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MODELOS LINEALES
Alejandro Vera Trejo
2. MODELOS LINEALES
Objetivo
Se
representará
una
situación
determinada a través de la construcción
de una o varias ecuaciones lineales.
Se resolverán situaciones reales por
medio de ecuaciones de primer grado
con una incógnita. Se aplicaran
diferentes métodos de solución en
diversas situaciones. Se resolverán
sistemas de ecuaciones y se
representará su gráfica. Se generará
análisis y reflexión sobre una situación
de negocio.
2. MODELOS LINEALES
2.1 ¿Qué es una ecuación?
La ecuación es el resultado de igualar
dos expresiones algebraicas que se
llaman lados o miembros de la
ecuación.
x 2 − 1 = (x − 1)( x + 1)
x3 − 2 x = 0
A = bh / 2
3x + 2 / 3 = x
Resolver una ecuación es encontrar el
valor o los valores de una incógnita
que hacen que la igualdad sea
verdadera.
2. MODELOS LINEALES
2.2 ¿Qué son las ecuaciones lineales?
De acuerdo con sus formas y las
incógnitas
que
presentan,
las
ecuaciones son lineales, cuadráticas,
cúbicas, exponenciales, logarítmicas
etc.
Las ecuaciones lineales con una
variable x tienen la siguiente forma:
ax + b = 0
donde
a≠0
Ejemplos
3x + 5 = 8 − x
x+ 2/3 = 5− x/2
3750 = 4175 (1 − 3 d )
2. MODELOS LINEALES
2.2 ¿Qué son las ecuaciones lineales?
Para obtener la solución se empieza
por aislar a la incógnita dejándola sola
en un lado de la ecuación.
Se suma una x a ambos lados de la
ecuación: la x que está restando se pasa
sumando al lado izquierdo. También se
resta un 5 de cada lado, se suman los
términos semejantes y se divide entre 5
3x + 5 = 8 − x ⇒ 3x + x = 8 − 5
4x = 3
⇒ x = 3/ 4
2. MODELOS LINEALES
2.2 ¿Qué son las ecuaciones lineales?
Plantear y resolver
ecuación lineal:
la
siguiente
La suma de las edades de A y B es 84
años y B tiene 8 años menos que A.
Hallar ambas edades.
Supóngase que x = edad de A.
(1)
Como B tiene 8 años menos que x,
entonces x - 8 = edad de B.
(2)
Y la suma de ambas edades es 84 años,
entonces x + x - 8 = 84 años.
(3)
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2.2 ¿Qué son las ecuaciones lineales?
Resolviendo la ecuación (3)
x + x = 84 + 8
2x = 92
x = 92/2 = 46
Edad de A = 46 años
Edad de B = x – 8 = 46 – 8 = 38 años
2. MODELOS LINEALES
2.3 ¿Qué es un sistema de ecuaciones lineales?
Es un conjunto de igualdades
algebraicas en las que aparecen una o
varias incógnitas elevadas a la
potencia uno. Cada una de estas
ecuaciones lineales, o de primer grado,
tiene la forma ax + by + cz + … = k
Donde a, b, c, ..., son los coeficientes
de la ecuación; x, y, z, ..., las
incógnitas o variables, y k el término
independiente (también un valor
constante).
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2.3 ¿Qué es un sistema de ecuaciones lineales?
Los sistemas en los que el número de
ecuaciones coincide con el de las
incógnitas se denominan cuadrados.
Un caso particularmente interesante de
sistemas cuadrados es el de dos
ecuaciones con dos incógnitas, que
adopta la forma general siguiente:
a1 x + b1 y = k1
a2 x + b2 y = k 2
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2.3 ¿Qué es un sistema de ecuaciones lineales?
2. MODELOS LINEALES
2.4 ¿Cómo se solucionan los sistema de ecuaciones
lineales?
Método de igualación
Consiste en despejar la misma
incógnita en ambas ecuaciones e
igualar las expresiones resultantes; se
resuelve la ecuación de primer grado
con una incógnita obtenida y se
sustituye este valor en las ecuaciones
iníciales. Ejemplo:
3x + 2 y = 8
4x − 3y = 5
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2.4 ¿Cómo se solucionan los sistema de ecuaciones
lineales?
Despejando x en ambas ecuaciones, se
tiene:
(8
− 2 y
3
(5 + 3 y
x =
4
x =
)
)
Igualando ambas ecuaciones se tiene:
(8 − 2 y ) = (5 + 3 y )
3
4
⇒ 4(8 − 2 y ) = 3(5 − 3 y )
Entonces, 32 - 8y = 15 - 9y ⇒ 17y=17
y = 1, sustituyendo en cualquiera de las
ecuaciones x = 2
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2.4 ¿Cómo se solucionan los sistema de ecuaciones
lineales?
Método de sustitución
Consiste en despejar una incógnita en
una de las ecuaciones y sustituirla en la
otra; así, se obtiene una sola ecuación
con una incógnita. Una vez obtenido el
valor de esta incógnita, se sustituye su
valor en cualquiera de las ecuaciones
del sistema, inicial para calcular el
valor de la otra incógnita.
Sea el mismo sistema anterior.
Despejando x de la primera ecuación:
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2.4 ¿Cómo se solucionan los sistema de ecuaciones
lineales?
x =
(8
− 2 y
3
)
Sustituyendo en la segunda ecuación:
4 (8 − 2 y )
32 8 y
− 3y = 5 ⇒
−
− 3y = 5
3
3
3
32 15 8 y 9 y
17 17 y
−
=
+
⇒
=
⇒ y =1
3
3
3
3
3
3
Como
x =
(8
− 2 y
3
)
⇒ x=2
2. MODELOS LINEALES
2.4 ¿Cómo se solucionan los sistema de ecuaciones
lineales?
Método de reducción
Consta de los siguientes pasos:
•Se multiplican o dividen los miembros
de las dos ecuaciones por los números
que convengan para que una de las
incógnitas tenga el mismo coeficiente en
ambas.
•Se restan las dos ecuaciones resultantes,
con lo que se elimina una incógnita.
•Se resuelve la ecuación con una
incógnita obtenida, y se sustituye su
valor en cualquiera de las ecuaciones
iníciales para calcular la segunda.
2. MODELOS LINEALES
2.4 ¿Cómo se solucionan los sistema de ecuaciones
lineales?
Sea el mismo sistema. Conviene
multiplicar la primera ecuación por 4 y
la segunda por 3, y restar ambas
ecuaciones:
4 (3x + 2y) = 8
3 (4x – 3y) = 5
⇒
12x + 8y = 32
12x – 9y = 15
0x + 17y = 17
De donde resulta que y = 1 Y x = 2
BIBLIOGRAFIA
Aurelio Baldor, “ALGEBRA”, por Editorial Patria, septiembre 2007.
Perelman, Yakov “Matemáticas recreativas” Martínez Roca, España 2002.
MODELOS LINEALES
Alejandro Vera Trejo