practica 1 de calculo - cal-isa-andtech

practica 1 de calculo
Funciones de una variable: Conceptos básicos y
representación gráfica
Problema 1: acerca del cálculo del dominio de funciones de
una variable.
√
Determinar el dominio de la función f(x)= x2 + x − 2
Para que f(x) esté bien definida el argumento de la raíz cuadrada debe ser mayor o igual que 0. Vamos a
estudiar como es el polinomio de dentro de la raíz para ver cuáles son los valores de x para los que tenemos
bien definida nuestra función. Para ello definimos una nueva función g(x) = x2 + x − 2
g=function; g(x)=x^2+x-2
Calculamos los ceros de g(x)​
solve(x^2+x-2,x)
[x == 1, x == -2]
La recta real queda dividida por esos ceros en tres regiones: (− ∞, − 2), (− 2, 1) y (1, ∞). Al ser g(x) un
polinomio, se tratra de una función continua en todo R y por tanto toma valores o siempre positivos o
siempre negativos en cada región. Para cada región consideramos un valor que nos permitirá comprobar el
signo de la función en dicha región..​
g(-3),g(0),g(2)
(4, -2, 4)
La funciónf(x) =
√g(x) está definida en los puntos donde g(x) es mayor o igual que 0. Es decir Dom(f(x)=(−
​
Ejercicio 1: Cálcula el dominio de las siguientes funciones:
a)log x x−−x+3
3
2
b) ​g(x) = log(x3 + 4x2 − 3x + 6)
Problema 2: De cómo representar una función de una variable
Representa graficamente las funciones: f=log(x),
h(x)=log(abs(x))
g=abs(log(x)) y
Para representar funciones de una variable usamos el comando plot. Si no especificamos para que valores
de x queremos representarla, Sage la representa en el intervalo (− 1, 1) siempre que esté definida. En el
caso de f(x) = log x que no está definifa en todo ese intervalo, si no le decimos el rango de valores, la
representa en (0, 1) y nos da un mensaje de error.
plot(log(x))
verbose 0 (4101: plot.py, generate_plot_points) WARNING: When
plotting, failed to evaluate function at 100 points.
verbose 0 (4101: plot.py, generate_plot_points) Last error message
''
Ahora vamos a especificar el rango de valores donde la queremos representar:
plot(log(x),0,5)
Vamos ahora a representar la función g(x) = ∣ log x∣
plot(abs(log(x)),-1,1)
verbose 0 (4101: plot.py, generate_plot_points) WARNING: When
plotting, failed to evaluate function at 100 points.
verbose 0 (4101: plot.py, generate_plot_points) Last error message
''
Esta función no está definida en todo el intervalo (− 1, 1) por eso sólo aparece representada en el intervalo
(0, 1) y me da un mensaje de error. Vamos a ver ahora la función h(x) = log∣x∣ en el intervalo (−1, 1)
plot(log(abs(x)),-1,1)
function('f,g,h')
(f, g, h)
f(x)=log(x);g(x)=abs(log(x));h(x)=log(abs(x))
P1=plot(f(x),-2,2,color='green');P2=plot(g(x),2,2,color='blue');P3=plot(h(x),-2,2,color='yellow');
verbose 0 (4101: plot.py, generate_plot_points) WARNING: When
plotting, failed to evaluate function at 100 points.
verbose 0 (4101: plot.py, generate_plot_points) Last error message
''
verbose 0 (4101: plot.py, generate_plot_points) WARNING: When
plotting, failed to evaluate function at 100 points.
verbose 0 (4101: plot.py, generate_plot_points) Last error message
''
P1+P2+P3
Ejercicio 2: Representa graficamente primero por separado y luego
conjuntamente las funciones: f (x) = ∣x3 + 5x2 + 5x − 3∣, h(x) = x3 + 5x2 + 5x − 3​
y g(x) = ∣x + 3∣(x2 + 2x − 1) en el intervalo (−4, 1).​
Problema 3: acerca de límites de funciones de una variable
(x3 +4)2 −x6
Estudia a través de representaciones gráficas la función m(x) =
,
x3
calcula m(104), m(105) y representala en el intervalo [ −100000, 100000]
function='m'
m(x)=((x^3+4)^2-x^6)/x^3
plot(m(x),(-100000,100000))
A la vista de esta gráfica todo apunta a que la función cerca de 0 vale 8 y cuando nos alejamos hacia el
infinito la función oscila. Debemos tener cuidado con las apariencias, a veces engañan. Vamos a ver que
ocurre acercando la imagen más hacia el 0.
m(-10.),m(10.)
(7.98400000000000, 8.01600000000000)
plot(m(x),(-10,10))
Esta gráfica nos dice poco, ¿qué está ocurriendo?, en el eje de ordenadas aparecen valores muy grandes,
para verlo mejor vamos a cambiar la escala de las ordenadas. Además el eje de ordenadas aparece en azul
porque está intentando pintar la gráfica también en el 0 donde no está definida la función, con la
opción exclude lo solucionaremos.( Este comando sirve para excluir un intervalo (a,b) donde no esté
definida la función, en este caso sería exclude=[a..b], en el caso de un punto lo podemos escribir exclude=
[a..a])
plot(m(x),(-10,10),ymin=0,ymax=10, exclude=[0..0])
plot(m(x),(-5,5),ymin=0,ymax=20,detect_poles='true')#otro
comando que detecta puntos donde no está definida la función
plot(m(x),(-1,1),ymin=-100,ymax=100,detect_poles='true')
A medida que nos acercamos a 0 por la izqda la función se va llendo a − ∞ y a medida que nos acercamos a
0 por la derecha parece que la función va tomando valores muy muy grandes, se va llendo a +∞, por tanto el
limite en el 0 de esta función no existe.
Vamos a comprobarlo pidiendole a Sage que nos lo calcule.
limit(m(x),x=0)
Infinity
Aún podemos afinar más si le pedimo los laterales.
limit(m(x),x=0,dir='-'),limit(m(x),x=0,dir='+')
(-Infinity, +Infinity)
Ahora vamos a ver que pasa cuando hacemos tender la x a +∞ y − ∞
limit(m(x),x=-oo),limit(m(x),x=+oo)
(8, 8)
En contra de lo que podía parecer en la gráfica inicial, que presentaba muchas oscilaciones, los límites en los
infinitos existen, esas oscilaciones son debidas a los errores de redondeo acumulados en valores muy altos
de x y además son engañosas por la escala del eje de ordenadas. Una forma de disminuir los errores de
redondeo es simplificando la expresión. Para ello vamos a usar el comando expand, vamos a guardar la
expresión resultante en n(x).
function=n
n(x)=expand(m(x))
plot(n(x),-100000,100000)
Con la expresión simplificada los errores de redondeo disminuyen y la representación gráfica que nos ofrece
Sage es mucho más fiel a la realidad.
Ejercicio 3: Estudia el dominio y cómo se comporta graficamente la función
x2 − 2x + 3
j(x) = ln 3 2
, y calcula los siguientes límites:
x −x +x+3
lim j (x), lim− j (x), lim+ j (x), lim j (x)
x− >− ∞
x− >1
x− >+∞
x− >0
Problema 4: acerca de continuidad y asíntotas de funciones de
una variable
A menudo nos encontramos con funciones definidas por partes como la siguiente:
{
f(x) =
8x2 + 1 si
x < −1/2
∣x − 1∣ − 1/√2x + 1
si
x ≥ −1/2
En este caso una forma de definirlas es mediante el comando piecewise como vemos a continuación​​
function='p1,p2'
p1(x)=8*x^2+1;p2(x)=abs(x-1)-1/sqrt(2*x+1);
f=piecewise([[(-oo,-1/2),p1],[(-1/2,+oo),p2]])
f(-3),f(4)
(73, 8/3)
Sin embargo, el comando piecewise no podemos usarlo con el comando plot ni con otros comandos como
limit. Así, para representar la función usaremos la combinación de gráficas como sigue:
g1=plot(p1,-2,-1/2,ymin=-5,ymax=6);g2=plot(p2,-1/2,3,ymin=5,ymax=6);
g1+g2
Tanto la función p1 como p2 son funciones continuas en las partes donde están definidas, el único punto
conflictivo se presenta en el punto donde cambia la definición de la función. Se observa en la gráfica que la
función no es continua en ese punto x=-1/2. No obstante vamos a corroborarlo calculando los límites
laterales.
limit(p1,x=-1/2,dir='-'),limit(p2,x=-1/2,dir='+')
(x |--> 3, x |--> -Infinity)
Cuando nos acercamos a -1/2 por la derecha la función se va a − ∞, es decir que podemos asegurar que
tiene una asíntota vertical. ¿Tendrá asíntotas horizontales u oblicuas? Vamos a estudiarlo. Para estudiar los
limites en el infinito tendremos que tener cuidado con la parte de función que debemos considerar.
limit(p1,x=-oo)
x |--> +Infinity
limit(p2,x=+oo)
x |--> +Infinity
En vista de los resultados, sabemos que no hay asíntotas horizontales. Veamos si hay oblicuas.
limit(p1(x)/x,x=-oo)
limit(p2(x)/x,x=+oo)
limit(p2(x)-x,x=+oo)
La función presenta una asíntota oblicua cuando hacemos tender x a +∞ dada por la expresión y = x − 1.
Ejercicio 4: Estudia si la siguiente función es continua en todo su dominio y si
tiene asíntotas verticales, horizontales u oblicuas:
{
f (x) =
3 − 5x si x < 1
3x2 − 5 si x ≥ 1