Razones y proporciones

Eje temático: Proporcionalidad
Contenidos: Razones y proporciones - Porcentaje
Nivel: 1° Medio
Razones y proporciones
1. Razones y proporciones
Una razón entre dos cantidades es una comparación entre las cantidades que se realiza
mediante un cociente a : b, y se lee a es a b.
Por ejemplo, si las edades de Carlos y Francisco son 12 y 15 años, entonces la razón
entre sus edades es:
12 :
15 o . Si simplificamos la
fracción obtenemos:
Se denomina proporción a la igualdad de dos razones. Por ejemplo, la igualdad entre las
razones anteriores:
Es una proporción, lo que se puede constatar porque los productos cruzados son iguales:
12· 5 = 4· 15
Por lo tanto, la propiedad fundamental de las
proporciones es:
1.1. Proporcionalidad directa
Dos variables están en proporcionalidad directa si su cociente permanece constante:
k es la constante de proporcionalidad.
El gráfico de dos variables en proporcionalidad directa es un conjunto de puntos que
están sobre una recta que pasa por el origen del sistema de coordenadas. Analizando el
gráfico se visualiza que si una magnitud aumenta, la otra también aumenta.
Ejemplo:
Un vehículo en carretera tiene un rendimiento de 16 km por cada litro de bencina.
¿Cuántos litros de bencina consumirá en un viaje de 192 km?
Se forma la proporción entre las variables distancia – consumo de bencina (si aumenta la
distancia, entonces se deduce que el consumo aumenta, por lo tanto son directamente
proporcionales).
Ocupando la propiedad fundamental de las proporciones obtenemos que:
Entonces,
16 16
= 16 (constante) y
1 1
192
= 16 (constante)
12
1.2. Proporcionalidad inversa
Dos variables están en proporcionalidad inversa si su producto permanece constante:
k es la constante de proporcionalidad.
El gráfico de dos variables que están en proporcionalidad inversa es un conjunto de
puntos que están sobre una hipérbola.
Analizando el gráfico se visualiza que a medida que una magnitud aumenta, la otra
magnitud disminuye.
Ejemplo: Tres obreros demoran 5 días en hacer una zanja. ¿Cuánto demorarán 4
obreros?
La relación entre el número de obreros – tiempo es de proporcionalidad inversa, ya que
si trabajan más obreros, entonces se demorarán menos tiempo en terminar el trabajo.
Aplicando la propiedad de las proporciones inversas, el producto entre las variables es
constante:
entonces, 3 x 5 = 15 (constante)
y
4 x 3,75 = 15(constante)
1.3. Proporcionalidad compuesta
La proporcionalidad compuesta permite relacionar variables mediante proporcionalidad
directa y/o proporcionalidad inversa.
Para resolver ejercicios de este tipo, primero se debe dilucidar qué proporcionalidad
existe entre cada par de variables. Posteriormente, se debe determinar la constante de
proporcionalidad que nos permitirá determinar si son proporcionales o inversamente
proporcionales.
Ejemplo:
Se necesitan 20 obreros para pavimentar 2 km de camino en 5 días. ¿Cuántos obreros
pavimentarán 5 km en 10 días?
a) En primer lugar, determinaremos qué tipo de proporcionalidad existe entre las
variables.
Sean: obreros (O) – longitud del camino (L):
Estas dos variables están en proporcionalidad directa, ya que entre más obreros, más
km de camino se pavimentarán, por lo tanto:
= constante
b) Por otra parte, las variables obreros (O) – tiempo (T) están en proporcionalidad
inversa respecto de la cantidad de km por pavimentar, ya que entre más obreros,
menos tiempo se demorarán en pavimentar el camino.
Por lo tanto, O· T = constante.
De lo anterior se deduce que:
= constante.
Aplicando esta constante de proporcionalidad a los datos dados, tenemos que:
Multiplicando cruzado en esta proporción y despejando x obtenemos:
x = 25 obreros
Entonces, se requieren 25 trabajadores para pavimentar 5 km de camino en 10 días.
2. Porcentaje
El porcentaje es una proporcionalidad directa en que se considera la totalidad como un
100%.
Por ejemplo, decir que el precio de un artículo ha subido 5% significa que se ha
incrementado 5 partes de un total de 100. En términos fraccionarios, se dice que ha
subido la 5/100 parte.
Cuando calculamos el porcentaje de un número, podemos hacerlo directamente
ocupando el concepto de fracción. Por ejemplo, el 12% de 600 es:
El cálculo de porcentaje también se puede realizar a través de una proporcionalidad
directa:
Es bastante útil utilizar este método para resolver problemas de porcentaje relacionados
con ganancia y pérdida. Por ejemplo:
El precio de un chaleco durante una oferta ha bajado de $15.000 a $13.500. ¿Qué % de
descuento se le aplicó?
En este caso, se considera el precio inicial ($15.000) como el 100%. De lo que
disminuyó: $15.000 – $ 13.500 = $ 1.500, se requiere saber qué porcentaje es del
precio original, por lo tanto:
Veamos ahora otro ejemplo:
¿Qué % es 0,2 de 4?
En este caso, la totalidad es 4 (el 100%), de modo que planteamos la proporción: