Ayudantia 1: Logica Proposicional y Equivalencias

Ayudantia 1: Logica Proposicional y Equivalencias
DEF: Proposicion: Oracion declarativa que puede ser verdadera o falsa, pero no ambas.
Ejemplos
•
Santiago es capital de argentina  Es una proposicion falsa.
•
Que dia es hoy?  No es una proposicion.
•
X+3 = 5  No es proposicion, por que no se sabe si es verdadero o falso.
Tablas:
Negacion
P ¬p
V F
F V
Conjuncion
P
Q
P∧Q
V V V
V F F
F V F
F F F
Disyuncion (Inclusivo)
P Q PVQ
V V V
V F V
F V V
F F F
Disyuncion (Exclusivo) aqui el O es un circulo con una “X” dentro.
P Q POQ
V V F
V F V
F V V
F F F
Implicancia: P es la “premisa” o “antecedente” y Q es la “conclusion”
P
V
V
F
F
Q
V
F
V
F
PQ
V
F
V
V
Doble Implicancia
P
V
V
F
F
Q
V
F
V
F
PQ
V
F
V
V
Como identificar o reconocer las implicancias ()?
-
“Si P implica Q”
-
“Si P,Q”
-
“Q cuando P”
-
“P solo si Q”
-
“Q siempre que P”
-
“P es suficiente para Q”
“Formas” de la implicancia:
-
Reciproca: QP
-
Contrareciproca: ¬Q¬P
-
Inversa: ¬P¬Q
Ejemplo: “El equipo local gana siempre que llueve.”
P = El equipo local gana.
Q = Llueve.
Reciproca: Llueve siempre que el equipo local gana.
Contrareciproca: No llueve si el equipo local no gana.
Inversa: El equipo local no gana cuando no llueve.
DEF: Dos formulas son equivalentes cuando siempre tienen los mismos valores de verdad.
Proridad de operadores:
-¬
-∧
-V
-
- 
DEF: Se dice que un conjunto de expresiones son consistentes cuando existe una asignacion de valores
de verdad que hagan que todas las expresiones sean verdaderas.
DEF: Una tautologia formula que siempre es verdadera. Una contradiccion es una formula que siempre
es falsa. Una contingencia es una formula que no es tautologia no contradiccion.
Ejemplo:
-
P∧¬P es contradiccion.
-
PV¬P es tautologia.
DEF: Dos proposiciones P y Q son logicamente equivalentes si PQ es tautologia.
Notacion: “P ≡ Q” denota que P y Q son logicamente equivalentes.
OJO: “≡” no es conector logico!!
Tips:
-
Siempre concluir ()
-
Demarcar la respuesta final.
-
En equivalencias: Utilizar “≡” paso a paso.
-
En equivalencias: explicar leyes paso a paso.
-
No hacer que el profe asuma por uno.
Ejercicios:
1)
2)
(PQ)(P V Q)
≡ [ (PQ)  (P V Q)] ∧ [ (P V Q)(PQ) ] //Aqui se anota el “como llegue a este paso desde el
anterior” (Eliminacion de )
≡[ ¬ (¬P V Q) V (P V Q)] ∧ [¬ (P V Q) V (¬P V Q) ] // Eliminacion 
≡[ (P ∧ ¬Q) V P V Q ] ∧ [ (¬P ∧ ¬Q) V ¬P V Q ] // Ley de Morgan
≡[ P V Q ] ∧ [ ¬P V Q ] // Ley de Absorcion
≡[( P V Q) ∧¬P] V [( P V Q) ∧ Q ] // Leyes deDistribucion con (P V Q)
≡[( P V Q) ∧¬P] V Q //Ley de Absorcion
≡[( P ∧¬P ) V (Q ∧ ¬P)] V Q // Ley distributiva con ¬P
≡[ F V (Q ∧ ¬P)] V Q // Ley de contradiccion.
≡(Q ∧ ¬P) V Q // Ley de identidad
≡ Q // Ley de absorcion
3)
Por lo tanto se demuestra la equivalencia logica.
4) Demuestre la siguiente equivalencia logica:
((¬PV¬Q)( P∧ Q ∧ R)) P ∧ Q
≡(¬ (¬PV¬Q)V ( P ∧ Q ∧ R)) // Eliminacion 
≡((P ∧ Q)V ( P ∧ Q ∧ R)) // Ley de Morgan
≡((P ∧ Q)V (( P ∧ Q) ∧ R)) // Ley asociativa (Se le puso parentesis a “P ∧ Q” en el lado derecho )
≡(P ∧ Q) // Ley de Absorcion
Por lo tanto se demuestra la equivalencia logica.
5)Es consistente la siguiente especificacion?
“La red inalambrica perdera su nivel de ancho de banda solo si se ha instalado la nueva antena
repetidora. Por otro lado, para que la red inalambrica soporte nuevos usuarios es necesario que se haya
instalado la nueva antena repetidora. La red inalambrica perdera su nivel de ancho de banda solo si
soporta a los nuevos usuarios. La red inalambrica mantiene su ancho de banda.”
Solucion: Las variables proposicionales se pueden definir como sigue:
-P: La red inalambrica perdera su ancho de banda.
-Q: Se ha instalado la nueva antena repetidora.
-R: La red inalambrica soporta nuevos usuarios.
Las especificaciones se pueden escribir asi:
QP
QR
RP
¬P
Para que las especificaciones sean consistentes, se debe encontrar una asignacion de valores de verdad
que haga todas las especificaciones verdaderas al mismo tiempo. Por lo tanto, P debe ser falsa. Como P
es falsa, Q y R deben ser falsas tambien. Esta asignacion de valores de verdad hacen que todas las
especificaciones sean verdaderas y por lo tanto, el sistema es consistente.