Métodos numéricos bien equilibrados de alto orden para sistemas

Métodos numéricos bien equilibrados de alto
orden para sistemas de leyes de equilibrio
semilineales.
Carlos Parés, Manuel J. Castro, Juan A. López
Dpto. de Análisis Matemático, Univ. de Málaga
{pares, castro, lopez}@anamat.cie.uma.es
Resumen
El diseño de esquemas numéricos de alto orden para sistemas de leyes de
equilibrio, es decir, sistemas de leyes de conservación con términos fuente, es en
la actualidad un frente muy activo de investigación. A fin de evitar la aparición
de soluciones espurias en las proximidades de los equilibrios naturales del sistema, se suele exigir a los esquemas numéricos que sean bien equilibrados, es
decir, que resuelvan con exactitud o, al menos, con mayor precisión que la del
esquema, las soluciones estacionarias regulares del sistema. Recientemente se
han producido avances significativos en el diseño de esquemas que aúnan la alta
precisión con el buen equilibrado: ver por ejemplo [2], [3].
En esta comunicación se presentará un resumen de la referencia [1]. En
ella, se aborda la resolución numérica de sistemas de leyes de equilbrio 1d de la
forma:
wt + A(σ)wx = G(σ, w)σx , x ∈ R, t > 0,
(1)
donde w(x, t) ∈ Ω ⊂ RN es el vector de incógnitas; σ(x), una función conocida;
A(σ), una función matricial regular y G(σ, w) una función regular de Ω × R a
RN . Se supone que la matriz A(σ) posee N autovalores reales y distintos para
cada valor de σ.
Se presentará una familia de esquemas de alto orden que resuelven con exactitud todas las soluciones estacionarias de (1). Estos esquemas se basan en una
extensión del método clásico de Godunov mediante el uso de un operador de reconstrucción de alto orden. La principal contribución de este trabajo es el diseño
de una estrategia que permite modificar cualquier operador de reconstrucción
(MUSCL, ENO, WENO, . . . ) de manera que las soluciones estacionarias regulares del sistema sean preservadas. Esta técnica puede ser extendida a sistemas
de leyes de equilibrio no lineales.
Sección en el CEDYA 2009: AN
Referencias
[1] M.J. Castro, J.A. López, C. Parés. Well-balanced high order extensions of Godunov
method for linear balance laws. SIAM J. Num. Anal. 46 (2008), 1012-1039.
[2] J.M. Gallardo, M.J. Castro, C. Parés. On a well-balanced high-order finite volume
scheme for shallow water equations with topography and dry areas. J. Comput. Phys.
227 (2007), 574-601.
[3] S. Noelle, Y. Xing, C.-W. Shu. High Order Well-balanced Finite Volume WENO
Schemes for Shallow Water Equation with Moving Water. J. Comput. Phys. 226
(2007), 29-59.
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