b LÍNEAS DE TRANSMISIÓN .-Introducción
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b LÍNEAS DE TRANSMISIÓN 1.-Introducción La familia de líneas de transmisión Comprende a todas las estructuras y medios que sirven para transferir energía o información entre dos puntos, incluidas las fibras nerviosas del cuerpo humano, las ondas acústicas en los fluidos y las ondas de presión en los sólidos. Tales líneas de transmisión incluyen cables telefónicos, cables coaxiales que transportan audio e información de vídeo en aparatos de TV o datos digitales a monitores de computadora y fibras ópticas que transportan ondas luminosas para la transmisión de datos a muy altas velocidades. En esencia, una línea de transmisión es una red de dos puertos, cada uno de los cuales se compone de dos terminales, como se ilustra en la figura 1. Uno de los puertos es el extremo emisor y el otro es el extremo receptor. La fuente conectada a su extremo emisor puede ser cualquier circuito con un voltaje de salida, tal como un transmisor de radar, un amplificador o una terminal de computadora que opera en el modo de transmisión. Según la teoría de circuitos, cualquier fuente como ésa puede representarse por un circuito generador y su equivalente de Thévenin que consiste en un voltaje generador Vg en serie con una resistencia del generador Rg como se muestra en la figura 2-1. El_ voltaje de l generador puede consistir en pulsos digitales, una señal sinusoidal variable, o cualquier otra forma de (onda) En el caso de señales de CA, el circuito generador está representado por un fasor de voltaje Vg y una impedancia Zg. El circuito conectado al extremo receptor de la línea de transmisión se llama circuito de carga, o simplemente carga. Ésta puede ser una antena en el caso de un radar, una terminal de computadora operando en el modo receptor, las terminales de entrada de un amplificador o cualquier circuito de salida cuyas terminales de entrada se representen por una resistencia de carga equivalente R L una impedancia de carga ZL. en el caso de CA. En circuitos eléctricos de baja frecuencia, en general se utilizan alambres para conectar los elementos del circuito en la configuración deseada. En el circuito que se ilustra en la figura 2-2, por ejemplo, el generador está conectado a una carga Re simple mediante un par de alambres. En vista de la definición expuesta en los párrafos precedentes de lo que constituye una línea de transmisión, se plantea la siguiente 1 pregunta: ¿El par de alambres entre las terminales AA' y las terminales BB' es una línea de transmisión? Si lo es, ¿por qué es importante? Después de todo, casi siempre se resuelve para la corriente presente en el circuito y el voltaje a través de sus elementos sin atender a los alambres que los conectan. La respuesta a esta pregunta es sí; en realidad el par de alambres constituye una línea de transmisión, pero el impacto de ésta en la corriente y en los voltajes presentes en el circuito depende de la 1ongitud l de la línea y la frecuencia f de la señal entregada por el generador Cuando la longitud de la línea de transmisión l es mucho menor que la longitud de la onda transmitida l 1 , es necesario tener en cuenta el desplazamiento de fase, la presencia de ondas reflejadas, pérdidas de potencia y efectos dispersores que deforman totalmente la señal como se ve en la fig.2-3.. A 10 GHz, por ejemplo, la longitud de onda =3 cm en el aire, es del orden de 1 cm en un material semiconductor. Por consiguiente, incluso los tramos de conexión entre dispositivos del orden de milímetros llegan a ser significativos y tienen que incorporarse en el diseño global del circuito. 2 2.-Modos de propagación En la figura 2-4 aparecen algunos ejemplos de tipos comunes de líneas de transmisión. Las líneas de transmisión se clasifican en dos tipos básicos: Líneas de transmisión transversales electromagnéticas (TEM, por sus siglas en inglés): Las ondas que se propagan a lo largo de estas líneas se caracterizan por campos eléctricos y magnéticos que son totalmente transversales a la dirección de propagación. .Este modo de propagación se conoce como modo TEM. Un buen ejemplo es la línea coaxial que se ilustra en la figura 2-5; las líneas de campo eléctrico están en la dirección radial entre los conductores interno y externo, el campo magnético forma círculos alrededor del conductor interno y, por consiguiente, ninguno tiene componentes a lo largo de la línea (la dirección de propagación de la onda). Otras líneas de transmisión TEM incluyen la línea de dos conductores y la línea de placas paralelas, que se representan en la figura 2-4. Aunque los campos presentes en una línea de micro franja no se ajusta a la definición exacta de un modo TEM, los componentes de campo no transversales son suficientemente pequeños en comparación con los componentes transversales como para ignorarse, lo cual permite la inclusión de líneas de micro franja en la clase TEM. Una característica sobresaliente común entre las líneas TEM es que se componen de dos superficies conductoras paralelas. Líneas de transmisión de alto orden Las ondas que se propagan a lo largo de estas líneas tienen por lo menos un componente de campo significativo en la dirección de propagación. Las guías de ondas conductoras huecas, las barras dieléctricas las fibras ópticas pertenecen a esta clase de líneas. Por ahora sólo se tratarán las líneas de transmisión en modo TEM. Esto es debido a que requiere menos rigor matemático en el tratamiento de esta clase de líneas que el que se requiere en el tratamiento de ondas caracterizadas por modos de alto orden y, además, porque las líneas TEM se utilizan con mayor frecuencia en la práctica. El tratamiento se inicia representando la línea de transmisión en función de un modelo de circuito de elemento concentrado y luego se aplican las reglas del voltaje y corriente de Kirchhoff para obtener dos ecuaciones rectoras conocidas como las ecuaciones del telegrafista. Al combinarlas, se obtienen ecuaciones de onda para el voltaje y la corriente en cualquier punto de la línea. La solución de las ecuaciones de onda en el caso de estado estable sinusoidal conduce a un conjunto de fórmulas que sirven para resolver una amplia variedad de problemas prácticos. En la parte final de este apunte se introduce una técnica gráfica conocida como carta de Smith. La ecuación del telegrafista es un ecuación diferencial en derivadas parciales: 2 2 LC RC 2 2 x t x t Su solución es una onda amortiguada, donde el término de amortiguamiento es una exponencial dependiente de la posición y del tiempo de la forma: t x T ( x, t ) Ae ( ax bt ) cos 2 3 4 3.- Modelo de elementos concentrados Cuando se traza un esquema de un circuito electrónico se utilizan símbolos específicos para representar resistores, capacitores, inductores y elementos similares. En cada caso, el símbolo representa la funcionalidad del dispositivo en lugar de su forma, tamaño u otros atributos. Se hará lo mismo con respecto a las líneas de transmisión; una línea de transmisión se representará mediante una configuración de alambres paralelos como se muestra en la figura 2-6(a), sin importar la forma específica de la línea considerada. Así, la figura 2-6:a podría representar una línea coaxial, una línea de dos alambres o cualquier otra línea TEM. Recurriendo a nuestro conocimiento de circuitos electrónicos cuando se analiza un circuito que contiene un transistor, la funcionalidad de éste se representa con un circuito equivalente compuesto de fuentes, resistores y capacitores. Se aplicará el mismo método a la línea de transmisión orientándola a lo largo de la dirección z , subdividiéndola en secciones diferenciales, cada una con una longitud z [figura 2-6(b)] y luego representando cada sección por un circuito equivalente, como se ilustra en la figura 2-6(c). Esta representación, que se conoce como modelo de circuito de elementos concentrados, consta de cuatro elementos básicos, que de aquí en adelante se llamarán parámetros de líneas de transmisión y que son: R': La resistencia combinada de ambos conductores por unidad de longitud, en /m. L': La inductancia combinada de ambos conductores por unidad de longitud, en H/m. G': La conductancia del medio aislante por unidad de longitud, en S/m, y C': La capacitancia de los dos conductores por unidad de longitud, en F/m. Si bien los cuatro parámetros de línea tienen expresiones diferentes para distintos tipos y dimensiones de líneas de transmisión, el modelo equivalente representado en la figura 2-6(c) es igualmente aplicable a todas las líneas de transmisión caracterizadas por propagación de ondas en modo TEM. (El superíndice ´ se utiliza como recordatorio de que los parámetros de línea son cantidades diferenciales cuyas unidades se dan por unidad de longitud). 5 En la tabla 2-1 se dan expresiones para los parámetros de línea R', L', G' Y C' para los tres tipos de líneas de transmisión TEM ilustradas en los incisos a) a c) de la figura 2-4. Para cada una de estas líneas, las expresiones son funciones de dos juegos de parámetros: 1. parámetros geométricos que definen las dimensiones de sección transversal de la línea dada y 2. parámetros constitutivos electromagnéticos característicos de los materiales de los cuales están hechos los conductores y el material aislante entre ellos. Los parámetros geométricos pertinentes son los siguientes: Línea coaxial (figura 2-4(a)): a = radio externo del conductor interno en metros, b = radio interno del conductor externo en metros, Línea de dos alambres ([figura 2-4(b)) a = radio de cada alambre, en metros, d = separación entre los centros de los alambres, en metros Línea de placas paralelas ([figura 2-4(c)): w = ancho de cada placa, en metros, d = espesor del aislante entre las placas, en metros. 6 Los parámetros constitutivos son válidos para las tres líneas y consisten en dos grupos: c y c son la permeabilidad magnética y la conductividad eléctrica de los conductores y y son la permisividad eléctrica, la permeabilidad magnética y la conductividad eléctrica del material aislante que separa los conductores. Para los propósitos del presente capítulo, no hay que preocuparse de las derivaciones responsables de las expresiones incluidas en la tabla 2-1. Las formulaciones necesarias para calcular R', L', G' Y C' están disponibles en cualquier texto específico para el caso general de cualquier configuración de dos conductores. El modelo de elementos concentrados que se ilustra en la figura 2-6(c) representa los procesos físicos asociados con las corrientes y voltajes en cualquier línea de transmisión TEM. También están disponibles otros modelos equivalentes y son igualmente aplicables. Sin embargo, todos estos modelos conducen exactamente al mismo conjunto de ecuaciones del telegrafista, a partir de las cuales se obtendrán todos los resultados posteriores. Por consiguiente, sólo se examinará el modelo descrito en la figura 2-6(c) en el presente tratamiento. El modelo consiste en dos series de elementos, R' y L' y dos elementos en derivación, G' y C'. Con el fin de dar una explicación física del modelo de elementos concentrados, consideremos una pequeña sección de una línea coaxial, corno la que se observa en la figura 2-7. La línea consiste en un conductor interno de radio a separado de un cilindro conductor externo de radio b por un material con permisividad , permeabilidad y conductividad . Los dos conductores metálicos están hechos de un material con conductividad C y permeabilidad C. Cuando se conecta una fuente de voltaje entre los dos conductores en el extremo emisor de la línea fluirán corrientes a través de los conductores, 7 principalmente a lo largo de la superficie externa del conductor interno y la superficie interna del conductor externo. La resistencia de la línea R' da cuenta de la resistencia combinada por unidad de longitud de los conductores interno y externo. La expresión para R' se obtiene con la ecuación: R´ RS 1 1 2 a b ( / m) donde RS representa la resistencia superficial de los conductores y se conoce como resistencia intrínseca y está dada por la ecuación: RS f C C ( ) La resistencia intrínseca depende no sólo de las propiedades del material de los conductores ( c y c )' sino también de la frecuencia! de la onda que viaja por la línea. Para un conductor perfecto con C o un material de alta conductividad de manera que f C C 1, Rs tiende a cero, al igual que R'. A continuación, se examina la inductancia por unidad de longitud L'. La aplicación de la ley de Ampere a la definición de inductancia conduce a la siguiente expresión para la inductancia por unidad de longitud de una línea coaxial: L' b ln 2 a ( H / m) La conductancia en derivación por unidad de longitud G' explica el flujo de corriente entre los conductores externo e interno, que es posible gracias a la conductividad del material del aislante. Precisamente porque el flujo de corriente es de un conductor al otro que G' es un elemento en derivación en el modelo de elementos concentrados. Su expresión está dada por la ecuación G' 2 ln(b / a) S / m 8 Si el material que separa los conductores interno y externo es un dieléctrico perfecto con = 0, entonces G' =0. El parámetro en el último renglón de la lista es la capacitancia por unidad de longitud C'. Cuando se colocan cargas iguales y opuestas en dos conductores cualesquiera que no están en contacto, se inducirá una diferencia de voltaje entre ellos. La capacitancia se define como la razón entre la carga y la diferencia de voltaje. Para la línea coaxial, C' está dada por la ecuación 2 C' ( F / m) ln(b / a) Todas las líneas de transmisión TEM comparten las siguientes relaciones útiles: G' L ' C ' C' Si el medio aislante entre los conductores es aire, la línea de transmisión se llama línea aérea (por ejemplo, línea aérea coaxial o línea aérea de dos conductores). Para una línea aérea, = = 8.854 x 10-12 F/m, x 10-7 H/m , = 0 y G’=0 PEGUNTAS DE REPASO 1 ¿ Qué es una línea de transmisión? ¿Cuándo se deberán considerar los efectos de la línea de transmisión? 2 ¿Cuál es la diferencia entre líneas de transmisión dispersoras y no dispersoras? ¿Cuál es su importancia práctica? 3 ¿Qué constituye una línea de transmisión TEM? 4 ¿Para qué sirve un modelo de circuito de elementos concentrados? ¿Cómo están relacionados los parámetros de línea R' , L', G' y C' con las propiedades físicas y electromagnéticas constitutivas de la línea de transmisión? Ejercicio 1 Utilice la tabla 2-1 para calcular los parámetros de línea de una línea aérea de dos conductores que están separados por una distancia de 2 cm; cada uno mide 1 mm de radio. Los alambres se consideran conductores perfectos con C Respuesta: R' =0 , L' = 1,20 , G' =0, C' = 9,29 (pF/m). Ejercicio2 Calcule los parámetros de línea de transmisión a 1 MHz para una línea aérea coaxial rígida; el diámetro del conductor interno es de 0,6 cm y el diámetro del conductor externo, de 1,2 cm. Los conductores son de cobre. Permisividad relativa del cobre r 1, Conductividad del cobre =5,8x107S/m Respuesta: R' = 2.08 x10-2 (m), L' = 0,14 (m), G' = O, C' = 80,.3 (pF/m). 9 4.-Ecuaciones de línea de transmisión Consideremos un circuito equivalente de longitud x, como el de la figura Aplicando Kircchoff a la malla exterior: i ( z , t ) v( z z , t ) 0 z i ( z , t ) v( z , t ) R ' z.i ( z , t ) L ' z. t dividiendo por Δz ambos miembros y pasando allìmite z 0,se tiene v( z , t ) R ' z.i ( z , t ) L ' z. v( z , t ) i ( z , t ) R ' i( z, t ) L ' (2a ) z t Deigual modo en el nudo N+1 i ( z , t ) i ( z z , t ) i ( z , t ) 0 i ( z , t ) i ( z z , t ) i ( z , t ) v( z , t ) donde i ( z , t ) G ' z.v( z z , t ) C ' z. t analogamentedividiendo por Δz ambos miembros y pasando allìmite z 0,se tiene i ( z, t ) v( z , t ) G ' v( z , t ) C ' (2b) z t Las ecuaciones diferenciales (2a) y (2b) son las ecuaciones de línea de transmisión, llamadas también del telegrafista. Como todas las señales que se transmiten generalmente son periódicas, de forma sinusoidal, a dichas ecuaciones se las puede expresar en forma fasorial, lo que permite resolverlas con más facilidad. El análisis fasorial es una herramienta matemática útil para resolver problemas que implican sistemas en los cuales la excitación, también llamada función forzadora (inhomogeneidad) es una función de tiempo periódica. El uso de la notación fasorial para representar variables dependientes del tiempo permite convertir una ecuación integro-diferencial en una ecuación lineal sin funciones sinusoidales, con lo cual se simplifica el método de solución. En la ecuación (2a) el objetivo es obtener la expresión para i(x,t) y en la (2b) obtener v(x,t). Esto se podría hacer resolviendo las ecuaciones diferenciales en el dominio del tiempo, lo cual es tedioso porque la función forzadora es una sinusoide. De forma alternativa aprovecharemos la forma fasorial para la (1), como sigue Paso1: adoptar una referencia coseno. Esto significa expresar la función forzadora como un coseno v( z, t ) Vz sen(t 0 ) v( z, t ) Vz cos(t 0 ) 2 10 Paso 2: expresar las variables dependientes del tiempo como fasores (Ver apendice Tabla 1-5) V ( z ) Vz e De igual manera I I ze j ( ) 2 con lo cual j ( ) 2 con lo cual v( z, t ) Re V ( z )e jt i ( z , t ) Re I ( z )e jt Paso 3: Reescribir la ecuación diferencial /integral en forma fasorial Re V ( z )e jt R 'Re I ( z )e jt L ' Re I ( z )e jt ( R ' j L ').I ( z )e jt (3a) z t Re I ( z )e jt G ' Re V ( z )e jt C '. Re V ( z )e jt (G ' jC ').V ( z )e jt (3b) z t Como los parámetros característicos son reales y la operación Re (..) es distributiva V ( z ) I ( z ) ( R ' j L ').I ( z ) (4a ) (G ' jC ').V ( z ) z z Estas son las ecuaciones de la línea de transmisión en forma fasorial (4b) 5.-Propagación de ondas en una línea de transmisión Las dos ecuaciones acopladas de primer orden (4a) y (4b) se combinan para dar dos ecuaciones de onda no acopladas de segundo orden, una para V(z) y otra para I(z). La ecuación de onda para V(z) se deriva diferenciando ambos lados de la ecuación (4a) con respecto de z lo que da 2V ( z ) I ( z ) ( R ' j L '). 2 z z Y sustituyendo I ( z ) por la (4b) z 2V ( z ) ( R ' j L ')(G ' jC ').V ( z ) z 2 2V ( z ) 2 .V ( z ) 0 (5a) z 2 con 2V ( z ) 2 .V ( z ) 2 z ó ( R ' j L ')(G ' jC '). (6) Analogamente se obtiene 2 I ( z) 2 .I ( z ) 0 (5b) 2 z Las ecuaciones (4a) y (5) son las ecuaciones de onda para V ( z) e I ( z) , respectivamente y es la constante de propagación compleja de la línea de transmisión. Como tal, consta de una parte real a, llamada constante de atenuación de la línea con unidades de Joule/m, y una parte imaginaria , llamada constante de fase de la línea con unidades de rad/m. Por lo tanto, j En la ecuación (6) se eligen los valores de la raíz cuadrada que den valores positivos para a y . Para líneas de transmisión pasivas, a es cero o positiva. La mayoría de las líneas de transmisión, consideradas, son del tipo pasivo. La región activa de un láser es un ejemplo de una línea de transmisión activa con a negativa. Las ecuaciones de onda representadas las (5a) y (5b) tienen soluciones de onda viajeras, una progresiva y otra regresiva con el sentido de propagación z. 11 V ( z ) V0e z V0e z en Volts (6a) I ( z ) I 0e z I 0e z y en Ampères (6b) Utilizando las relaciones de las (6a), (6b) , (4a) y (4b) se obtiene: V0 e z V0 e z (7) ( R ' j L ') La comparación de cada término permite concluir: I ( z) V0 V0 Z 0 I 0 I 0 Z 0 donde R ' j L ' R ' j L ' G ' jC ' (8) se define como la impedancia característica de la línea. Hay que hacer notar que Zo es igual a la razón entre la amplitud de voltaje y la amplitud de corriente para cada una de las ondas viajeras individualmente (añadiendo un signo menos en el caso de la onda que se propaga en la dirección -z), pero no es igual a la razón entre el voltaje total V(z) y la corriente total I(z), a menos que una de las dos ondas esté ausente. En función de Z0 la ecuación (7) se reescribe en la forma V0 z V0 z I ( z) e e (9) Z0 Z0 Casos particulares de impedancia característica Línea de dos conductores a Z0 D 276 log D (4) a log b a (5) log 2h a r Cable coaxial b a Z0 138 Z0 138 r Conductor sobre plano del terreno h a h r (6) Línea de microcinta W h Z0 12 377 r W h 2 (7) 6.- Líneas de trasmisión sin pérdidas De acuerdo con lo dicho precedentemente, una línea de transmisión se caracteriza por dos propiedades fundamentales, su constante de propagación y su impedancia característica Zo' ambas especificadas por la frecuencia angular y los parámetros R', L', G' Y C'. En muchas situaciones prácticas, la línea de transmisión se diseña para reducir al mínimo las pérdidas óhmicas seleccionando conductores con conductividades muy altas y materiales dieléctricos (que separan los conductores) con conductividades insignificantes. Por consiguiente, R' y G' asumen valores muy pequeños de tal forma que R'«L' y G'«C'. Estas condiciones de línea sin pérdidas permiten hacer R' = G' = O en la ecuación (7), la cual da entonces el resultado j j L ' C ' lo que significa : 0 Líneas sin pérdidas : L 'C ' (9) La aplicación de las condiciones de línea sin pérdidas a la ecuación (2.29) da la impedancia característica Z0 L' C' (10) Que ahora es un número real, obteniéndose de la (9) las siguientes relaciones para la longitud de onda y la velocidad de fase up 2 2 L 'C ' y up 1 L 'C ' Al utilizar la relación de la ecuación (1a), compartida por todas las líneas de transmisión TEM, las ecuaciones (9) y (10) se reescriben como donde y en rad/m (11a) up 1 en m/s (11b) lidad magnética y la permisividad eléctrica del material aislante que separa los conductores. Los materiales utilizados para este propósito, en general, se caracterizan por una permeabilidad donde x.7 H/m es la permeabilidad del espacio libre y la permisividad casi siempre se especifica en función de la permisividad relativa La tabla resume las fórmulas para el cálculo de los parámetros característicos de líneas de transmisión 13 Ejercicio 3: Para una línea de transmisión sin pérdidas,20,7cm a 1GHz, determine el valor de r del material aislante. c Rta u pT up f r f c f r 2 2 c 3x108 m / s r 2,1 r 9 1 2 f 1x10 s x 20,7 x10 m Apéndice: Fasores correspondientes a diversas funciones sinusoidales 14 7.- Líneas de transmisión con pérdidas Por conveniencia tomaremos la referencia de la coordenada espacial z elegida de manera que z=0 corresponda a la ubicación de la carga y z=-l corresponda al emisor, como se indica en la figura(2.9). 7.1.- Coeficiente de reflexión de voltaje ZL A partir de las ecuaciones 5ª y 5b y la relación 0 0 VL V( z 0) V V I L I ( z 0) y ZL V0 V0 V0 V0 Resolviendo para V0 se obtiene V0 VL I L se obtiene, evaluado ambos términos en z=0 V0 V0 Z0 Z0 resulta (14) Z L Z0 V0 Z L Zo (15) La razón de la amplitud entre la onda de voltaje reflejada y la amplitud de la onda de voltaje incidente en la carga se denomina coeficiente de reflexión de voltaje . Con la ecuación (15), esta definición da el resultado Z Z0 Z L / Z0 1 V0 = L Z L Z o Z L / Zo 1 V0 (16a) y en vista de la ecuación (7), la razón de las amplitudes de corriente es I 0 V0 (16b) I 0 V0 Se observa que está regido por un solo parámetro, la impedancia de carga ZL normalizada a la impedancia característica de la línea Z0. Como indica la ecuación (10), Zo de una línea sin pérdidas es un 15 número real. Sin embargo, ZL. es, en general, una cantidad compleja, como en el caso de un circuito RL en serie, por ejemplo, para el cual ZL R j L, Por consiguiente, en general, también es complejo: e jr (17) donde es la magnitud de y r es su ,anglo de fase. Observe que 1 Se dice que una carga está acoplada a la línea si ZL = Zo porque en ese caso no habrá reflexión por parte de la carga (=O y V0 0 ). Por otra parte, cuando la carga es un circuito abierto (ZL= ), . =1 y V0 V0 Y cuando está en cortocircuito (ZL=0), 1 y V0 V0 . 8.-Razón de onda estacionaria (ROE) También conocida por su acrónimo en inglés VSWR o también SWR Se llama razón de onda estacionaria a la razón entre el valor máximo y el valor mínimo (nodos) del voltaje de la onda estacionaria Vmáx 1 ROE Vmín 1 ROE mide la desproporción entre la carga y la línea de trasmisión Para una carga acoplada con 0 , se obtiene ROE 1 Para una carga acoplada con 1 , se obtiene ROE 8.1-Ejemplo: Una línea de trasmisión con Z0= 50 termina en una carga con ZL=(100+j50). Calcular el coeficiente de reflexión de voltaje y la razón de onda estacionaria ROE. Z l Z 0 100 j 50 50 50 j50 . Z l Z 0 100 j 50 50 150 j50 Expresado en forma polar ROE= 70, 7 e j 45º 0, 45 e j 26,6º j18,4º 158,1 e 1+ 1+0, 45 2, 6 1- 1-0, 45 8.2 ROE en Corriente contínua ¿Se puede hablar de ROE en continua?. Bueno, no es demasiado disparatado si ayuda a fijar el concepto, veamos Consideremos un generador con resistencia interna R. Sea 2V a su tensión interna (f.e.m.). CasoA: si no se conecta nada a sus bornes, tenemos una salida igual a 2V. 16 CasoB: con un cortocircuito, la tensión de salida es nula. CasoC: una carga de valor igual a la resistencia interna tendrá aplicada una tensión V. CasosD yE:con estas desadaptaciones se medirán tensiones de 4/3V y2/3V. Hasta aquí tenemos la forma lógica de considerar un circuito: si una resistencia tiene un determinado valor, se la dibuja en el circuito con ese valor y listo. Sin embargo, por razones que se comprenden al adentrarse en el estudio de las líneas de transmisión, resulta conveniente tratar a las cargas desadaptadas como resistencias adaptadas, pero con un generador agregado que haga que el conjunto simule a la carga desadaptada. O sea: Caso A’: el A se puede simular con una resistencia y una f.e.m. idénticos. No pasa corriente. Caso B’: ídem respecto del B, pero con la tensión invertida. Se comportará como un corto. Casos D’ y E’: con un poco de ecuaciones se llega a las f.e.m. indicadas. Bueno, aceptemos la frase "el generador produce una tensión INCIDENTE de valor V" porque esto es lo que se mide estando cargado correctamente. Con el mismo criterio, las cargas de A’, B’, D’ y E’, si fuesen generadores conectados a una carga R ubicada a su izquierda, producirían tensiones iguales a V, -V, 1/3V y -1/3V respectivamente, pero como están en la posición de cargas decimos que esas tensiones son REFLEJADAS. Con esto se quiso sacar el misterio de que haya energía que incide y energía que se refleja: un puente de ROE funciona como si efectivamente hubiese un generador en cada punta. * Al especificar una ROE es necesario aclarar con respecto a qué Z es esa ROE: un resistor de 50ohm presenta adaptación perfecta en un sistema de 50, pero representará una ROE de 1,5 en uno de 75. Un ábaco de Smith normalizado (con "1" en su centro) que no especifique la impedancia con respecto a la cual está normalizado, no tiene utilidad. *¿Por qué los electricistas no se preocupan por cosas como la impedancia característica, la longitud de onda, la ROE, etc.?. Porque las distancias involucradas, en 50Hz representan fracciones bastante menores que 1/4 de onda. Haría falta una línea de 1500km para que mida 1/4 de onda a 50Hz: si un extremo se conecta a una usina y el otro se deja abierto, la usina estará viendo un cortocircuito (la distancia verdadera será menor, debido a la velocidad de propagación real y a la cercanía del suelo). Otras comparaciones: - 10mm en 50MHz es como 10km en 50Hz - Una línea telefónica de 17km, con factor de propagación de 2/3, dejando un extremo abierto, en el otro se ve un cortocircuito a 3kHz. * Si hay un choke en paralelo con la salida de antena de un transmisor o receptor, es para proveer una descarga a tierra (chasis) para la estática que se va acumulando en la antena: no forma parte de la red de adaptación. * No es del todo correcto la frase "la máxima transferencia se da para Z de carga IGUAL a Z de generador". Cuando estamos en el caso genérico de impedancias complejas, la máxima transferencia exige que las impedancias de generador y carga sean CONJUGADAS entre sí. O sea, si el generador tiene 40 + j15ohm, deberá ver una carga de 40 – j15ohm. * Los conectores llamados "UHF" en realidad no son muy buenos para UHF. Un buen UHF tiene bajas ROE y atenuación hasta unos 200MHz. Para más arriba son recomendables los N. 17 * Si se necesita aplicar un alto nivel a la entrada de un reflectómetro, para poder tener un nivel suficiente en el detector, asegurarse de no estar sobrecargando el dispositivo que se está midiendo. * Si se posee transmisor y receptor por separado, conviene compartir el transmatch: si éste se ajustó para presentar 50ohm al transmisor, entonces prestará mismo servicio al receptor. * Cuanto menos dieléctrico tenga un coaxil, menor es la atenuación, especialmente en alta frecuencia. Por eso el dieléctrico de espuma (foam) es mejor que el compacto, y el aire es mejor aún que la espuma. Pero curiosamente lo que más hace bajar las pérdidas totales del cable no es la mejor calidad del dieléctrico. Cuanto más dieléctrico se reemplace por aire, la permitividad (constante dieléctrica) equivalente del conjunto disminuye, tendiendo a la del aire (=1). Esto hace subir la impedancia característica. La única forma de conservar su valor original sin variar las dimensiones exteriores del cable es haciendo más grueso el conductor central. Esto hace bajar bastante más las pérdidas y en todas las frecuencias, ya que disminuye su resistencia pelicular. * Un problema de los dieléctricos no compactos es la propagación de la humedad. Antiguamente existía el dieléctrico "Tubaire" con canales de aire en el sentido del cable: una pinchadura en un punto por el que entrase agua afectaba gran cantidad de cable al avanzar por los canales por capilaridad. En los de espuma el problema es algo menor. Los usados en CATV como el tipo MC2, son casi todo aire salvo delgados tabiques plásticos cada tanto para mantener centrado el conductor central: en éstos el agua queda confinada entre dos tabiques. * Una anécdota: los cables coaxiles, a igual tecnología de los materiales conductores y dieléctricos y a igual Z0, pierden menos cuanto mayor sean los diámetros. Ahora bien, ¿es posible simular un cable de baja pérdida conectando dos comunes en paralelo?. Si 100m de un cable pierden 10dB a cierta frecuencia, pongamos dos tramos de 100m uno al lado del otro, con un divisor por dos (splitter) sin pérdidas en una punta, y otro en la otra. ¿Cómo es que el conjunto sigue perdiendo 10dB?. * La Z0 de las líneas de transmisión, si éstas se componen de reactancias puras, se demuestra que es resistiva pura. Rara vez se especifica la tolerancia de Z0 de un coaxil, pero no sólo tiene tolerancia, sino que también es posible que la Z0 no sea constante a lo largo del rollo. Aunque los factores que intervienen en la ecuación de Z0 (el dieléctrico, y los diámetros de conductor interior y exterior) sean constantes, es posible que en el proceso de fabricación el conductor interior no esté exactamente en el centro, y que esta excentricidad varíe de un tramo a otro. Esto se debe a que el cable está todavía caliente cuando se lo va enrollando, y la tensión mecánica que recibe puede no ser constante. La consecuencia es que al barrer en frecuencia un tramo, aún si se pudiese elegir en forma fina las impedancias de terminación, es imposible evitar totalmente el ripple en la respuesta. Cómo saber si un cable está OK en cuanto a impedancia (por si el conductor central se ve muy descentrado, etc.): tomar una buena longitud de cable (que pierda por lo menos 3 ó 6dB), cargarlo en una punta en su Z0, y medir la ROE en la banda de interés. A esto se le llama pérdida de retorno estructural. * Desde que las PC tienen procesadores con velocidades que superan el centenar de MHz, el diseño de las plaquetas comienza a necesitar de expertos en RF: las pistas entre micro, RAM y periféricos PCI ó AGP se tienen que estudiar como líneas de transmisión, cuidando su Z0 y tiempo de propagación. 18 9 19 9.1 Coeficiente de reflexión de una carga RC en serie Consideremos el siguiente ejemplo: Una línea de transmisión de 100 está conectada a una carga compuesta de un resistor de 50 en serie con un capacitor de 10 pF. Determinemos el coeficiente de reflexión en la carga para una señal de 100MHz Línea de transmisión A Z0=100 A’ Solución: Las siguientes cantidades se dan en el circuito equivalente de la línea RL = 50 , Zo = 100 , CL = 10 pF = 10-11 F, f = 100 MHz = 108 Hz. La impedancia de carga es 1 72,6º j 1 0,5 ZL=ZRL L/ Z –0j/C = 50j1,59 1 L 0,5 j1,59 1,5067e jj 159 8 0, 76e j119,3º , pasando Γa valor positivo 2 x10 / sx1011 F j 46,7º Z / Z 1 0,5 j 1,59 1 1,5 j 1,59 2,19 e o Según Lla ecuación 16a, resulta: 0, 76e j (119,3º 180º) 0, 76e j 60,7º 0, 76 60, 7º r 60, 7º 9, 76 10.- Potencia trasportada por la onda en una línea de trasmisión Potencia instantánea trasportada por la onda incidente Pi (t ) vi (t )ii (t ) T Potencia promedio i Pprom 1 Pi (t )dt T 0 2 V0 2 2Z 0 Potencia instantánea trasportada por la onda reflejada Pr (t ) vr (t )ir (t ) T Potencia promedio r Pprom 1 Pr (t )dt T 0 2 i Pprom Potencia neta promedio suministrada a la carga: Pprom V0 2 1 2Z 0 22 11.Adaptadores de impedancia Un adaptador de impedancia es un dispositivo que se coloca entre la línea de trasmisión y la carga para minimizar la reflexión de energía. Lo ideal sería que Z0 sea igual a ZL. Como esto normalmente no sucede, se utilizan adaptadores de impedancia de manera que la impedancia del conjunto adaptador-carga tenga una impedancia igual a la de la línea de trasmisión. El cálculo generalmente es tedioso, por lo que resulta mucho más práctico el uso de la carta de Smith. Los adaptadores mas comunes son el balun (Balanced-unbalanced lines transformer) y el transformador de cuarto de onda 20 11.1-Uso de la carta de Smith para el cálculo de adaptadores de impedancia a) Elementos de la carta de Smith: Los elementos de la carta están normalizados Z Para la impedancia de carga zL L Z0 -Eje horizontal R normalizada desde (extremo derecho) hasta 0(extremo izquierdo) y sus correspondientes arcos para ambos lados . -Parte superior con curvas reactancias inductivas (+) o susceptancias capacitivas (+) -Parte inferior con curvas reactancias capacitivas (-) o susceptancias inductivas (-) -Circunferencia exterior mide distancias en longitudes de onda desde la carga hacia el generador. -Penúltima circunferencia exterior mide distancias en longitudes de onda desde el generador hacia la carga. ( La circunferencia corresponde a media longitud de onda (0,5)) -Antepenúltima circunferencia idem anteriores expresado en grados sexagesimales el coeficiente de reflexión - Haciendo una rotación de /º4 se pasa de impedancia a admitancia y viceversa. b) Ejemplos de uso: b1) Acoplamiento de una rama en cortocircuito: Se conecta una línea de transmisión de Z0=50 a una antena con impedancia ZL=(25-j50)Determinar d1 mediante el uso de la carta de Smith la posición y la longitud de la rama en cortocircuito requerida para igualar la línea. Línea Z0 ;Y0 Y L ZL Ycc d2 Cortocircuito Solución: Z L 25 j50 0,5 j1 Z0 50 2º) Se localiza el punto A en el diagrama (zL) 3º) Se traza la circunferencia con centro en Rn= 1 y que contenga el punto A 4º) Se traza un segmento de recta que contenga la diagonal de la circunferencia y a A . En el punto de corte encontramos el punto B, con lo que pasamos de impedancias a admitancias. (Los círculos rL se trasforman en círculos gL y los jxL en jbL) yL 0, 4 j0,8 5º) Nos desplazamos por la misma circunferencia hasta encontrar la admitancia normalizada en la circunferencia r0=1, donde marcamos el puto C. 1º) normalización de la carga zL 21 6º) Se traza un segmento que contenga el centro de la circunferencia y el punto C. Las prolongaciones cortan los arcos medidos desde las respectivas impedancias hacia el generador , 0,115y 0,178 La diferencia nos da la longitud d1=0,063 donde debemos hacer el cortocircuito. En C la admitancia es gd1= 1+j1,58 Ahora debe cumplirse que y0 ycc yd1 (Conexión en paralelo) ycc =y0 yd1 (1 j0) (1 j1,58) j1,58 7º) La admitancia normalizada de un cortocircuito es j y està en E. Buscamos el arco entre E, (y = j ), y F ,(-j1,58). Nos da: (0,34= Resolución con diagrama ej. b1 22 b2)Acoplamiento de un transformador /4 Una línea de transmisión de 100 se termina en una impedancia de carga ZL=(200-j100) . Encontrar: a) la distancia d1desde la carga al transformador. b) la impedancia del trasformador /4. c) el ROE en la línea d1. d) el ROE en el transformador d1 /4 ZL (200 j100) Z0 100 B C A Solución : La función de la línea d1 es convertir a ZL a una resistencia pura en B. La función de la línea /4 es convertir a ésta resistencia esta resistencia a 100 para tener un buen acoplamiento. 1º) Convertir ZLa ua impedancia normalizada z L norm 200 j100 2 j1 100 2º) Entrar a la carta de Smith en 2-j1 (punto A) 3º) Dibujar la circunferencia de ROE que pase por el punto A. (ROE=2,6) (Respuesta c) 4º) Alejarse de la carga (en sentido horario) hasta el punto B en el eje R (Rnor=0,38+j0) Multiplicando Rnor por la resistencia de la línea(Z0=100, se obtiene ZB=(38+j0). Para convertir esto a 100 (impedancia de la línea), la impedancia del transformador /4 deberá ser igual a la media geométrica , o a la raíz cuadrada del producto ZB y Z0 conforme con la fórmula Z / 4 Z B Z0 38 100 61,1 (Respuesta b) ZB 38 0, 62 . Con este valor se entra Z / 4 61, 6 en el gráfico y se obtiene el punto C .Se traza la circunferencia que pasa por C (ROE=1,62) ( respuesta d) 5º) Normalizar ZB a la impedancia de la línea /4: zB ,n 6º) Para convertir esta resistencia normalizada (1,62) a su valor en Ohms se lo multiplica por Z(/4) y se obtiene ZC 1,62 61,6 100 j0 7º) La longitud de la línea d1 se lee en la circunferencia exterior d1=0,214 ( respuesta a) /4 Z0 100 d1=0,214 Z0 100 Z( / 4) ROE=1 C ROE=1,62 B 23 ROE=2,6 ZL (200 j100) A 12.- Ejercicios complementarios 12.1.- Una onda electromagnética se propaga en la dirección z en u medio con pérdida con constante de atenuación =0,5Np/m Si la amplitud de la onda electromagnética es de 100V/m en z=0. ¿Cuál es la distancia recorrida por la onda antes de que su amplitud se reduzca a 10V/m? V0e-z = Vz e-z = Vz / V0 ln0,1= 0,5z ln Vz / V0 = -z z= ln0,1/ 0,5= -2,3/0,5 =4,6m 12.2.- Un circuito serie RL se conecta a una fuente de tensión vs(t)=150Vcost , para R=400L=3mH, rad/s. Determinar: a) el fasor de corriente I b) La intensidad de la corriente instantánea i(t) a) b) I Vs 150 150 0,3 36,9º 0,3 0, 644rad 5 3 R jwL 400 j10 3 10 400 j 300 5t i(t ) Re Ie jt Re 0,3e j 36,9º e j10 0,3cos(105 t 0, 644) 24 12.3.- Una línea de dos conductores tiene los siguientes parámetros: R’=0,404mW/m, L’=2,0mH/m, G’=0, y C’= 5,56pF/m. Para ser operada a una frecuencia de 5kHz,determinar: a) Constante de atenuación b) Constante de fase c) Velocidad de fase up d) Impedancia característica Z0 De (a) 12.4.- El fasor de voltaje está dado por V j5 V Encontrar v(t ) : Solución: 25 12.5.- Usando la tabla 2-1 obtener los parámetros de una línea aérea de dos cables conductores Los que están separados por una distancia de 2cm, y cada uno de un radio de 1mm Considerar al cable como un conductor perfecto con C . Solución: como se trata de dos cable aéreos, el medio que los separa es aire, y 12.6.-Calcular los parámetros de línea para una frecuencia de 1Mhz de una línea aérea formada por un cable coaxial cuyo diámetro del conductor interior es de 0,6cm y el exterior de 1,2 cm. Los conductores son de cobre donde c y c= 5,8x107S/m .Como se trata de una línea coaxial aérea, el medio entre conductores puede tomarse como =0 Solución: 26 12.7.-Una línea de trasmisión con impedancia característica Z0=50tiene su terminal conectado a una carga con impedancia ZL=(30-j20)Calcular el coeficiente de reflexión de voltaje para dicha carga. Solución 12.8.-El sustrato de una microcinta tiene un espesor 0,4mm y constante dieléctrica relativa r=2,25. Despreciando los efectos de borde, determinar: a) El ancho w requerido para que la tira tenga una impedancia característica Z0=50 b) Los parámetros L' y C' de la línea c) La velocidad de fase up. Solución: a) De la tabla 2.2: b) De la tabla 2.1: c) De la tabla 2.2: Z0 120 d w r 377d w r w 377d Z0 r 377 0, 4 103 50 2, 25 2 103 m 2mm 4 107 0, 4 2,51 107 H / m w 2 w r 0 w 2, 25 8,85 1012 2 C' 99,5 1012 F / m 99,5 pF / m w w 0, 4 L' up d c r 3 108 2, 25 3 108 2 108 m / s 1,5 12.9.- La razón de onda estacionaria en una línea de trasmisión sin pérdidas de 50 terminada en una impedancia de carga desconocida es S=3. La distancia entre dos mínimos consecutivos de voltaje es 20cm y el primer mínimo se encuentra a 5cm de la carga. Determinar: a) Coeficiente de reflexión bImpedancia de carge ZL Solución : a) =2x0,2m=0,4m 27 12.10 Una línea sin pérdidas de impedancia característica Z0=140tiene una carga de impedancia ZL=(280+j182)Sicm Hallar: a) El coeficiente de reflexión () b) La razón de onda estacionaria (ROE) c) Localización de los voltajes de máxima. d) Localización de los voltajes de mínima 28 12.11.- Repetir el cálculo del ejercicio 12.5 con diagrama de Smith Normalizamos la impedancia de la carga z L 30 j 20 0, 6 j 0, 4 50 O O A -27,5º 29 12.12.- Mediante el uso de la carta de Smith hallar la impedancia normalizada correspodiente a un coeficiente de reflección 0,560º 12.8 8 12.10 12.8 30