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Universidad Interamericana
Curso: Matemática para Administradores
Prof. Lic. Jose Eduardo Badilla Mora
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Manual General para el Uso del Software
Graphmatica
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http://www.graphmatica.com/espanol/grmat20n.html
Graphmatica es un software de uso libre muy fácil de utilizar y que puede ser
descargado de Internet sin dificultad alguna. Sin embargo se requiere conocer
algunas generalidades del mismo.
Con este programa se pueden llevar a cabo representaciones gráficas de seis
tipos:
•
•
•
•
•
Coordenadas Cartesianas
Coordenadas Polares
Coordenadas Paramétricas
Aproximaciones Campo – Tangentes
Aproximaciones de Valor Inicial para Ecuaciones Diferenciales
En nuestro caso daremos énfasis sobre el funcionamiento para graficar en
Coordenadas Cartesianas, pues este será nuestro campo de interés. Este
software permitirá llevar a cabo múltiples representaciones gráficas de
funciones por lo que se tendrá la posibilidad de estudiar diferentes funciones
desde puntos de vista algebraicos y gráficos.
Graficar una función: para llevar a cabo la representación gráfica de una
función, se debe incluir:
• una única variable dependiente x, y ó r .
• un único operador de igualdad o desigualdad; =, >, <, ó .
• alguna breve expresión en cada lado del signo de igualdad.
Además se pueden incluir:
• tantas veces como sea necesario la variable independiente; x ó t .
• variables libres especiales; a, b y c .
• constantes; números decimales, (se escribe pi), d, e . Todas estas
constantes son válidas.
• operaciones matemáticas básicas:
+ : suma, : resta, *: multiplicación; / : división, : exponentes
Multiplicación Implícita:
• paréntesis anidados de cualquier expresión.
• funciones trigonométricas, exponenciales, logarítmicas y otras.
• un dominio que puede ser acotado en ambos extremos.
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• comentarios.
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Representaciones Graficas de Funciones
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Para graficar una función simplemente digite la ecuación que desee y presione
" enter " . Algunas ecuaciones deben digitarse con diferentes " comandos " . Así por
ejemplo para una expresión de la forma x n debe digitarse x ^ n . Si el teclado no
posee el símbolo ^, este puede llamarse con el comando " Alt 94" .
Se puede ampliar esta lista de comandos revisando la lista de funciones que
soporta el programa en el ícono de ayuda y luego "tabla de operadores " , o
directamente con la tecla F1 .
OPERADORES
Graphmatica usa un léxico casi idéntico al de BASIC, con varias cosas más para
hacerlo más potente y fácil en su uso. Casi todas de las funciones matemáticas
proporcionadas en la librería de C están disponibles. Los operadores, funciones y
variables soportadas son las siguientes:
Operador Significado
========== ===============================
=
signo igual
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< > desigualdad estricta
<= >= menor o igual, mayor o igual
+
suma
resta
*
multiplicación
/
división
^
Exponenciación
[( )] Paréntesis *
;
(punto y coma) Separa mitades de una ecuación paramétrica
'
(comilla simple)
Hace que el resto de una ecuación sea un
comentario
{m, n} Especifica el dominio **
*
Los paréntesis deben ser anidados de cualquier extensión, pero el
analizador sintáctico no diferenciará entre
(y [.
**
m es el inicio del dominio y n es el final. Cualquiera de los dos extremos
puede ser abierto omitiendo un operando.
Función
Significado
========== ===============================
abs Valor absoluto
acos, asec Arco coseno (inversa del coseno), Arco secante
asin, acsc Arco seno, Arco cosecante
atan, acot Arco tangente, Arco cotangente
cos Coseno
cosh Coseno hiperbólico
cot Cotangente
csc Cosecante
exp Exponencial
int Parte entera (la notación [x] no es soportada)
ln, log
Logaritmo natural, logaritmo decimal
sin Seno
sinh Seno hiperbólico
sec Secante
sqrt (sqr) Raíz cuadrada
tan Tangente
tanh Tangente hiperbólica
Variables Uso
================
===============================
x, y Coordenadas rectangulares
r, t r y q en coordenadas polares
x, y, t
x e y como funciones de t en forma paramétrica
t, x, dx
Ecuaciones diferenciales, resuelve EDO de primer orden*
x, y, dy
(notación alternativa)
d2x, d3x
para EE.DD.OO. de grado superior **
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t,x,y,z,w,dxdw sistemas de EE.DD.OO.
t,x1x4,dx1dx4
(notación alternativa)
a, b, c
uso de variables libres
* dx es normalmente dx/dt en dx/dt = f(x,t)
** d2x es dx/dt
Constante Valor
========== ===============================
D Convierte grados en radianes = p / 180
e Número de Euler = 2.7182...
pi (o p)
p = 3.14159...
Nota: por defecto, todas las funciones trigonométricas trabajan en radianes, no
en grados. Puedes convertirlos usando la constante d: p.e. sin(45d) = sin (p/4)
cos (x*d) = coseno de x, en grados (deberías cambiar el rango de x desde 0 hasta
360 para obtener la gráfica completa)
.
.
Algunos Ejemplos
Función Representada
Algebraicamente
Debe Digitarse
01.
f (x ) = 2 x + 1
y = 2x + 1
02.
f (x ) = 5 x3 2 x + 2
y = 5 x ^3 2 x + 2
03.
f (x ) = 3 x 1
y = sqrt (3 x 1)
04.
x3 + 2.1x 2 10.2 x + 4
f (x ) =
x 2 + 2.5 x 9
y = (x ^3 + 2.1x ^2 10.2 x + 4 )/ (x ^2 + 2.5 x 9 )
05.
f (x ) = 5 3 x 1
y = (3 x 1)^ (1/5 )
06.
f (x ) = n x m
2x
f (x ) =
2
5x +
3
2
f (x ) =
(x 2 )(3x 1)
y = (x )^ (m / n )
07.
08.
y = (2 x )/ sqrt (5 x + 2 / 3)
y = 2 / ((x 2 )(3 x 1))
y = 2e ^ (3 x - 2 )
09.
f ( x ) = 2e 3 x 2
10.
f (x ) = log (2 x 1)
2
y = log (2 x 1)^2
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12.
13.
f (x ) = log 3 (2 x )
y = log (2 x )) / log (3)
2x f (x ) = log 2 2 x f (x ) = 4 x + 2
y = log((2 x) /( x ^ 2)) / log (2 )
.
.
5
y = abs (2 x ^ 2 3) + 5
Definir Dominio
Se puede llevar a cabo la representación gráfica de una función bajo un dominio
específico. Para ello debe indicarse claramente el dominio deseado.
Se digita la función que se desea graficar y seguidamente se indica el dominio, el
cual se escribe de la forma {a, b}donde a es el extremo inferior y b el extremos
superior. Recuerde que se debe cumplir que a < b .
En caso de que su teclado no tenga este comando directo puede recurrirse al
comando " Alt 123" para digitar { y al comando " Alt 125" para llamar al símbolo
}.
Ejemplo:
1. Supongamos que deseamos efectuar una representación grafica de la función
f (x ) = x 2 4 con dominio [2,3].
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Nótese que se digita y = x ^ 2 4 {-2,3} y obtenemos la representación grafica
de la función deseada en un respectivo intervalo.
Observación: estudie con cuidado cada uno de los íconos de la barra de
herramientas, para que observe más funciones interesantes que el programa le
ofrece y amplié su conocimiento y manejo del software.
Así tenemos que:
• “limpiar pantalla”: borra todas las graficas presentes en la pantalla.
• “borrar grafica”: borra la grafica que sea seleccionada con el cursor.
• “zoom dentro” y “zoom fuera”: Amplia o disminuye el tamaño de la
gráfica.
• “cuadrícula por defecto”: muestra el tamaño normal de la gráfica que el
programa establece desde el inicio de la graficación.
• “cursor de coordenadas”: muestra el par ordenado de cualquier punto en el
plano cartesiano.
• Una función interesante es colocar el cursor de coordenadas sin darle clic
sobre algún punto de la gráfica y moverlo con ayuda de las teclas
dirección.
• “ver papel gráfico”: puede cambiar a papel logarítmico, trigonométrico y
coordenadas polares”.
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• “opciones. Mostrar tablas”: muestra una tabla de la función grafica. Aquí
puede observar los pares ordenados (x, y ) que desee.
• “opciones. Mostrar barras de desplazamiento”: muestra barras con las
cuales se puede desplazar en el plano cartesiano.
• “punto evaluar”: calcula el valor de la imagen y al darle algún valor a la
preimagen x .
• “punto: introducir dominio”: permite redefinir o definir el dominio de la
función seleccionada con el cursor.
Zoom dentro y Zoom fuera
Una función importante es el zoom pues podemos seleccionar un área específica
de estudio en el plano cartesiano con el cursor y luego presionar zoom dentro o
zoom fuera. Esto permite ampliar o disminuir la región seleccionada.
Se puede aplicar esto para obtener un acercamiento o alejarse con el propósito
de observar quizá algún punto de intersección de dos o inclusive varias gráficas.
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Estudio de Límites
En el estudio de límites se requiere determinar si existe o no un limite de una
función cuando la variable independiente tiende a algún valor específico. Para
ello se requiere de algunos métodos algebraicos si la función se nos presenta de
forma algebraica.
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Graphmatica permite realizar una representación gráfica de la función lo cual
nos permite interpretar lo que esta sucediendo.
Veamos algunos ejemplos generales:
1. Supongamos que requerimos estudiar el siguiente límite lim(2 x + 1) , si existe.
x 0
Graficamos la función y obtenemos que:
Con ayuda de la representación gráfica podemos concluir que lim(2 x + 1) = 1 , lo
x 0
cual lo podemos comprobar algebraicamente pues este es un límite de
sustitución directa:
lim(2 x + 1) = 2 0 + 1 = 1
x 0
3
x 2 10.2 x + 4 , si existe.
2. Hallar el lim = x + 2.1
2
x 2
x + 2.5 x 9
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3
x 2 10.2 x + 4 , es aproximadamente 1.57
Se pude apreciar que el lim = x + 2.1
2
x + 2.5 x 9
x 2
3. Determine lim 1 , si existe.
x 0 x
+
Se puede apreciar que este límite no existe.
.
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Estudio de Derivadas
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Con ayuda de graphmatica se puede graficar la función f (x ) y al mismo tiempo
se puede trazar su respectiva derivada f (x ) =
d
. Al sobreponer el cursor sobre
dx
la gráfica de la derivada de f (x ) se muestra en la pantalla de edición de
ecuaciones la respectiva ecuación de f (x ) =
d
con lo cual podemos comprobar
dx
si se a derivado correctamente cualquier función.
Veamos algunos ejemplos:
1. Dada la función f (x ) = 2 x 2 + 2 x 1 . Halle f (x ) =
d
.
dx
En la pantalla de edición de ecuaciones y=2 + 4*x ' derivada de y=2x^2+2x-1.
Podemos concluir entonces que:
f (x ) = 4 x + 2 , es la derivada de la función f (x ) = 2 x 2 + 2 x 1 .