecuaciones,
características y gráficas.
GEOMETRÍA ANALÍTICA
 SINOPSIS
DE CONTENIDO
 UNIDAD 1: SEGMENTOS.
 UNIDAD 2: LUGARES GEOMÉTRICOS EN EL PLANO.
 UNIDAD 3: COORDENADAS POLARES Y
ECUACIONES PARAMÉTRICAS.
 UNIDAD 4: GEOMETRÍA ANALÍTICA DEL ESPACIO.
SEGMENTOS
Segmentos en el plano cartesiano: Es la porción de una línea recta
comprendida entre dos puntos.
L
A
B
AB
L: Recta
A: Origen o punto inicial
B: Extremo o punto final
AB: Segmento
SEGMENTOS
DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS EN EL PLANO
Y1
X2
P2
P1
( X 1 , Y1 )
X1
Y2
( X2 , Y2 )
La distancia “ d “ entre dos puntos P1
Por : d 12 =
√ (X1
( X 1 , Y1 ) y
- X2)2 + (Y1 - Y2)2
P2
( X 2 , Y2 ) está
dada
SEGMENTOS
DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN UNA RAZÓN DADA:
Sí P1 = ( X 1 , Y1 ) y P2
=
( X 2 , Y2 )
son los puntos extremos
de un segmento P1 P2 , las coordenadas ( x , y) de un punto P que
divide a este segmento en la razón dada r = P1 P : P P2 ;
son :
X=
X1+ rX2
1+r
Y = Y 1 + r Y2
1+r
;
r≠-1
Pendiente de una recta
L
Y
P2 (X2 , Y2)
P1 (X1 , Y1)
X
m=
Y2 – Y1
X2 – X1
Ángulos entre Rectas
L1 → m 1
Y
L2 → m 2
ø
tg ø =
m1 = m 2
m1. m 2 = - 1
m2–m1
1 + (m 1. m 2)
PARALELISMO
PERPENDICULARIDAD
X
Lugares Geométricos:
Y
“LA LÍNEA RECTA”
Y=mX+b
α
m = tg α
X
(0,b)
L
Ecuación de la recta → Y = m X + b
Forma General de la recta → AX + BY + C = 0
FORMA NORMAL DE LA RECTA
L
(X , Y)
w
p
X COS W + Y SEN W – p = 0
DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA
Y
L
X
(X , Y)
d = (AX + BY + C) / √ (AA + BB)
FACTORIZACIÓN POR COMPLETACIÓN DE
CUADRADOS PERFECTOS
2
2
2X + 2Y - 10X + 6Y – 15 = 0
X2 + Y2 – 5X + 3Y – (15/2) = 0
2
2
(X - 5X) + (Y + 3Y) – (15/2) = 0
2
(X2 – 5X + (5/2)2 ) + (Y 2+ 3Y + (3/2) ) – (15/2) = 0
2
2
[(X – 5X + (25/4))] + [ (Y + 3Y + (9/4)) ] + [– (15/2) - (25/4) - (9/4) ] = 0
2
2
(X - (5/2)) + (Y + (3/2)) + (- 64/4) = 0
2
2
2
(X- (5/2)) + (Y + (3/2)) = 16 = 4
Lugares Geométricos: “CIRCUNFERENCIA”
Forma Ordinaria
2
2
(X – h) + (Y - k) = r
Centro ≈ (h, k)
Radio ≈ r
Forma General
2
2
2
X + Y + DX + EY + F = 0
2
2
Para D + E – 4F › 0
Centro ≈ (- D/2,- E/2)
Radio ≈
2
2
½ √D + E – 4F
Lugares Geométricos:
“LA PARÁBOLA”
l
C
B
a = Eje
l = Directriz
V = Vértice (h,k)
F = Foco
BB = Cuerda
CC = Cuerda focal
LL = Lado Recto
L
a
A
V
F
C
L
P
B
Lugares Geométricos:
“LA PARÁBOLA”
• V (h,k) es punto medio entre A y F
• AF = 2p
• Lado Recto (L.R.) y la Directriz “l” son perpendiculares al eje
• L.R. = l4pl
2
(Y – k) = ± 4p (X – h)
2
(X – h) = ± 4p (Y – k)
Lugares Geométricos:
“LA ELIPSE”
Y
B
L
D
G
E
C
F
V
E
L
D
F
C = “CENTRO”
DD = Diámetro
EE = Cuerda
GG = Cuerda Focal
LL = Lado Recto
V
X
B G
VV = 2a “EJE MAYOR”
BB = 2b “Eje Menor”
FF = 2c “Eje Focal”
Lugares Geométricos:
2
2
“LA ELIPSE”
a = Semi Eje Mayor ( VV )
b = Semi Eje menor ( BB )
c = Semi Eje Focal ( FF )
2
a =b + c
 “C” es Punto Medio entre los Focos y los Vértices.
 El Eje Mayor es perpendiculares al Eje menor.
 La excentricidad “e” es la razón entre “a
/ c” < 0
2
 La longitud del L.R. es la razón entre “2 b
(x – h ) 2
a2
+
(y - k) 2
b2
= 1
/ a”
(x – h )
b2
2
2
+
(y - k)
a2
= 1
Lugares Geométricos:
“LA HIPÉRBOLA”
Y
Y2
Y1
G
B
E
V
F
L
D
C
V
F
C = “CENTRO”
DD = Diámetro
EE = Cuerda
GG = Cuerda Focal
LL = Lado Recto
X
D
E
G
B
L
VV = 2a “EJE TRANSVERSO”
BB = 2b “Eje Conjugado”
FF = 2c “Eje Focal”
Lugares Geométricos: “LA HIPÉRBOLA”
a = Semi Eje Transverso ( VV )
2
2
2
b = Semi Eje Conjugado ( BB )
c =a + b
c = Semi Eje Focal ( FF )
 “C” es Punto Medio entre los Focos y los Vértices.
 El Eje Transverso y el Eje focal son perpendiculares al Eje Conjugado.
 La excentricidad “e” es la razón entre “a
/ c” > 0
2
 La longitud del L.R. es la razón entre “2 b
/ a”
 (y – k) = ± (b/a)(x – h) “ASINTOTAS”
(x – h ) 2
a2
-
(y - k) 2
b2
= 1
(y – k )
a2
2
-
2
(x - h)
b2
= 1
COORDENADAS POLARES
SISTEMA DE COORDENADAS POLARES
90°
P (r,Ɵ)
r (Radio Vector)
(Polo) 0
-r
P (-r,Ɵ)
Ɵ (Ángulo Polar)
A
(Eje Polar)
COORDENADAS POLARES
FÓRMULAS DE TRANSFORMACIÓN
X = r cos Ɵ
Y = r sen Ɵ
2
2
2
X+Y=r
Ɵ = arc tg
Y
X
ECUACIONES PARAMÉTRICAS
2
2
X+Y=1
F (x,y) = 0
t=Ɵ
X = cos Ɵ , Y = sen Ɵ
2
2
2
x = f(t), y = g(t)
2
X + Y = cos Ɵ + sen Ɵ = 1
Ecuación
Ecuaciones Paramétricas
Rectangular
EL ESPACIO: “El Punto”
Sistema de Coordenadas Rectangulares
Z
P2(-3 , - 5 , 3)
•
-3
Y
3
X
•
P1(3 , 4 , - 2)
EL ESPACIO: “Segmentos”
“Cosenos Directores” ≈ “Números Directores”
[a,b,c]
Cos α = X2 – X1 =
a
d
a = X 2 – X1
Cos β = Y2 d– Y1 =
b
d
b = Y2 – Y1
Z2 – Z1
=
d
c
d
c = Z2 – Z1
d
Cos γ =
[X
2
– X1 , Y2 – Y1 , Z2 – Z1 ]
EL ESPACIO: “La Recta”
Ángulo formado por dos rectas en el Espacio
Cos ø = ±
a1a2 + b1b2 + c1c2
√ a1a1 + b1b1 + c1c1
√ a1a1 + b1b1 + c1c1
El doble signo indica que hay dos valores de ø,
Suplementarios entre sí.
LA RECTA EN EL ESPACIO
Forma General
A1x + B1y + C1z + D1 + k(A2x + B2y + C2z + D2) = 0
Forma Simétrica
x – x1 = ka , y – y1 = kb , z – z1 = kc
P1 = (x1 , y1 , z1)
k≠0
[a,b,c]
[a,b,c]
Sí a ≠ 0 , b ≠ 0 , c ≠ 0 entonces
x – x1
a
=
y – y1
b
=
z – z1
c
EL ESPACIO:“EL PLANO”
Ecuación General:
Ax + By + Cz + D = 0
A, B, C y D son constantes
A, B y C ≈ [a , b , c ]
Números Directores de su Normal
Bibliografía
• Lehmann, Charles: “Geometría Analítica”.
Editorial Limusa.