matematicas 1º eso primer ciclo

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Figuras
planas
Matemáticas 1º ESO
208
1.
Instrumentos geométricos
2.
Ángulos y tiempo
3.
Triángulos
4.
Cuadriláteros
5.
Polígonos
6.
Circunferencia
Figuras planas
1. Instrumentos geométricos
 REGLA Y ESCUADRA
Para trazar rectas se usa la regla. ¿Cómo puedes detectar si la regla tiene algún
defecto?.
Las escuadras sirven para conseguir ángulos rectos. ¿Cómo puedes comprobar si la
escuadra tiene algún defecto?.
a) Comprueba si tu regla es correcta mediante el procedimiento descrito anteriormente. Comprueba
también si tu escuadra es o no correcta.
La regla y la escuadra sirven para conseguir rectas paralelas.
Recta que pasa por un punto y es paralela a otra.
Recta que pasa por un punto y es perpendicular a otra.
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Matemáticas 1º ESO
b) Dibuja en tu cuaderno una recta r y un punto P exterior a ella. ¿Cuántas rectas paralelas a r que
pasen por P puedes trazar?. Trázala con regla y escuadra.
c) Dibuja en una hoja de papel una recta, r, y varios puntos A, B, C, D. Traza, con regla y escuadra,
por cada punto, una recta paralela a r.
d) Traza en la misma hoja las perpendiculares desde los puntos A, B, C, D a la recta r.
e) Traza con la escuadra dos rectas perpendiculares r y t. A continuación dibuja una recta u
perpendicular a la recta r y otra recta v perpendicular a la recta t. ¿Cómo son las rectas u y v que
has trazado?.
f) Haz una cuadrícula. Para ello, toma un trozo de papel, traza dos rectas perpendiculares y señala
en cada una de ellas puntos a 1 cm de distancia. Después, usando regla y escuadra, traza por
cada punto una paralela a la otra recta.
 PLEGANDO PAPEL
Para dibujar una recta no es necesario usar la regla. Puedes utilizar una hoja de papel
doblada.
Para dibujar ángulos rectos no es necesario usar la escuadra. Puedes utilizar una hoja de
papel doblemente plegada.
Observa como se obtiene por plegado la recta que une un vértice de un triángulo con el
punto medio del lado opuesto.
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Figuras planas
a) Recorta un triángulo. Obtén, mediante pliegues, los puntos medios de dos lados. Traza, plegando,
el segmento que une esos dos puntos.
Observa como se obtiene plegando papel la recta que pasa por un punto y es
perpendicular a otra.
b) Recorta un triángulo. Mediante plegado, traza la perpendicular desde un vértice al lado opuesto.
c) Recorta un triángulo. Mediante plegado, traza la recta perpendicular a uno de los lados por su
punto medio.
 PARALELAS Y PERPENDICULARES
Responde razonadamente las siguientes cuestiones:
a) Si una recta es paralela a otra y ésta lo es a una tercera, ¿cómo son entre sí la primera y la
tercera?.
b) Si una recta es paralela a otra y ésta es perpendicular a una tercera, ¿cómo son la primera y la
tercera entre sí?.
c) Si una recta es perpendicular a otra y ésta es paralela a una tercera, ¿cómo son la primera y la
tercera?.
d) Si una recta es perpendicular a otra y ésta lo es a una tercera, ¿cómo son la primera y la tercera?.
e) Observa las siguientes figuras:
¿Son paralelas las dos líneas verticales de cada una de las figuras?.
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Matemáticas 1º ESO
 REGLA Y COMPÁS
El compás sirve para trazar circunferencias. Pero también sirve para otras cosas:
Construcción de un segmento igual que otro dado.
Se ajusta la abertura del compás a la longitud del segmento. Con esa abertura se
lleva el segmento a partir del punto A’ en la dirección deseada.
Construcción de un ángulo igual que otro dado.
Con centro en O se traza un arco que corta a los lados del ángulo en A y en B. Con
centro en O’, y con el mismo radio, se construye otro arco de mayor longitud que el
anterior.
Se mide con el compás la distancia AB. Con esa misma distancia se traza, desde A’ el
punto B’. Se cumple que
A’O’B’ = AOB
a) Construye una línea poligonal similar a la que ves aquí, transportando a tu cuaderno estos
segmentos y ángulos:
212
Figuras planas
b) Dibuja en tu cuaderno un itinerario como éste
con las siguientes medidas:
AB=6 cm; BC= 3 cm; CD= 4 cm; DE= 4 cm.
Recta paralela a otra recta desde un punto.
Traza un arco con centro en P. Llama Q al
punto de corte con la recta r.
PQ = QR
PQ = QR = RS
La recta PS es paralela a r, ya que PQRS es un
rombo, por tener los cuatro lados iguales.
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Matemáticas 1º ESO
c) Observa la siguiente construcción:
La recta PN es paralela a r. Justifícalo. Dibuja una recta r y un punto exterior P y traza la recta paralela
a r que pasa por P mediante la construcción anterior.
Circunferencia tangente a una recta dando su centro.
Dada la recta r y el centro O de la circunferencia, trazamos la recta perpendicular OP
desde O a r y trazamos la circunferencia de centro O y radio OP.
d) Traza dos rectas paralelas. Dibuja una circunferencia tangente a ambas.
e) Dibuja dos circunferencias de radio 4 cm con centros en los puntos A y B. A continuación dibuja
una circunferencia tangente a las dos, cuyo centro esté alineado con los puntos A y B. (Ver figura).
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Figuras planas
 CURVAS
a) Dibuja una figura similar a la siguiente con las dimensiones que se indican:
b) Haz una espiral sobre papel cuadriculado.
Traza las cuatro semirrectas a, b, c, d. Con centro en 1, haz un arco de radio 1 entre a y b. Con centro
en 2, haz un arco de radio 2 entre b y c. Y así sucesivamente ve tomando como centro 3, 4, 1, 2, 3, 4,
... y ve aumentando una unidad cada vez el radio de los sucesivos arcos de circunferencia.
 CENEFAS
Esta es una cenefa. Para construirla necesitas la regla y el compás.
Explica el algoritmo adecuado para realizar el dibujo. Procura no dibujar elementos que sobren.
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Matemáticas 1º ESO
Un algoritmo es un procedimiento paso a paso que permite realizar una
determinada tarea.
Aquí tienes más cenefas. Utilizando una regla y un cartabón te pedimos que las dibujes. Explica lo que
puedes hacer para realizar el dibujo lo más fácilmente posible y para que otra persona pueda hacerlo
siguiendo tus indicaciones.
NOTA.- Las líneas de trazos no forman parte de la cenefa. Se han dibujado para ayudarte.
2. Ángulos y tiempo
 ÁNGULOS
Observa las siguientes figuras:
Los ángulos menores de un llano se llaman convexos, los mayores cóncavos.
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Figuras planas
Dos ángulos son complementarios si suman un ángulo recto.
Dos ángulos son suplementarios si su suma es un ángulo llano.
Dos ángulos son consecutivos si tienen el mismo vértice y un lado común.
Dos ángulos son adyacentes si son consecutivos y suplementarios.
Dos ángulos son opuestos por el vértice si tienen el vértice común y los lados de uno
son las prolongaciones de los lados del otro. Los ángulos opuestos por el vértice son
iguales.
a) Cada uno de los ángulos que siguen puede designarse por una o más de las siguientes
expresiones: agudo, recto, obtuso, llano, cóncavo, convexo. Dibújalos en tu cuaderno, asóciales
las expresiones que les correspondan y mídelos con ayuda del transportador.
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Matemáticas 1º ESO
b) En la siguiente figura señala un par de ángulos consecutivos y un par de ángulos adyacentes.
c) Contesta verdadero o falso según corresponda:
1) Dos ángulos adyacentes son siempre consecutivos.
2) Dos ángulos consecutivos son siempre adyacentes.
3) Dos ángulos adyacentes son siempre suplementarios.
4) Dos ángulos suplementarios son siempre adyacentes.
d) Observa la siguiente figura y escribe:
1) Los pares de ángulos que son opuestos por el vértice.
2) Los pares de ángulos que son adyacentes.
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Figuras planas
 IGUALDAD DE ÁNGULOS
Ángulos de lados paralelos.
En las siguientes figuras los ángulos tienen sus lados paralelos o coincidentes.
Observa que dos ángulos convexos cuyos lados sean paralelos o son iguales o
son suplementarios.
a) Dibuja un ángulo de 30º. Dibuja otros dos ángulos con los lados paralelos a los del anterior, uno
que sea igual y otro que sea suplementario.
Ángulos de lados perpendiculares.
Observa las siguientes figuras:
Dos ángulos convexos cuyos lados sean perpendiculares entre sí o son iguales o
son suplementarios.
b) Dibuja un ángulo de 120º. Dibuja otros dos ángulos con los lados perpendiculares al anterior, uno
que sea igual a él y el otro suplementario.
c) En cada una de las siguientes figuras, ¿cómo son los lados de los ángulos A y B?. ¿Qué clase
de ángulos son A y B?. ¿Cómo son los ángulos A y B?.
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Matemáticas 1º ESO
Ángulos formados al cortar dos rectas paralelas por una secante.
Observa en la figura que se forman ocho ángulos, cumpliéndose:
1=2 (opuestos por el vértice)
Por lo mismo: 2=4, 5=7, 6=8.
Ángulos correspondientes.
1=5. Son correspondientes (están el la misma posición respecto a las rectas r1 y r2).
También son correspondientes los ángulos
2=6,
3=7,
4=8.
Ángulos alternos externos.
1=7. Son alternos externos ya que están a distintos lados de la recta s (alternos) y en
la zona exterior de las dos paralelas (externos).
También son alternos externos los ángulos 4=6.
Ángulos alternos internos.
3=5. Son alternos internos ya que están a distintos lados de la recta s (alternos) y en
la zona interior de las dos paralelas (internos).
También son alternos internos los ángulos 2=8.
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Figuras planas
Ángulos conjugados internos.
2 y 5. Son suplementarios. Lo mismo con 3 y 8.
Ángulos conjugados externos.
1 y 6. Son suplementarios. Lo mismo con 4 y 7.
d) De los ángulos de la figura dí dos que sean iguales por:
1) opuestos por el vértice;
2) correspondientes;
3)alternos internos;
4) alternos externos.
 CON EL COMPÁS
Con ayuda del compás efectúa las siguientes operaciones con ángulos:
a) A+B
b) B+C
c) B-A
d) B-C
e) 4. C
f) A+B+C
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Matemáticas 1º ESO
 MEDIDA DE ÁNGULOS
Un ángulo recto mide 90º. Un grado sexagesimal es el ángulo que resulta al dividir
un ángulo recto en 90 partes iguales. Un ángulo llano mide 180º. Un ángulo
completo (una circunferencia) tiene 360º.
Para medir ángulos se utiliza el transportador de ángulos o semicírculo graduado.
Observa la figura:
a) Utilizando lápiz, regla, escuadra y cartabón, dibuja los siguientes ángulos:
1) 60º
2) 30º
3) 45º
4) 150º
5) 75º
6) 15º
7) 120º
8) 210º
9)135º
10) 225º.
Comprueba el resultado utilizando el transportador de ángulos.
Un grado tiene 60 minutos. Es decir 1º=60’.
Un minuto tiene 60 segundos. Es decir 1’=60’’.
b) Expresa en segundos los siguientes ángulos:
1) 53º 45’ 13’’
2) 81º 37’
3) 26º 11’’.
c) Expresa en grados, minutos y segundos los siguientes ángulos: 1) 38220’’
2) 59233’’
3) 9123’’.
d) Expresa en segundos los siguientes ángulos: 1) 32º 34’ 15’’ 2) 15º 23’ 45’’
3) 45º 28’ 50’’
e) Expresa en grados, minutos y segundos los siguientes ángulos: 1) 24456’’
2) 13560’’ 3) 35690’’
 OPERACIONES CON ÁNGULOS
a) Halla el complementario del ángulo de 37º 11’ 47’’.
b) Halla el suplementario del ángulo de 108º 49’ 1’’.
c) Efectúa las siguientes operaciones:
1) 36º 51’’ + 2º 11’ 3’’ + 46’ 59’’
2) 37’ 11’’ x 13
3) 151º 6’ 17’’ / 7
 COMPLEMENTARIOS Y SUPLEMENTARIOS
a) Traza con el transportador los ángulos de 30º, 45º, 60º y 75º. Construye sus complementarios y da
sus medidas.
b) Traza con el transportador los ángulos de 120º, 135º, 150º y 165º. Construye sus suplementarios y
da sus medidas.
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Figuras planas
 DOS ÁNGULOS
Dados los ángulos A=25º 12’ 45’’ y B=18º 25’ 51’’, calcula:
a) A + B
b) A - B
e) El complementario de A
c) 5. A
d) B / 3
f) El suplementario de B.
 PARES DE ÁNGULOS
En la figura adjunta, el ángulo A mide 35º 40’ 32’’.
a) Calcula el valor del resto de los ángulos.
b) Escribe los pares de ángulos que se indican:
 Ángulos correspondientes.
* Ángulos conjugados internos
 Ángulos alternos internos.
* Ángulos conjugados externos
 Ángulos alternos externos.
 RELOJ
¿Qué ángulo forman las agujas del reloj a las 2 en punto?. ¿Y a las 5 en punto?. ¿Y a las 5 y cuarto?.
Ten en cuenta que, en este último caso, la aguja horaria ha recorrido la cuarta parte del arco que va
del 5 al 6.
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Matemáticas 1º ESO
 ANGULOS EN LOS POLÍGONOS
Recorta un triángulo y colorea cada ángulo de un color por las dos caras. Señala
los puntos medios de dos lados. Pliega el papel por la recta que une esos puntos
medios. Pliega los otros dos vértices. Como coinciden los tres vértices, la suma de
los tres ángulos es un ángulo llano.
Por un vértice del triángulo traza una paralela al lado opuesto. Los ángulos verdes
son iguales por alternos internos y lo mismo ocurre con los ángulos azules.
La suma de los tres ángulos de un triángulo es un ángulo llano, osea 180º.
Mediante una diagonal, el cuadrilátero queda dividido en dos triángulos, la suma
de los ángulos de cada uno es 180. Luego:
La suma de los ángulos de cualquier cuadrilátero es 360º
a) Si un ángulo de un rombo mide 39º, ¿cuánto miden los demás?.
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Figuras planas
b) Si B=107º, ¿cuánto mide el ángulo C en este trapecio rectángulo?.
c) ¿Cuánto miden los ángulos iguales de un cometa con esta forma?
d) ¿Cuánto suman los ángulos de un pentágono regular?. ¿Y de un hexágono regular?. ¿Y de un
octógono regular?.
e) Tres de los cuatro ángulos de un cuadrilátero miden: A=47º 11’ 15’’, B=96º 51’ 33’’, C=68º 3’’
Halla el cuarto ángulo.
 MEDIDA DEL TIEMPO
Un día tiene 24 horas, una hora 60 minutos y un minuto 60 segundos.
a) Expresa en segundos:
1) 5 horas y 25 minutos.
b) Expresa en segundos:
1) 2 h 32 m 45 s
2) 13 h y 45 m
2) 3 h 40 m 21 s
3) 10 h y 20 m.
3) 5 h 38 m 32s
c) Expresa en horas, minutos y segundos los siguientes tiempos:
1) 34567 s
2) 28900 s
3) 45800 s
d) Jaime trabajó por la mañana 3 horas y cuarto, y por la tarde, 2 horas y media. ¿Cuántos minutos
trabajó por la mañana más que por la tarde?.
e) Un barco estuvo parado durante 18770 segundos y otro barco estuvo parado durante 13348
segundos. ¿Cuántas horas completas estuvo parado el primer barco más que el segundo?.
225
Matemáticas 1º ESO
f) Una fotocopiadora estuvo funcionando 7 h 35 m 12 s el lunes; 5 h 30 m el martes y 8 h 15 m 40 s
el miércoles. ¿Cuánto tiempo estuvo funcionando en los tres días?. ¿Cuánto tiempo funcionó el
miércoles más que el lunes?.
g) Expresa en días, horas, minutos y segundos un tiempo de 123540 segundos.
h) Un grifo tarda 2 horas en llenar 7 cisternas. ¿Cuánto tarda en llenar un cisterna?.
i) Siete agricultores han de repartirse el agua que llega de una acequia, regando por turnos. ¿Cuánto
tiempo al día puede regar cada uno?.
 CALCULO MENTAL
1) Expresa en minutos las siguientes medidas de ángulos:
a) 2º
b) 5º
c) 10º
d) 20º
e) 30º
f) 40º
e) 420 m
f) 600 m
2) Expresa en horas las siguientes medidas de tiempo:
a) 120 m
b) 180 m
c) 240 m
d) 360 m
3) Calcula el ángulo complementario de cada uno de los siguientes ángulos:
a) 20º
b) 40º
c) 30º
d) 50º
e) 45º
f) 75º
4) Calcula el ángulo suplementario de cada uno de los siguientes ángulos:
a) 120º
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b) 130º
c) 140º
d) 160º
e) 135º
f) 165º
Figuras planas
3. Triángulos
 TRIANGULOS
Con palos de madera o cartón y engarzadores construye un triángulo, un cuadrilátero y un pentágono,
de forma que los vértices sean móviles.
Observa que el triángulo es indeformable, mientras que el cuadrilátero y el pentágono pueden
deformarse.
Observa qué ocurre si añades al cuadrilátero y al pentágono algunas diagonales.
El triángulo es una figura rígida e indeformable. Para que un polígono se haga
rígido hay que triangularlo.
 MÁS TRIÁNGULOS
a) Con el material apropiado (varillas, tiras de papel cuadriculado,...), haz todos los triángulos de base
25 que puedas. Fija alguna característica, por ejemplo tener los otros dos lados iguales, tener la
misma altura, etc. Clasifícalos en distintos tipos. ¿Cómo varían los ángulos al dar distintos valores
a los lados, manteniendo la base 25?.
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Matemáticas 1º ESO
b) Dibuja el triángulo de lados a, b y c:
c) Un triángulo es isósceles si tiene dos lados iguales. Dibuja algunos. Un poco más difícil: Dibuja un
triángulo isósceles con sus vértices en las tres rectas paralelas de la figura:
d) El triángulo de la figura tiene como perímetro 18. ¿Hay más triángulos de perímetro 18, cuyos
lados sean números enteros?. ¿Qué condiciones deben cumplir los lados para que formen un
triángulo?.
 CONSTRUCCIÓN DE TRIÁNGULOS
Conociendo los tres lados
Para que la construcción sea posible, el lado mayor debe medir menos que la suma
de los otros dos.
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Figuras planas
a) Construye un triángulo cuyos lados midan a=7 cm, b= 5 cm, c=8 cm. Mide sus ángulos con el
transportador.
b) Intenta construir un triángulo cuyos lados midan 10 cm, 5 cm y 3 cm. ¿Qué ocurre?.
Conociendo dos lados y el ángulo que forman
c) Construye un triángulo del que conocemos dos de sus lados: a=6 cm, b=3 cm, y el ángulo
comprendido entre ellos, C=110º. Una vez construido, mide sus restantes elementos: c, A y B.
Conociendo un lado y los dos ángulos contiguos
Para que la construcción sea posible, es necesario que la suma de los dos ángulos
dados sea menor que 180º.
d) Construye un triángulo con los siguientes datos: a=8 cm, B=70º, C=50º. Una vez construido
mide sus restantes elementos: b, c y A.
e) Intenta construir un triángulo con los siguientes datos: b=12 cm, A= 86º, C=120º. ¿Qué ocurre?.
 CONSTRUYE TRIÁNGULOS
a) Construye un triángulo ABC del que se conocen AB=7 cm, A=35º y B=95º.
b) ¿Por qué es imposible construir un triángulo cuyos lados midan 15’3 cm, 8’6 cm y 5’2 cm,
respectivamente?.
c) ¿Por qué no se puede construir un triángulo dos de cuyos ángulos midan 95º y 88º,
respectivamente?.
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Matemáticas 1º ESO
d) Dos de los lados de un triángulo miden 5 cm cada uno, y forman un ángulo de 90º. ¿Cuánto miden
los otros dos lados?.
e) Construye un triángulo ABC en el que se conocen el lado a=5 cm, el lado b=4 cm y el ángulo
C=20º
f) Construye un triángulo ABC en el que el lado a=5 cm, el ángulo B=60º y el ángulo C=20º.
g) ¿Puedes construir un triángulo con segmentos que miden 6cm, 3 cm y 10 cm?. ¿Y con segmentos
que miden 5 cm, 4 cm y 3 cm?.
 TIPOS DE TRIÁNGULOS
Clasificación según los lados
 Equiláteros  Tienen los tres lados iguales.
 Isósceles
 Tienen dos lados iguales.
 Escalenos
 Tienen los tres lados diferentes.
Clasificación según los ángulos
 Rectángulos
 Tienen un ángulo recto.
 Obtusángulos  Tienen un ángulo obtuso.
 Acutángulos
 Tienen los tres ángulos agudos.
a) Clasifica los siguientes triángulos:
b) Construye un triángulo isósceles en el que cada uno de sus dos lados iguales mide 6 cm y el
ángulo comprendido mide 30º.
c) En un triángulo rectángulo, uno der los ángulos agudos mide 43º 26’. ¿Cuánto mide el otro ángulo
agudo?.
d) Dibuja con regla y compás un triángulo equilátero de 5 cm de lado.
230
Figuras planas
e) Construye un triángulo sabiendo que sus lados miden 6 cm, 8 cm y 10 cm. ¿Qué clase de triángulo
es?
f) Dibuja un triángulo rectángulo isósceles MNP. ¿Cuáles son los lados iguales?. ¿Qué ángulos son
iguales?. ¿Cuánto mide cada uno de los ángulos agudos?.
 ISÓSCELES
De un triángulo isósceles sabemos que su perímetro es 23 cm y que uno de sus lados iguales mide 9
cm. ¿Cuánto medirá el lado desigual?.
 CUESTIONES SOBRE TRIÁNGULOS
a) ¿Puede un triángulo tener más de un ángulo recto?. ¿Y más de un ángulo obtuso?.
b) ¿Cómo son los ángulos que se oponen a los lados iguales de un triángulo isósceles?.
c) ¿Cómo son los tres ángulos de un triángulo equilátero y cuánto mide cada uno de ellos?.
d) ¿Es posible construir un triángulo rectángulo equilátero?.
e) En un triángulo rectángulo, ¿cuánto suman los dos ángulos agudos?. Si el triángulo rectángulo
fuera isósceles, ¿cuánto mediría cada ángulo agudo?.
f) ¿Es posible construir un triángulo con cualquier terna de segmentos?.
g) ¿Pueden ser los ángulos de un triángulo la mitad que los de otro?. ¿Y los lados?. Razona la
respuesta.
231
Matemáticas 1º ESO
 IGUALDAD DE TRIÁNGULOS
Dos triángulos son iguales si tienen sus tres lados iguales y sus tres ángulos
iguales. En la práctica se usan los siguientes criterios de igualdad:
1) Dos triángulos son iguales si tienen los tres lados respectivamente iguales.
2) Dos triángulos son iguales si tienen respectivamente iguales dos lados y el
ángulo comprendido.
3) Dos triángulos son iguales si tienen respectivamente iguales un lado y los dos
ángulos que están junto a él.
a) Dos triángulos isóceles tienen iguales el lado y el ángulo desigual. ¿Son iguales dichos triángulos?.
b) De un triángulo sabemos a=10 cm, B=37º y C=63º. De otro triángulo sabemos a=10cm, B=37º
y A=80º. ¿Son iguales dichos triángulos?.
 PARTICIONES
a) Parte un triángulo equilátero en a) dos trozos idénticos; b) tres trozos idénticos; c) cuatro trozos
idénticos.
b) ¿Cuántos triángulos como el pequeño necesitas para llenar el grande?.
c) Dibuja un triángulo cualquiera y busca la manera de partirlo en cuatro triángulos iguales.
d) Busca un método para, cortando y recomponiendo, transformar un rectángulo en un triángulo.
e) Divide esta figura en el mínimo número de triángulos iguales.
 PERIMETRO
Dibuja dos triángulos rectángulos iguales de catetos 6 cm y 8 cm. Recórtalos.
a) ¿Cuántos paralelogramos diferentes puedes construir uniendo ambos triángulos?.
b) Dibuja el de mayor perímetro.
c) Dibuja el de menor perímetro.
232
Figuras planas
 ÁNGULOS
a) Calcula la suma de los ángulos 1, 2, 3, 4, 5 y 6.
b) Calcula la medida de los ángulos A, B y C.
El ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los dos ángulos interiores
no adyacentes a él.
 BARICENTRO
Mediana de un triángulo es el segmento que une un vértice con el punto medio del
lado opuesto. Un triángulo tiene tres medianas que se cortan en un único punto,
llamado Baricentro.
a) Recorta un triángulo de cartulina y dibuja las tres medianas. Apoya el triángulo sobre la escuadra,
de modo que una mediana quede situada sobre el borde. Comprueba que se mantiene el
equilibrio. Repite la experiencia con las otras dos medianas.
b) Pincha el triángulo en su baricentro con la punta de un lápiz. Comprueba que también se mantiene
el equilibrio, de modo que puedes hacerlo girar. Repite la experiencia pinchando en cualquier otro
punto y verás como el triángulo se desequilibra.
233
Matemáticas 1º ESO
El baricentro es el único punto del triángulo sobre el que se mantiene el equilibrio.
Se dice que es el centro de gravedad del triángulo.
c) Dibuja un triángulo equilátero de 6 cm de lado. Traza sus medianas y halla su baricentro.
d) Construye con regla y compás un triángulo cuyos lados midan 6 cm, 8 cm y 12 cm. Dibuja sus
medianas y halla el baricentro.
e) Construye un triángulo ABC del que se conocen AB=4 cm, BC=7 cm, B= 110º. Halla su
baricentro.
 MEDIANAS
a) Construye un triángulo equilátero de lado 6 cm. Traza las tres medianas. Comprueba que el trozo
de mediana que va del baricentro al vértice, OA, es doble que el trozo que va del vértice al lado. Es
decir: OA=2.OA’
b) Construye un triángulo de lados 6 cm, 8 cm y 9 cm. Traza las medianas AA’, BB’, CC’. Comprueba
que OA=2.OA’, OB=2.OB’, OC=2.OC’.
c) Construye un triángulo cualquiera y comprueba que sus medianas también cumplen la propiedad
anterior.
d) El baricentro de un triángulo se encuentra a 6 cm de uno de sus vértices. ¿Cuál es la longitud de la
mediana correspondiente a dicho vértice?.
 ORTOCENTRO
Altura de un triángulo es un segmento que va, perpendicularmente, desde un
vértice al lado opuesto o a su prolongación.
Todo triángulo tiene tres alturas que se cortan en un punto llamado Ortocentro.
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Figuras planas
Si el triángulo es acutángulo, el ortocentro está en su interior.
Si el triángulo es rectángulo, los catetos son alturas y el ortocentro es el vértice del
ángulo recto.
Si el triángulo es obtusángulo, el ortocentro es un punto exterior.
a) Dibuja un triángulo de lados 8 cm, 10 cm y 12 cm. Observa que es acutángulo. Recórtalo. Pliégalo
para obtener una altura. Haz lo mismo para obtener las demás alturas y halla, de este modo, el
ortocentro.
b) Dibuja el triángulo de lados a=12 cm, b=8 cm y c= 6 cm. Observa que es obtusángulo. Traza sus
tres alturas. Prolóngalas y halla el ortocentro.
c) Representa el triángulo de lados 6 cm, 7 cm y 11 cm. Halla su ortocentro.
 MEDIANAS Y ALTURAS
a) ¿Cómo ha de ser un triángulo para que una de sus medianas coincida con una altura?.
b) ¿Y para que las tres medianas coincidan con las tres alturas?.
c) Las tres alturas de un triángulo se cortan en un vértice. ¿Qué puedes decir del triángulo?.
235
Matemáticas 1º ESO
 TRIANGULOS EN UN GEOPLANO
¿Cuántos triángulos distintos pueden hacerse en un geoplano 3 x 3, con sus vértices en los clavos?.
¿Cuántos en un geoplano 4 x 4?. Clasifícalos de distintas maneras.
4. Cuadriláteros
 CUADRILÁTEROS
Con el material que tienes a tu disposición (palillos, tiras de papel cuadriculado, ...) haz cuadriláteros.
Con los mismos lados se pueden hacer infinidad de cuadriláteros distintos, moviéndolos o
colocándolos en otro orden. ¿Cómo puedes conseguir que un cuadrilátero no se deforme?.
También puedes elegir todos los lados desiguales, dos iguales, etc. Clasifica los cuadriláteros que has
construido, de acuerdo con algún criterio.
 TIPOS DE CUADRILÁTEROS
236
Figuras planas
a) Clasifica los siguientes cuadriláteros, indicando de qué tipo son.
b) Si dibujas dos segmentos perpendiculares en sus puntos medios y unes sus extremos, obtienes un
cuadrilátero. ¿De qué tipo es?. Constrúyelo 1) para dos segmentos de la misma longitud; 2) para
dos segmentos de distinta longitud.
c) Dibuja dos segmentos que se corten en sus puntos medios y no sean perpendiculares. Une sus
extremos y dí que tipo de cuadrilátero se obtiene: 1) si los dos segmentos son iguales; 2) si los dos
segmentos son distintos.
 CUADRADOS
¿Cuántos cuadrados puedes ver en esta trama 4 x 4 ?. ¡Cuidado!. Hay más de lo que parece a
primera vista.
 TANGRAM
Fabrícate un tangram de cartulina como el que sigue, recortando sus siete piezas.
Usando todas o algunas de estas piezas, puedes construir varios cuadrados. Haz tantos como puedas
y dibújalos.
237
Matemáticas 1º ESO
 CONSTRUYE CUADRADOS
a) Explica como se ha construido este cuadrado:
b) Construye un cuadrado sabiendo que su diagonal mide 6 cm.
 JARRÓN
Divide esta figura de modo que puedas formar con todos los trozos un cuadrado.
 RECTÁNGULO Y CUADRADO
a) Dibuja un rectángulo de lados 4 cm y 6 cm. Dibuja sus diagonales. Comprueba con la ayuda de un
compás que las diagonales se cortan el su punto medio. ¿Qué otras propiedades tiene un
rectángulo?.
b) Dibuja un cuadrado. Comprueba que cumple todas las propiedades de un rectángulo. ¿Qué
propiedades tiene el cuadrado que no tenga el rectángulo?.
 ¿CUÁNTOS RECTÁNGULOS?
a) Sobre esta cuadrícula se pueden señalar muchos tipos de rectángulos no cuadrados. Aquí se ven
los tipos 2 x 1, 3 x 1 y 3 x 2, pero hay muchos más. Descríbelos.
b) Además de los 10 tipos de rectángulos encontrados en el apartado anterior, hay otros tres cuyos
vértices se apoyan en esta trama. ¿Cuáles son?.
238
Figuras planas
 PARCELAS
Un labrador quiere dividir un campo rectangular de 80 m por 60 m en ocho parcelas triangulares
iguales, pero no sabe cómo hacerlo. Su nieto, que resulta ser un muchacho muy inteligente, le dice
que una manera de hacerlo es uniendo los puntos medios de los lados opuestos y trazando a
continuación las diagonales de los rectángulos obtenidos. Dibuja un rectángulo y comprueba que es
correcto el consejo del muchacho. Calcula el perímetro de cada una de las parcelas, sabiendo que el
centro del campo dista 50 metros de cada uno de los vértices.
 ROMBOS Y CUADRADOS
a) Dibuja las diagonales del rombo de la figura y comprueba con ayuda del compás y del
transportador de ángulos que dichas diagonales son perpendiculares y se cortan en su punto
medio. ¿Qué otras propiedades asignarías a los rombos?.
b) Dibuja un cuadrado con sus dos diagonales y comprueba que cumple todas las propiedades de los
rombos. ¿Qué propiedades diferencian el cuadrado del rombo?.
 BUSCA ROMBOS
Localiza cuatro tipos de rombos no cuadrados con los vértices sobre los puntos de esta trama:
 DIAGONALES
Dibuja un rombo de diagonales 8 cm y 6 cm. ¿Cuánto mide su lado?.
 ROMBO
El perímetro de un rombo es 20 cm y uno de sus ángulos mide 85º. Determina la longitud de cada uno
de sus lados y la amplitud de sus ángulos.
 COMETAS
Observa el cuadrilátero de la figura. Se llama cometa. Tiene dos pares de ángulos iguales y lo mismo
ocurre con los lados. ¿Cómo son las diagonales?. ¿Un cometa es un rombo?.
Con ayuda de regla, compás y transportador de ángulos, construye un cometa uno de cuyos ángulos
es 35º y cuyos lados diferentes son 8 y 10 cm.
239
Matemáticas 1º ESO
 PARALELOGRAMOS
a) Construye un romboide, usando los instrumentos de dibujo que consideres necesasrio. Expresa
todas las propiedades de la figura obtenida.
Propiedades de los paralelogramos:
 Los lados opuestos son iguales.
 Las diagonales se cortan en sus puntos medios.
 Los ángulos opuestos son iguales.
b) Revisa las propiedades del cuadrado, del rectángulo y del rombo para comprobar que estas tres
figuras cumplen todas las propiedades de los paralelogramos.
 EMPAREJA
Indica con flechas qué propiedades de la derecha tienen las figuras de la izquierda
 Cuadrado
 Cuatro lados iguales
 Rectángulo
(no cuadrado)
 Cuatro ángulos rectos
 Rombo
(no cuadrado)
 Romboide
 Ángulos iguales dos a dos
 Diagonales perpendiculares
 Paralelogramo
 Diagonales que se cortan
en sus puntos medios
 Cuadrilátero
 Diagonales no perpendiculares
 DIAGONALES
1) Dibuja un cuadrado y traza las paralelas medias y las diagonales. ¿Cómo son las paralelas medias
entre sí?. ¿Cómo son las diagonales entre sí?.
2) Indica las semejanzas y las diferencias respecto de las diagonales: a) entre el rectángulo y el
cuadrado; b) entre el rombo y el romboide; c) entre el rombo y el cuadrado.
3) ¿Cómo se clasifican los paralelogramos si se toma como criterio que las diagonales son
perpendiculares?.
240
Figuras planas
 MÁS DIAGONALES
a) Dibuja un paralelogramo y traza una de sus diagonales. ¿Como son los dos triángulos en que
queda dividida la figura?.
b) Dibuja la otra diagonal. ¿Se cortan las dos diagonales en su punto medio?
c) Dibuja un rombo y un cuadrado y traza sus diagonales. ¿Son perpendiculares?.
d) Dibuja un rectángulo y un cuadrado y traza sus diagonales. ¿Son iguales?.
 CONSTRUYE PARALELOGRAMOS
a) Construye un rectángulo de lados a = 6 cm y b = 4 cm. Construye un cuadrado de lado 5 cm.
b) Construye un romboide sabiendo que los lados contiguos miden 7 cm y 5 cm, y el ángulo que
forman mide 60º.
c) Construye un rombo, sabiendo que uno de los lados mide 6 cm y que uno de los ángulos mide 60º.
d) Construye un paralelogramo sabiendo que dos lados contiguos miden 7 cm y 4 cm y el ángulo
comprendido mide 60º.
 MAS PARALELOGRAMOS
a) Dibuja un rectángulo grande y une los puntos medios de los lados. Une los puntos medios del
segundo paralelogramo que resulta. Continua haciendo esta operación varias veces. ¿Cómo son
los nuevos paralelogramos que resultan?.
b) En el paralelogramo ABCD es AM=CN. En el lado AD se ha señalado un punto P. Señala otro
punto en el lado BC, de modo que MNPQ sea otro paralelogramo.
c) De los ocho ángulos señalados en el rectángulo ABCD hay algunos que parecen iguales. Señala
los que son iguales y da alguna razón de esta igualdad (ángulos de lados paralelos, etc).
241
Matemáticas 1º ESO
 ¿CIERTO O FALSO?
Las siguientes afirmaciones se refieren a un paralelogramo ABCD. Indica las que son ciertas para
todos los paralelogramos, las que son ciertas para algunos y las que son ciertas para uno solamente:
a) Las diagonales AC y BD son iguales.
b) Los lados AB y CD son iguales.
c) AD + DC = AD + BC
d) AC y BD tienen el mismo punto medio.
e) El triángulo ABC es rectángulo e isósceles.
 TRAPECIOS
Un trapecio es un cuadrilátero con dos lados paralelos y dos lados no paralelos.
PQ = base menor.
RS = base mayor.
Un trapecio con dos ángulos rectos se llama trapecio rectángulo.
Un trapecio con los dos lados no paralelos iguales se llama trapecio isósceles.
a) Dibuja un ángulo y coloréalo. Sitúa sobre él una banda transparente. En todos los casos se forman
trapecios. ¿Cómo tienes que situar la banda para que el trapecio sea rectángulo?. ¿Y para que el
trapecio sea isósceles?
242
Figuras planas
Observa que un trapecio se puede descomponer en un triángulo y un
paralelogramo.
Para construir un trapecio cuyos lados paralelos midan 7 y 3 y los otros lados 5 y 6,
primero dibujamos un triángulo cuya base mida 7 - 3 = 4 y los otros lados 5 y 6.
Después le añadimos un paralelogramo de lados 6 y 3.
b) Construye un trapecio de lados 10 cm, 6 cm, 19 cm y 11 cm, sabiendo que el primero y el tercero
son paralelos.
c) Construye un trapecio isósceles de bases 4 cm y 6 cm y cuyos lados iguales midan 3 cm. ¿Cómo
son sus diagonales?.
d) Los lados paralelos de un trapecio miden 4 cm y 8 cm. Los otros dos lados miden 3 cm y 5 cm.
Dibújalo. Justifica porqué se obtiene un trapecio rectángulo.
 PARALELOGRAMO Y TRAPECIO
Con dos pares de palos o cartones construye un paralelogramo y un trapecio articulados como los de
la figura.
Observa que al deformar el paralelogramo sigue siendo un paralelogramo. Sin embargo, al deformar
el trapecio deja de ser un trapecio.
243
Matemáticas 1º ESO
 TRAPECIOS EN EL TANGRAM
Forma con el tangram distintos tipos de trapecios. ¿Consigues alguno que no sea rectángulo o
isósceles?
 BUSCA TRAPECIOS
Localiza algunos tipos de trapecios que tengan sus vértices sobre esta trama.
 PARALELA MEDIA DE UN TRAPECIO
Dibuja un trapecio de bases 5 y 8 cm; une los puntos medios de los lados no paralelos y pasa a medir
el segmento así determinado. Compara este resultado con la suma de las longitudes de las bases.
¿Qué deduces?.
 DIVISIÓN DE UN TRAPECIO
El siguiente trapecio rectangular está formado, como puedes observar, por la combinación de un
cuadrado y la mitad de otro. ¿Cómo lo puedes dividir en cuatro partes exactamente iguales?.
 PERÍMETRO DE UN TRAPECIO
Un trapecio isósceles tiene la base mayor triple que la menor; cada uno de los lados oblicuos mide 10
cm y de la base menor es 4 / 5 de la longitud de cada uno de los lados oblicuos. Determina el
perímetro del trapecio.
 SECCIONES
a) Utilizando cubos de poliestireno o plastilina y una cuchilla, averigua los distintos tipos de
cuadriláteros que puedes obtener al cortar el cubo.
b) ¿Puedes obtener cuadriláteros cortando por planos las siguientes figuras?. En caso afirmativo,
explica como hay que efectuar el corte.
244
Figuras planas
 CUADRILÁTEROS EN EL TANGRAM
Construye los siguientes cuadriláteros con el tangram:
En todos ellos intervienen todas las piezas.
 ANGULOS DE UN CUADRILÁTERO
a) Averigua cuánto vale la suma de los ángulos del cuadrilátero ABCD de la figura. Explica como lo
haces.
b) El trapecio ABCD tiene dos ángulos rectos A = B = 90º.
ángulo C ?.
Si D = 51º 30’, ¿cuánto mide el
c) En un cuadrilátero ABCD, se sabe que A=90º, B=80º, C=70º. Calcula lo que el mide el ángulo
D. ¿Qué clase de cuadrilátero es ABCD?.
d) Observa el romboide de la siguiente figura y halla el valor de cada uno de los ángulos
desconocidos.
245
Matemáticas 1º ESO
e) Calcula el ángulo D de cada paralelogramo:
f) Calcula el ángulo D de cada polígono:
 ¿VERDADERO O FALSO?
Indica las afirmaciones que son ciertas y las que son falsas:
a) Si un paralelogramo tiene un ángulo recto, entonces todos los demás son también rectos.
b) Si un cuadrilátero tiene un ángulo recto, entonces tiene otro ángulo recto.
c) Si un cuadrilátero tiene dos diagonales iguales, entonces es un paralelogramo.
d) Hay cuadriláteros que no son paralelogramos y que tienen las diagonales iguales.
e) Un cuadrilátero que no sea paralelogramo puede tener dos ángulos rectos.
f) Un cuadrilátero que no sea paralelogramo puede tener tres ángulos rectos.
 ROMPECABEZAS CON CUADRILÁTEROS
Observa que el anagrama de la Cruz Roja está dividido en 8 cuadriláteros. Reproduce este dibujo en
cartulina y recorta las distintas piezas. Una vez recortadas, intenta recomponer el anagrama.
246
Figuras planas
Otra figura posible a partir de este rompecabezas es la siguiente:
¿Sabrías componerla con las 8 piezas básicas?.
 MOSAICOS CON CUADRILÁTEROS
Esta figura es un cuadrilátero convexo.
Esta otra figura es un cuadrilátero cóncavo.
¿Qué diferencias hay entre un cuadrilátero convexo y uno cóncavo?.
Con el primer cuadrilátero hemos construido un mosaico como este:
Observa que las piezas no dejan huecos entre ellas ni se montan unas sobre otras.
Se dice que rellenan el plano.
a) Investiga con qué cuadriláteros puedes construir mosaicos. Para ello recorta cuadriláteros de
cartulina o guíate por las medidas de los ángulos que confluyen en un vértice. Para dibujar los
mosaicos puedes ayudarte de la siguiente trama:
247
Matemáticas 1º ESO
b) ¿Puedes construir un mosaico con el cuadrilátero que está dibujado aquí?.
 GENERACIÓN DE POLÍGONOS POR DOBLECES DE PAPEL
Toma una hoja de papel y dóblala dos veces. Ahora vas a dar cortes al papel de forma que al
desdoblarlo nuevamente obtengas algunas figuras.
Si haces dos cortes de esta forma obtendrás un cuadrado al desplegarlo.
1) ¿Cómo puedes obtener un cuadrado con un sólo corte?. Intenta descubrirlo dibujando y razonando
antes de cortar.
2) ¿Cómo puedes obtener rombos con un sólo corte?.
3) ¿Cómo puede obtenerse un hexágono?. ¿Y un octógono?. ¿Y un triángulo?.
4) Si el trozo de papel de que dispones es un círculo, ¿cómo tendrías que doblarlo para obtener un
cuadrado?. ¿Y si dispones únicamente de un trozo de papel irregular?.
248
Figuras planas
 CUADRILÁTEROS DOBLANDO PAPEL
a) Pliega, corta y despliega un papel como se te indica en las siguientes figuras:
Observa que obtienes un cuadrado con sus dos diagonales y sus dos paralelas medias.
b) Dando dos cortes en un papel con dos pliegues se obtiene un rectángulo en el que se aprecian sus
paralelas medias. Compruébalo.
c) Dando un corte a un papel con dos pliegues obtendrás un rombo en el que se aprecian sus dos
diagonales. Compruébalo.
5. Polígonos
 PENTÁGONOS CON TIRAS DE PAPEL
Es posible obtener un pentágono con una tira de papel. Mira los dibujos que siguen y construye tú
uno.
249
Matemáticas 1º ESO
 LIBRO DE ESPEJOS
El libro de espejos es un caleidoscopio plano que sirve para construir figuras geométricas. Puede
utilizarse también como medidor de ángulos (goniómetro). Para construir un libro de espejos
necesitas:
 Dos espejos cuadrados de 13 x 13.
 Cinta adhesiva transparente y cinta adhesiva ancha.
 Un círculo o semicírculo graduado (mejor un círculo).
1) Traza un punto y una línea que no pase por él. Sitúa el eje del libro de espejos en el punto. Coloca
sus hojas de modo que corten a la recta. Abre y cierra las hojas del libro. Describe las figuras que
vayas observando. Con un círculo graduado, colocado en la parte superior del libro, puedes medir
el ángulo que forman en cada momento las dos hojas.
2) ¿Cómo tendrías que situar las hojas del libro de espejos para que la figura que aparezca sea un
rombo?.
3) Dibuja un arco de circunferencia con el compás. Señala el centro de la circunferencia. Coloca el
libro de espejos en la posición adecuada para que se reproduzca toda la circunferencia.
 CUADRILÁTEROS Y ESPEJOS
a) Visualiza un cuadrado mirando un segmento con un libro de espejos abierto 90º o bien 45º. ¿Qué
relación tiene esto con las diagonales y las paralelas medias del cuadrado?.
b) Dibuja un rectángulo y señala, en rojo, la posición en que debemos situar el libro de espejos para
visualizarlo completo.
c) Visualiza un rombo con un libro de espejos como se indica en la siguiente figura.
250
Figuras planas
 POLÍGONOS REGULARES
Un polígono regular es aquel que tiene todos sus lados iguales y todos sus
ángulos iguales.
Si AB es un lado de un polígono regular y O es su centro, se llama ángulo central al
ángulo AOB.
a) Sitúa el libro de espejos sobre una recta de forma que se visualicen sucesivamente un triángulo
equilátero, un cuadrado, un pentágono regular, un hexágono regular y un octógono regular. Con el
transportador de ángulos mide el ángulo central de cada polígono y completa la siguiente tabla:
POLÍGONO
Triángulo Cuadrado Pentágono Hexágono Octógono
ANGULO CENTRAL
Para construir un polígono regular:
Dibuja una circunferencia y, con ayuda del transportador, señala las dos marcas
correspondientes al ángulo central del polígono. Con un compás traslada el lado
sobre la circunferencia.
Construcciones sin usar el transportador de ángulos.
a) Triángulo equilátero.
251
Matemáticas 1º ESO
b) Cuadrado.
Sobre la perpendicular trazada en uno de los extremos del lado se
lleva una longitud igual al lado.
c) Hexágono regular.
Se traza una circunferencia y para señalar los lados se usa
como abertura del compás el radio de dicha circunferencia,
es decir, lado del hexagono = radio de la circunferencia.
b) Inscribe en una circunferencia de 5 cm de radio, un hexágono regular y un triángulo equilátero.
c) Inscribe en una circunferencia de 5 cm de radio, un cuadrado y un octógono regular.
d) Construye con regla y compás un triángulo equilátero de 10 cm de lado.
e) Construye con regla y compás un hexágono de 6 cm de lado. Recórtalo y plegando obtén sus
diagonales.
 HEXÁGONO Y TRIÁNGULO
a) Construye un hexágono regular de 1 cm de lado y un triángulo equilátero de 2 cm de lado.
b) Comprueba que las dos figuras anteriores tienen el mismo perímetro.
c) Divide el hexágono y el triángulo en triángulos equiláteros de 1 cm de lado. ¿Cuántos de estos
triángulos tiene cada una de las dos figuras?. ¿Qué relación hay entre sus áreas?.
252
Figuras planas
d) Un triángulo equilátero y un hexágono regular tienen igual perímetro. Si el área del hexágono es 60
2
cm , ¿cuál será el área del triángulo?. (Ten en cuenta el resultado del apartado anterior).
 CENTRO DE UN POLÍGONO
Halla el centro de cada uno de los siguientes polígonos regulares:
6. Circunferencia
 DIAPOSITIVAS SOBRE LA CIRCUNFERENCIA
El profesor organizará una sesión de diapositivas sobre la circunferencia y el círculo, donde se
muestren objetos que presenten circunferencias y círculos o en los que haya estas figuras por
descubrir.
En esta actividad los alumnos deberán imaginar o descubrir círculos y circunferencias como cortes
(formando parte) de objetos tridimensionales. Los objetos son dados y las circunferencias imaginadas.
 TOMOGRAFÍAS
En Medicina se emplea una técnica llamada tomografía, que permite reconstruir la forma aproximada
de un órgano interno a través de una secuencia de imágenes obtenidas al darle varios cortes planos
paralelos entre sí.
Vamos a aplicar esta técnica a tres cuerpos geométricos. Queremos saber la forma que pueden tener,
y disponemos de la información ofrecida por las siguientes secuencias de cortes paralelos.
253
Matemáticas 1º ESO
¿De qué cuerpos se trata?.
 ELEMENTOS DE LA CIRCUNFERENCIA
Observa las siguientes figuras en las que puedes observar los elementos que componen una
circunferencia.
a) Explica con tus palabras qué es lo que caracteriza cada uno de esos elementos y enuncia alguna
propiedad interesante que descubras. Por ejemplo, el radio es la mitad del diámetro, etc.
b) ¿Cuántos diámetros se pueden trazar?. ¿Cuál es la mayor cuerda que se puede trazar en una
circunferencia?.
c) Dibuja un diámetro y una cuerda perpendicular a dicho diámetro. Observa que la cuerda queda
dividida en dos partes. ¿Cómo son esas partes?. Comprueba tu conjetura midiendo con una regla
graduada o usando el compás. También puedes doblar el papel por el diámetro para comparar las
longitudes de las dos partes.
 ESPÍA
Un espía situado en A con un radiotransmisor que alcanza 4 km, tiene que dar un mensaje a su
enlace que circula en un coche por la carretera. ¿Desde qué tramos de la carretera podrá oirle éste?.
254
Figuras planas
 GIRANDO UN SEGMENTO
Mira el segmento PQ del dibujo. En él se ha marcado un punto interior C.
Fija el punto C y haz girar mentalmente el segmento en torno a él. ¿Qué figura describen los extremos
P y Q del segmento?.
Haz lo mismo cambiando de posición el punto C. ¿En qué posiciones puedes situar el punto C para
obtener una circunferencia?.
 CON UNA ESCUADRA
Dibuja dos puntos P y Q separados unos diez centímetros sobre una hoja de papel. Toma una
escuadra. Apoya los lados de la escuadra que forman el ángulo recto sobre los puntos P y Q.
Varía la posición de la escuadra, pero teniendo cuidado de que los lados que forman el ángulo recto
pasen siempre por P y Q. Señala con un punto cada una de las posiciones por las que va pasando el
vértice O de la escuadra. ¿Qué figura forman todos esos puntos?.
 ¿ES RECTÁNGULO?
Dibuja una circunferencia de 10 cm de diámetro. Dibuja también un diámetro PQ y señala un punto R
de la circunferencia que no coincida con los extremos de dicho diámetro. El triángulo PRQ ¿es
rectángulo?. Prueba otras posiciones del punto R y averigua en cada caso si el triángulo PRQ es o no
rectángulo.
255
Matemáticas 1º ESO
Explica esta propiedad de la circunferencia.
 TRIÁNGULO EN UNA CIRCUNFERENCIA
Dibuja una circunferencia de 6 cm de radio. Después dibuja un triángulo rectángulo isósceles inscrito
en la circunferencia.
 PUNTOS MEDIOS
Dibuja una circunferencia de 10 cm de diámetro y llama a su centro C. Elige un punto interior P que no
coincida con el centro de la circunferencia y que no esté demasiado próximo a él. Traza varias
cuerdas que pasen por el punto P y marca en cada una de ellas su punto medio.
¿Qué figura se forma con todos esos puntos medios?.
NOTA.- Necesitarás trazar muchas cuerdas para ver la figura que se forma.
 CON UNA REGLA
Observa la siguiente figura y estudia la posibilidad de construir una circunferencia con una regla de
dos bordes.
Toma una regla y elige el punto O del papel. Coloca la regla de modo que uno de los bordes de la
regla pase por el punto O. Gira la regla y vuelve a proceder como antes. Sigue dibujando rectas hasta
que observes alguna regularidad. Comenta el dibujo.
 CENTRO DE UNA CIRCUNFERENCIA
Halla el centro de una circunferencia mediante los siguientes procedimientos:
1) Usando un espejo.
256
2) Usando un libro de espejos. 3) Doblando el papel.
Figuras planas
 RECORTA Y PLIEGA
Recorta un cuarto de hoja de papel y señala tres puntos A, B y C no alineados y bastante separados.
Dobla el papel de modo que A coincida con B. Dobla después el papel de modo que B coincida con C.
Señala el punto O donde se cortan los dos pliegues y traza la circunferencia de radio OA y centro O.
¿Por qué puntos pasa esta circunferencia?.
 RECTAS Y CIRCUNFERENCIAS
Una recta respecto de una circunferencia puede ser:
Exterior, si no la corta en ningún punto.
Tangente, si la corta en un sólo punto.
Secante, si la corta en dos puntos.
Si la distancia del centro a la recta es mayor que el radio, la recta es exterior.
Si dicha distancia es igual al radio, la recta es tangente.
Si dicha distancia es menor que el radio, la recta es secante.
La recta tangente es perpendicular al radio de la circunferencia.
257
Matemáticas 1º ESO
a) Observa la siguiente figura:
¿Se pueden trazar tangentes a una circunferencia desde un punto interior P?. ¿Cuántas tangentes se
pueden trazar a una circunferencia desde un punto A de ella?. ¿Cuántas tangentes se pueden trazar a
una circunferencia desde un punto B exterior?.
b) Traza una circunferencia de 5 cm de radio y tres rectas que pasen a 3 cm, 5 cm y 8 cm
respectivamente del centro de la circunferencia. Indica cuál es exterior, cuál tangente y cuál
secante.
c) Para que una circunferencia sea tangente a dos rectas paralelas, ¿donde tiene que tener su
centro?. Traza dos rectas paralelas a 6 cm de distancia y una circunferencia tangente a ambas.
Dibuja otra circunferencia tangente a las dos rectas y a la circunferencia anterior.
258
Figuras planas
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