Cálculo Vectorial Taller 2 - Departamento de Matemáticas

Universidad de los Andes
Departamento de Matemáticas
MATE-1207 — Cálculo Vectorial
Taller 2 - Preparación Segundo Parcial P2
1. Conteste Falso o Verdadero. Justifique matemáticamente.
(a) Si f (x, y), g(x, y) son dos funciones continuas en D, entonces
ZZ
ZZ
ZZ
g(x, y) dA
f (x, y) dA +
f (x, y)g(x, y) dA =
D
D
D
R1Rx
R1Ry
(b) Las integrales 0 0 f (x, y) dydx, 0 0 f (x, y) dxdy tienen el mismo valor para cualquier
función f (x, y).
(c) Si la integral doble de una función f (x, y) sobre D (disco unitario centrado en el origen
incluyendo su frontera) es cero, entonces f (x, y) = 0 para todo (x, y) ∈ D.
(d) El mı́nimo absoluto de una función continua sobre D (disco unitario centrado en el origen
incluyendo su frontera) debe estar en el origen.
(e) El valor de la integral doble de la función f (x, y) = 3x sobre D, donde D es la región en el
segundo cuadrante acotada
por y = −x, y = 0 y la circunferencia unitaria centrada en el
√
origen es igual a −1/ 2.
2. Halle el valor de la integral doble,
Z
0
2Z 4
sin(x2 ) dxdy
2y
3. Halle el área superficial del paraboloide hiperbólico z = f (x, y) = y 2 − x2 localizada entre los
dos cilindros x2 + y 2 = 1, x2 + y 2 = 4.
4. Halle el área superficial de la porción del plano z = 2+3x+4y encima del rectángulo [0, 5]×[1, 4].
5. Halle el centro de masa de una placa plana de forma semi-circular x2 + y 2 ≤ 1 (y ≥ 0) si la
densidad de masa es δ(x, y) = y.
6. Considere en el espacio tridimensional los cilindros: y 2 + z 2 = 1 y x2 + z 2 = 1.
(a) Plantee la integral con todos sus lı́mites para hallar el área de la superficie de intersección
en coordenadas cartesianas en el primer octante.
(b) Plantee la integral con todos sus lı́mites para hallar el volumen del sólido acotado por la
intersección de los dos cilindros en el primer octante usando,
• coordenadas cartesianas,
• coordenadas cilı́ndricas.
(c) Evalúe (a mano) el área de la superficie en el primer octante.
(d) Evalúe (a mano) el volumen del sólido en el primer octante.
7. Considere ahora los tres cilindros en el espacio tridimensional: x2 + y 2 = 1, y 2 + z 2 = 1 y
x2 + z 2 = 1.
(a) Haga un bosquejo, a mano de la intersección de los tres cilindros.
1
(b) Encuentre el volumen del sólido acotado por los tres cilindros.
(c) Qué sucede si el radio del primer cilindro no es uno?. Ilustre la situación.
(d) Plantee, no resuelva, la integral para el volumen del sólido si el primer cilindro es x2 +y 2 = a2
cuando a < 1.
(e) Plantee, no resuelva, la integral para el volumen del sólido si el primer cilindro es x2 +y 2 = a2
cuando a > 1.
8. Plantee la integral triple para hallar el volumen del sólido acotado por el cilindro x2 + y 2 = 1 el
paraboloide z = 4 − x2 − y 2 y el plano z = 0,
(a) en coordenadas cartesianas,
(b) en coordenadas cilı́ndricas.
9. Plantee la integral triple para hallar el volumen del sólido acotado por el cilindro x2 +(y −1)2 = 1
el paraboloide z = x2 + y 2 y el plano z = 0, (Ver Figura 1)
(a) en coordenadas cartesianas,
(b) en coordenadas cilı́ndricas.
Figura 1: Problema 9
10. Plantee la integral triple para hallar el volumen del sólido debajo del paraboloide, z = x2 + y 2
y encima del disco x2 + y 2 ≤ 4, (Ver Figura 2)
(a) en coordenadas cartesianas,
(b) en coordenadas cilı́ndricas.
11. Plantee la integral triple para hallar el volumen del sólido dentro del cono
x2 + y 2 = 3z 2
y la esfera x2 + y 2 + z 2 = 1 cuando z ≥ 0 en coordenadas esféricas. (Ver Figura 3)
2
Figura 2: Problema 10
12. Exprese la integral triple
el sólido acotado por:
RRR
E
f (x, y, z)dV de las seis formas diferentes posibles, donde E es
x=1 y=1
y=
√
x z = 1−y
que está en el primer octante.
RRR
13. Exprese la integral triple
E f (x, y, z)dV de las seis formas diferentes posibles, donde E es
el sólido acotado por:
x2 + z 2 = 4 y = 0 y = 6
14. Exprese la integral triple
R 1 R 1−x2 R 1−x
0
0
0
f (x, y.z)dydzdx de las seis formas diferentes posibles.
15. Bosqueje la región de integración y evalúe la integral
Z 1Z 1
cos(y 3 ) dydx
√
0
(1)
x
16. Demuestre que:
Z
∞
−∞
Z
∞
−∞
Z
∞
−∞
p
x2 + y 2 + z 2 e−x
2 −y 2 −z 2
dzdydx = 2π
(2)
17. Una placa plana de forma un cuadrilátero en el plano xy con vértices en el (0, 0), (2, 3), (5, 1),
y (3, −2) tiene una función de distribución de densidad de masa δ(x, y) = x + y. Halle la masa
de esta placa.
Ayuda: Haga un dibujo y convénzase que la placa es de forma un paralelogramo. Halle las
ecuaciones de los lados y úselas para hacer una transformación a un sistema de coordenadas
adecuado.
18. Encuentre el volumen que está dentro de la esfera x2 + y 2 + z 2 = 4 y el cilindro x2 + y 2 + 2x = 0.
19. Encuentre el área en le primer cuadrante de la región acotada por las curvas y = x2 , y = 2x2 ,
x = y 2 , x = 4y 2 .
3
Figura 3: Problema 11
20. Un depósito tapado esta formado por lo que encierran las superficies: S1 : x2 + y 2 = 9, S2 :
y + z = 5, S3 : z = 1.
(a) Calcule el volumen del depósito.
(b) Calcule el área de la tapa superior del depósito (S2 ).
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