FuncionesRelaciones4..

RELACIONES Y FUNCIONES
CLASE 4
CONJUNTO PARCIALMENTE ORDENADO


Sea R una relación en un conjunto A, y sea R una relación de orden parcial.
El conjunto A con R se llama conjunto parcialmente ordenado y se denota como
(A,R).
Dada una relación de orden parcial, esta puede representarse mediante un
grafo dirigido de orden parcial
c
b
a
DIAGRAMAS DE HASSE
Los lazos de cada nodo pueden ser eliminados para simplificar el grafo.
Si se eliminan las aristas que representan la propiedad transitiva.
Las flechas pueden omitirse y los círculos se reemplacen por punto.
1.
2.
3.
El diagrama resultante de un orden parcial, mucho más simple que su
grafo dirigido, se llamará diagrama de Hasse de un orden parcial o de un
conjunto parcialmente ordenado.
c
c
c
c
b
b
a
b
a
b
a
a
1
2
3
Diagrama de Hasse
DIAGRAMA DE HASSE


Es una representación gráfica simplificada de un conjunto
parcialmente ordenado finito. Esto se consigue eliminando
información redundante. Para ello se dibuja una arista
ascendente entre dos elementos solo si uno sigue a otro sin haber
otros elementos intermedios.
Ejemplo Sea S={a,b,c} y sea R el conjunto potencia de S, es decir
R={ ,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}}. Dibujar el diagrama de
Hasse del conjunto parcialmente ordenado con el orden .
{a,b,c}
{a,c}
{b,c}
{a,b}
{c}
{b}
{a}
sea el conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20,
30, 60} (todos los divisores de 60). Este conjunto
está ordenado parcialmente por la relación de
divisibilidad.
 Diagrama de Hasse:

La relación "< " en Z + no es un orden parcial
porque no es reflexiva.
 Las ordenes parciales mas comunes son las
relaciones >= y <= en Z y N .

EJERCICIOS
1.
2.
Dibujar el diagrama de Hasse de la relación a>=b (en
orden alfabético), donde a,b A, A={a,b,c,d,e,f}
Sea A={1,2,3,4,12}, Examine el orden parcial de la
divisibilidad en A (a<=b si y sólo si b/a). Dibuja el
diagrama de Hasse.
12
4
3
2
1
ELEMENTOS EXTREMOS DE LOS CONJUNTOS
PARCIALMENTE ORDENADOS

Elemento Maximal

Elemento Minimal

Elemento Máximo

Elemento Mínimo

Mínima Cota Superior

Máxima Cota Inferior
ELEMENTO MAXIMAL


Sea (A,R) un conjunto parcialmente ordenado.
Un elemento x A se llama elemento maximal de A si para todo
a A, a x entonces xRa.
a3
a2
a1
b1

Elementos
maximales a1,a2,a3
b2
Ejemplo 1 : sea A el conjunto
parcialmente ordenado de todos los
números reales no negativos con el
orden parcial <=, en este caso no
existen elementos maximales.
b3

Ejemplo 2 : En este caso
el elemento maximal es
c
c
b
a
ELEMENTO MINIMAL


Sea (A,R) un conjunto parcialmente ordenado.
Un elemento y A se llama elemento minimal de A si para todo
b A, b y entonces bRy.
a3
a2
a1
Elementos
minimales b1,b2,b3
b1

b2
b3
Ejemplo 1: sea A el conjunto
parcialmente ordenado de todos los
números reales no negativos con el
orden parcial <=, en este caso el cero es
el elemento minimal.

Ejemplo 2 : En este caso
el elemento minimal es
a
c
b
a
ELEMENTO MÁXIMO


Sea (A,R) un conjunto parcialmente ordenado.
Un elemento x A se llama elemento máximo de A y es único si
para todo a A, entonces aRx existe.
a
Elemento máximo a
b

Ejemplo 1: sea A el conjunto
parcialmente ordenado de todos
los números reales no negativos
con el orden parcial <=, en este
caso no existe un elemento
máximo.

Ejemplo 2 : En este caso
el elemento máximo es c
c
b
a
ELEMENTO MÍNIMO


Sea (A,R) un conjunto parcialmente ordenado.
Un elemento y A se llama elemento mínimo de A y es único, si
para todo a A, entonces yRa existe.
a
Elemento mínimo b
b

Ejemplo 1: sea A el conjunto
parcialmente ordenado de todos
los números reales no negativos
con el orden parcial <=, en este
caso el cero es el elemento
mínimo.

Ejemplo 2 : En este caso
el elemento mínimo es a
c
b
a
MÍNIMA COTA SUPERIOR
Sea (A,R) un conjunto parcialmente ordenado y B un subconjunto de A.
 a A ,a es cota superior de B si bRa para todo b B.
 a’ A a’ es mínima cota superior(MCS)(LUB) de B si a’ es una cota
superior de b y si a’Ra’’ para todas las demás a’’ cotas superiores de B.
 Ejemplo: Sea A={a,b,c,d,e,f,g,h} con el siguiente diagrama de Hasse,
determinar las cotas superiores y su mínima cota superior para los
subconjuntos B1={a,b} y B2={c,d,e}.
h
f
g
d
e
c
a
b
B1 tiene como cotas superiores a c,d,e,f,g,h
y como mínima cota superior tiene a c
B2 tiene como cotas superiores a f,g,h
y no tiene mínima cota superior porque no
existe fRg
MÁXIMA COTA INFERIOR
Sea (A,R) un conjunto parcialmente ordenado y B un subconjunto de A.
 y A ,y es cota inferior de B si yRb para todo b B.
 y’ A, y’ es máxima cota inferior(MCI)(GLB) de B si y’ es una cota
inferior de B y si y’’Ry’ para todas las demás y’’ cotas inferiores de B.
 Ejemplo: Sea A={a,b,c,d,e,f,g,h} con el siguiente diagrama de Hasse,
determinar las cotas inferiores y su máxima cota inferior para los
subconjuntos B1={a,b} y B2={c,d,e}.
h
f
g
d
e
c
a
b
B1 no tiene cotas inferiores y por ende no tiene
máxima cota inferior
B2 tiene como cotas inferiores a a,b,c
y su máxima cota inferior es c
EJERCICIOS
1.
Dados los diagrama de Hasse determinar los maximales,
minimales, máximo, mínimo.
Define dos subconjuntos de A y determina cotas inferiores,
superiores, minima cota superior, máxima cota inferior.
{a,b,c}
a
b
{a,c}
{b,c}
{a,b}
d
e
{c}
{b}
{a}