Sucesiones (I) Definici ón Ejemplos

Definiciones y ejemplos
Sucesiones convergentes
Sucesiones de Cauchy
Definiciones y ejemplos
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Definiciones y ejemplos
2
Sucesiones convergentes
3
Sucesiones de Cauchy
Sucesiones (I)
Sesión teórica 5 (págs. 30-38)
28 de septiembre de 2010
Definiciones y ejemplos
Sucesiones convergentes
Sucesiones de Cauchy
Definición
Sucesiones convergentes
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Sucesiones de Cauchy
Sucesiones de Cauchy
Ejemplos
Definición
Una sucesión en un conjunto no vacı́o A es una aplicación
f : N → A de modo que a cada número natural n le hace
corresponder un elemento f (n) = an perteneciente a A.
f :N → A
n → f (n) = an ∈ A
A la expresión genérica f (n) = an se la denomina término
general de la sucesión. Lo usual es definir una sucesión
indicando cuál es su término general. Ası́, una sucesión la
denotaremos mediante la expresión {an }n∈N o
simplificadamente {an }.
Si A = R se dirá que se tiene una sucesión de números reales.
1
{xn } = {1, 2, 3, 4, 5, 6, . . .}
2
{xn } = {1, 1, 1, 1, 1, 1 . . .}
3
{xn } = {1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, . . .}
4
{xn } = {1, 21 , 13 , 14 , . . .}
5
{xn } tal que xn =
6
{xn } tal que xn =
7
n+1
n
para todo n ∈ N (término general)
2n−5
3n−1
para todo n ∈ N (término general)
xn +2
2 para todo n ≥ 1
{xn } tal que x1 = 1 y xn+1 =
(recurrencia)
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Sucesiones convergentes
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2
Sucesiones convergentes
3
Sucesiones de Cauchy
Sucesiones convergentes
Sucesiones convergentes
Sucesiones de Cauchy
Esta NO es la definición de sucesión convergente
Intuitivamente, una sucesión {xn } se dice que converge a un
número real x si, cuando n crece, los términos xn se acercan a
x tanto como se quiera o, de forma equivalente:
si, cuando n crece, la distancia entre xn y x (que es
d(xn , x) := |xn − x|) es tan pequeña como se quiera.
Sucesiones de Cauchy
Definiciones y ejemplos
Definiciones y ejemplos
Ejercicio: Haciendo uso de la idea intuitiva, ¿cuáles de las
sucesiones 1-5 del ejemplo anterior “crees” que convergen?
Sucesiones de Cauchy
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Definición de sucesión convergente
Una sucesión {an } de números reales se dice que converge a
un número real a si para todo ε > 0 existe N ∈ N tal que
d(a, an ) < ε para todo n ≥ N
Teorema
El lı́mite de una sucesión convergente es único.
|an − a| < ε para todo n ≥ N
(Demostrar ??)
es decir,
es decir,
a − ε < an < a + ε para todo n ≥ N
es decir,
an ∈ ]a − ε, a + ε[ para todo n ≥ N.
En este caso, diremos que a es el lı́mite de la sucesión {an } y
lo denotaremos por lı́m an = a o {an } → a.
n→+∞
Ejercicio: Estudia la convergencia de las sucesiones 1-5 del
ejemplo. Es decir, DEMUESTRA si son convergentes o no lo
son.
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Propiedades de los lı́mites
Supongamos que lı́m an = a y lı́m bn = b. Entonces:
n→+∞
1
n→+∞
n→+∞
lı́m λan = λ lı́m an = λa para todo λ ∈ R.
n→+∞
3
n→+∞
lı́m (an + bn ) = lı́m an + lı́m bn = a + b.(Demostrar)
n→+∞
2
n→+∞
lı́m (an · bn ) = lı́m an · lı́m bn = a · b.
n→+∞
n→+∞
lı́m an
a
lı́m abnn = n→+∞
lı́m bn = b , b = 0 y bn = 0 ∀n ∈ N.
n→+∞
4
n→+∞
5
lı́m
n→+∞
7
n→+∞
lı́m |an | = | lı́m an | = |a|.
n→+∞
6
ban
Aplicación: Estudia la convergencia de {xn } definida por
xn =
0.
lı́m bn
lı́m anbn = ( lı́m an )n→+∞
n→+∞
8
=
n→+∞
ba si b >
Teorema: Criterio del Sandwich
Sean {xn }, {yn } y {zn } sucesiones tales que xn ≤ yn ≤ zn para
todo n. Si {xn } y {zn } son convergentes al mismo x ∈ R
entonces {yn } converge también a x.
n→+∞
1
1
1
+
+ ··· + 2
n2 + 1 n2 + 2
n +n
= ab si an > 0 y a > 0.
lı́m logb an = logb ( lı́m an ) = logb a si an > 0 y a > 0.
n→+∞ √
√
lı́m p an = p lı́m an = p a si p ∈ N \ {1}, an > 0 y
n→+∞
9
n→+∞
a > 0.
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n→+∞
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Dos lı́mites importantes
1
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Teorema
1
2
√
La sucesión { n n} converge a 1.
La sucesión {K n }, con K ∈ (−1, 1), converge a 0
(Demostrar)
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Definición
Diremos que {xn } es una sucesión de Cauchy si
∀ > 0 ∃N ∈ N tal que |xn − xm | < ∀ n, m ≥ N
Teorema de Completitud de Cauchy
Una sucesión de números reales {xn } es de Cauchy si y sólo si
es convergente.
ESTE TEOREMA ES INTERESANTE porque permite abordar
la convergencia sin necesidad de conocer previamente el valor
del lı́mite.