5.Dispersión de partículas.indd

Dispersión de partículas sólidas en flujos bifásicos
turbulentos de interés industrial*
Santiago Laín Beatove**, Cristian A. Grillo López***
Resumen
Fecha de recepción: 11 de mayo de 2005
Fecha de aceptación: 13 de julio de 2005
Los Flujos Multifásicos tienen una destacada importancia en una gran variedad
de sistemas técnicos, industriales y naturales como, por ejemplo, procesos de
transporte, separación, combustión, flujo sanguíneo, transporte capilar, etc.
En Mecánica de Fluidos, la simulación numérica por ordenador constituye toda una
rama conocida como Mecánica de Fluidos Computacional. El número de problemas
abordados desde esta perspectiva crece día a día conforme aumenta la potencia y la
velocidad de los computadores (al mismo tiempo que disminuye su precio), mientras
que el costo de los ensayos de laboratorio crece sin cesar.
Este trabajo aborda el problema de la dispersión de partículas en un campo de
flujo subyacente turbulento por medio de la simulación numérica.
La aproximación propuesta se centra en el uso de un programa computacional ya
existente dentro del Grupo de Investigación de Mecánica de Fluidos de la Universidad
Autónoma de Occidente (Cali, Colombia) y de su extensión para mejorar las predicciones teóricas de las propiedades turbulentas de la fase discreta en configuraciones
de flujos bifásicos turbulentos cargados con partículas.
Palabras claves: Turbulencia, flujo bifásico, dispersión turbulenta de partículas, modelos lagrangianos.
Abstract
Multiphase flow play a key role in a variety of technical, industrial and nature
systems such as transport processes, segregation, combustion, capilar transport
and many others.
The numerical simulation in Fluid Mechanics, known as CFD, is nowadays one
of the main areas of research around the world. The number of industrial problems
approached by CFD increases rapidly due to the constant improvement of computer
speed (with prices decreasing simultaneously) and the increase of the cost of experimental tests.
* Este artículo es resultado del proyecto de investigación titulado “Dispersión de partículas sólidas
en flujos de interés industrial”, financiado por la Universidad Autónoma de Occidente a través de la
Vicerrectoría de Investigaciones.
** Doctor en Ciencias Físicas, Programa de Doctorado Mecánica de Fluidos, Universidad de Zaragoza (España). Director del grupo de investigación en Mecánica de Fluidos, Universidad Autónoma
de Occidente. Dirección: Calle 25 N° 115-85, Km 2, vía a Jamundí, Cali (Colombia) slain@uao.edu.co
*** Ingeniero mecánico, Universidad Autónoma de Occidente, Cali (Colombia).
INGENIERÍA
& DESARROLLO
Número 17
Enero-Junio, 2005
ISSN: 0122-3461
Santiago Laín Beatove, Cristian A. Grillo López
In this work the turbulent particle dispersion in an underlying flow is addressed
by using numerical simulation. The proposed approach uses an existing computational
code in the Fluid Mechanics Research Group of the UAO, which has been extended in
order to improve the numerical predictions of the particle phase turbulent properties
in two-phase flow laden with solids.
Key words: Turbulence, two-phase flow, turbulent particle dispersion, lagrangian tracking.
1. INTRODUCCIÓN
Por Flujo Multifásico se entiende todo proceso termomecánico en el que interviene un fluido donde coexisten varias fases. La palabra fase adquiere aquí un
sentido generalizado, entendiéndose por tal tanto un estado de agregación de
la materia como determinadas porciones materiales de una o varias sustancias
distinguibles por saltos significativos de sus propiedades. Dicho cambio puede
consistir en variaciones, no sólo de composición o estado, sino también de
variables particulares: velocidad, vorticidad… Dentro de un Flujo Multifásico
se distinguirá una fase fluida que se extenderá en toda la región de desarrollo
del flujo, llamada fase continua. En este seno fluido, líquido o gas, se encontrarán porciones de otra materia o bien elementos de la misma sustancia en
estado distinto del existente en la fase continua. La superficie frontera entre
las fases se conoce con el nombre de entrefase.
Si en el flujo se pueden definir dos o más fases continuas, nos encontramos
ante un flujo con fases separadas, mientras que si las porciones materiales del resto
de las fases consisten en elementos aislados, fluidos o sólidos, se habla de flujo
con fase dispersa. Un ejemplo típico de flujo con fases separadas lo constituyen
la mezcla de dos líquidos inmiscibles como aceite y agua o la coexistencia de
fases gaseosa y líquida. En el caso de que las fases sean gaseosas o líquidas
miscibles, la frontera entre ellas se encontrará difusa y deberá ser definida de
forma adecuada al propósito que se busque. Las capas de mezcla, ondas de
choque y otras discontinuidades pueden interpretarse también como entrefases
entre dos fluidos a ciertos efectos.
En el caso particular de que tan solo haya dos fases distintas, se hablará
de flujo bifásico. De hecho, cualquier flujo que sea exclusivamente con fase
dispersa puede considerarse un sistema bifásico en la medida en que la distinción entre los elementos de una fase y otras puede hacerse en virtud del salto
que experimenten las propiedades que distinguen cada medio. Por ejemplo,
un flujo simultáneo de partículas sólidas y líquidas en una fase continua es
88
Ingeniería & Desarrollo. Universidad del Norte. 17: 87-114, 2005
DISPERSIÓN DE PARTÍCULAS SÓLIDAS EN FLUJOS BIFÁSICOS TURBULENTOS DE INTERÉS INDUSTRIAL
única y los elementos dispersos se distinguen entre sí exclusivamente por
sus propiedades termodinámicas y cinéticas, constituyendo en su conjunto
la segunda fase. Por ello, a partir de aquí a cualquier flujo con fases dispersas
se le denominará flujo bifásico disperso.
Los flujos multifásicos tienen una destacada importancia en una gran variedad
de sistemas técnicos, industriales y naturales como, por ejemplo, procesos de
transporte, separación, combustión, flujo sanguíneo, transporte capilar, etc.
De los múltiples fenómenos en los que se encuentran este tipo de flujos se
pueden citar, entre otros:
• Sistemas gas-partículas sólidas: transportes neumático, colectores de polvo,
lechos fluidizados, reactores heterogéneos, xerografía, polvo cósmico.
• Sistemas gas-líquido (gotas y burbujas): atomizadores, depuradoras, secadores,
combustores; aglomeración, contaminación, cavitación, enfriamiento de
gases, evaporación…
• Sistemas líquido-líquido: extracción, homogeneización,..
• Sistemas líquido-sólido: lechos fluidizados, flotación, sedimentación…
Como en tantos otros procesos de índole compleja, durante mucho tiempo
sus aplicaciones prácticas han venido de la mano de conocimientos empíricos
o modelos de cálculo muy simples incapaces, en la mayoría de las ocasiones,
de predecir con fiabilidad las condiciones de trabajo. Sin embargo, la constante
sofisticación de los productos tecnológicos, la exigencia de mayores fiabilidades
y la necesidad de un mejor aprovechamiento de los recursos han conducido a
la demanda de métodos de cálculo y predicciones más potentes, cuyo desarrollo y explotación requieren un profundo conocimiento de sus fundamentos
físicos y una exacta modelización de los fenómenos involucrados.
Para lograr el deseado conocimiento de los procesos relevantes que tiene
lugar en un determinado sistema existen dos vías distintas pero íntimamente
entrelazadas y concomitantes: el experimento y la modelización numérica.
El primero permite un acceso directo al estudio del fenómeno pero suele ser
costoso, mientras que la segunda es comparativamente mucho más barata y
sencilla.
Ingeniería & Desarrollo. Universidad del Norte. 17: 87-114, 2005
89
Santiago Laín Beatove, Cristian A. Grillo López
No obstante, el caso de la turbulencia, presente en la mayoría de los flujos
de interés industrial, es un paradigma en el conjunto de las ciencias básicas
y aplicadas debido a la inexistencia, todavía hoy, de una teoría completa que
sea capaz de describir con exactitud su dinámica, lo cual es a la vez un reto
tecnológico y un problema de extraordinario interés científico. Es ésta la razón
que nos impulsa a incidir en la modelización teórico-numérica de diferentes
fenómenos, en los que la turbulencia desempeña un papel fundamental,
construyendo aproximaciones simplificadas, las cuales pueden ser validadas
y/o refinadas utilizando el ordenador como un “laboratorio” numérico. En
Mecánica de Fluidos, la simulación numérica por ordenador constituye toda
una rama conocida como Mecánica de Fluidos Computacional. El número
de problemas abordados desde esta perspectiva crece día a día conforme
aumenta la potencia y la velocidad de los computadores (al mismo tiempo
que disminuye su precio), mientras que el costo de los ensayos de laboratorio
crece sin cesar.
Tradicionalmente, en la mayoría de las aproximaciones teórico-numéricas
construidas para crear modelos de turbulencia, se ha recurrido a algún tipo
de promedio de las ecuaciones instantáneas de Navier-Stokes para encontrar
descripciones aproximadas de la evolución de las variables medias. Este hecho
es motivado por la propia naturaleza de los flujos turbulentos donde las escalas espaciales y temporales que intervienen son tan pequeñas que, hoy por
hoy, se hace imposible la resolución numérica completa del flujo. Además, la
presencia de varias fases induce fuentes adicionales de fluctuación debidas a
las perturbaciones introducidas por la distribución aleatoria de las entrefases.
Por tanto, en un Flujo Multifásico donde la fase continua posee una dinámica
turbulenta se debe aplicar un proceso de promediación capaz de contemplar
la interacción entre las fases de una forma suficientemente precisa.
En la aproximación elegida, implementada en el paquete de cálculo ELSA2D,
disponible en el Grupo de Investigación en Mecánica de Fluidos, las ecuaciones
de Navier-Stokes se encuentran promediadas temporalmente siguiendo la
aproximación de Reynolds. La influencia de las partículas sobre la fase gaseosa
aparece como términos adicionales en las ecuaciones promediadas, describiendo lo que se conoce como la modulación de la turbulencia. El tratamiento
elegido para las partículas es de tipo lagrangiano, donde la trayectoria de cada
partícula o paquete de partículas se construye resolviendo sus ecuaciones del
movimiento lagrangianas.
En este tipo de aproximaciones lagrangianas, el problema fundamental
radica en estimar la velocidad instantánea del gas que la partícula sólida
90
Ingeniería & Desarrollo. Universidad del Norte. 17: 87-114, 2005
DISPERSIÓN DE PARTÍCULAS SÓLIDAS EN FLUJOS BIFÁSICOS TURBULENTOS DE INTERÉS INDUSTRIAL
experimenta en cada paso temporal, o velocidad lagrangiana, que va a ser
distinta en general de la velocidad euleriana del fluido. Diversas posibilidades
pueden plantearse, y una excelente revisión puede consultarse en Shirolkar
et al. (1996) [1]. La opción considerada en ELSA2D consiste en interpolar en la
localización de la partícula una velocidad media euleriana, construida a partir de los valores de la velocidad de fluido en los nodos más cercanos de la
malla, y una componente aleatoria obtenida a partir de una función densidad
de probabilidad gaussiana cuya varianza se relaciona con las propiedades
locales de la turbulencia de la fase continua proporcionadas por el modelo de
turbulencia utilizado para la descripción de la dinámica de la fase gaseosa.
La figura 1 esboza el transporte de partículas debido al movimiento de los
vórtices en flujos turbulentos. Dicha figura representa la presencia de los diferentes remolinos, que interactúan con partículas de varios tamaños. El tamaño
de la partícula frente al tamaño del remolino es el parámetro más importante
en la determinación del resultado de la interacción partícula- vórtice. El transporte de partículas debido a los remolinos turbulentos también depende de
diferentes propiedades del fluido y las partículas, como por ejemplo la viscosidad del fluido, su densidad y la densidad de la partícula, y de propiedades
de flujo, como la distribución de energía cinética turbulenta. El entendimiento
detallado de la naturaleza de la interacción de partícula-vórtice es esencial
para modelar el problema de la dispersión de partícula.
Figura 1. Interacción vórtice-partícula en flujos turbulentos
Es conveniente clasificar las partículas, en general, en dos categorías, basadas
en su dimensión característica (el diámetro) respecto a la escala de longitud
más pequeña (la escala de Kolmogorov) presente en un campo turbulento
dado. Una partícula se considera pequeña si su diámetro es más pequeño que
la escala de Kolmogorov, y media si su diámetro está entre la escala de Kolmogorov y la escala de longitud integral. Además, se debe notar que en los
sistemas bifásicos diluidos cargados con partículas de interés, la mayoría de
partículas son pequeñas según la anterior definición. La interacción partícula
Ingeniería & Desarrollo. Universidad del Norte. 17: 87-114, 2005
91
Santiago Laín Beatove, Cristian A. Grillo López
discreta-vórtice viene determinada por dos fenómenos, basados en dos propiedades fundamentales de la partícula, su inercia y su velocidad de caída libre,
las cuales dictan la naturaleza de la interacción.
Una partícula densa tendrá menos velocidad fluctuante que la del fluido.
Esta reducción de la raíz cuadrática media (rms) de las fluctuaciones de velocidad de la partícula se conoce como efecto de inercia, y se caracteriza por una
escala de tiempo llamada tiempo de relajación de la partícula τp. El tiempo de
relajación de la partícula es la tasa de respuesta de la aceleración de la partícula
a la velocidad relativa entre la partícula y el fluido externo.
Por tanto, el aumento de la inercia en una partícula pequeña, que posee
un tiempo de relajación más corto que todas las escalas temporales fluidas,
disminuye la fluctuación de la velocidad de la partícula y al mismo tiempo
aumenta su escala temporal integral. Este efecto de incremento de inercia,
sin embargo, no nos dice nada sobre el grado de dispersión de la partícula,
debido a que, según la teoría estadística de dispersión turbulenta, el grado
de dispersión es determinado por el producto de la raíz cuadrática media de
la velocidad fluctuante y la escala temporal integral de la partícula (Taylor,
1921) [2].
El fenómeno de migración de una partícula de un vórtice a otro, antes de su
decaimiento, debido a la turbulencia original del remolino, es conocido como
el efecto de cruce de trayectorias (CTE). Esta migración prematura es debido a una
velocidad de caída libre significativa para la partícula considerada. Uno de
los resultados del CTE es la reducción de la escala temporal lagrangiana de la
partícula. Esta reducción es debida a un cambio abrupto de las condiciones
fluidas que rodean a la partícula. El CTE viene determinado por la velocidad
de arrastre de la partícula (v d ) , la cual es simplemente la diferencia entre la
velocidad de la partícula y la velocidad del fluido circundante.
El resto de este trabajo
se organiza como sigue: la sección dos introduce los
€
modelos de dispersión turbulenta de partículas considerados en este trabajo; la
sección tres expone la validación de la implementación del modelo de Minier
y Peirano [3] y su comparación con los resultados obtenidos con el modelo
estándar contemplado en el código ELSA2D, frente a tres experimentos de referencia; por último, la sección cuatro presenta el resumen y las conclusiones
extraídas de los resultados obtenidos.
92
Ingeniería & Desarrollo. Universidad del Norte. 17: 87-114, 2005
DISPERSIÓN DE PARTÍCULAS SÓLIDAS EN FLUJOS BIFÁSICOS TURBULENTOS DE INTERÉS INDUSTRIAL
2. MODELOS DE DISPERSIÓN TURBULENTA DE PARTÍCULAS
La mayor parte de los modelos de dispersión pueden ser clasificados basándose en el marco de referencia usado para su formulación. Hay dos tipos de
marcos de referencia, el lagrangiano y euleriano. En el marco de referencia
lagrangiano, las trayectorias de partículas individuales (o nube de partículas)
son construidas conforme se mueven a través del dominio computacional. En
los modelos lagrangianos de partículas, el sistema de referencia se mueve con
las partículas, y la posición instantánea de una partícula puede ser considerada
como una función de la posición inicial de la partícula y el tiempo transcurrido.
Los modelos lagrangianos son llamados algunas veces modelos no continuos,
debido a que la fase de las partículas se trata de un modo discreto, a diferencia
de la fase fluida, que es tratada como una fase continua. El marco lagrangiano
es un modo natural de tratar las partículas en flujos diluidos; de ahí la popularidad de estos modelos en usos como sistemas de combustión de carbón
pulverizado y sprays. En los modelos eulerianos, el sistema de referencia es
estacionario, y las partículas pasan a través de volúmenes de control diferenciales fijos. En esta aproximación, las características de la fase de las partículas
se obtienen resolviendo ecuaciones diferenciales parciales en un sistema de
coordenadas determinado. Estos modelos que tratan las partículas como un
continuo, similar a la fase fluida, se conocen también como modelos continuos
o modelos de dos fluidos. Los modelos eulerianos son populares cuando la
carga de partículas es alta, como en el caso de los sistemas de combustión de
lecho fluidizado. Sin embargo, también se usan en la modelación de flujos cargados con partículas diluidos. Sin embargo, todos los modelos de dispersión
de partículas dependen de ciertas propiedades de la fase continua del fluido.
Los ejemplos de las propiedades importantes de las fases fluidas requeridas
por ambos modelos incluyen las velocidades medias y la raíz cuadrática media
de las velocidades fluctuantes del fluido. La información exacta requerida de
la fase fluida depende del modelo en consideración. Las propiedades de la
fase fluida se obtienen bien mediante medidas experimentales o por algún
procedimiento computacional apropiado para predecir el campo de flujo turbulento. Los métodos más extendidos para predecir el comportamiento de la
fase fluida y sus propiedades turbulentas incluyen: (1) fórmulas algebraicas,
por ejemplo, viscosidad turbulenta constante o los modelos de longitud de
mezcla; (2) los modelos de turbulencia que usan dos o tres ecuaciones, como
las formulaciones k-ε o k-ε-g. Otros métodos, como los modelos algebraicos,
modelos completos de Reynolds Stress, y simulaciones de grandes escalas
(LES), también pueden utilizarse para predecir la fase fluida. Sin embargo,
debido a problemas de estabilidad (modelos algebraicos y de Reynolds Stress)
o a exigencias sustanciales en los requerimientos computacionales (LES), estos
modelos no son usados tan ampliamente.
Ingeniería & Desarrollo. Universidad del Norte. 17: 87-114, 2005
93
Santiago Laín Beatove, Cristian A. Grillo López
Es importante destacar la necesidad de datos experimentales confiables
en flujos bifásicos para validar los modelos. Datos experimentales para
los momentos estadísticos de las partículas con condiciones de contorno
bien especificadas, bajo condiciones de reacción y sin reacción son muy
importantes en el desarrollo final de los modelos. Tales datos pueden ser
usarse no sólo para validar los modelos sino también para comprender mejor
ciertos mecanismos que son fundamentales en flujos de dos fases.
Como ya se ha mencionado, el problema de la dispersión turbulenta de
partículas en flujos turbulentos de interés industrial se aborda en este trabajo
desde una perspectiva computacional. Durante el transcurso de este proyecto
se ha realizado la implementación de la aproximación descrita en Minier
y Peirano (2001) [3], la cual considera una ecuación de Langevin para la
estimación de la velocidad lagrangiana del fluido vista por las partículas. En
esta ecuación, las hipótesis de cierre no se centran en la velocidad lagrangiana
del fluido en sí misma sino en sus aceleraciones siguiendo el espíritu de otras
aproximaciones que han tenido éxito en la descripción de la turbulencia de
la fase continua (Pope, 1994) [4].
Una vez realizada la implementación de la ecuación de Langevin, ésta fue
validada y se comparó con las aproximaciones tradicionales lagrangianas,
codificadas en ELSA2D, que llamaremos estándar, en tres configuraciones de
flujo: flujo turbulento detrás de una rejilla, flujo cortante simple y chorro libre
axisimétrico turbulento cargado con partículas para las cuales existen varios
datos experimentales. En particular, en esta última configuración se han elegido
los experimentos de Hishida y Maeda (1987) [5], pues contienen todas las
variables de interés para la fase dispersa. En este último caso se espera mejorar
los resultados obtenidos empleando los modelos de dispersión de partículas
tradicionales, que llevan a una infrapredicción de la raíz cuadrática media de
la velocidad axial fluctuante de las partículas.
El modelo de Minier y Peirano, el cual incluye como variable primera la
velocidad del fluido vista por la partícula, se escribe:
€
dx p,i = U p,i .dt
dU p,i = A p,i .dt
dU s,i = As,i (t,Z).dt + Bs,ij (t,Z).dW j
(2.1)
(2.2)
(2.3)
donde el vector de estado de una partícula se escribe Z=(Xp,Up,Us) función
de la€posición de la partícula, su velocidad y la velocidad del fluido visto
€
94
Ingeniería & Desarrollo. Universidad del Norte. 17: 87-114, 2005
DISPERSIÓN DE PARTÍCULAS SÓLIDAS EN FLUJOS BIFÁSICOS TURBULENTOS DE INTERÉS INDUSTRIAL
por la partícula respectivamente; dW es un proceso estocástico de Wiener, o
Random Walk, que posee media cero y varianza; dt. Ap,i es la aceleración de
la partícula:
(
)
A p,i = U s,i − U p,i τ p + gi
(2.4)
donde τp es el tiempo de relajación de la partícula y g es la aceleración de la
gravedad. As y B son, respectivamente, el vector de arrastre y la matriz de
difusión, construidos
como
€
As,i = −
€
2
Bs,ij
∂ U f ,i U s,i − U s,i
1 ∂P
+ U p, j − U s, j .
−
ρ f ∂xi
∂x j
TL *
(
2
= Bs,i
δij
)

~
 ~ 

k 2  k 
= ε .C0 .bi . + bi . −1δij
k 3  k 




i = 1,2,3
(2.5)
(2.6)
donde no se sobreentiende suma en el subíndice repetido i y los bi son factores
de corrección, definidos como
€
T
bi = *L
TL.i
(2.7)
*
siendo TL la escala de tiempo lagrangiana del fluido y TL.i la escala de tiempo
lagrangiana por el fluido visto por la partícula, ρf es la densidad del fluido, Uf
su velocidad (euleriana),
€ <P > la presión media, k la energía cinética turbu~
lenta del fluido y <ε> la tasa promedio de disipación, k es una nueva energía
€
cinética definida como
3 ∑
k= .
2
~
3
€
b u2
i=1 i f ,i
3
b
i=1 i
∑
(2.8)
que representa las energías usuales ponderadas con los factores bi. Puesto que
~
estos factores€varían de dirección a dirección, la energía cinética ponderada k
€
Ingeniería & Desarrollo. Universidad del Norte. 17: 87-114, 2005
95
Santiago Laín Beatove, Cristian A. Grillo López
difiere de la habitual
3
k = ∑ u f ,i 2
i=1
. El factor C0 es un factor que relaciona la escala
temporal lagrangiana del fluido TL con la tasa media de disipación ε y la
energía cinética turbulenta k.
€
TL =
4
k
3(C0 + 2 /3) ε
€
(2.9)
El modelo estándar existente en ELSA2D consiste en interpolar en la
localización de la partícula una velocidad media euleriana, construida a
partir de los €
valores de la velocidad del fluido en los nodos más cercanos
de la malla, y fabricar una componente aleatoria obtenida a partir de una
función densidad de probabilidad gaussiana cuya varianza se relaciona con
las propiedades locales de la turbulencia de la fase continua proporcionadas
por el modelo de turbulencia utilizado para la descripción de la dinámica de
la fase gaseosa.
La validación de la estrategia de Minier y Peirano y su comparación con
el modelo estándar se realiza considerando tres experimentos de referencia
que cuantifican la dispersión turbulenta de partículas. El primero de ellos es
la dispersión de partículas sólidas en la turbulencia generada por una rejilla;
dicha turbulencia tiene la particularidad de ser isótropa y no estacionaria,
pues su intensidad decae conforme nos alejamos de la rejilla (isotropic decaying
turbulence). El segundo de ellos es un experimento numérico consistente en
la dispersión de partículas en un flujo cortante simple, donde la velocidad
media del fluido varía linealmente con la coordenada transversal al flujo
y la intensidad de la turbulencia viene especificada. Finalmente, el tercer
experimento de referencia lo constituye un chorro bifásico confinado por una
corriente exterior, la cual es una configuración presente en varios sistemas
industriales como, por ejemplo, cámaras de combustión o secado de sprays
para producir alimentos en polvo.
3. RESULTADOS
3.1. DISPERSIÓN DE PARTÍCULAS EN LA TURBULENCIA GENERADA POR UNA REJILLA
3.1.1. Descripción del experimento
Para la validación de los modelos de dispersión de partículas por la turbu-
96
Ingeniería & Desarrollo. Universidad del Norte. 17: 87-114, 2005
DISPERSIÓN DE PARTÍCULAS SÓLIDAS EN FLUJOS BIFÁSICOS TURBULENTOS DE INTERÉS INDUSTRIAL
lencia de la fase continua es común utilizar esta configuración de flujo. En
particular, los experimentos de Wells y Stock (1983) [6] son comúnmente
empleados en la literatura especializada. En este montaje experimental se
estudia la dispersión de partículas sólidas que emanan desde un punto fuente
en un campo de flujo turbulento generado por una rejilla cuadrada.
La configuración consiste en un túnel de viento con una sección cuadrada
de 200 mm x 200 mm con una velocidad media de aire de U = 6.55 m/s. De
acuerdo a los datos experimentales, los valores cuadráticos medios de las
velocidades fluctuantes en las direcciones del flujo (dirección x) y tranversal
(dirección y) se pueden estimar de las correlaciones
x

= a u  + b u ;
'2


M
u
x

= a v  + bv


M
v
U2
U2
'2
(3.1)
Donde M es el tamaño de los huecos de la rejilla, el cual es 25.4 mm, y los
au, bu, av, bv adoptan los siguientes valores:
parámetros
€
au = 56.55; bu = -8.87; av = 53.52; bv = -7.05
Es necesario señalar que las expresiones (3.1) son correlaciones que
permiten describir las velocidades fluctuantes en cualquier experimento de
turbulencia generada por una rejilla sin más que ajustar los valores de los
parámetros anteriores.
La energía cinética turbulenta puede determinarse de
k=
1
u'2 + v'2
2
(3.2)
La tasa de disipación de energía cinética turbulenta ε se halla con la expresión
€
ε=−
U dk 2
2 dx
(3.3)
Lo cual proporciona, usando (3.1) y (3.2):
€
€




U 
1
2

ε=
+
2M   X
2
X
2 
a v + b v  
 a u + bu 

M
 
 M
3
Ingeniería & Desarrollo. Universidad del Norte. 17: 87-114, 2005
(3.4)
97
Santiago Laín Beatove, Cristian A. Grillo López
Para calcular la dispersión de partículas, todas estas propiedades del flujo se
van a prescribir a lo largo del túnel de viento para los casos considerados.
Este experimento de Wells y Stock fue diseñado para estudiar el efecto de
las fuerzas externas, por ejemplo, la gravedad, sobre el proceso de dispersión.
Debido al ya visto efecto de cruce trayectorias, la dispersión de partículas en
el flujo turbulento se reduce, puesto que las partículas caen más rápidamente
a través de los vórtices turbulentos debido a la gravedad. Por consiguiente,
dado que el modelo de Minier y Peirano introduce explícitamente dicho
efecto de cruce de trayectorias, estos experimentos constituyen un buen
banco de pruebas para tal modelo.
Con objeto de simular diferentes campos gravitatorios, las partículas fueron
cargadas y sometidas a un campo eléctrico en el túnel de viento. La dispersión
de las partículas fue medida utilizando anemometría láser Doppler.
Se utilizaron dos tamaños de partículas de vidrio: 5 µm y 57 µm. La dispersión de las partículas más pequeñas se espera que no se vea muy afectada
por el incremento del campo gravitatorio, puesto que la velocidad de arrastre
es pequeña comparada con las fluctuaciones turbulentas. En el caso de las
partículas más grandes, el efecto de cruce de trayectorias reduce fuertemente
el proceso de dispersión.
El efecto del campo eléctrico sobre la dispersión de partículas puede simularse introduciendo una constante gravitacional efectiva que se obtiene de la
ecuación de movimiento de la partícula en estado estacionario:
geff =
18µ f DVS
ρ pDp
(3.5)
Donde µ es la viscosidad dinámica del fluido, VS la velocidad terminal de
la partícula en estado estacionario, o velocidad efectiva de arrastre, y ρp y Dp
€ y el diámetro de la partícula respectivamente. La función fD
son la densidad
es el término no lineal del coeficiente de resistencia:
fD = 1 + 1/6 Rep0.66
(3.6)
La tabla 1 muestra los diferentes casos considerados:
98
Ingeniería & Desarrollo. Universidad del Norte. 17: 87-114, 2005
DISPERSIÓN DE PARTÍCULAS SÓLIDAS EN FLUJOS BIFÁSICOS TURBULENTOS DE INTERÉS INDUSTRIAL
Tabla 1
Parámetros experimentales en los estudios de Wells y Stock (1983)
Diámetro partícula
[µm]
Densidad partícula
[gr/cm3]
Gravedad efectiva
[m/s2]
Velocidad terminal
[m/s]
5
5
57
57
57
2.475
2.475
2.420
2.420
2.420
0
900
0
28.4
72.4
0
0.17
0
0.545
1.216
Los resultados experimentales para el desplazamiento cuadrático medio
de las partículas se recogen en la tabla 2, tanto para las partículas pequeñas
como para las grandes. Es necesario hacer notar que en este experimento
las condiciones iniciales no se encuentran claramente especificadas, por lo
que los cálculos pueden diferir suficientemente de las medidas. Por ello se
adoptó el uso de las medidas en x/M = 30 como localización de referencia,
sugiriéndose desplazar los resultados numéricos adecuadamente. Las partículas fueron inyectadas con una velocidad media en la dirección del flujo
de 6.55 m/s, mientras que se empleó una velocidad media fluctuante de 0.5
m/s en el punto de inyección x/M = 10. Todas estas elecciones se hicieron
siguiendo las recomendaciones del caso test presentado en la ERCOFTAC
Summerschool “Experiments, Modelling and Numerical Calculations for
Dispersed Multiphase Flow”, que tuvo lugar del 16 al 19 de julio de 2001 en
la Universidad Martin Lutero Halle – Wittenberg (Alemania).
3.1.2. Simulaciones y discusión
A continuación se muestran los resultados obtenidos en las condiciones del
experimento de Wells y Stock utilizando los modelos de dispersión Langevin
estándar y el propuesto por Minier y Peirano.
Ingeniería & Desarrollo. Universidad del Norte. 17: 87-114, 2005
99
Santiago Laín Beatove, Cristian A. Grillo López
Tabla 2
Desplazamientos cuadráticos medios y'2 para las partículas pequeñas (5 µm)
y grandes (57 µm) como función de x/M para las
diferentes constantes gravitacionales
€
partículas grandes
{
{
partículas pequeñas
x/M
VS = 0
VS = 0.17
VS = 0
VS = 0.545
VS = 1.216
20
30
40
50
60
70
0.77
1.10
1.53
1.94
2.35
2.61
0.77
1.10
1.35
1.74
2.15
2.52
0.79
1.24
1.57
1.87
2.35
2.75
0.71
0.90
1.12
1.29
1.46
1.74
0.57
0.60
0.64
La figura 2 muestra los resultados obtenidos para las partículas pequeñas
(Dp = 5 µm).
En ella se puede apreciar cómo para la situación sin fuerzas externas (VS =
0) ambos modelos proporcionan resultados muy parecidos, como era previsible. En cambio, cuando tenemos un valor finito de la velocidad de arrastre
VS el modelo estándar infrapredice la dispersión de las partículas. Como era
de esperar, los resultados experimentales muestran que para estas partículas
tan poco inerciales, la dispersión turbulenta de partículas se ve muy poco
influenciada por la aplicación de un campo externo (representado por una
constante gravitacional geff = 900).
En este caso, el modelo propuesto por Minier y Peirano se muestra superior
al estándar, ya que incorpora explícitamente el efecto de cruce de trayectorias
reflejado en la existencia de una velocidad de arrastre finita.
La figura 3 muestra los resultados obtenidos para las partículas más inerciales (Dp = 57 µm). Se encuentra una mayor dependencia de la dispersión
turbulenta de partículas con el campo externo aplicado que en las partículas
pequeñas, ya que la respuesta de las partículas a las fluctuaciones del campo
de velocidad del fluido es más lenta. De nuevo el modelo estándar no captura
suficientemente bien la dispersión indicada por los datos experimentales,
infraprediciéndola, mientras que el modelo de Minier y Peirano sí es capaz
de describirla con una exactitud suficiente.
100
Ingeniería & Desarrollo. Universidad del Norte. 17: 87-114, 2005
DISPERSIÓN DE PARTÍCULAS SÓLIDAS EN FLUJOS BIFÁSICOS TURBULENTOS DE INTERÉS INDUSTRIAL
Figura 2: Comparación del desplazamiento cuadrático medio
obtenido numéricamente frente a los datos de Wells y Stock
para las partículas de 5 µm
Figura 3: Comparación del desplazamiento cuadrático medio
obtenido numéricamente frente a los datos de Wells y Stock
para las partículas de 57 µm
Es necesario hacer notar que en los cálculos del modelo de Minier y Peirano
la constante C0 se ha hecho igual a 8.1, lo cual implica que la escala temporal
lagrangiana del fluido se exprese como TL = 0.152 k/ε; el valor de 0.152 para
el coeficiente se encuentra en el rango de valores reportados habitualmente
en la literatura (0.13-0.5).
Ingeniería & Desarrollo. Universidad del Norte. 17: 87-114, 2005
101
Santiago Laín Beatove, Cristian A. Grillo López
3.2. DISPERSIÓN DE PARTÍCULAS EN UN FLUJO CORTANTE SIMPLE
El segundo experimento considerado, flujo cortante simple, es numérico y
su interés radica en que existen soluciones analíticas exactas (Reeks, 1993;
Zaichik, 1997; Hyland et al., 1999) [7-9]. En este caso se considera un flujo en
dos dimensiones en el plano x y, cuyos valores medios de velocidad del fluido
se expresan:
U=αyV=0
(3.7)
Donde α es el gradiente de velocidad que se considera constante. Las
fluctuaciones de velocidad del fluido vienen determinadas por procesos
gaussianos cuyas varianzas son los esfuerzos de Reynolds en la dirección
correspondiente. La magnitud de dichos esfuerzos de Reynolds es un dato
fijado desde el comienzo.
Los cálculos en esta configuración de flujo están inspirados en los presentados en Hyland et al. (1999) [9] con los tamaños de partícula utilizados en los
experimentos de Wells y Stock (1983) [6], es decir, 5 y 57 µm. En particular,
se tomarán los esfuerzos de Reynolds normales u' u' = v'v' = 1. Las partículas se
inyectan en el centro del dominio con velocidad inicial nula y sus trayectorias
se calculan durante un tiempo total de 5 s.
€
En primer lugar se considera el caso en el que no hay esfuerzo cortante
impuesto, es decir, α = 0 y donde los esfuerzos de Reynolds cortantes (turbulentos) son también cero, u'v' = 0 . En este caso es conocido que los perfiles de
concentración de partículas son círculos concéntricos alrededor del origen,
puesto que la turbulencia es isótropa y las partículas se difunden con igual
probabilidad en todas
las direcciones. Esta situación se muestra en la figura
€
4, donde la concentración es mayor en el origen y decrece conforme nos alejamos de él.
Es necesario hacer notar que las líneas no son exactamente círculos concéntricos debido a que, para mantener el tiempo de cálculo en límites accesibles,
el número de trayectorias de partículas simuladas se fijó en 104. Conforme el
número de trayectorias aumenta, los círculos se tornan progresivamente más
nítidos.
102
Ingeniería & Desarrollo. Universidad del Norte. 17: 87-114, 2005
DISPERSIÓN DE PARTÍCULAS SÓLIDAS EN FLUJOS BIFÁSICOS TURBULENTOS DE INTERÉS INDUSTRIAL
Figura 4: Perfiles de concentración de partículas en turbulencia
homogénea e isótropa con α = 0
(Dp = 5 µm)
Cuando la turbulencia no es isótropa, es decir, u'v' ≠ 0 , el procedimiento
propuesto por Yuan y Crowe (1989) [10] permite considerar el efecto de la
anisotropía o correlaciones cruzadas. En nuestro caso bidimensional, las dos
velocidades fluctuantes, u’ y v’, se obtienen€de la siguiente manera: en primer
lugar se generan aleatoriamente dos velocidades fluctuantes independientes
con distribución gaussiana u’1 y v’1. Entonces Yuan y Crowe demuestran que
las dos velocidades, u’ y v’, pueden correlacionarse utilizando el coeficiente
de correlación R en la forma
u'= u'1 ; v'= R u'1 +v'1 1− R 2 ; R =
u'v'
u' u' v'v'
(3.8)
€
Figura 5: Perfiles de concentración de partículas en turbulencia
homogénea pero anisótropa u'v' = −0.5 , con α = 0 (Dp = 5 µm)
€
Ingeniería & Desarrollo. Universidad del Norte. 17: 87-114, 2005
103
Santiago Laín Beatove, Cristian A. Grillo López
Como resultado, en el caso anisótropo, donde, por ejemplo, u'v' = −0.5 , los
perfiles de concentración se convierten en elipses rotadas 45º de acuerdo con
Hyland et al. (1999) [9]. Esta situación se muestra en la figura 5.
€
Cuando α ≠ 0, es decir, existe esfuerzo cortante, en el caso de turbulencia
isótropa, los perfiles de concentración de partículas se convierten también en
elipses rotadas (figura 6 con α = 5), aunque en este caso en sentido contrario
a las mostradas en la figura 5. Por consiguiente, el efecto del esfuerzo cortante
es cambiar los perfiles de concentración de círculos concéntricos a elipses concéntricas rotadas. Conforme el tiempo pasa estas elipses se expanden (debido
a la difusión) y rotan (debido al esfuerzo cortante).
Cuando la magnitud del esfuerzo cortante aumenta, el estiramiento y rotación de las elipses aumenta, como se muestra en la figura 7. Si el tamaño de
las partículas aumenta, considerando por ejemplo Dp = 57 µm, la situación es
similar a la mostrada en las figuras precedentes pero la difusión es menor que
en el caso de las partículas pequeñas debido al efecto de inercia (figura 8).
€
Finalmente, si se considera turbulencia no isótropa y esfuerzo cortante
( u'v' = −0.5 , α = 5) se obtiene la situación mostrada en la figura 9: las elipses se
encuentran rotadas, pero mientras en el centro del dominio el efecto predominante es el de la anisotropía de la turbulencia, conforme nos alejamos de él, el
esfuerzo cortante alinea las partículas siguiendo el sentido del flujo medio.
Es necesario hacer notar que como en estos cálculos no se han considerado
campos externos, ambos modelos de dispersión, estándar y Minier y Peirano,
proporcionan resultados casi idénticos en lo referente a la dispersión de las
partículas.
3.3. DISPERSIÓN DE PARTÍCULAS EN UN CHORRO AXISIMÉTRICO TURBULENTO
La última configuración experimental elegida para comparar las resultados
obtenidos mediante los dos modelos de dispersión turbulenta de partículas
considerados en este trabajo es la de chorro bifásico gas – sólido axisimétrico
con fase dispersa diluida. Este es un flujo realista, altamente anisótropo, encontrado frecuentemente en los procesos industriales, por lo que la calidad de
los resultados obtenidos nos proporcionará una pista sobre la fiabilidad de los
modelos utilizados para la predicción de flujos industriales reales.
104
Ingeniería & Desarrollo. Universidad del Norte. 17: 87-114, 2005
DISPERSIÓN DE PARTÍCULAS SÓLIDAS EN FLUJOS BIFÁSICOS TURBULENTOS DE INTERÉS INDUSTRIAL
Figura 6: Perfiles de concentración de partículas en
turbulencia homogénea e isótropa, con α = 5
(Dp = 5 µm)
Figura 7: Perfiles de concentración de partículas en
turbulencia homogénea e isótropa, con α = 10
(Dp = 5 µm)
Las razones que justifican la elección de esta configuración son las siguientes:
el flujo monofásico es bien conocido y existe un buen ajuste de los modelos
turbulentos empleados usualmente, en particular del modelo de segundo orden de esfuerzos de Reynolds elegido en este trabajo; la geometría es sencilla
y posee un buen número de simetrías; las condiciones de contorno están bien
establecidas; existen medidas experimentales suficientemente completas,
tanto en la fase fluida como en la fase de partículas; y, por último, ha sido la
configuración históricamente empleada en las calibraciones de modelos flujo
bifásico turbulento desde finales de los años sesenta.
Ingeniería & Desarrollo. Universidad del Norte. 17: 87-114, 2005
105
Santiago Laín Beatove, Cristian A. Grillo López
Figura 8: Perfiles de concentración de las partículas más grandes
en turbulencia homogénea e isótropa, con α = 5 (Dp = 57 µm)
Figura 9: Perfiles de concentración de partículas en
turbulencia homogénea y anisótropa, con u'v' = −0.5 y α = 10 (Dp = 5 µm)
3.3.1. Descripción del experimento€y simulaciones
En la configuración experimental de Hishida y Maeda (1987) [5] el chorro
emana de una boquilla interior de 13 mm de diámetro confinada en un tubo
exterior de 60 mm. La corriente primaria está confinada en un flujo anular
de aire, llamada corriente secundaria, con velocidad elevada para la recirculación del flujo primario. Tal configuración es esquematizada en la figura 10
y los detalles completos del montaje se pueden consultar en Hishida y Maeda
(1987) [5].
106
Ingeniería & Desarrollo. Universidad del Norte. 17: 87-114, 2005
DISPERSIÓN DE PARTÍCULAS SÓLIDAS EN FLUJOS BIFÁSICOS TURBULENTOS DE INTERÉS INDUSTRIAL
D
U2
U0
D2
Figura 10: Esquema de la configuración de flujo del chorro
de Hishida y Maeda (1987)
El sistema de medida emplea un anemómetro láser Doppler (LDA) de dos
componentes y modificado por los autores para posibilitar la medida de
velocidades de ambas fases con discriminación de tamaño. Ésta se consigue
examinando la amplitud de las señales de ambas fases complementado con
un filtrado de interferencias entre ellas mediante la cuenta del número de
ciclos Doppler.
De los diferentes casos presentados en Hishida y Maeda (1987) [5] se ha
elegido el primero. En este conjunto de medidas la velocidad en el eje de
simetría de la corriente primaria es de 30 m/s, mientras que la velocidad
del flujo secundario es de 15 m/s. La fase sólida consiste en partículas de vidrio de diámetro medio 64.4 µm y densidad ρp = 2590 kg/m3. La fracción de
carga másica es 0.3 (kg partículas)/(kg aire), que corresponde a una fracción
volumétrica media αp = 1.4 x 10-4. La comparación entre medidas y cálculos
se presenta para la sección transversal situada x = 130 mm aguas abajo de la
boquilla, es decir, x/D = 10, donde D es el diámetro de la boquilla.
Como ya se ha comentado, la simulación se ha realizado con el modelo de
esfuerzos de Reynolds, axisimétrico en este caso. Por consiguiente, el cálculo
se ha simplificado considerando las condiciones de simetría y tan solo se calculó la mitad del dominio del flujo. Este dominio rectangular abarca 520 mm
en la dirección axial y 30 mm en la radial, hasta la pared del tubo exterior, y
se discretiza por medio de una malla no uniforme de 150 x 60 volúmenes de
control en la dirección axial y radial respectivamente. Dicha resolución de la
Ingeniería & Desarrollo. Universidad del Norte. 17: 87-114, 2005
107
Santiago Laín Beatove, Cristian A. Grillo López
malla es suficiente para producir resultados independientes del tamaño de la
malla. Los perfiles medidos en x = 0 han sido introducidos como condiciones
de entrada y en x = 520 mm se usó una condición de salida. En r = 0 se impuso
la condición de eje de simetría y en r = 30 mm la condición de no deslizamiento
entre el aire y la pared. Dado el tamaño de las partículas, suficientemente
pequeñas, las fuerzas más relevantes son la resistencia aerodinámica y la
gravedad, por lo que otras fuerzas como la sustentación transversal han sido
despreciadas. La estadística se realizó sobre un total de 25.000 trayectorias
de partículas. Los resultados se presentan en formato dimensional frente a la
distancia radial r.
3.3.2. Resultados y discusión
Una característica importante de la configuración de chorro bifásico es su
gran anisotropía en los esfuerzos normales de Reynolds, especialmente en los
de la fase de partículas. Por ejemplo, en un chorro monofásico axisimétrico
es conocido que los esfuerzos normales radiales y acimutales son del orden
de la mitad de los esfuerzos axiales, lo cual se sigue manteniendo aproximadamente para la fase gaseosa en el caso bifásico. En cambio, la fase de las
partículas presenta valores de los esfuerzos axiales normales, u’p, mayores que
los radiales, v’p, en un orden de magnitud, es decir, la anisotropía de la fase
dispersa es mucho mayor que la de la fase continua. Este hecho también se
ha encontrado en un flujo cortante simple, donde Reeks (1993) [7] demuestra
que los esfuerzos normales de Reynolds de las partículas para tiempos largos
presentan anisotropía a pesar de que los esfuerzos de Reynolds del fluido se
imponen isótropos y espacialmente uniformes.
Esta alta anisotropía de los esfuerzos normales de Reynolds de las partículas
en flujos no uniformes no es capturada con suficientemente exactitud por los
cierres tradicionales, siendo verdad tanto para las descripciones eulerianas
como para las lagrangianas de la fase dispersa (Laín y Kohnen, 1999; Laín y
Aliod, 2000) [11,12]. Desde el punto de vista euleriano, Laín y Aliod (2003) [13]
demuestran que un modelo euleriano de segundo orden, el cual incluye explícitamente términos de producción para los esfuerzos normales de Reynolds de
las partículas, es capaz de predecir aceptablemente la citada anisotropía en las
cantidades turbulentas de las partículas en el chorro experimental de Mostafa
et al. (1989) [14]. Por el contrario, hasta el momento las estrategias lagrangianas todavía no son capaces de capturar razonablemente dicha anisotropía.
Una de las razones para ello podría radicar en que los modelos de Langevin
utilizados para describir la dispersión turbulenta de partículas usados habitualmente en los módulos lagrangianos son todavía demasiado simplificados.
108
Ingeniería & Desarrollo. Universidad del Norte. 17: 87-114, 2005
DISPERSIÓN DE PARTÍCULAS SÓLIDAS EN FLUJOS BIFÁSICOS TURBULENTOS DE INTERÉS INDUSTRIAL
Por tanto, dado que el modelo de dispersión de Minier y Peirano refleja con
más exactitud la física subyacente que los tradicionales, cabe preguntarse si
proporcionará una estimación aceptable de la anisotropía de la turbulencia
de las partículas en la configuración de chorro axisimétrico.
Otro punto que se debe tener en cuenta es que en esta configuración de
flujo existen fuertes gradientes de velocidades medias, en particular de la
velocidad media axial en la dirección radial, por lo que el término inhomogéneo proporcional a ∂ < U f ,i > /∂x j en el modelo de Minier y Peirano no se anula
idénticamente como pasaba en el caso de turbulencia generada por una rejilla.
Dicho término involucra el valor medio de la velocidad de las partículas en la
localización€de la partícula; sin embargo, dicho valor medio es desconocido en
el primer lanzamiento del módulo lagrangiano (que calcula las trayectorias de
las partículas). Por consiguiente, el cálculo de la dispersión de las partículas
mediante el modelo de Minier y Peirano se debe realizar iterativamente suponiendo un valor inicial para el valor medio de las velocidades de las partículas
en los nodos de la malla computacional. Además, el número de esas iteraciones dependerá mucho de la estimación inicial considerada. Un método que
proporcionará un buen valor inicial será precisamente utilizar en el primer
lanzamiento lagrangiano el modelo Langevin estándar, el cual proporciona
buenas estimaciones para la velocidad media de las partículas (Laín y Kohnen,
1999) [11]. De este modo se encontró que dos o tres iteraciones eran suficientes
para obtener la convergencia en la propuesta de Minier y Peirano.
Los resultados obtenidos con ambos modelos de dispersión se presentan
en las figuras siguientes, donde todos los datos son dimensionales.
La parte superior de la figura 11 muestra las velocidades axiales medias
para ambas fases. Como era de esperar, ambos modelos de dispersión de
partículas proporcionan valores prácticamente idénticos para el fluido, donde
la influencia de las partículas se tiene en cuenta mediante el acoplo de dos
vías (two-way coupling).
Ingeniería & Desarrollo. Universidad del Norte. 17: 87-114, 2005
109
Santiago Laín Beatove, Cristian A. Grillo López
Figura 11: Velocidades medias (izquierda) y esfuerzos axiales (derecha)
para ambas fases en x/D = 10 (Hishida y Maeda, 1987)
En el caso de las partículas, el modelo de Minier y Peirano proporciona
una velocidad media ligeramente superior al modelo estándar debido a que
la velocidad media de fluido vista por las partículas es también superior a la
velocidad media del gas (figura 13).
En el caso de los esfuerzos de Reynolds (figura 11, derecha, figura 12) los
valores obtenidos para el gas son muy similares en ambos modelos, comparando
razonablemente bien con los valores experimentales. Sin embargo, la situación
es distinta en el caso de los esfuerzos de Reynolds de las partículas donde el
modelo de Minier y Peirano incrementa las fluctuaciones de las velocidades
de las partículas u’p y esfuerzos de Reynolds cortantes u' p v' p .
€
110
Ingeniería & Desarrollo. Universidad del Norte. 17: 87-114, 2005
DISPERSIÓN DE PARTÍCULAS SÓLIDAS EN FLUJOS BIFÁSICOS TURBULENTOS DE INTERÉS INDUSTRIAL
Figura 12: Esfuerzos radiales (arriba) y cortantes (abajo) para
ambas fases en x/D = 10 (Hishida y Maeda, 1987)
Figura 13: Velocidad axial media vista por las partículas en el modelo
de Minier y Peirano en comparación con la velocidad media del
fluido en x/D = 10
Ingeniería & Desarrollo. Universidad del Norte. 17: 87-114, 2005
111
Santiago Laín Beatove, Cristian A. Grillo López
En estos últimos el incremento es suficiente para capturar los puntos experimentales, pero insuficiente para aproximarse a los valores medidos de u’p.
En el caso de los esfuerzos normales radiales ambas estrategias de dispersión
predicen prácticamente el mismo resultado. Ello es debido a que la dirección
radial es una dirección aproximadamente homogénea en el chorro (que tiene
direccionalidad axial) y los esfuerzos de Reynolds del gas y las partículas alcanzan los valores de equilibrio rápidamente de forma similar a como sucede
en los flujos cortantes simples (Reeks, 1993) [7]. La situación es distinta en la
dirección axial donde aparentemente no se alcanzan los valores de equilibrio
presentando además la particularidad que los gradientes de velocidad media
de las partículas actúan como una fuente para u’p, según se demuestra en Laín
y Aliod (2003) [13].
En resumen, a pesar de que el modelo de Minier y Peirano mejora las predicciones del estándar en la configuración de chorro axisimétrico, capturando
correctamente los esfuerzos de Reynolds cortantes u' p v' p , todavía no es capaz
de capturar la anisotropía de la turbulencia de las partículas debido a la infrapredicción de los esfuerzos normales u’p. Por consiguiente, los modelos de
Langevin, utilizados en la descripción lagrangiana de la fase dispersa, todavía
€
deben mejorarse para capturar dicha anisotropía de los esfuerzos de Reynolds
de los elementos discretos en flujos no uniformes.
RESUMEN Y CONCLUSIONES
Este trabajo ha pretendido contextualizar el papel de los flujos multifásicos
en general y bifásicos en particular dentro los procesos industriales, así como
esbozar las dificultades inherentes a su descripción y modelación. Concretamente, la cuestión abordada ha sido la de la dispersión de partículas discretas
(sólidos, gotas o burbujas) en un flujo turbulento subyacente, la cual viene
gobernada por la interacción fluido - partícula. La discusión se simplificó
considerablemente al considerar partículas pequeñas, menores que la escala
de Kolmogorov del flujo, de tal manera que la velocidad del fluido vista por
la partícula en todos los puntos de su trayectoria pudiese ser considerada
como uniforme. Sin embargo, la existencia de dos fenómenos particulares
diferencian considerablemente el comportamiento de una partícula fluida del
de una discreta: la existencia de la inercia y el efecto de cruce de trayectorias
ya comentados. El punto de vista escogido para la descripción de las partículas es el lagrangiano, o no continuo, donde las partículas se describen como
entes individuales que responden a una ecuación del movimiento en el seno
fluido. Por el contrario, la fase continua se describe mediante las ecuaciones
112
Ingeniería & Desarrollo. Universidad del Norte. 17: 87-114, 2005
DISPERSIÓN DE PARTÍCULAS SÓLIDAS EN FLUJOS BIFÁSICOS TURBULENTOS DE INTERÉS INDUSTRIAL
de Navier - Stokes apropiadamente modificadas y extendidas para describir
el comportamiento turbulento del flujo e incluir el efecto de las partículas en
suspensión.
El punto clave de la aproximación lagrangiana basada en la función densidad
de probabilidad, consiste en considerar como variable primera en el vector
de estado de una partícula la velocidad del fluido vista por la partícula y en
desplazar el cierre de las velocidades instantáneas de las partículas fluidas
hacia sus aceleraciones, de forma similar a como se procede en la turbulencia
monofásica. Cuando la componente fluctuante de la velocidad del fluido
visto por la partícula se considera como un proceso aleatorio, con densidad
de probabilidad gaussiana, se desarrollan los modelos de Langevin que se han
denominado en este trabajo modelos estándar. En ellos, la velocidad fluida en
la localización de la partícula se obtiene por medio de correlaciones que poseen
dos componentes: una temporal y otra espacial. En cambio, modelando las
aceleraciones de las partículas fluidas mediante un proceso de difusión de Langevin, Minier y Peirano (2001) [3] demuestran que el modelo obtenido respeta
más fielmente que el estándar la física del problema, pudiéndose incluir de
forma más o menos natural los efectos de inercia y de cruce de trayectorias.
Los modelos lagrangianos estándar y el propuesto por Minier y Peirano
se han confrontado con tres experimentos, dos reales y uno numérico. Los
cálculos se han desarrollado con el código computacional ELSA2D, disponible
en el Grupo de Investigación en Mecánica de Fluidos de la Universidad
Autónoma de Occidente, en el cual tan solo el modelo estándar se encontraba implementado. Por consiguiente, para el desarrollo de este trabajo fue
necesaria la implementación del modelo de Minier y Peirano (M&P) y su
validación con experimentos de referencia. Como resultado, el modelo M&P
reproduce mejor que el estándar la dispersión turbulenta de partículas en el
flujo turbulento generado por una rejilla cuando se encuentra presente un
campo externo de fuerzas. Ello no es sorprendente, ya que M&P incorpora
explícitamente el efecto de cruce de trayectorias, el cual aparece cuando existe
un arrastre medio entre partícula y fluido. En adición, ambos modelos funcionan suficientemente bien a la hora de reproducir los principales fenómenos de
dispersión de partículas en un experimento numérico que involucra un flujo
cortante simple. Finalmente se consideró un flujo más realista, como el chorro
turbulento axisimétrico cargado con partículas sólidas, el cual se caracteriza
por una alta anisotropía de las velocidades fluctuantes de las partículas, mucho
mayores que las correspondientes de la fase gaseosa, la cual no es capturada
suficientemente bien por los modelos lagrangianos actuales. El resultado para
el chorro demuestra que aunque el modelo M&P se aproxima un poco más a
Ingeniería & Desarrollo. Universidad del Norte. 17: 87-114, 2005
113
Santiago Laín Beatove, Cristian A. Grillo López
los puntos experimentales que el modelo estándar, todavía no es lo suficientemente preciso para reproducir el comportamiento turbulento, de la fase de
las partículas, por lo que éste debe ser todavía mejorado. Un camino posible
para la mejora sería el considerar la influencia de los esfuerzos cortantes del
fluido sobre el modelo de difusión de Langevin considerado para modelar
las aceleraciones, de las partículas fluidas vistas por la partícula en vez de la
elección diagonal elegida por Minier y Peirano. Sin embargo, esta posibilidad
se considerará en un trabajo futuro.
Referencias
[1] SHIROLKAR, J. S., COIMBRA, C.F.M. & MCQUAY, M.Q. (1996). “Fundamental aspects of
modeling turbulent particle dispersion in dilute flows”. Prog. Energy and Combustion Science, vol. 22, 363-369.
[2] TAYLOR, GI. (1921). “Diffusion by continuos movement”. Proc London. Math Soc,
20:196.
[3] MINIER, J.P & PEIRANO, E. (2001). “The PDF approach to turbulent polydispersed
Two-Phase Flows”. Physics Reports, vol. 352, 1-214.
[4] POPE, S.B. (1994). “Lagrangian modeling of turbulent flows”. Annual Review of
fluid Mechanics, vol. 26, 23-63.
[5] HISHIDA, K. & MAEDA, M. (1987). “Turbulent characteristics of gas-solids two-phase
confined jet: Effect of particle density”. Japanese J. Multiphase Flow, vol. 1, 56-69,
[6] WELLS, M.R., STOCK D.E. (1983). “The effect of crossing trajectories on the dispersion of particles in a turbulent flow”. J. Fluid Mech, 136, 31-62.
[7] REEKS, M.W. (1993). “On the continuum equations for dispersed particles in nonuniform flows, I dispersion in a simple shear flow”. Phys.Fluids A 5(3), 750-761.
[8] ZAICHIK, L.I. (1997). “Modelling of the motion of par-ticles in non-uniform turbulent flow using the equation for the probability density function”. J. Appl. MathS.
Mechs, vol. 61 (1), 127-133.
[9] HYLAND, K.E., MCKEE, S. & REEKS, M.W. (1999). “Exact analytic solutions to turbulent particle flow equations”. Phys. Fluids, vol. 11 (5), 1070-6631.
[10] YUAN, Y. & CROWE,C.T. (1989). “On the dispersion of particles in self-induced
turbulence” Particulate Sci. Technol, 7, 129.
[11] LAÍN, S. & KOHNEN, G. (1999). “Comparison between Eulerian and Lagrangian
strategies for the dispersed phase in non-uniform turbulent particle-laden flows”.
Proceedings on turbulence and Shear Flow Phenomena (p. 1227-282). Santa Bárbara
(California).
[12] LAÍN, S. & ALIOD, R. (2000). “Study on the Eulerian dispersed phase equations in
non-uniform turbulent two-phase flows: discussion and comparision with experiments”. International Journal of heat and Fluid flow, vol. 21, 374-380.
[13] LAÍN, S. & ALIOD, R. (2003). “Discussion on second –order dispersed phase Eulerian
equations applied to turbulent particle-laden jet flows”. Chem Eng. Science, vol.
58, 4527-4535.
[14] MOSTAFA, A.A, MONGIA, H. C., MCDONELL, V. G. & SAMUELSEN, G. S. (1989). “Evolution of particle-laden jet flows: A theorical and experimental study”. AIAA Journal,
vol. 27,167-183.
114
Ingeniería & Desarrollo. Universidad del Norte. 17: 87-114, 2005