la historia de las matemáticas como recurso didáctico

SIGMA
LA HISTORIA DE LAS MATEMÁTICAS COMO RECURSO
DIDÁCTICO: ALGUNAS RECREACIONES MATEMÁTICAS
CONTENIDAS EN UNA ARITMÉTICA CATALANA
DEL SIGLO XVI
Vicente Meavilla Seguí (*)
1. INTRODUCCIÓN
La Matemática Recreativa es, sin duda, una de las secciones más populares entre un público,
matemático o no, que se siente atraído por las Matemáticas. En la actualidad son numerosos
los libros y revistas especializadas consagrados a dicha temática (recordemos los extraordinarios trabajos de Martin Gardner) y también lo son las secciones que algunas publicaciones
periódicas de carácter científico dedican a este asunto.
Advirtamos también que la Matemática Recreativa ha influido notablemente en el desarrollo
de importantes ramas de las Matemáticas. Sirva como ejemplo la influencia que sobre la Teoría
de Grafos tuvieron el problema de Los siete puentes de Königsberg y el Juego de Hamilton.
Por otro lado, las recreaciones matemáticas son muy útiles al historiador de las Matemáticas
dado que marcan el desarrollo y transmisión de las Matemáticas (y de la cultura en general)
entre las distintas civilizaciones a lo largo de los tiempos. El teorema chino de los restos, los
cuadrados mágicos y el problema de los cien pájaros son, entre otros, excelentes ejemplos de
este proceso.
Si a todo esto se añade que la Matemática Recreativa es una fuente inagotable de problemas
matemáticos divertidos que producen un efecto motivador cuando se introducen en las aulas
de cualquier nivel educativo, resulta obvio que, desde una óptica didáctica, la inclusión de
recreaciones matemáticas en las actividades de enseñanza y aprendizaje puede proporcionar
oportunidades de aprendizaje a nuestros alumnos y alumnas.
En este artículo presentamos una pequeña colección de adivinaciones numéricas contenidas
en un manual matemático español del siglo XVI. Con ella, pretendemos aportar una prueba
más sobre la importancia que tiene la Historia de las Matemáticas en la generación de materiales y recursos didácticos. Además, ofrecemos un conjunto de actividades para los alumnos
y alumnas de magisterio (los futuros maestros) inspiradas en dichos juegos.
2. LA ARITMÉTICA DE JOAN VENTALLOL (1521)
Durante buena parte del siglo XVI la mayoría de los ciudadanos no estaba capacitada para el
cálculo de una simple multiplicación o división. No debe extrañarnos, pues, que el cálculo
de intereses , descuentos, cambios de moneda, etc. sólo estuviese al alcance de una minoría
selecta que había sido educada en un sistema universitario en el que la lengua científica era
el latín.
(*) Departamento de Matemáticas. Universidad de Zaragoza
vmeavill@hotmail.com
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Los nuevos descubrimientos geográficos, la proliferación de ferias y mercados, el aumento de
instituciones dedicadas a comerciar con el dinero, etc., propiciaron la aparición de manuales
de matemáticas, las famosas Aritméticas, dirigidas a un público no matemático ni universitario y escritas en lengua vernácula. En la mayoría de ellas, además de los capítulos dedicados
al sistema de numeración decimal, a los algoritmos de las operaciones elementales con enteros y fracciones (adición, sustracción, multiplicación, división, extracción de la raíz cuadrada
y de la raíz cúbica), y a la regla de tres, se presentaba, sin justificación alguna, un catálogo
de trucos para que los lectores pudiesen acceder a la solución de determinados problemas de
carácter aritmético (reglas de compañía, aligación, repartos proporcionales, barata, regla de
falsa posición simple, regla de dos falsas posiciones,...) En otras, las menos, además del Arte
Menor, se ofrecían los rudimentos del álgebra simbólica (Arte Mayor).
La Pràtica mercantívol, publicada en 1521 y escrita en catalán por Joan Ventallol, puede
incluirse sin duda alguna en el grupo de las aritméticas sin contenido algebraico. Está estructurada en seis tratados cuyos contenidos matemáticos se detallan en la tabla siguiente.
Tratado I
Definición de número y clasificación de los números (número par, pariter
par, pariter impar, impariter par, defectuoso, abundante, perfecto).
Tratado II
Numeración. Suma, resta, multiplicación y división de números naturales
y quebrados.
Tratado III
Regla de tres simple. Reducción de monedas. Regla de tres compuesta.
Regla de censales. Regla de taras. Regla de tres con tiempo. Regla de
compañía. Compañías con tiempo. Baratas. Baratas con tiempo. Cambios.
Méritos. Reglas de viajes. Aligaciones. Progresiones. Regla de una falsa
posición. Regla de dos falsas posiciones.
Tratado IV
Extracción de la raíz cuadrada y la raíz cúbica.
Tratado V
Proporciones (multiplex, superparticular, superpartiente, multiplex superparticular, multiplex superpartiente). Regla de mediación entre el más y el
menos. Juegos de adivinación por la ciencia de los números.
Tratado VI
Geometría con las reglas y figuras necesarias en dicha arte.
El quinto tratado contiene una sección dedicada a la Matemática Recreativa (que incluye cuatro adivinaciones numéricas: el juego del novenario, el juego de dos cosas iguales, el juego
del anillo y el juego del círculo) a la que vamos a prestar atención en las siguientes líneas y
que reproducimos in extenso.
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3. EL TEXTO RECREATIVO DE LA PRÀTICA MERCANTÍVOL
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4. LA TRADUCCIÓN Y LOS COMENTARIOS
4.1. El juego del novenario
(2)
Si quieres saber el número que alguien ha pensado o los dineros que tiene en una bolsa,
dile que tome la mitad y si no tiene mitad justa que tome 1 más y que lo añada al número
que había pensado. Y lo que venga que lo multiplique por 3. Y de aquella multiplicación, que saque una vez, o muchas, los nueves que se puedan (...). Y después, pídele si
sobra algo y si responde que sí lo contarás como 1. Y después, por cada 9 contarás 2 y
tanto será el número que había pensado. Como, por ejemplo, si alguien piensa el 7, dile
que tome la mitad, que será 4, y que la añada al número que ha pensado, vendrán 11.
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Después, dile que los multiplique por 3, serán 33. Ahora, secretamente, dile que saque
18 y que guarde la resta 15. Dile que saque otros 18. Dirá que no puede. Dile entonces
que saque 9 y cuando lo haya hecho dile si sobra algún residuo. Si dice que sí cuéntalo
como 1, y 3 nueves que ha sacado, cuenta 2 por cada uno, son 6, y 1 por lo que le sobra
son 7, que es el número que había pensado (...).
Comentario
Dado que el número pensado puede ser par o impar, el procedimiento descrito en el texto se
puede descomponer en los dos siguientes:
1. El número pensado es par (x = 2p):
• Dividir por 2 el número pensado. Se obtiene p.
• Sumar el resultado anterior al número pensado. Se obtiene 3p.
• Multiplicar por 3 la suma anterior. Se obtiene 9p.
• Dividir por 9 el producto anterior. Se obtiene p.
• Multiplicar por 2 el cociente anterior. Se obtiene 2p (número pensado).
2. El número pensado es impar (x = 2p + 1):
• Sumar 1 al número pensado. Se obtiene 2p + 2.
• Dividir por 2 el resultado anterior. Se obtiene p + 1.
• Sumar el cociente anterior al número pensado. Se obtiene 3p + 2.
• Multiplicar por 3 la suma anterior. Se obtiene 9p + 6.
• Dividir por 9 el producto anterior. El cociente obtenido es p y el resto 6.
• Multiplicar por 2 el cociente entero de la división anterior. Se obtiene 2p.
• Añadir 1 al producto anterior. Se obtiene 2p + 1 (número pensado).
4.2. El juego de dos cosas iguales
Si alguna persona tiene el mismo número de monedas en cada mano y quieres saber
cuántas tiene, de modo que parezca que lo adivinas, dile que pase un número de monedas de una mano a la otra y si no puede disminuye dicho número. Hecho esto, dile
que tome de la mano donde hay más monedas tantas como han quedado en la otra.
Entonces, en la mano que había más monedas quedan tantas como el doble del primer
número. Pongamos, por ejemplo, que en cada mano tenga 18 dineros y tu no lo sabes.
Le puedes decir que de los que tiene en la mano derecha pase 10 a la mano izquierda si
ello es posible. Hecho esto, le dirás que de los que tiene en la mano izquierda pase a la
mano derecha tantos como habían sobrado. Entonces, en la mano izquierda quedan 20,
que es el doble de los 10 que había tomado la primera vez. Y si quieres saber cuántos
hay en la mano derecha hazlo por la regla del novenario. Así podrás decir que tenía 36
entre las dos manos, 16 en una y 20 en la otra.
Comentario
Sea x el número de monedas que la persona tiene inicialmente en cada mano. En la
tabla siguiente se detalla el trasiego de monedas en cada una de las etapas del proceso
de adivinación.
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Mano izquierda
Mano derecha
Situación inicial
x
x
Primera etapa
x+y
x-y
Segunda etapa
x + y – (x – y) = 2y
x – y + (x – y) = 2(x – y)
Dado que y < x es un número conocido por el adivino, resulta que en la segunda etapa se
puede adivinar el número de monedas en la mano izquierda. Para saber el número de monedas en la mano derecha, Ventallol recomienda que se utilice la adivinación descrita en la
sección precedente (aplicada, claro está, a un número par).
4.3. El juego del anillo
Sea una compañía de mucha gente en la que una tiene un anillo de oro o plata. Si tu
quieres saber quién lo tiene, en qué mano, en qué dedo y en qué falange, es preciso que
las personas estén sentadas en orden de manera que una sea la primera, otra la segunda,
etc. De forma similar, los dedos deben ordenarse, de 1 a 10, de modo que el pulgar de la
mano derecha sea el primero y el de la mano izquierda sea el sexto. Hecho esto, apártate
un poco de ellos y dile a uno que cuente las personas que hay hasta la que tiene el anillo.
Cuando las haya contado dile que doble aquel número y que le añada 5. Después, dile
que multiplique dicha suma por 5. Después, dile que cuente los dedos, desde el primero
hasta el que tenga el anillo, y que lo sume al último resultado. Después, dile que multiplique por 10 la suma anterior y cuando lo haya hecho dile que sume el número de falanges
del dedo en el que está el anillo. Después, dile que diga el resultado. Réstale 250 y de la
diferencia has de saber que las centenas representan el número de la persona que tiene
el anillo, las decenas representan el dedo, y la primera figura del número (las unidades)
demuestra la falange en la que está el anillo. Ejemplo: supón que el número que te han
dicho es 642. del que secretamente restas 250, quedan 392. Entonces puedes decir que
la tercera persona tiene el anillo en el noveno dedo y en la segunda falange. Si sucede
que, cuando hayas restado 250 del número que te han dicho, en el lugar de las decenas
resulte 0 es preciso tomar un centenar y convertirlo en decenas y dirás que el anillo está
en el décimo dedo. Como si el resultado de las adiciones y multiplicaciones fuese 1.353
del cual, quitando 250, quedan 1.103. Quitando 100 quedan diez cientos. De aquel cien
haz decenas y serán 10 decenas y 10 cientos. Por esto dirás que la décima persona tiene
el anillo en el décimo dedo y en la tercera falange (...). Y de este mismo modo puedes
adivinar si alguien lanza tres dados cuántos puntos obtendrá.
Comentario
El juego del anillo tiene como objetivo adivinar quién tiene una sortija, en qué mano, en qué
dedo y en qué falange.
Para ello se asigna un número de orden a cada una de las personas que participan en el
juego (1, 2, 3, . . .) y un número a cada dedo y a cada falange, tal como se detalla en la tabla
siguiente.
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Falange superior
Falange media
Falange inferior
Pulgar dcho. [= 1]
1
2
3
Índice dcho. [= 2]
1
2
3
Medio dcho. [= 3]
1
2
3
Anular dcho. [= 4]
1
2
3
Meñique dcho. [= 5]
1
2
3
Pulgar izqdo. [= 6]
1
2
3
Índice izqdo. [= 7]
1
2
3
Medio izqdo. [= 8]
1
2
3
Anular izqdo. [= 9]
1
2
3
Meñique izqdo. [= 10]
1
2
3
Después de esta codificación, el adivino invita a una de las personas participantes que realice
en secreto los siguientes cálculos:
(1) Multiplicar por 2 el número de orden de la persona que tiene el anillo.
(2) Sumar 5 al producto anterior.
(3) Multiplicar por 5 la suma anterior.
(4) Sumar al producto anterior el número del dedo en el que está la sortija.
(5) Multiplicar por 10 la suma anterior.
(6) Añadir a este producto el número de la falange en la que está el anillo.
Habiendo llegado a este punto, la persona que ha efectuado los cálculos debe comunicar al
adivino el resultado del apartado (6). Entonces, el adivino le resta 250 y obtiene un número
tal que:
• Sus unidades indican la falange en la que está la sortija.
• Sus decenas señalan el dedo en el que está el anillo.
• Sus centenas indican el número de orden de la persona que tiene la sortija.
La fiabilidad de este procedimiento se apoya en el siguiente razonamiento. Sean:
a = número de orden de la persona que tiene el anillo (dicho número puede tener más
de un dígito).
b = número del dedo en el que está el anillo ( b
 {1, 2, . . . , 10}).
c = número de la falange en la que está el anillo (c
 {1, 2, 3}).
Entonces, las operaciones realizadas durante el proceso de adivinación conducen inevitablemente al resultado siguiente:
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[((2a + 5)5 + b)10 + c] – 250 = [(10a + 25 + b)10 + c] – 250 =
= (100a + 250 + 10b + c) – 250 = 100a + 10b + c
que es la forma polinómica, en base 10, del número abc.
Notemos que cuando b = 10 (la sortija está en el meñique izquierdo) el número que se obtiene
después de realizar todos los cálculos es:
100(a + 1) + 0 + c = 100a + 100 + c = 100a + 10 · 10 + c
4.4. El juego del círculo
Si alguien tiene un número de monedas de oro o plata, o cualquier otra cosa, dispuestas
en círculo y un hombre piensa una moneda en su mente, la que él quiera, si tu quieres
hacerle creer que sabes la moneda que el ha pensado pídele primero cuántas monedas
hay. Después, señala una moneda cualquiera y dile que empiece a contar desde ella,
yendo primero hacia la mano derecha (hasta que llegue a la moneda que ha pensado).
Y tú, en el mismo sentido y secretamente, cuenta (todas) las monedas, empezando
por la misma moneda, hasta el número que quieras. Y la última la contarás por dos.
Después, dirás al otro que empiece a contar a partir de su número secreto donde tú has
dejado de contar y que cuente en sentido contrario y donde se cumpla el número que
tú has contado allí estará la moneda que el pensó. Como, por ejemplo, si fuese un círculo con diez monedas designadas por a, b, c, d, etc. ... yendo hacia la mano derecha.
Supongamos que la moneda f es la que él había pensado. Le puedes decir que empiece a
contar desde la moneda que quieras. Pongamos que empieza en la moneda a, contando
hacia b, c,..., hasta que llega a la moneda que ha pensado, será 6, y que recuerde este
número. Hecho esto, cuenta desde a, yendo hacia b, c, . . . de tal modo que, cuando
hayas recorrido todo el círculo, la moneda a será 11 (...), la b será 12, y continuando así
contarás hasta el número que quieras. Digamos que cuentas hasta el 17. Y la moneda que
es 17 la debes contar dos veces, y será 18, que será la moneda g. Hecho esto le dirás
que a partir del número que tiene en su entendimiento, el 6, empiece a contar desde
la moneda g mirando el círculo al revés, hacia f, e, d, . . ., y que cuente hasta 17 y que
enseñe la moneda donde está el 17 y será la moneda g y porque tu cuenta era 18 dirás
que la moneda que va después, que es la moneda f, es la moneda que había pensado.
Y si en un baile circular quisieses adivinar la dama en la que otro ha pensado lo podrías
hacer por la misma regla.
Comentario
Dado un conjunto de n monedas dispuestas en un círculo, el juego anterior tiene como objetivo descubrir la moneda que alguien ha pensado.
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La adivinación consta de las etapas siguientes:
• El adivino elige una moneda como origen (la gris del diagrama adjunto) y, a partir de ella,
el ayudante cuenta en secreto desde 1 en adelante, en el sentido contrario al de las agujas
del reloj, hasta que llega a la moneda que ha pensado (la rayada del diagrama adjunto). Sea
p el número que cuenta al llegar a dicha moneda ( 1 ≤ p ≤ n).
• El adivino, empezando desde el origen, cuenta desde 1 en adelante, en el sentido contrario
al de las agujas del reloj, hasta llegar a cualquier número mayor o igual que n +1. Sea q el
número de la moneda a la que llega el adivino al acabar la cuenta (véase el diagrama adjunto)
y sea a el número con el que la finaliza. Resulta claro que a = q + kn (k
 N – {0}).
• Habiendo llegado a esta situación, el adivino invita al ayudante a que, empezando desde
la moneda q, cuente secretamente desde el número p + 1 en adelante y en el sentido de
las agujas del reloj hasta llegar al número a. La moneda a la que habrá llegado después de
este proceso será la p + 1, anterior (contando en el sentido de las agujas del reloj) a la que
había pensado.
La justificación del juego resulta inmediata, si atendemos al razonamiento siguiente:
Si se cuenta desde la moneda cuyo número asociado es p, en el sentido contrario al de las
agujas del reloj, empezando por p + 1 y acabando en a = kn + q, entonces los números que
irán recorriendo las monedas p, p + 1, q – 1 y q (véase el diagrama anterior) se detallan en
la tabla siguiente:
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p
p+1
...
q–1
q
p+1
p+2
...
q
q+1
p+1+n
p+2+n
...
q+n
q+1+n
p + 1 + 2n
p + 2 + 2n
...
q + 2n
q + 1 + 2n
.
.
.
.
.
.
...
.
.
.
.
.
.
kn + (p + 1)
kn + (p + 2)
...
kn + q
kn + (q + 1)
.
.
.
.
.
.
...
.
.
.
.
.
.
En consecuencia, el número a = kn + q estará en la columna q – 1.
Es decir: el ayudante parará de contar en la moneda q – 1.
Obviamente, si se cuenta desde la moneda cuyo número asociado es q, en el sentido de las
agujas del reloj, empezando por p + 1 y acabando en a = kn + q, entonces los números que
irán recorriendo las monedas p, p + 1, q – 1 y q se detallan en la tabla siguiente (obtenida a
partir de la anterior invirtiendo el orden de las monedas):
q
q–1
...
p+1
p
p+1
p+2
...
q
q+1
p+1+n
p+2+n
...
q+n
q+1+n
p + 1 + 2n
p + 2 + 2n
...
q + 2n
q + 1 + 2n
.
.
.
.
.
.
...
.
.
.
.
.
.
kn + (p + 1)
kn + (p + 2)
...
kn + q
kn + (q + 1)
.
.
.
.
.
.
...
.
.
.
.
.
.
Por tanto, a = kn + q estará en la columna p + 1.
Dicho en otras palabras: el ayudante parará de contar en la moneda p + 1, anterior a la
moneda p que había pensado.
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5. IMPLICACIONES DIDÁCTICAS
5.1. Las actividades de enseñanza y aprendizaje
Inspirándonos en las anteriores recreaciones matemáticas, presentamos dos actividades de
enseñanza y aprendizaje dirigidas a los alumnos y alumnas de magisterio.
Actividad 1. Para adivinar el número que alguno ha pensado
Si quieres saber el número que alguien ha pensado o los dineros que tiene en una bolsa,
dile que tome la mitad y si no tiene mitad justa que tome 1 más y que lo añada al número
que había pensado. Y lo que venga que lo multiplique por 3. Y de aquella multiplicación,
que saque una vez, o muchas, los nueves que se puedan. Y después, pídele si sobra algo
y si responde que sí lo contarás como 1. Y después, por cada 9 contarás 2 y tanto será
el número que había pensado. Como, por ejemplo, si alguien piensa el 7, dile que tome
la mitad, que será 4, y que la añada al número que ha pensado, vendrán 11. Después,
dile que los multiplique por 3, serán 33. Ahora, secretamente, dile que saque 18 y que
guarde la resta 15. Dile que saque otros 18. Dirá que no puede. Dile entonces que saque
9 y cuando lo haya hecho dile si sobra algún residuo. Si dice que sí cuéntalo como 1, y
3 nueves que ha sacado, cuenta 2 por cada uno, son 6, y 1 por lo que le sobra son 7,
que es el número que había pensado.
El texto anterior es la traducción al castellano de un pasaje contenido en un manual del siglo
XVI, la Pràtica mercantívol, escrito en catalán.
En él se presenta un método para adivinar el número que alguien ha pensado.
• El análisis del texto y del procedimiento
1. Analiza el texto y escríbelo de forma que resulte más claro.
2. Describe el proceso de adivinación indicando las fases de que consta.
• La justificación matemática
3. Justifica matemáticamente la validez del procedimiento.
• La aplicación en el aula
4. ¿Qué contenidos matemáticos se pueden desarrollar con este juego?
5. ¿Se puede utilizar este juego con alumnos y alumnas de Primaria?
6. ¿Qué contenidos matemáticos se pueden desarrollar y qué objetivos didácticos se pueden
alcanzar con este juego si se propone a alumnos y alumnas de Educación Primaria?
7. ¿Qué metodología utilizarías para trabajar esta recreación con tus alumnos y alumnas?
Actividad 2. El juego del anillo
Sea una compañía de mucha gente en la que una tiene un anillo de oro o plata. Si tu
quieres saber quién lo tiene, en qué mano, en qué dedo y en qué falange, es preciso que
las personas estén sentadas en orden de manera que una sea la primera, otra la segunda,
etc. De forma similar, los dedos deben ordenarse, de 1 a 10, de modo que el pulgar de
la mano derecha sea el primero y el de la mano izquierda sea el sexto. Hecho esto, apártate un poco de ellos y dile a uno que cuente las personas que hay hasta la que tiene el
anillo. Cuando las haya contado dile que doble aquel número y que le añada 5. Después,
dile que multiplique dicha suma por 5. Después, dile que cuente los dedos, desde el
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La Historia de las Matemáticas como recurso didáctico: algunas recreaciones
matemáticas contenidas en una Aritmética catalana del siglo XVI
primero hasta el que tenga el anillo, y que lo sume al último resultado. Después, dile que
multiplique por 10 la suma anterior y cuando lo haya hecho dile que sume el número
de falanges del dedo en el que está el anillo. Después, dile que diga el resultado. Réstale
250 y de la diferencia has de saber que las centenas representan el número de la persona que tiene el anillo, las decenas representan el dedo, y la primera figura del número
demuestra la falange en la que está el anillo. Ejemplo: supón que el número que te han
dicho es 642. del que secretamente restas 250, quedan 392. Entonces puedes decir que
la tercera persona tiene el anillo en el noveno dedo y en la segunda falange. Si sucede
que, cuando hayas restado 250 del número que te han dicho, en el lugar de las decenas
resulte 0 es preciso tomar un centenar y convertirlo en decenas y dirás que el anillo está
en el décimo dedo. Como si el resultado de las adiciones y multiplicaciones fuese 1.353
del cual, quitando 250, quedan 1.103. Quitando 100 quedan diez cientos. De aquel cien
haz decenas y serán 10 decenas y 10 cientos. Por esto dirás que la décima persona tiene
el anillo en el décimo dedo y en la tercera falange.
En el texto anterior, traducción al castellano de un párrafo contenido en la Pràtica mercantívol (1521), se describe un procedimiento que permite adivinar quién tiene un anillo, en qué
mano, en qué dedo y en qué falange.
• El análisis del texto y del procedimiento
1. Analiza el texto y escríbelo de forma que resulte inteligible.
2. Describe el proceso de adivinación indicando las fases de que consta.
• La justificación matemática
3. Justifica matemáticamente la validez del procedimiento. Presta atención al caso
dudoso que se presenta cuando el anillo está en el décimo dedo.
• La aplicación en el aula
4. ¿Qué contenidos matemáticos se pueden introducir, desarrollar o afianzar con este
juego de adivinación? ¿Qué objetivos didácticos se pueden alcanzar?
5. ¿Cómo escenificarías esta recreación con alumnos y alumnas de Primaria?
• El diseño de nuevas recreaciones
6. Describe un procedimiento que permita adivinar los puntos obtenidos al lanzar tres
dados al aire.
5.2. La metodología
Trabajo en pequeño grupo cooperativo (cuatro miembros por grupo) y puesta en común de los
resultados obtenidos por los distintos grupos.
Acto seguido ofrecemos algunas recomendaciones que deberían seguir los alumnos y los
profesores a la hora de trabajar en grupo cooperativo en un contexto de resolución de
problemas.
5.2.1. Recomendaciones para los alumnos
• Comparte tus ideas con los compañeros y compañeras. Explícaselas, justifícalas, discútelas
con ellos. No olvides que trabajando en grupo también se aprende.
• Escucha las ideas de tus compañeros y compañeras, pueden ser mejores que las tuyas. Haz
una crítica constructiva de ellas y compáralas con las tuyas.
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• Se respetuoso con las opiniones de tus compañeros y compañeras.
• No interrumpas ni permitas a los demás que interrumpan al que esté hablando.
• Intenta llegar a acuerdos con tus compañeros y compañeras. Sería deseable que las soluciones de los problemas fuesen compartidas por todos los miembros del grupo.
• Pide ayuda a tus compañeros y compañeras cuando tengas alguna dificultad. Hazlo de
manera directa, con preguntas claras, precisas y específicas.
• Ayuda a tus compañeros y compañeras cuando lo necesiten. Utiliza para ello un lenguaje
que les sea familiar.
• El profesor está disposición del grupo para ayudaros en todo lo que creáis necesario. No le
molesta que le pregunten, que le pidan ayudas, sugerencias, etc. Aprovechad esta disponibilidad.
5.2.2. Sugerencias para el profesor
• Anima a los alumnos y alumnas para que desempeñen un papel activo en el trabajo en
grupo.
• No interrumpas ni permitas a los demás que interrumpan al que esté hablando.
• Escucha y valora todas las opiniones. No intentes imponer tu punto de vista.
• Procura dar muestras de cercanía y disponibilidad a tus alumnos y alumnas. Procura ser
sensible a sus necesidades de ayuda y a sus señales de desfallecimiento, nerviosismo, etc.
• Cuando surjan conflictos (tensiones, antagonismos, ...) entre los miembros del grupo, intenta
resolverlos.
• Procura que todos los alumnos y alumnas compartan sus ideas con los demás, que las expliquen, justifiquen y que las discutan con ellos.
• Anima a tus alumnos y alumnas a que escuchen las ideas de los demás, a que sean respetuosos con sus opiniones, a que hagan críticas constructivas de las ideas ajenas y a que
acepten a los demás tal como son.
• Procura que todas las decisiones del grupo sean consensuadas.
• Inculca en tus alumnos y alumnas la sensibilidad hacia las señales de desfallecimiento y
nerviosismo de sus compañeros y a sus necesidades de ayuda.
• Introduce nuevas ideas cuando decaiga la discusión entre los miembros del grupo.
• No te precipites en dar respuestas. En ocasiones, esperar antes de responder a una pregunta
es la mejor opción del profesor.
• Da respuestas adecuadas a las necesidades de ayuda de los alumnos y alumnas.
• Ayuda a los miembros del grupo a clarificar sus ideas utilizando un lenguaje que les resulte
familiar.
• Utiliza ejemplos concretos para ilustrar conceptos y procedimientos generales.
• Haz uso de representaciones múltiples (números, diagramas, simbolismo algebraico, etc.)
para explicar conceptos y procedimientos.
• No formules preguntas que sólo requieran respuestas monosilábicas.
• Cuando pidas información a los alumnos y alumnas, hazlo de manera directa, con preguntas
claras.
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La Historia de las Matemáticas como recurso didáctico: algunas recreaciones
matemáticas contenidas en una Aritmética catalana del siglo XVI
• Da oportunidad a tus alumnos y alumnas para que resuelven los problemas por sí mismos.
• Cuando sea preciso, dirige la atención de los miembros del grupo a los aspectos relevantes
de un problema.
• Cuando sea necesario, remite a los alumnos y alumnas a un problema similar al que están
intentando resolver y que ya haya sido resuelto.
• Cuando te lo soliciten, sugiere a los integrantes del grupo el procedimiento, el instrumento
o la representación adecuada para resolver un problema.
• Si lo consideras oportuno, ayuda a los alumnos y alumnas a reducir un problema a otro
equivalente.
• Si es necesario, ayuda a los alumnos y alumnas a reducir un problema a un conjunto jerarquizado de subproblemas más fáciles.
• Procura que los miembros del grupo, una vez resuelto el problema, se acostumbren a revisar todo el proceso, a comprobar el resultado, a estudiar si el problema admite más de una
solución, a que intenten resolverlo por otro procedimiento, a que utilicen sus métodos de
resolución para hacer frente a otros problemas y a que propongan nuevos problemas a partir
del que han resuelto.
5.3. Los objetivos generales y los contenidos matemáticos
Con la puesta en práctica de las dos actividades de enseñanza y aprendizaje anteriores se
pretende que los alumnos y alumnas alcancen los tres objetivos siguientes:
• Reconocer y valorar la utilidad de la Historia de las Matemáticas como fuente de materiales
y recursos para la enseñanza y el aprendizaje.
• Reconocer y valorar la importancia de las Matemáticas como herramienta para comprender,
describir y resolver problemas no necesariamente matemáticos.
• Reconocer y valorar la utilidad del trabajo en grupo para la construcción del conocimiento
matemático.
Por otro lado, con las actividades propuestas se pueden introducir, desarrollar o afianzar los
siguientes contenidos de carácter conceptual, procedimental o actitudinal:
• Operaciones elementales con números naturales (adición, sustracción, multiplicación y
división).
• Expresiones algebraicas elementales.
• Sistema de numeración decimal: expresión polinómica de un número en base 10.
• Confianza en las propias capacidades para resolver problemas matemáticos.
• Perseverancia en la búsqueda y obtención de soluciones a problemas matemáticos.
• Reconocimiento y valoración de la utilidad de las Matemáticas para explicar nuestro
entorno.
• Reconocimiento y valoración de la Historia de la Matemática Recreativa como fuente de
materiales y recursos didácticos.
Mayo 2005 • 2005ko Maiatza
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Vicente Meavilla Seguí
BIBLIOGRAFÍA
Fuentes
de la ROCHE, E, 1520: Larismethique nouellement composee... Lion, Constantin Fradin.
VENTALLOL, J., 1521: Pràtica mercantívol. Lión, Joan de la Place .
Literatura secundaria
de GUZMÁN, M., 1977: Mirar y ver. Madrid, Editorial Alhambra, S. A.
FLEGG. G. et al., 1985: Nicolas Chuquet, Renaissance Mathematician. Dordrecht, D.
Reidel Publishing Company.
MEAVILLA, V., 2001: “Historia de las Matemáticas: algunos ejemplos de magia numérica
extraídos de viejos libros”. EUREKA. Universidad Autónoma de Querétaro (México).
Revista de la Licenciatura en Matemáticas Aplicadas., nº 17, pp. 24-32.
MEAVILLA, V., 2001: Aspectos históricos de las Matemáticas elementales. Zaragoza,
Prensas Universitarias de Zaragoza.
SINGMASTER, D., 1992: “The unreasonable utility of recreational mathematics”. First
European Congress of Mathematics, París.
NOTAS
(1) Los primeros manuales con tablas de interés se publicaron en 1558 y 1583 por Jean Trenchant y Simon Stevin, respectivamente.
(2) El juego del novenario y los tres restantes también se encuentran en Larismethique nouellement composee par maistre Estienne
de la roche dict Villefranche natif de Lyon......, publicada en 1520. Esta coincidencia nos hace sospechar que Ventallol pudo
conocer dicha Aritmética francesa que está inspirada en el manuscrito Triparty en la science des nombres...(1484) de Nicolas
Chuquet y que también contiene las recreaciones de la Pràtica mercantívol.
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