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EUITA Departamento de Matemática Aplicada y Estadística.
Cálculo I
GIE32 Métodos Áctivos de Enseñanza Aprendizaje de las Matemáticas y la Estadística
Anexo I.3 Tema I. Conjuntos Numéricos: Reales y Complejos. Primera parte: Definición de los conjuntos numéricos: Definición. Parte real y parte imaginaria. Suma y producto. Axiomas de los números complejos. Cálculo del inverso. Conjugado de un número complejo. Propiedades del conjugado. Módulo y argumento de un complejo. Forma modulo‐argumental . Números complejos ^ = {a + ib / a, b ∈ R, i 2 = −1} . Donde Re( z ) = a; Im( z ) = b DEf
Forma binómica de un número complejo: z = a + ib . El cuerpo de los números complejos: Se definen dos operaciones internas: Suma: ( a + ib ) + ( c + id ) = (a + c) + i (b + d ) Producto: ( a + ib ) . ( c + id ) = (ac − bd ) + i (ad + bc) Axiomas de la suma: conmutativa, asociativa, existencia de elemento neutro y existencia de elemento opuesto: z1 + z2 = z2 + z1 ;
( z1 + z2 ) + z3 = z1 + ( z2 + z3 );
∃0 = 0 + 0i∀z ∈ R, z + 0 = z;
∀z ≠ 0 ∃(− z ), z + ( − z ) = 0
Axiomas del producto: conmutativa, asociativa, existencia del elemento unidad 1, existencia del inverso: z1.z2 = z2 .z1 ;
( z1 z2 ) z3 = z1 ( z2 z3 );
∃1 = 1 + 0i ∀z ∈ R
∀z ≠ 0 ∃(1/ z )
z.1 = z;
1
z. = 1
z
Distributiva: ( z1 + z2 ) z3 = z1 z3 + z2 z3 (Con estos axiomas los números complejos son un cuerpo) El conjugado de z = a + ib es z = a − ib . Propiedades: z1 + z2 = z1 + z2 ; z1.z2 = z1.z2 Modulo: z = z. z = x 2 + y 2 = ρ , z = x + iy Propiedades: z1.z2 = z1 z2 Argumento: es un ángulo, denotado por arg(z) = α , que verifica: ⎧⎪ x = z cos α
. Propiedades: arg ( z1.z2 ) = arg ( z1 ) + arg ( z2 ) ⎨
⎪⎩ y = z senα
El argumento principal Argz(z), con z ≠ 0 , al único argumento α ∈ ( −π , π ] (convenio) o bien α ∈ [ 0, 2π ) (convenio) Forma modulo‐argumental: ρα donde ρ = z y α = arg( z ) (equivale a las coordenadas polares empleada en R 2 ) Teorema todo número complejo se puede expresar de la forma: z = ρ eiα Formas de expresar un número complejo: Forma Binómica: z = a + ib Forma módulo argumental: ρα Forma exponencial: z = ρ eiα Forma trigonométrica ρ ( cos α + isenα )