Polarizabilidad de un modelo simple de átomo

Ejemplo 4.1, Capítulo 4, página 161 del libro Introduction to electrodynamics de David J. Gri¢ ths, tercera edición,
Prentice-Hall, Inc.
Un modelo primitivo de átomo, consiste de un núcleo puntual positivo (+q) rodeado por una nube esféricamente
simétrica de carga ( q) de radio a. Calcula la polarizabilidad atómica de un átomo como este.
Solución:
~ ext ; normalmente adquiere una polarización que está dada
Cuando un átomo se coloca en un campo eléctrico externo E
como
~ ext
d~ = E
donde d~ es el momento dipolar y es una constante, que depende del material, del átomo, llamada polarizabilidad
atómica.
En la presencia del campo eléctrico externo, la nube electrónica se desplazara ligeramente en la dirección contraria al
campo y el núcleo se desplazara, también ligeramente, en la dirección del campo. Como esos desplazamientos son muy
pequeños, podemos suponer que la nube electrónica conserva su forma esférica. Digamos que el equilibrio ocurre cuando el
núcleo se ha desplazado una distancia l del centro de la nube de carga electrónica. En ese momento la fuerza de atracción
entre la nube electrónica y el núcleo tiene que ser igual a la fuerza producida por el campo eléctrico externo, es decir,
~ electrones = E
~ ext .
E
Ahora, el campo eléctrico producido por la nube electrónica a una distancia r de su centro es
~ electrones (r) = 1 q r
E
4 "0 a3
ya que estamos suponiendo que la carga de la nube esférica se distribuye uniformemente por todo el volumen del átomo.
Así que debemos tener
1 q
r = Eext
4 "0 a3
de donde
d = qr = 4 "0 a3 Eext
que nos da
= 4 "0 a3 = 3"0 v
siendo v el volumen del átomo.
Este resultado, aunque un poco burdo, está dentro de un factor de 6 para muchos de los átomos sencillos.
Por ejemplo, en el caso de un átomo de hidrógeno el radio es aproximadamente medio amstrong, así que
3
C m2
1
12
1 4
10
=
3
8:854187817
10
F
m
10
m
= 1: 390 8 10 41
H
3 2
V
En realidad, la polarizabilidad experimental del átomo de hidrógeno es
10 30 m3
H = 0:667 (4 "0 )
o sea
C m2
8:854187817 10 12 F m 1
10 30 m3 = 7: 421 4 10 41
H = 0:667 4
V
o sea
7: 421 4
= 5: 336 1
1: 390 8
veces mayor que la calculada con la formula burda derivada en este problema.
1