Leyes de la óptica geométrica

9. La luz y la Óptica Geométrica
CONTENIDOS BÁSICOS
9.1
Teorías y controversias
sobre la naturaleza de la luz.
9.2
Medidas de la velocidad de la
luz.
9.3
Propagación de la luz.
9.4
Reflexión de la luz.
9.5
Refracción de la luz.
Dioptrios
9.6
Lentes.
9.7
Instrumentos ópticos.
INFOFÍSICA
La cámara reflex un instrumento muy
interesante.
El telescopio espacial Hubble.
Fotografía del telescopio espacial Hubble tomada de la dirección
www.cosassencillas.com/.../
La Óptica, es la ciencia de la luz y de la visión. La percepción que tenemos del
mundo, principalmente nos llega por la luz, y con ella podemos explorar desde
el Universo, en apariencia infinito, hasta el mundo de lo más pequeño, como
las moléculas y los átomos.
La luz es nuestra más importante fuente de información, descubre nuestro
entorno cotidiano, y permite apreciar el color, el arte y la belleza. Tal vez sea
la primera maravilla de la naturaleza
Desde que el hombre ha desarrolló fuentes de luz artificiales, su tiempo de
actividad y ocio, se han alargado notablemente, lo que ha contribuido a una
mejor utilización de nuestra vida.
El estudio de la luz realizado por los científicos durante varios siglos, ha
favorecido mucho el desarrollo de la Humanidad, ¿cuántos instrumentos
podrían considerarse más útiles que unas gafas?.
Otros instrumentos, como los microscopios y telescopios, permiten la
exploración del mundo, desde los más pequeño y próximo, a lo más grande y
lejano, como las galaxias y los cuásares.
1
9.1
Teorías y controversias sobre la naturaleza de la luz
9.1.1
MODELOS EN LAS ANTIGUAS CIVILIZACIONES
Ya en tiempos de la Grecia Antigua, los intelectuales se hacían preguntas
sobre los fenómenos naturales. Como la percepción del mundo se obtiene
principalmente a través de la vista, las cuestiones relativas a la naturaleza
de la luz, ocuparon también sus pensamientos.
Para las antiguas civilizaciones, la percepción visual de los cuerpos
requería algo que enlazará al sujeto, con el objeto visto, y así la escuela
atomista, según escritos atribuidos a Leucipio, (-430 a.C) sostenía, que los
objetos emitían pequeñas partículas, que saliendo de ellos, venían a través
de los ojos a nuestra alma, con sus formas colores y cualidades.
Un punto de vista distinto ofrecía la escuela pitagórica, la visión se
producía por medio de un flujo invisible, que saliendo de los ojos a modo de
tentáculos, iba a tocar y explorar los objetos, poniendo de manifiesto su
forma y color, algo así como el sentido del tacto. Basándose en ella,
Euclides (–300 a.C.) introduce varios conceptos: el de rayo, sobre el
supuesto de que lo emite el ojo, la propagación rectilínea de la luz, y ciertas
condiciones geométricas de la visión, como tamaño de imágenes y ángulos,
estableciendo la ley de la reflexión de la luz.
9.1.2
MODELO CORPUSCULAR
A finales del siglo XVI comienza una gran actividad en el estudio de la
Óptica. En 1621 el holandés Snell (1591-1626), descubre la ley de la
refracción, que no se hizo pública hasta 1638, por Descartes.
En 1657 el francés Pierre de Fermat (1601-1665), enuncia su principio de
mínimo, según el cual, la luz al trasladarse entre dos puntos A y B, siempre
sigue aquella trayectoria en la que emplea el tiempo más corto. Con él se
explican las leyes de la reflexión y refracción.
La escuela atomista, consideraba
a la materia divisible más allá de
muestra observación cotidiana,
pero en último término, contenía
pequeñas partículas que ya no
pueden cortarse más, y que
llamaron átomos.
Representantes de la escuela,
fueron Leucipo y Democrito. Este
último enseñaba: Las únicas cosas
que existen son los átomos y el
espacio vacío; todo lo demás son
solo opiniones.
La escuela pitagórica, sostenía
como principio fundamental de su
conocimiento científico, la idea de
la armonía y de la medida.
Fueron
los
primeros
en
considerar, la necesidad de
expresar con números, los
fenómenos observados en la
Naturaleza.
Durante el siglo XVII surge con fuerza la idea, de relacionar los fenómenos
naturales con los conocimientos matemáticos, y así, se crearon modelos –
idealizaciones de la realidad-, a cerca de la naturaleza de la luz, para
obtener matemáticamente de ellos, el comportamiento ya conocido
experimentalmente.
Un modelo que demostró ser muy prometedor y que fue apoyado por
numerosos científicos, Descartes(1596-1650) y Newton(1642-1727) entre
ellos, es el corpuscular, se basaba en considerar a la luz como un haz de
numerosas partículas muy pequeñas e incontables, que emanaban de los
cuerpos luminosos, las cuales eran reflejadas por los objetos, y que al
penetrar en nuestros ojos estimulaban la sensación de la visón, por sus
acciones sobre la retina (capa de células situadas en el interior del ojo, que
son sensibles a la luz y al color). El modelo explicaba bien la ley de la
reflexión, sin embargo, para la refracción presentaba dificultades, como por
ejemplo, tener que asignar una velocidad mayor a la luz en el vidrio, que en
el aire, pero todavía tenía otro aspecto mucho más oscuro.
Experimentalmente se observaba, que en la separación de dos medios
distintos como el aire y el vidrio, la luz es en parte transmitida y en parte
reflejada Fig.9.1 y esto no concuerda con el comportamiento de las partículas, ya que pueden ser reflejadas o transmitidas, pero no ambas cosas a la
vez.
I
R
T
T
Fig.9.1 .Experimentalmente se observa, que
al llegar el rayo incidente I, a la superficie
que separa dos materiales distintos, es en
parte reflejado rayo R, y en parte transmitido
rayo T.
2
9.1.3
MODELO ONDULATORIO
El descubrimiento de nuevos fenómenos luminosos, como las interferencias
por Robert Hooke(1635-1703) y la difracción por el padre Grimaldi(16181663) llevaron al propio Hooke y a Cristian Huygens(1629-1695), inspirados
en el modelo de propagación de una perturbación por el agua, o en la
transmisión de los sonidos, a considerar a la luz, como una serie de
impulsos viajando en un medio misterioso, inmóvil e ideal, llamado éter,
consistente en partículas, que para trasmitir la luz desde el foco, van
chocando unas con otras permitiendo su propagación.
En el siglo XIX el inglés Thomas Young (1773-1829) y el francés Agustín
Fresnel (1788-1827), establecieron unas bases muy sólidas, tanto teóricas
como experimentales, para un modelo ondulatorio de la luz, explicando y
demostrando con la teoría elaborada, experimentos cruciales como los de
interferencias Fig.9.2a y difracción Fig.9.2b. La luz se consideró como un
fenómeno vibratorio, periódico y transversal, que se propagaba por el éter,
o por los medios materiales transparentes, como vidrio, agua, etc.
Al explicar la ley de la refracción con el modelo ondulatorio, encuentran una
contradicción con la teoría corpuscular, y es que la luz, debería viajar con
menor velocidad, en medios como el vidrio o el agua, que en el aire. En
1850, Fizeau y Foucault midieron la velocidad de la luz en el agua,
encontrando un valor inferior al del aire, y dando al traste definitivamente
con el modelo corpuscular. Sin embargo, aún estando bien establecido el
modelo ondulatorio, existían todavía grandes dificultades para comprender
el carácter transversal de la ondas luminosas y la hipótesis del éter, como
medio material elástico, que servía de soporte para la propagación a las
ondas luminosas, seguía viva, léase el comentario situado al margen.
9.1.4
LA LUZ ONDA ELECTROMAGNÉTICA
El escocés James C. Maxwell (1831-1879), desarrolló entre 1864 y 1873,
una teoría sobre los fenómenos eléctricos y magnéticos, demostrando, que
la electricidad y el magnetismo no pueden existir separadamente, allí donde
está uno, se encuentra el otro, se conoce como el electromagnetismo.
Maxwell reconoció en la luz las características de las ondas
r
electromagnéticas, considerándolas formadas por un campo eléctrico E
r
variable con el tiempo, y otro campo magnético B , también variable con el
tiempo, que va formando un ángulo recto con el anterior. Las ondas
luminosas viajan en una dirección, que a su vez forma un ángulo de 90º con
los dos anteriores fig.9.3. La luz es una onda transversal.
r
E
Fig.9.3
Dirección de propagación
r
B
r
r
Los campos E y B , están íntimamente relacionados entre sí, y a medida
que uno varía, está engendrando el otro, propagándose sin necesidad de un
medio material que le sirva de soporte, y transmitiéndose por el vacío. Por
tal motivo, la hipótesis del éter resulta innecesaria.
Fig.9.2ª. Las interferencias puede llegar
a producir zonas muy iluminosas, y otras
muy oscuras, inclusive sin luz, como las
líneas negras de la figura.
Fig.9.2b Imagen de difracción de un
glóbulo rojo iluminado con LASER y de
la que es posible medir su diámetro. Se
obseran anillos claros y oscuros
alternadamente.
El éter
Con objeto de encontrar un medio
material, que sirviera de soporte, para
la propagación de las ondas luminosas
de carácter transversal, y buscando
una analogía con las ondas mecánicas,
se ideó en el terreno de las hipótesis,
un medio material a la medida,
dotándole
de
propiedades
muy
particulares,
e
inclusive
hasta
contradictorias, que llamaron éter.
Era
como un sólido, capaz de
transmitir las ondas transversales, pero
a la vez tan tenue, que no oponía
resistencia alguna al movimiento de los
cuerpos, como por ejemplo, a los
planetas en el espacio.
Gracias a la teoría electromagnética de
la luz, la idea del éter perdió éstas
características iniciales, y pasó a ser
considerado únicamente, como el
portador
de
las
oscilaciones
electromagnéticas. En la actualidad, ha
perdido todo su significado, pasando
en todo caso a ser un sinónimo, de un
sistema inercial de referencia.
3
La teoría de Maxwell, asigna una velocidad de propagación a las ondas
electromagnéticas en el vacío relacionada con propiedades del mismo
c=1
ε o · µo
resultacdo c = 300.000 km/s, que ha sido confirmada
experimentalmente. La velocidad está relacionada con la longitud de onda λ,
y la frecuencia ν, por la ecuación.
c = λ· ν
Luz
-e
(9.1)
En la Fig.9.4, se representa una onda electromagnética propagándose, y
r
mostrando la disposición de los dos campos, el eléctrico E , vibrando en el
r
plano XY, y el magnético B , en el XZ.
-e
-e
Metal
Fig.9.5 EFECTO FOTOELÉCTRICO
Y
La luz al incidir sobre la superficie de un
metal puede arrancarle electrones.
r
E
X
r
B
Z
Fig.9.4
La teoría electromagnética es satisfactoria para explicar los fenómenos de
propagación de la luz, reflexión y refracción, así como los de difracción,
interferencias y polarización, que veremos en la siguiente unidad. Sin
embargo, es insatisfactoria para explicar la interacción de la luz con los
cuerpos materiales, como el efecto fotoeléctrico y el Compton.
9.1.5
MODELO DE FOTONES DE EINSTEIN
El efecto fotoeléctrico había sido descubierto por el alemán Heinrich Hertz
(1857-1894) en 1888, Fig.9.5, sin embargo, no se encontraba una
explicación satisfactoria del mismo con la teoría electromagnética. En 1905,
Albert Einstein (1879-1955) le da una interpretación, suponiendo que la luz
es emitida y se propaga mediante corpúsculos, (como partículas, aunque sin
asignarle un carácter material), transportando una cantidad determinada de
energía, conocida como cuánto de luz o fotón. Su energía se calcula con la
ecuación de Planck E = h · ν donde h es la constante de Planck y ν la
frecuencia.
La constante de Planck h, es una de las
constantes
fundamentales
de
la
naturaleza, corresponde a una magnitud
llamada acción, que es el producto de la
energía por el tiempo,
-34
h = 6,63·10 J·s
El fotón viaja en el vacío a la velocidad de la luz, y tiene una masa
h ·ν
equivalente a su energía, m = 2 , que se deduce de igualar la ecuación
c
de Planck, con la de Einstein E = m · c2 . Sin embargo, la masa en reposo
de un fotón es nula.
En resumen, a principios del siglo XX, se vuelve a resucitar un modelo
corpuscular de la luz. El modelo actual acepta para la luz una doble
naturaleza, la ondulatoria y la corpuscular, sin embargo, la experiencia
ha demostrado que ningún experimento puede revelar a la vez ambas
características, así que la luz muestra una u otra naturaleza,
dependiendo del experimento a que es sometida.
4
9.2
Medidas de la velocidad de la luz
La velocidad de la luz en el vacío, es considerada como una de las
constantes fundamentales de la naturaleza, a la que se propagan todas las
ondas electromagnéticas con independencia de su frecuencia. Ninguna
señal puede transmitirse a una velocidad superior a la de la luz. La
velocidad de la luz en el vacío c, figura en muchas de las ecuaciones más
importantes de la Física, como irás observando a lo largo del texto, y su
valor es el mismo para distintos observadores, con independencia de que se
encuentren, en reposo, o en movimiento, con relación a la luz. Desde muy
antiguo, los filósofos naturales, trataron de medir su velocidad, sin embargo,
les resultaba tan veloz, que llegaron a considerarla infinita.
Rayos del Sol
9.2.1
PROCEDIMIENTO DE GALILEO
Galileo Galilei (1564-1642), intentó medir la velocidad de la luz, empleando
dos observadores provistos de lámparas y pantallas opacas, (impiden el
paso de la luz). Se colocaron en colinas separadas varios kilómetros, pero
de modo que pudieran verse. La experiencia consistía, en que Galileo
descubría su lámpara un instante, mandando un destello de luz, y su
asistente, tan pronto como veía la luz, destapaba la suya, devolviéndole otro
destello. Galileo calculaba por este método, el tiempo total transcurrido.
Fig.9.6 Procedimiento de Roemer
para medir la velocidad de la luz.
Realizaron varias repeticiones del experimento a distancias cada vez
mayores, llegando a la conclusión, de que era imposible descubrir sus
lámparas suficientemente rápido, como para notar diferencias, por lo que si
la velocidad de la luz no era infinita, al menos sería muy grande.
9.2.2
PROCEDIMIENTO DE ROEMER
Olaus Roemer (1644-1710) astrónomo danés, efectuó cuidadosas
observaciones de los satélites que giraban alrededor del planeta Júpiter
Fig.9.6, ya anteriormente descubiertos por Galileo. Para su sorpresa, los
eclipses de sus lunas (tiempo transcurrido desde que una luna entra en la
sombra del planeta, hasta que vuelve a salir), duraban menos, cuando
Júpiter se encontraba cerca de la Tierra, que cuando estaba más alejado
fig.9.7. Como los movimientos planetarios son regulares, dedujo, que la
causa de tal discrepancia debía encontrarse, en el aumento de distancia
entre la Tierra y Júpiter, durante sus movimientos de traslación alrededor del
Sol, y en que la luz, tardaría un tiempo mayor en recorrerla. Lo que
justificaría sin duda, el incremento aparente del tiempo del eclipse, cuando
la Tierra y Júpiter están más alejados.
T2
S
T1
J2
J1
Fig. 9.7
Si las observaciones se inician cuando la Tierra
y Júpiter están en las posiciones T1 y J1; y se
mide la duración del eclipse de una de las lunas
de Júpiter, resulta, que cuando se encuentren
en las posiciones T2 y J2; nuestro planeta
habrá recorrido gran parte de su órbita,
mientras que Júpiter que emplea doce años en
dar una vuelta al Sol, está en J2,. Durante este
tiempo la distancia entre ambos planetas ha ido
aumentando, y la luz reflejada en el satélite
debe recorrer distancias cada vez mayores, y el
periodo
del
satélite
parece
aumentar
progresivamente. Después de seis meses, la
Tierra se encuentra en una posición
diametralmente opuesta, y la luz procedente del
satélite, deberá recorrer una distancia
incrementada aproximadamente, en el diámetro
de la órbita terrestre.
El mérito de Roemer consistió en demostrar,
que la velocidad de la luz es finita, por lo que
emplea cierto tiempo en recorrer, el diámetro de
la órbita de la Tierra. Dedujo de sus
observaciones que tardaba 22 minutos, y
aunque no hay constancia de que hiciera el
cálculo de su
velocidad, efectuándolo se
obtienen 227.000 km/s.
5
9.2.3
PROCEDIMIENTO DE FIZEAU
La primera mediada terrestre de la velocidad de la luz, la realizó
Fizeau (1819-1896) fig.9.8. En el año 1849 situó en la cumbre de una
colina, un disco dentado, que hizo girar rápidamente, y en otra un
espejo, a una distancia de 8,633 km.
E
LS
P
F
Fig.9.8. La luz de un foco F, era reflejada por una lámina
semitransparente LS y luego, con la lente L1 se centraba en el punto
P, que estaba en el foco de L2 de la que salían rayos paralelos. La
luz llegaba al espejo E, situado en la colina, se reflejaba y volvía en
sentido opuesto, para alcanzar el ojo del observador. Con la rueda
parada, la luz pasa en P entre dos dientes, y el observador ve luz,
ahora bien, si la rueda se pone a girar, el diente siguiente, la cortará
o no, según la velocidad de giro. Aumentándola, los destellos
pasarán, si llegan justo a tiempo, para entrar entre dos dientes.
Fizeau, empleó una rueda con 720 dientes y la máxima cantidad de
luz pasaba, al girar a 25,2 vueltas por segundo. El tiempo de ida y
vuelta era:
t=
2· s 2· 8633 m·18144
1
1s
1s
km
··
=
. La velocidad v =
=
≅ 313 000
720 25,2 18144
t
s
s
En otros materiales distintos
del vacío:
Agua
225 000 km/s
Vidrio
200 000 km/s
En el aire, difiere muy poco del
vacío y se toma igual valor.
Para
fines
prácticos
de
resolución de ejercicios, se
considera para la velocidad de
la luz en el vacío:
8
c= 300 000 km/s= 3. 10 m/s
OTRAS MEDIDAS DE LA VELOCIDAD DE LA LUZ
El francés Foucault, (1819-1868) colaboró con Fizeau en la medida de la
velocidad de la luz, y más tarde diseñó su propio experimento, mejorando el
de Fizeau, sustituyendo la rueda dentada, por un espejo giratorio. Obtuvo
para la velocidad de la luz, el valor de 299 900 km/s.
Utilizó su aparato, para medir por primera vez, la velocidad de la luz en el
agua y en otros medios transparentes, demostrando, que era menor que en
el aire. Esto supuso una clara confirmación del modelo ondulatorio de la luz,
frente al modelo corpuscular.
Se han realizado medidas más modernas y precisas de la velocidad de la
luz en el vacío, cabe mencionar la realizada por Michelson en 1926,
empleando un tubo de 1,6 km de longitud, y completada después de su
muerte, por sus colaboradores Pease y Person, encontrando 299 774 km/s.
Actualmente, el valor para la velocidad de la luz en el vacío, es
299 792 ,9 ± 0 ,8 km / s . Es probable que en los próximos años, los físicos
8
asignen a la velocidad de la luz en el vacío el valor de 3.10 m/s y entonces
algunas magnitudes fundamentales se redefinirán en función de este valor.
6
9.3
Propagación de la luz
9.3.1
Rayo
LA LUZ COMO RAYO
Rayo
Las ondas luminosas emitidas por un manantial luminoso, se pueden
representar por superficies esféricas con el foco luminoso F, en su centro.
Cada esfera está formada por puntos, que se encuentran en el mismo
estado luminoso, se conoce como superficie de onda. La superficie de
onda que avanza en primer lugar, es el frente de onda, señalada más
intensamente en el dibujo de la Fig.9.9. Según su forma geométrica, la onda
se llama esférica o plana. A distancias muy alejadas del foco, los radios de
las esferas son muy grandes, y una pequeña parte del frente de onda, se
puede considerar como una onda plana, Fig.9.10.
F
Superficie
de onda
Para estudiar la óptica geométrica, los conjunto de ondas luminosas se
suelen reemplazar por rayos. Un rayo, es desde el punto de vista
corpuscular de la luz, la trayectoria seguida por un fotón, y según el modelo
ondulatorio, una línea imaginaria perpendicular a los frentes de onda. Para
ondas esféricas, los rayos tienen la dirección de los radios y para ondas
planas, los rayos son perpendiculares a las superficies planas.
Frente
de onda
Ondas Esférica
Fig.9.9
En los medios homogéneos e isótropos, es decir, con la misma composición
y propiedades en todas direcciones, los rayos son líneas rectas. Sin
embargo, cuando el rayo pasa de un medio a otro, cambia de dirección,
aunque se conserve rectilíneo en cada uno, Fig.9.11.
Medio 1
Medio 2
Rayos
Fig.9.11
9.3.2
PRINCIPIO DE HUYGENS
Ondas planas
Para describir el modo de propagación de las ondas en un medio, Huygens
en 1690, trazó en cada punto de un frente de ondas, pequeña superficies
esféricas, conocidas como ondas elementales, con las que enunció el
siguiente principio: Los puntos de un frente de ondas, (PQ en la Fig.9.12 ),
se convierten en centros emisores de ondas elementales, de modo que el
nuevo frente de ondas ABC, es la superficie que envuelve (envolvente), de
todas las ondas emitidas en la superficie anterior.
P
Q
A
Dirección de
propagación
perpendicular a
los frentes de ondas
Fig.9.10
C
B
Fig.9.12
7
9.3.3
DISPERSIÓN DE LA LUZ. ÍNDICE DE REFRACCIÓN
La luz que llega del Sol se llama luz blanca, y cuando se hace pasar por un
prisma o una red de difracción, se descompone en colores. Desde el punto
de vista físico, cada luz se caracteriza por la longitud de onda λ, o por la
frecuencia ν, siendo su producto, igual a la velocidad de la luz en el vacío
λ· ν = c. En consecuencia, si la longitud de onda es grande, la frecuencia
será pequeña, y a la inversa.
Los distintos colores que forman la luz blanca, tienen cada uno muchas
longitudes de onda. En la fig.9.13a se observan en realidad bandas de
colores, es el espectro y en la fig.9.13b, presentamos los colores
fundamentales cuyas longitudes de onda más características están en la
Tabla 9.1, Otras longitudes de onda, con valores próximos a cada una de
estos, dan una sensación de color similar.
Descomposición de la luz blanca por una red de difracción
Fig.9.13a. La luz blanca está compuesta
de luces de diferentes colores. En la
figura, aparecen los colores primarios
rojo, verde y azul y la combinación de
ellos, magenta, cián y amarillo
Tabla 9.1
Color
Fig.9.13b
La dispersión de la luz se produce, cuando al pasar por un medio distinto
del vacío, se descompone en varios colores, es decir, en sus longitudes de
onda componentes. Para caracterizar a la luz en cada medio material, se
define el índice de refracción, como el cociente de la velocidad de la luz en
el vacío y en el medio considerado:
c
(9.2)
n=
v
Longitud de
onda/nm
Rojo
650
Naranja
600
Amarillo
570
Verde
550
Azul
480
Azul-añil
465
Violeta
<430
-9
1 nm = 10 m
En la Tabla 9.2, se da el índice de refracción de distintas sustancias
Se llama dispersión espectral, a la dependencia del índice de refracción
n, con la longitud de onda λ. Si un haz de rayos de luz de distintas
longitudes de onda, se propaga por un medio que no es el vacío, se
dispersa en varios rayos de distintos colores. Para muchas sustancias, el
índice de refracción n aumenta, al disminuir la longitud de onda de la luz,
obsérvalo en la tabla.
Luz
(n) Diamante
Roja
Naranja
650 nm 600 nm
2,4100 2,4150
Amarillo
570 nm
2,4172
Verde
Azul
Violeta
550 nm 470 nm 410 nm
2,4260 2,4439 2,4580
En el medio natural se pueden observar numerosos fenómenos, en los que
la luz blanca procedente del Sol, se descompone en luces de distintos
colores, así están el arco iris, el color azul del cielo, o las puestas de Sol, en
las que éste aparece primero de color amarillo y después de color rojo.
Tabla 9.2
Indices de refracción de
varias sustancias, para luz
amarillo-naranja, de 589 nm
Vacío
1
Aire
1,000293
Benceno
1,501
Agua
1,333
Sal común
1,544
Diamante
2,417
Vidrio pyrex
1,474
Hielo (273K)
1,310
8
9.4
Reflexión de la luz
Cuando una onda luminosa, compuesta de un campo eléctrico y otro
magnético, se propaga por un medio material, fig. 9.3, puede hacer vibrar en
grupo a muchos electrones, pertenecientes a las partículas del medio. Estos
inmediatamente remiten la luz, que puede ser dispersada o transmitida en
todas direcciones, o solo en algunas bien definidas. La luz dispersada hacia
el mismo medio, se llama reflexión y si se efectúa de forma ordenada, en
una dirección determinada (todos los rayos reflejados salen paralelos), se
denomina reflexión especular, Fig.9.13. Si la dispersión se produce en
varias direcciones, de forma desorganizada (los rayos reflejados salen en
distintas direcciones), es la reflexión difusa, Fig. 9.14.
Rayo incidente
Rayo reflejado
Reflexión especular
Fig.9.13
Reflexión difusa
Fig.9.14
Los materiales con superficies muy pulidas, tienden a dar reflexión
especular, mientras que los más rugosos difusa, lo que curiosamente
permite verlos desde cualquier posición. El significado que tiene aquí el
mayor o menor grado de pulimento de una superficie, está en relación con
el valor de la longitud de onda de la luz incidente.
9.4.1
OBSERVACIONES EXPERIMENTALES DE LA REFLEXIÓN
Se va a centrar únicamente nuestro estudio, en la reflexión especular de
espejos planos, y esféricos. Para conocer el fenómeno con claridad y sin
confusión, vamos a ver unas fotografías con unos pocos rayos, y de este
modo se facilita la compresión, de las leyes que cumplen.
Fig.9.15a. Reflexión en un
espejo plano.
Fig.9.15b. Reflexión en un espejo
cóncavo.
Fig.9.15c. Reflexión en un espejo
convexo.
9
9.4.2
EL ESPEJO PLANO Y LAS IMÁGENES VIRTUALES
En la Fig.9.16 hay un espejo plano, y la flecha vertical que se llama objeto.
Cuando es iluminada, salen de ella rayos de luz que llegan al espejo, por
ejemplo el 1 y el 2. El rayo 1 que llega al espejo, se llama rayo incidente,
que se refleja y sale como el 1´, conocido como rayo reflejado. El rayo 2
que va perpendicular al espejo, no se desvía, reflejándose en la misma
dirección de incidencia 2´.
En óptica, los ángulos siempre se miden respecto de la normal N, trazada
en el punto de incidencia, observa en el disco graduado, como los ángulos
de incidencia y el de reflexión son iguales.
¿Qué son la imágenes virtuales?. Para buscar la imagen que forma el
espejo plano del objeto, se ha de hallar el lugar, donde se cortan los rayos
después de reflejados. Se puede ver en fig. 9.15, que los rayos 1´ y 2´ se
abren, y no pueden cortarse, se dice que el haz es divergente y entonces
no se forma imagen real, en estos casos se habla de imágenes virtuales. Si
a la izquierda del espejo se sitúa una pantalla, no se verá sobre ella ninguna
imagen, sin embargo, sabemos por la propia experiencia, que nuestros ojos
si tienen capacidad de ver imágenes en los espejos, es decir que el ojo
humano puede ver imágenes virtuales, es decir, aquellas que son
imposibles de recoger, sobre el soporte físico de una pantalla.
9.4.3
2´
2
1
N
1´
Fig.9.16. Reflexión en un espejo plano.
Los rayos reflejados 1´ y 2´ no se
cortan, por lo que no se forma una
imagen real. Se dice entonces que la
imagen es virtual.
LOS ESPEJOS ESFÉRICOS
El espejo de la fig.9.16 se conoce como espejo cóncavo, y tiene una
determinada curvatura, nótese como los rayos reflejados 1´ y 2´ se cortan,
formando una imagen I, se dice entonces que la imagen es real. Si en este
lugar se sitúa una pantalla, sobre ella se recogerá la imagen del objeto, por
ser real, además en este caso es invertida y de mayor tamaño que el objeto.
El espejo de la fig.9.17 es un espejo convexo, los rayos reflejados 1´ y 2´
son divergentes, por lo que la imagen es virtual. Puede observarse tanto
para los rayos 1 y 2, como los ángulos de incidencia y el de reflexión, son
iguales.
2´
O
O
I
2´
1´
Fig.9.16. En el espejo cóncavo, los rayos
procedentes de un objeto O, después de
reflejados en el espejo se cortan en I
formando una imagen real que puede
recogerse sobre una pantalla.
1´
Fig.9.17. En el espejo convexo los rayos
procedentes del objeto O, al reflejarse
divergen y no se cortan, rayos 1´ y 2´
por lo que no es posible recoger la
imagen en una pantalla. Decimos que no
forman una imagen real.
10
9.4.4
LEYES DE LA REFLEXIÓN
Si sobre el disco de Hartl se va variando el ángulo que forma el rayo
incidente 1, con la normal, llamado ángulo de incidencia i y se anotan los
correspondientes ángulos, que forma el rayo reflejado 1´, con la normal, el
ángulo de reflexión r, fig.9.18, se obtienen los resultados de la tabla 9.3. que
permiten enunciar la siguiente ley para la reflexión especular: El ángulo de
incidencia y el de reflexión son iguales.
Rayo incidente
i
Normal
r
Rayo Reflejado
Existe una segunda ley de la reflexión, que generaliza otra observación
experimental: El rayo incidente, el reflejado y la normal, se encuentran en el
mismo plano .
9.4.5
TRAZADO DE IMÁGENES CON LOS ESPEJOS PLANOS
Consideremos un espejo plano, y vamos a ver el procedimiento, para trazar
geométricamente la imagen que forma de un objeto.
Sea el espejo EE´ y un objeto AB, situado delante, como aparece en la
fig.9.19. Por el extremo A se lanzan dos rayos, uno perpendicular al espejo
1, que se refleja en la misma dirección 1´, y otro 2, que forma un cierto
ángulo con la normal en M, y que se refleja formando el mismo ángulo rayo
2´. Los rayos reflejados, 1´ y 2´ divergen y no se cortan, por lo que la
imagen formada no es real. Análogamente se trazan los rayos 3 y 4 que
salen del extremo B, y los rayos reflejados 3´ y 4´ que tampoco se cortan.
Sin embargo, nosotros vemos imágenes en los espejos, y es por que
nuestros ojos consideran, que la pareja 1´, 2´ proceden de un mismo punto
común A´, que se encuentra en la prolongación de estos rayos reflejados.
Igualmente sucede con 3´, 4´ que parecen venir de un punto común B´. En
consecuencia, para hallar la posición de una imagen cuando es virtual, hay
que prolongar hacia atrás los rayos reflejados, hasta que se corten. Las
imágenes de los puntos situados entre A y B, se encontrarán entre los
puntos A´ y B´. Basta con unir mediante una flecha los puntos A´ y B´.
3
Tabla 9.3
Ángulo de
Ángulo de
incidencia
reflexión
i/grados
r/grados
0
0
10
10
20
20
30
30
40
40
50
50
60
60
3´
1 1´
B
A
4
B
4´
A=A´
B´
2
2´
M
N
A´
P Q
B´
Fig.9.19
11
¿A qué distancia se encuentra la imagen del espejo?.
Para determinar la relación de distancias del objeto y de la imagen, al
espejo, en la fig.9.19 se puede observar, que los triángulos MAN y MA´N
son iguales, por lo que la distancia AN, es la misma que la A´N. También
son iguales los triángulos PBQ y PB´Q, así que BP=B´P. En consecuencia,
la distancia de cada punto de la imagen virtual al espejo, es exactamente
igual, que la distancia del objeto al mismo.
Los espejos planos proporcionan imágenes virtuales de un objeto, del
mismo tamaño y simétricas respecto del plano del espejo.
Nótese a la derecha de la fig.9.19, que si trasladamos la imagen A´B´,
llevándola encima del objeto AB, no se superponen exactamente. Esta
propiedad se llama quiralidad, y como verás en Química tiene
consecuencias muy importantes.
Habrás observado cuando te sitúas frente a un espejo plano, que la imagen
que miras de ti mismo, no es la que ven los demás. Tu parte derecha
considerándote como objeto, está a la izquierda en la imagen, y viceversa.
Cuando dos espejos planos se ponen en contacto mediante una arista, el
número de imágenes que se pueden formar depende del ángulo que forman
los planos entre sí. En las siguientes figuras se pueden observar un número
de imágenes distintas a medida que se va cambiando el ángulo α.
Si cuentas el número de imágenes y observas el ángulo α que forman los dos espejos, podrás observar que la ley
.
matemática
que siguen es la que aparece a continuación. Por cuidado y no confundas el objeto situado en primer
término con una imagen, pues se trata del objeto.
número de imágenes =
360º
α
−1
Sitúa dos espejos formando 90º y así podrás mirarte igual a como te ven el resto de
las personas, es decir, con tu lado derecho a la derecha de la imagen, y el lado
izquierdo, a la izquierda de la misma.
12
9,5 Refracción de la luz
9.5.1
OBSERVACIONES EXPERIMENTALES DE LA REFRACCIÓN
En las siguientes fotografías, se ha enviado un haz de luz, a la frontera de
separación de dos medios transparentes, de distintos índices de refracción,
y se puede observar como el rayo cambia de dirección, foto a la derecha.
En la fig.9.20, la luz va del aire al vidrio, formando el rayo incidente 1, un
ángulo con la normal ε1, llamado de incidencia. El rayo 1´ que se propaga
por la lente de vidrio, se llama refractado y el ángulo ε´1 que forma con la
normal, es el ángulo de refracción. Nótese en la fig.9.20, que es menor que
el de incidencia ε1.
En la fig.9.21, la refracción se produce, al pasar el rayo del vidrio al aire, en
la cara plana situada a la derecha, y el ángulo de refracción ε´2 ; es mayor
que el de incidencia ε2.
R. Incidente
1
Ν
.
R. Incidente
2
ε1
N
ε´1
Tabla 9.4
ε1
ε´1
gra do sen ε1
gra do
ε2
ε´2
1´
R. Refractado
2´
R.
Fig.9.20
Refractado
Fig.9.21
0
10
20
30
40
50
60
70
80
0
0,17
0,34
0,50
0,64
0,77
0,87
0,94
0,98
0
6
13
19
25
30
34
38
40
sen ε´1
0
0,10
0,22
0,32
0,42
0,50
0,56
0,62
0,64
En el experimento de la fig.9.20, se han ido variando los ángulo de
incidencia ε1 y midiendo los correspondientes ángulos de refracción ε´1. En
la tabla 9.4 están los resultados y también los valores de sus senos. En la
fig.9.22 se observa, que entre los ángulos de refracción y de incidencia, la
relación no es lineal, lo que dificultó mucho la determinación de la ley, que
fue descubierta por Snell en 1621. En la fig.9.23 se representa el seno del
ángulo de refracción sen ε´1 en función del sen ε1 y esta relación si es lineal.
ε1 ´
40
sen ε1´
35
0,7
30
0,6
25
0,5
20
0,4
15
0,3
10
0,2
5
0,1
0
0
0
10 20 30 40 50 60 70 80 90 ε1
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 sen ε1
Físicamente, la pendiente de la recta es el cociente, entre los índices de
refracción del primer medio n1 y del segundo n2 y la ecuación de la recta:
sen ε´1 =
n1
sen ε 1
n2
13
9.5.2
LEYES DE LA REFRACCIÓN
La refracción es el cambio de dirección que sufre el rayo luminoso, al pasar
de un medio transparente, a otro, de distinto índice de refracción. Cumple
dos leyes, una de las cuales es la ecuación de la recta anterior, llamada ley
de Snell.
N
ε ´2
La primera ley señala, que el rayo incidente, el refractado y la normal,
están en el mismo plano.
La segunda, es la ley de Snell: El producto del índice de refracción, por el
seno del ángulo que forma el rayo, con la normal en cada medio, es
constante.
n 1 · sen ε 1 = n 2 · sen ε´ 1
9.5.3
R.R
ε2
R.I
Fig.9.24
(9.3)
REFLEXIÓN TOTAL. ÁNGULO LÍMITE
Un fenómeno de refracción muy característico, se produce únicamente
cuando pasa la luz de un medio de mayor índice de refracción, a otro de
índice menor. Por ejemplo, en la fig.9.24 al pasar el rayo del agua al aire, el
rayo refractado ε ´2 se aleja más de la normal, que el rayo incidente ε2.
Si se realiza el experimento de la fig.9.21, y se va variando el ángulo de
incidencia ε2, se obtienen los ángulos de refracción de la tabla 9.5,
observándose que a medida que crece el ángulo de incidencia, aumenta
más el de refracción. Al llegar a un ángulo incidente de 42º, fig.9.25, el rayo
refractado, sale formando un ángulo de 90º con la normal N2.
Φ
ε2>Φ
N1
<
N1
N2
N2
ε2´
90º
Fig.9.25
Se define el ángulo límite, como el ángulo de incidencia Φ, para el cual
el rayo refractado sale formando 90º con la normal.
Reflexión total. Para rayos con ángulos de incidencia mayores que el
límite, ε2 > Φ,, ya no hay paso de luz al otro medio, y se produce la reflexión
en la cara plana. El fenómeno es conocido como la reflexión total y su valor
se calcula aplicando la ley de Snell (9.3).
n 1· sen Φ = n 2 · sen 90 º ;
sen Φ =
Si el segundo medio es el aire, n2 = 1; y resulta:
n2
;
n1
Fig.9.26 Guía de luz.
Mediante
reflexiones totales en los límites de un
material, se puede conducir la luz a lo
largo del mismo, en esta foto, la luz es
reflejada en los dos espejos, superior e
inferior, que limitan el aire.
El mismo efecto se puede conseguir con
la fibra óptica, para guiar a la luz que se
carga con información y transmitirla a
gran velocidad.
(9.4)
sen Φ = 1/n1 .
Εl seno del ángulo límite, es igual al inverso del índice de refracción del
material.
14
EJERCICIO RESUELTO
1.- Un rayo de luz incide desde el aire cuyo índice de refracción es n1 =1 , sobre una
vasija llena de agua con n2 = 1,33; formando un ángulo de 30º con la superficie del
líquido. Determina el ángulo que forma el rayo con la normal a la superficie del agua
después de haberse refractado.
60º
N
ε 1′
En óptica los ángulos se miden con la normal a la superficie, por lo tanto el ángulo
de incidencia es de 60º. Aplicando la ley de Snell.
sen ε1′ =
n1
1
sen ε1 =
sen 60 º = 0 ,65 ;
n2
1,33
ε1′ = arc sen 0 ,65 ≈ 41º
2.- En el centro de un cubo de vidrio pyrex, de 30 cm de lado se encuentra un foco
luminoso de luz amarilla que podemos considerar puntual, el índice de refracción del
material es n1 =1,474. Calcula el radio del disco luminoso que únicamente es
iluminado por el foco interior en cada una de las caras.
Como los rayos tienen que pasar de un medio de mayor índice de refracción a otro
de menor, algunos rayos sufren la reflexión total y no pueden salir del cubo,
¿cuáles?. Aquellos que incidan formando con la normal con un ángulo superior al
límite Φ. Determinaremos primero el ángulo límite.
sen Φ =
n2
1
=
= 0 ,68 ;
n1 1,474
Φ = arc sen 0 ,68 ≈ 42 ,9º
Para mayor claridad del dibujo representamos la luz amarilla que sale por una cara y
el radio de la zona iluminada, sin embargo por cada una de las seis caras sucede lo
mismo.
Φ
R
L
2
L
30 cm
tg Φ =
tg 42 ,9º =13 ,9 cm
2
2
El disco de radio 13,9 cm está completamente iluminado, el resto de la cara
del cubo está totalmente a obscuras.
En la figura se observa que R =
15
APLICACIONES DE LA REFRACCIÓN
DIOPTRIO PLANO
Es una superficie plana transparente que actúa de separación entre dos
medios de distinto índice de refracción. La luz que llega al dioptrio (rayo
incidente) sufre una refracción y cambia de dirección para continuar su
propagación en el segundo medio (rayo emergente), ver la figura lateral.
Consideremos un rayo que procedente de F1 pasa de un medio de índice de
refracción n1; a otro medio de índice de refracción n2 y que n1>n2. De
acuerdo con la ley de Snell (9.3) n1· sen ε1 = n2 · sen ε´1 y como es n1>n2
necesariamente para que la igualdad se cumpla debe ser
sen ε´1 > sen ε1 ;
⇒ ε1′ > ε1 de manera que el rayo emergente se aleja
FO22
F1
O1
más de la normal que el rayo incidente.
Enviando otro rayo perpendicular al dioptrio no sufre desviación, por lo que
al no cortarse los rayos emergentes no hay imagen real. Un observador en
el medio 2 que está mirando el foco F1, que está situado a una distancia s1
del dioptrio, encuentra su posición aparente en otro punto F2 situado en la
prolongación hacia atrás de los rayos emergentes, por lo que la imagen
formada es virtual, estando del dioptrio a una distancia s2, fig. 9.27.
Al observar desde el exterior, un objeto
sumergido en el fondo de un estanque F1,
aparentemente se encuentra a una
profundidad menor que la real F2.
,, LA LÁMINA PLANO-PARALELA
N
ε ´1
n2
Dioptrio plano
ε1
s2
n1
s1
F2
F1
Fig.9.27
Para rayos que inciden muy próximos a la normal, se puede demostrar que
entre las distancias al dioptrio del objeto e imagen, s1 y s2; y los índices de
refracción de los dos medios se verifica la ecuación.
s2
s
= 1 (9.5)
n2
n1
EJERCICIO RESUELTO
En el fondo de un deposito de 8 m de profundidad y cerca del borde, se encuentra
una moneda. Calcula la profundidad aparente a la que es observada mirando desde
el aire. ¿Cuál es el desplazamiento sufrido por la imagen?.
Indice de refracción del agua 1,33 y del aire 1.
Sustituyendo en la ecuación resulta:
s2 8 m
=
;
1 1,33
s2 = 6,02 m
Un vidrio de ventana está limitado por
dos dioptrios planos y paralelos, uno
situado en la parte superior y el otro en
la inferior, rodeados del mismo medio, el
aire. Los rayos de luz que llegan
oblicuamente a la lámina salen paralelos
a la dirección de incidencia pero
sufriendo un desplazamiento lateral. En
la figura se han prolongado con puntos
las direcciones de los rayos incidentes
para facilitar la observación del
desplazamiento lateral que sufren los
rayos a la salida de la lámina. Mediante
la ley de Snell y haciendo uso de
relaciones trigonométricas, se puede
verificar que el desplazamiento lateral
depende del espesor de la lámina, del
ángulo de incidencia de los rayos y de
los índices de refracción de la lámina y
del medio que la rodea.
El desplazamiento aparente sufrido por la imagen es:
s1 − s 2 = 8 m − 6 ,02 m = 1,98 m
16
EL PRISMA ÓPTICO
Es un medio transparente limitado por dos dioptrios planos que se cortan
según un cierto ángulo α llamado ángulo del prisma. El material con el que
normalmente se fabrican los prismas es de vidrio, cuarzo o plástico.
En la fig.9.28a. se muestra por claridad un prisma óptico en sección, donde
se puede observar la marcha de los rayos. Al dioptrio AB llega un rayo
incidente formando un ángulo ε1 con la normal N y como pasa de un medio
de índice n1 menor (el aire), a otro de índice n2 mayor (el vidrio), sufre una
refracción que según la ley de Snell ec.(9.3), hace que el rayo refractado se
acerque más a la normal que el rayo incidente. Sin embargo en la cara CB
al sufrir una nueva refracción y emerger del prisma de acuerdo con la misma
ley, se refracta alejándose más de la normal, ángulo ε´2 .
B
α
N
δδ
ε1
εε22
ε ´2
N
(1)
ε ´1
(2)
n1
n2
A
Fig.9.28a
n1
C
El prisma óptico marcha de los rayos y ángulos característicos.
El rayo incidente (1) situado a la izquierda, al atravesar el prisma sufre una
desviación hacia la base, según la ley de Snell, lo que puede observarse en
el rayo emergente (2) situado a la derecha, el cual se ha desviado respecto
del rayo incidente un cierto ángulo δ llamado ángulo de desviación. Se
demuestra que δ viene dado por:
δ = ε 1 + ε 2′ − α
(9. 6 )
Sin embargo, para que el rayo pueda salir por la cara del prisma CB, se
puede probar que debe cumplir una condición: el ángulo del prisma α tiene
que ser menor o igual, que el doble del ángulo límite del material Φ.
α ≤ 2Φ
Fig.9.28b
En la imagen superior se puede
observar como el rayo sufre una desviación
de 90º,
mientras que en la inferior la
desviación es de nuevo de 90º, de modo que
el rayo ha invertido su sentido de marcha.
Eje de simetría
ε1
δm
ε ´2
Si no se cumple esta condición el rayo incidente sufre reflexiones totales en
el interior del prisma y no sale por la cara CB. En tal caso el prisma se
conoce como de reflexión total y también tiene numerosas aplicaciones
prácticas, para cambiar la dirección de los rayos de luz, fig.9.28b, en
prismáticos, visores ópticos, periscopios, cámaras reflex, etc.
Un aspecto también muy importante del prisma óptico es conocer en que
condiciones el rayo que incide sobre el prisma sufre la mínima desviación.
Éste estudio se efectúa estimando la influencia que tiene en la desviación el
ángulo de incidencia ε1 mediante la aplicación de la teoría de máximos y
mínimos. Se demuestra que la desviación es mínima cuando los ángulos ε1
y ε´2 son iguales y la trayectoria es simétrica respecto de la bisectriz del
prisma, fig. 9.28.c.
Fig.9.28c Cuando la desviación sufrida por
el rayo es la mínima δm por el interior del
prisma el rayo marcha paralelo a la base del
prisma óptico y entonces es ε1 = ε´2.
17
Sustituyendo la condición de mínima desviación, ε1
δ mín = 2 ε 1 − α
= ε ´2
en (9. 6 ) resulta:
(9.7)
El conocimiento de la magnitud δmín permite determinar experimentalmente
el índice de refracción n2 del material que constituye el prisma. Aplicando la
ley de la refracción a la cara por la que entra la luz en el prisma se deduce
fácilmente la ecuación:
+α 
δ
sen  min

2


(9.7)
n 2 = n1
α
sen
2
El prisma óptico al igual que las lentes, presenta un índice de refracción
distinto para cada color de la luz que lo atraviesa, (es decir para cada
longitud de onda), por lo tanto produce la dispersión de la luz blanca. En un
prisma que no sea de reflexión total se observa la dispersión del color,
desviándose los rayos hacia la base, y tanto más cuanto menor es su
longitud de onda.
EJERCICIO RESUELTO
ε´2
ε1
Fotografía de un rayo de luz al
atravesar un prisma. Se trata de luz
procedente de un LASER de He-Ne
que emite un solo color y una sola
longitud de onda de 632 nm, en el
espectro visible.
Se efectuó un experimento para calcular la desviación mínima de un prisma óptico.
Los resultados de las desviaciones, medidas en función del ángulo de incidencia ε1
aparecen en la siguiente tabla.
ε1 /grados
δ /grados
38,0
35,0
40,0
45,0
50,0
55,0
60,0
65,0
70,0
75,0
43,0
46,0
41,5
40,5
40,0
40,5
41,5
43,0
45,0
48,0
a) Representa gráficamente δ = f (ε1) y determina directamente el ángulo de mínima
desviación. b) Después, sabiendo que el ángulo del prisma es de 60º, determina la
desviación mínima δm usando la ecuación correspondiente. c) El índice de refracción
del material. d) El ángulo límite de la sustancia. e) Calcula si el prisma es de
reflexión total.
grados
a) La representación gráfica δ = f (ε1)
49
48
47
46
45
44
43
42
41
40
39
35
40
45
50
55
60
65
70
75
ε/ grados
Puedes observar que experimentalmente la desviación mínima sufrida por el rayo es
de δmín = 40º que corresponde para un ángulo de incidencia de ε1 = 50º.
b) Aplicando la ecuación correspondiente: δ mín = 2 ε 1 − α = 2 · 50 º − 60 º = 40 º
18
c) Teniendo en cuenta que el medio exterior es el aire n1 = 1. Sustituyendo:
n 2 = n1
+α 
δ
sen  min

2


sen
α
2
 40 + 60 
sen 

 2

=1
=1,53 ≈1,5
60
sen
2
d) El ángulo límite hay que hallarlo en el paso de la luz desde la segunda cara al
aire, que es donde hay reflexión total y vale.
sen φ =
n aire
1
=
= 0 ,67 ;
n vidrio 1,5
Φ = arc sen 0 ,67 ≈ 42º
e) Debemos comprobar que es α ≤ 2 Φ . Valen: α = 60º y
2 ·Φ = 2 · 42º = 84º
En efecto, como 60º ≤ 84º se cumple la condición necesaria para que no sea un
prisma de reflexión total y emerjan los rayos por la cara lateral.
DIOPTRIO ESFÉRICO
Es una superficie esférica que separa dos medios transparentes con distinto
índice de refracción. Si tenemos un casquete esférico de vértice V,
correspondiente a una esfera de centro en C y radio R, la recta que pasa
por V y por C, es el eje del dioptrio, (eje óptico) fig.9.29
Un punto luminoso O que está sobre el eje óptico, fig.9.30, es el punto
objeto y su distancia s al vértice V (donde se toma el origen de distancias)
se llama distancia objeto. Dos rayos procedentes de O, que está situado en
un medio de índice de refracción n, inciden sobre el dioptrio y después de
refractarse de acuerdo con la ley de Snell se propagan por el medio de
índice n´ hasta cortarse en el eje, en el punto O´ que es conocido como el
punto imagen. La distancia s´ desde O´ hasta el vértice V, se llama la
distancia imagen. En la fig.9.30 se muestra una sección longitudinal del
dioptrio con distancias y ángulos, cuando es n´ > n.
V
C
eje
óptico
Fig.9.29 El dioptrio esférico es un casquete
esférico y la recta que pasa por el vértice V
y el centro de curvatura C, se llama eje
óptico.
Normal
+ε
A
+σ
h
O
V
+ε´
-ϕ
−σ´
C
O´
n´
n
-s
Fig.9.30
+s´
Distancias y ángulos en el D. E. con sus signos correspondientes.
En general del punto objeto O salen muchos rayos y no todos llegan al
mismo punto imagen O´. Sin embargo, para todos aquellos que salen
formando con el eje óptico ángulos pequeños, (se dice que se encuentran
en la zona paraxial), se considera que forman su imagen en el mismo punto
O´, de modo que a cada punto objeto le corresponde un solo punto imagen.
19
Criterio de signos
Es necesario establecer unos criterios de signos respecto a las distancias y
a los ángulos:
•
•
•
•
Se dibujan las figuras de modo que la luz incida de izquierda a derecha.
Las distancias a la derecha del vértice V (donde se encuentra el origen
de referencia) son positivas, a la izquierda son negativas.
Las distancias al eje óptico son positivas por encima del mismo y
negativas por debajo.
Los ángulos que forman los rayos con el eje óptico o con una normal,
son positivos, cuando para llevar el rayo sobre el eje o normal por el
camino más corto, hay que girar el rayo en el sentido de las agujas del
reloj y negativos, cuando hay que girar en sentido contrario.
F´
V
eje
óptico
Comprueba aplicando estos criterios, que las distancias y los ángulos tienen
los signos señalados en la fig. 9.30
f´
Invariante de Abbe
Considerando rayos que forman ángulos muy pequeños con el eje óptico se
pueden aproximar los senos y las tangentes por los ángulos en radianes y la
ley de Snell se simplica quedando:
n · ε = n ′ · ε ′ (9.8)
Fig.9.31a. Foco imagen F´
En la fig.9.30 resulta para los ángulos:
ε = σ + ϕ por ser ε suplementario en el triángulo OAC
ϕ = ε ′ + σ ′ por ser ϕ suplementario en el triángulo CAO´ y
ε′ = ϕ − σ′
Teniendo en cuenta el criterio de signos: ε = σ − ϕ y ε ′ = −ϕ − (− σ ′) = σ ′ − ϕ
h
h
h
;
tg ϕ ≈ ϕ =
Además: tg σ ≈ σ = ; tg σ ′ ≈ σ ′ =
s
s′
R
Sustituyendo en la ecuación (9.8) resulta: n · (σ − ϕ ) = n ′ · (σ ′ − ϕ ) es decir:
h h
h h
n ·  −  = n′ ·  − 
 s R
 s′ R 
V
F
eje
óptico
f
Conocida como invariante de Abbe.
Simplificándola debe demostrar el estudiante que resulta:
n′ n n′ − n
− =
s′ s
R
Fig.9.31b.
Foco objeto F
(9.9)
Relaciona las distancias objeto e imagen s y s´ con los índices de
refracción n y n´ de cada medio y el radio de curvatura R del dioptrio
esférico. La ecuación tiene su aplicación limitada únicamente a rayos
paraxiales.
Focos del dioptrio esférico
Los rayos que procedentes del infinito se propagan en dirección paralela al
eje óptico, se cortan en un punto del mismo situado a la derecha del dioptrio
conocido como foco imagen F´; fig. 9.31a
Así mismo, los rayos que saliendo de un punto del eje óptico, siguen
paralelos al eje óptico después de sufrir la refracción en el dioptrio, se dice
que proceden del foco objeto F; fig.9. 31b.
20
La distancia f´ del foco imagen al vértice V, se obtiene haciendo en el
invariante de Abbe (9. 9) s = − ∞ y s´ = f´ . Operando resulta:
n′ R
(9. 10)
n′ − n
La distancia f del foco objeto al vértice V, se obtiene sustituyendo en (9.9)
s ′ = ∞ y s = f. Operando:
f ′=
nR
(9. 11)
n′ − n
Finalmente se puede expresar la ecuación del invariante de Abbe con
las distancias focales imagen y objeto. En efecto, multiplicando por R y
dividiendo por (n ′ − n ) los dos miembros de la ecuación (9.9) resulta:
f =−
n′ n n ′ − n
− =
;
s′ s
R
1 n′ R
1 nR
−
= 1;
s ′ (n′ − n ) s (n′ − n )
f′ f
+ =1
s′ s
(9. 12)
Formación de la imagen por un dioptrio esférico
Una vez conocida la posición de los focos, la imagen de un objeto se
determina fácilmente cuando los rayos son paraxiales. Bastará con emplear
dos rayos que parten del mismo punto del objeto, uno se hace pasar por el
foco objeto y que saldrá del dioptrio paralelo al eje óptico, y otro que se
envía paralelo al eje óptico y que sale del dioptrio pasando por el foco
imagen, fig.9. 32.
y
F
- y´
F´
Fig.9. 32. Imagen formada por un dioptrio esférico. Es real e invertida
respecto del objeto.
Aumento lateral
Es la relación entre el tamaño de la imagen y el del objeto,
y′
β=
y
Puede ser positivo, o negativo y mayor o menor que la unidad.
Mediante relaciones de semejanza de triángulos, se puede expresar el
aumento lateral, en función de las distancias objeto e imagen y los índices
de refracción de los dos medios.
β=
y′ s′ n
=
y s n′
(9.13)
21
Aumento angular
Es la relación que existe entre los ángulos que forman con el eje principal,
el rayo refractado y el rayo incidente, fig.9. 33.
σ′
γ=
σ
h
+σ
−σ´
−σ
O
O´
-s
s´
Fig.9.33. Aumento angular de un dioptrio esférico.
Como consideramos rayos en la zona paraxial, la tangente del ángulo se
puede aproximar por el ángulo, así: tg σ ≈ σ y tg σ ′ ≈ σ ′ . De la figura:
σ≈
h
h
; σ ′≈
−s
s′
−h
;
Sustituyendo:
γ = − h s′ =
s
s
s′
Se puede relacionar el aumento angular γ con el aumento lateral
β, mediante la ecuación (9.13) quedando.
γ=
σ′ s 1 n
= =
σ s ′ β n′
;
γ=
1 n
β n′
EJERCICIO RESUELTO
Una varilla cilíndrica que se encuentra en el aire, lleva en un extremo un casquete
esférico convexo de 5 cm de radio, siendo su de índice de refracción n´= 1,4. Un
objeto de altura y = 1 cm se sitúa delante, a una distancia de 25 cm. Determina:
a)Posición de sus focos. b) Ecuación del invariante de Abbe. c) Posición, naturaleza
y tamaño de la imagen. c) Aumentos angular.
Repetir el ejercicio suponiendo que la varilla está sumergida en un líquido de índice
de refracción n = 1,6.
El radio de curvatura es positivo porque el dioptrio es convexo y la distancia del
objeto al dioptrio es negativa por estar situada a la izquierda del vértice, s = -25 cm.
f ′=
a)
f =−
b)
c)
n′ R
1,4 · 5 cm
=
= 17 ,5 cm ;
n′ − n
1,4 − 1
n R
1 · 5 cm
=−
= − 12 ,5 cm
n′ − n
1,4 − 1
17 ,5 cm −12 ,5 cm
1,4 − 1
1,4
1
; Con las distancias focales:
+
=1
−
=
s′
− 25 cm
s ′ − 25 cm
5 cm
Resolviendo cualquiera de las dos ecuaciones anteriores resulta, s´= 35 cm
Después se calcula el aumento lateral β.
22
β=
1 · 35 cm
y′ n · s′
=
=
= − 0 ,1 ;
y n ′ · s 1,4 · ( −25 cm )
y´= - 0,1 · y = - 0,1 · 1 cm = -0,1 cm
La imagen es real por ser s´ positiva, invertida respecto del objeto por ser el
aumento lateral β negativo y de menor tamaño por resultar y´ < y.
d) γ =
σ ′ s −25 cm
= =
= − 0 ,71
σ s ′ 35 cm
Cuando la varilla se sumerge en el líquido de n´ = 1,6
a´)
b´)
c´)
f′ =
n ′ R 1,4 · 5 cm
=
= − 35 cm
n′ − n
1,4 −1,6
f=−
nR
1,6 · 5 cm
=−
= 40 cm
n′ − n
1,4 −1,6
1,4
1,6
1,4 −1,6
−
=
; Con las distancias focales:
′
s
− 25 cm
5 cm
−35 cm 40 cm
+
=1
s′
− 25 cm
Resolviendo cualquiera de las dos ecuaciones anteriores resulta, s´= -13,5 cm
β=
y ′ n · s ′ 1,6 · ( −13 ,5 cm )
=
=
= 0 ,62 ;
y n ′ · s 1,4 · ( −25 cm )
y´= 0,62 · y = 0,62 · 1 cm = 0,62 cm
La imagen es virtual por ser s´ negativa, derecha respecto del objeto por ser β
positivo y de menor tamaño por resultar y´< y
d´)
γ=
σ′ s
−25 cm
= =
≈1,9
′
σ s − 13 ,5 cm
23