El valor de fluencia y su relación con la plasticidad de un sistema

El valor de fluencia y su relación
con la plasticidad de un sistema
formado con arcilla y agua
Uso de un aparato de dimensiones arbitrarias, según Pfefferkorn
Dr. H. I. CHAMORRO, Dr. T. G. KRENKEL
y Lie. I. L. BOTTO
Departamento de Tecnología Química
Facultad de Ciencias Exactas
Universidad Nacional de La Plata
(República Argentina)
RESUMEN
El propósito de este trabajo es el desarrollo y crítica de una fórmula
que permite calcular valores de fluencia, a partir de ensayos realizados
mediante el uso del plasticimetro de Pfefferkorn.
Se efectuaron ensayos con un plasticimetro de dimensiones arbitrarias y se discuten los resultados obtenidos y los alcances del método,
con vistas a la determinación del valor de fluencia, en un sistema
compuesto por arcilla y agua.
SUxMMARY
The purpose of this work is the development and critical examination of a formula which alloios fluency values to be calculated from
tests carried out by use of the Pfefferkorn plasticimeter. Tests were
made with a plasticimeter of arbitrary dimensions and the results
obtained and the scope of the method were discussed with a view to
determining the fluency value in a clay-water system.
i.
Introducción
El valor de fluencia es una propiedad característica asociada con la plasticidad,
y se puede deñnir, según sea el método experimental aplicado al sistema en estudio, de la siguiente manera:
a) Valor máximo de resistencia a la deformación, para el cual se cumple la
ley de Hooke.
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EL VALOR DE
FLUENCIA...
b) Esfuerzo mínimo necesario para deformar una pasta de modo permanente.
c) Esfuerzo mínimo necesario, en un sistema de ñujo, para que una pasta
comience a fluir con velocidad uniforme.
En la práctica, la condición de fluencia o valor de fluencia indica el nivel
de esfuerzo para el cual tiene lugar una deformación plástica significativa (7).
De acuerdo con comprobaciones experimentales (2), existen materiales para
los cuales los valores definidos según a, b y c son diferentes, aunque en general
a y b son coincidentes.
El trabajo experimental fue realizado con pastas formadas por arcilla y agua,
con las que se confeccionaron probetas cilindricas, que pueden ser consideradas
homogéneas, isótropas e incompresibles. Estos cilindros fueron deformados en
diferentes condiciones de ensayo, con objeto de comprobar la validez de una
fórmula que permita utilizar un plasticímetro de Pfefferkorn de dimensiones
arbitrarias.
IL Desarrollo teórico
El análisis de los esfuerzos puestos en juego en los ensayos de deformación
por compresión, según el método de Pfefferkorn, permite obtener un valor de
fluencia característico del sistema en estudio.
En primer término se debe establecer una relación entre el valor del esfuerzo en compresión, con respecto al esfuerzo en corte (shear stress in simple shear).
Si se considera el modelo de Tresca (7), cuya condición de flujo está representada geométricamente en un sistema de coordenadas cartesianas ortogonales,
por un exágono regular, y en el cual los vértices representan estados desviatorios de esfuerzo asociados con tracción o compresión uniaxial, la condición de
fluencia está dada por
o- = 2Y
[1]
donde o- es la presión de compresión, e Y es el valor de fluencia (en corte).
Se llega a la misma conclusión mediante el análisis del esfuerzo de corte
máximo Y^ax» ^n ^1 círculo de Mohr.
La relación anterior está basada en el modelo de Tresca y ha sido aplicada
por A. Geleji (5), y posteriormente por Th. Hasse (6), quien la comparó con resultados experimentales de otros autores y logró una cierta concordancia.
Si se considera el modelo del sólido de Mises, en el cual la condición de
flujo está dada por una circunferencia inscrita en el exágono de Tresca, el valor
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SOG.
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de la presión por compresión está también relacionado con el valor de fluencia
en corte:
o- = / B " Y
[2]
Esta relación ha sido utilizada por Capriz (3) para llegar a la fórmula que
se analiza más adelante, que relaciona el valor de fluencia con los valores de
deformación obtenidos mediante ensayos según el método de Pfefferkorn.
Al mismo resultado se llega por medio de un desarrollo analítico.
Para algunos casos sencillos de flujo de materiales no newtonianos (1) resulta :
r=z—r¡A
[3]
donde r es el tensor de esfuerzo y A es el tensor de velocidad de deformación
simétrico, con componentes cartesianos
t] es la viscosidad no newtoniana, que es una función escalar del tensor A, por
este motivo debe depender solamente de los invariantes del tensor velocidad
de deformación :
I.. = (A:c)) = 2 A i
II, = (A:A) = S A A , A i
[4]
III3 = d e t A ==:SiS,i5k^ijkA,A23A3j,
donde c> es el tensor unidad (adimensional), y e^^ es el tensor alternante unidad. En la ecuación [4], el primer invariante, que corresponde a 2 (V • i?)
donde v es la velocidad, es cero para un fluido incompresible, y el tercer invariante se anula o es despreciable para estos sistemas, por lo cual se puede
considerar a ?/ como una función de (A:A). Si se tiene esto en cuenta, el
modelo de Bingham resulta
+
V^
.(A: A)
para
•(r:r)>Y^
[51
donde Y es el valor de fluencia.
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La ecuación [5] desarrollada se puede escribir en la siguiente forma:
' X
' xy
' xz
(
T
O
O
'yx
^ y
* yz
O
cr
O
' zx
' '¿y
^ z
O
O
O-
+ /
+
dVz
dv^
dy
dx
dz
2- ^""'^
dy
dv.
dy
dVy
dx
dx
dVy
dy
dx
àVy,
àVz
dz
dx
1/4
dVy
dz
dVy
+
[6]
~dr~
dv^^
dz
dVj,
+
(A: A)
dy
donde el primer término es el tensor desarrollado, y el primer término del segundo miembro es igual al valor negativo de la presión para un fluido viscoso:
1 / 3 (o-x +
O-y +
cr,) : = o- =
[7]
p
Para un esfuerzo normal de compresión realizado en una dirección z, los componentes del tensor velocidad de deformación, en un sistema de coordenadas
cilindricas (r, O, z), serán:
dVz
dVz
dVz
dz
dz
dz
y el segundo invariante de la ecuación [4] :
reemplazando en la ecuación [6]
<^z = —P
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+
VM-t-r
dv.
dz
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o-, = — p
+
[8]
como el esfuerzo se realiza sólo en la dirección z, tendremos que en la ecuación [7], Ö-X = ö-y = O, y por lo tanto
— p-l/3cr,
reemplazando en la ecuación [8]
1
0-, =
1
-
dv,
^ 2Y
— - — 0-, — 2>] — ;
2
i
^
dv..
^
2Y
CT, = - 3 , , 4 - ' ' " + ^/'3'Y
como el primer término de la derecha es despreciable
CT,
V/TY
[9]
En el método de determinación de la plasticidad, según Pfefferkorn, se deforma un cilindro tipo mediante la compresión que sufre por acción de un plato
rígido que cae desde una altura determinada. La pérdida de energía del plato
es equivalente al trabajo de deformación realizado en el cilindro:
W = [FC^S
[10]
donde W es el trabajo, F la fuerza y S el espacio recorrido. Para este caso particular £^S = dH, donde dH es la variación de altura experimentada por el cilindro. Además :
W =^ hw
[11]
donde h es la carrera total del plato deformante, hasta su posición de equilibrio
y i¿) es la masa del mismo. De la ecuación [9] se tendrá que:
F = ö-,A = v T YA
y como dS = dH, reemplazando en la ecuación 10 se obtendrá:
hw = js/TYAdU
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[12]
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FLUENCIA...
como el volumen inicial y final es el mismo (condición de incompresibilidad) :
TTRO^HO^AH
[13]
donde R^ es el radio inicial del cilindro, H^ su altura inicial y H su altura final.
Reemplazando en la ecuación (12), se tiene:
hw = js/3
Y;rRo'HodH/H
e integrando entre H^ y H, se tendrá para el valor de ñuencia:
Y =
- ^
^/3 .Kmjn
-—
[14]
(-^)
que es la fórmula dada por Capriz (3).
Esta ecuación indica que el valor de ñuencia Y es una cantidad definida e
independiente, para el caso del plasticímetro de Pfefferkorn, de las dimensiones
del aparato o del cilindro en ensayo.
El valor de v^3 puede ser reemplazado por 2 si se considerara el modelo de
Tresca como el más apropiado, pero el desarrollo analítico permite atribuir mayor exactitud al modelo de Mises, que también, de acuerdo con otros autores
(Prager W. y Drucker D. C , en Eirich, op. cit., págs. 69 y 104), reproduciría
mejor el comportamiento experimental.
III. Parte experimental
Consistió en ensayos realizados con un plasticímetro, según Pfefferkorn, que
aparece descrito en un trabajo anterior de los autores (4), el cual fue modificado
de modo que permitiera variar el peso del plato rígido deformante del cilindro
de prueba y la altura de caída de dicho plato. Se utilizó como material de trabajo una pasta formada con agua y la arcilla M-513. Esta arcilla es de tipo caolilinítico y muy plástica (índice de plasticidad de Pfefferkorn = 31,6). Según se
concluye de su análisis por difracción de rayos X y análisis término diferencial,
está compuesta por caolinita y tiene cuarzo, feldespatos e ilita como impurezas
más importantes.
Se confeccionaron cilindros de 4 cm. de altura y 3 cm. de diámetro, con distintos porcentajes de agua. Luego se realizaron ensayos con los siguientes pesos de deformación w: 78 g. ; 756,4 g. ; 970 g. y 1.151 g., que caían desde una
altura constante de 12,8 cm. A continuación, con un peso de deformación constante de 1.151 g., se varió la altura de caída, colocándose inicialmente el plato
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deformante a 4 cm. ; 6 cm. ; 10 cm. y 20,7 cm. de altura sobre la base superior
del cilindro. Se realizaron en total 58 ensayos.
Un grupo de los valores experimentales y los cálculos involucrados aparece
en la tabla I. Los gráficos correspondientes a las determinaciones se presentan
en las figuras 1 y 2. Se eligió la representación semilogarítmica, dado que permite obtener una recta en cada caso.
TABLA I
Ejemplo de valores experimentales y calculados
N.°
Peso
(g.)
Altura total
de caída (cm.)
1
2
10
11
16
17
28
29
43
44
56
57
78
78
115,6
115,6
756,4
756,4
1.151
1.151
1.151
1.151
1.151
1.151
13,25
13,14
13,08
13,03
14,88
14,80
15,85
15,75
8,42
7,79
22,78
22,66
Relación de
deformación
1,13
1,09
1,07
1,06
2,08
2,00
4,12
3,81
2,53
1,81
2,08
1,96
Humedad
Valor de
fluencia
(g./cm.2)
Log. Y
33,8
31,3
29,6
28,8
30,9
30,0
32,0
31,4
32,0
30,6
26,5
26,8
173,5
246,4
463,8
535,9
314,6
330,5
263,8
277,5
196,8
309,1
733,2
794,5
2,239
2,392
2,666
2,729
2,498
2,519
2,421
2,443
2,294
2,490
2,865
2,900
IV. Análisis de los resultados
Los resultados obtenidos indican que, a pesar de existir una dispersión bastante uniforme, tanto en el caso de variación de peso como de altura, no hay una
tendencia definida y los valores de fluencia son independientes de las condiciones de ensayo, aunque es interesante hacer notar una pequeña variación cuando
cambia la altura de caída en forma significativa. Los valores de Y con el plato
deformante colocado inicialmente a 20,7 cm., son siempre más altos que los correspondientes a ensayos con igual peso, pero con el plato a sólo 4 cm. sobre el
cilindro, lo cual podría indicar la importancia de la cantidad de movimiento del
plato que cae, que sólo sería significativa para condiciones de operación muy
distintas de las típicas del aparato.
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LOGh
REFERENCIAS
Y
O
•
€
<t
2j8oL
w=78 9
w^115,6g
w=758,4ö
w=970;i 5
Q willst g
h =16,8 cm
2.4oL
2,CXX26
28
30
32
34
oHoO
FiG. 1.
Ü0Q(
Y
REFERENCIAS
OK^18,8cm
• h-8 cm
€h-tO cm
* h ^ l 4 cm
Ôh=24,Tcm
w ^1151 g
2ßoL
2,-401
2.00L
26
28
30
32
34
%H20
FiG. 2.
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La fórmula de Capriz tiene además singular importancia por lo que se pu^de
deducir de su análisis. Se considera en primer término un diagrama típico de
Pfefferkorn (fig. 3), en el cual se representa la relación de deformación en función del contenido de agua de la muestra (línea llena, donde la recta interpolada
señala el índice de plasticidad de Pfefferkorn, correspondiente a una relación de
deformación de 3,3. Se puede observar que cuanto mayor es la altura final del
FiG. 3.
cilindro deformado, para igual contenido de agua (línea punteada), la interpolación para 3,3 da un valor mayor del índice de plasticidad. En la fórmula de Capriz, el valor de Y, para un peso de deformación constante, es función de h y
H J H , ya que los otros términos son constantes. Como además la variación de h
es muy pequeña, se puede concluir que cuanto más plástica sea una muestra, para
una misma humedad, mayor será su valor de ñuencia.
Con un plasticímetro convencional el valor de hw será aproximadamente
20.000 y con las mayores relaciones de deformación obtenidas en la práctica
(alrededor de 15) se llega a valores de Y que difícilmente serán menores de
150 g./cm.^. Esto indica que para hallar valores de fluencia en pastas con humedad superior a la de la zona de trabajabilidad, se debe recurrir a otras condiciones de operación, variando no sólo el valor de hw, sino también las dimensiones del cilindro de prueba, factor que no se ha considerado en este trabajo.
Un problema similar lo constituyen las pastas muy secas, debido a la gran
dispersión de resultados que aparece cuando la relación de deformación es muy
pequeña (entre 1,02 y 1,10). En este caso los logaritmos de estos valores son
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muy diferentes, y el error final en el valor calculado de Y tiene una notable dispersión para ensayos con muestras de humedad parecida. En este caso también
es necesario recurrir a un cambio en las dimensiones del aparato, para poder
lograr determinaciones satisfactorias del valor de fluencia.
V.
Conclusiones
1. Las dimensiones del plasticímetro de Pfefferkorn, dentro de las condiciones de trabajo utilizadas, son prácticamente independientes de los valores de
fluencia y/o índices de plasticidad obtenidos.
2. Para una variación en la carrera total del peso deformante h, mayor que
las indicadas en este trabajo, se debe tener en cuenta la influencia de la cantidad de movimiento del mismo.
3. El valor de fluencia Y es directamente proporcional al índice de plasticidad, según Pfefferkorn.
4. Para hallar el valor de fluencia de pastas con humedad mayor que la
correspondiente a la zona de trabajabilidad o con contenido de agua menor
que el correspondiente al límite de cohesión, mediante el aparato de Pfefferkorn,
es necesario modificar las dimensiones del aparato. En el primer caso, para poder obtener valores de fluencia menores de 150 g./cm.^, y en el segundo, para
evitar una gran dispersión en los resultados experimentales.
AGRADECIMIENTOS.—El presente trabajo fue realizado con el auspicio del Consejo Nacional de Investigaciones Científicas y Técnicas, mediante una beca de
Perfeccionamiento en Investigación. Se agradece al doctor A. Cálvelo su asesoramiento en el desarrollo matemático.
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