El Método: una carta reveladora de Arquímedes a

Noviembre 2006, pp. 69-73
El Método: una carta reveladora de
Arquímedes a Eratóstenes
Palimpsesto con el Método de Arquimedes,
debajo de una Biblia
H
ace 100 años, el investigador Heiberg tuvo conocimiento
de un palimpsesto, esto es, un pergamino al que se había lavado un primer escrito para ser utilizado con un nuevo texto, de
contenido matemático, que se había encontrado en el convento del Santo Sepulcro de Constantinopla.
York. A pesar de los esfuerzos del gobierno griego por recuperarlo fue adquirido finalmente por un coleccionista norteamericano, que no ha querido revelar su identidad, aunque
expresó su deseo de que el texto en cuestión estuviera a disposición de todo aquél que quisiera consultarlo.
Examinado el documento con las técnicas fotográficas
correspondientes, descubrió Heiberg que, además de otras
obras de Arquímedes, el pergamino contenía nada menos que
una carta de éste dirigida a Eratóstenes, en la que le comunicaba con ejemplos concretos el método de trabajo utilizado
por él en sus hallazgos matemáticos. El documento se conservó gracias a que unos monjes del siglo XIII lo habían reciclado con sus textos litúrgicos, sobre el texto de Arquímedes
que era copia, realizada en el siglo X, de una versión anterior.
Pero, ¿cuál era la importancia de este escrito, tan solo una
simple carta?
Este documento fue adquirido, tras la primera guerra mundial, por una familia francesa que lo conservó hasta 1998, año
en que lo vendió en pública subasta en la ciudad de Nueva
Santiago Gutiérrez
hace.suma@fespm.org
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Hace...
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De regreso a Siracusa, se ocupó de muy variadas cuestiones
en materias tan diversas como Geometría, Aritmética,
Hidrostática, Mecánica y Astronomía. Y lo hacía con tal afán
que Plutarco decía de él:
...siempre hechizado como por una particular sirena en su
propio interior, se olvidaba de comer y beber, y a menudo
se le debía arrastrar por la fuerza a los baños y ungüentos.
Totalmente cautivado por felicísimas sensaciones y realmente poseído por su musa matemática.
Es posible que visitara también Egipto y que fuera allí donde
dejara constancia de su talento técnico con una especie de
tornillo (κοχλιασ) que servía para extraer agua de las profundidades, lo que facilitaba la irrigación de las tierras de cultivo.
Según la leyenda, el rey Hierón le propuso idear algún procedimiento para ver si la corona de oro que le había encargado
al joyero contenía o no la proporción de oro prevista en el
encargo, pero sin necesidad de destruir la corona. Se cuenta
que Arquímedes, estando en la bañera, descubrió de pronto el
procedimiento que le permitía resolver el problema, y fue tal
su emoción que saltó de la bañera gritando Eureka, eureka (Lo
encontré, lo encontré). Había descubierto ni más ni menos que
el bien conocido principio hidrostático:
Cualquier sólido más ligero que un fluido y situado en él,
se sumergirá hasta el punto en que el peso del sólido sea
igual al peso del fluido desalojado.
Arquímedes, pintado por Ribera en 1630,
Museo del Prado
La personalidad de Arquímedes
Natural de Siracusa, era hijo, según él mismo manifiesta en su
obra El Arenario, del astrónomo Fidias. El historiador Tzetzes
afirma:
...trabajó en geometría hasta edad avanzada, viviendo 75
años
...descubrió Heiberg que, además de
otras obras de Arquímedes, el
pergamino contenía nada menos
que una carta de éste dirigida a
Eratóstenes, en la que le
comunicaba con ejemplos concretos
el método de trabajo utilizado por
él en sus hallazgos matemáticos.
De aquí se deduce que debió nacer hacia el año 287 a.C. Al
parecer era amigo y consejero, quizá pariente, del rey Hierón II,
quien sacó buen partido de su ingenio orientándolo hacia la
ingeniería militar. Precisamente, El Arenario está dedicada a
Gelón, hijo de Hierón.
Arquímedes visitó la escuela de Alejandría, y probablemente
allí trató con discípulos de Euclides, pero pronto regresó a
Siracusa, donde transcurrió la mayor parte de su vida. Sin
embargo, se mantuvo en contacto epistolar con los matemáticos y astrónomos del Museo que merecían su confianza, sobre
todo con Dositeo, Conon de Samos y Eratóstenes, este último
director del Museo desde el año 235 a. C.
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Lo que acabó por convertir a Arquímedes en un personaje de
leyenda fue la defensa que hizo de su ciudad durante el asedio
de Roma, en el transcurso de la segunda guerra púnica.
Parece ser que con un juego de poleas fue capaz de botar un
enorme barco con la única fuerza de su brazo, con la famosa
leyenda:
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Dadme un punto de apoyo en el universo y moveré la
Tierra.
Se dice de él que mediante unos grandes espejos concentró los
rayos solares sobre las naves romanas, consiguiendo incendiarlas. También se cuenta que, utilizando la ley de la palanca, lanzaba enormes piedras, desde grandes catapultas, sobre
las naves.
podemos aplicarles el proverbio italiano “Si non e vero e ben
trovato”. Es decir, si no son verdad sirven para hacernos una
idea del impacto que su personalidad había producido tanto
en sus contemporáneos, amigos y enemigos, como en todos
cuantos posteriormente tenían noticia de su talento. No deja
de ser una pena que se haya perdido la biograf ía escrita por su
coetáneo Herakleides.
La obra
He creído oportuno confiarte por
escrito, y explicar en este mismo
libro, las características propias de
un método según el cual te será
posible abordar la investigación de
ciertas cuestiones matemáticas por
medio de la mecánica.
Arquímedes, Carta a Eratóstenes
Esto ocurría allá por los años 214 a 212 a.C. Quiso el destino
que cuando las tropas romanas, al mando del general
Marcelo, consiguieron entrar en Siracusa, después de dos
años de lucha, Arquímedes encontrase la muerte, en el año
212 a. C., a manos de un soldado romano, a los 75 años de
edad, pese a la orden que el propio Marcelo había dado de que
lo llevasen vivo a su presencia. Su muerte se ha revestido de
múltiples leyendas, desde la que dice que murió mientras
hacía figuras con un bastón sobre la arena de su jardín, hasta
la que sostiene que tan solo fue una víctima más del saqueo
que se produjo a la entrada de las tropas romanas, pasando
por la que pone en su boca la frase que le dijo al soldado
romano: No desordenes mis círculos, a continuación de lo cual
el soldado le habría dado muerte.
De estas y otras gestas nos hablan los historiadores romanos,
aunque casi todas son dif íciles de probar. Pero, no importa,
A pesar de su éxito como ingeniero y como inventor, lo que
verdaderamente interesaba a Arquímedes era la ciencia
pura, incluso cuando trataba de sus inventos con palancas y
otras máquinas simples su espíritu se iba más a los principios generales que a las aplicaciones prácticas. En realidad
daba poco valor a sus inventos prácticos, según relatan los
historiadores. De hecho, sus escritos corresponden a la obra
teórica y en nada hacen referencia a la práctica. Como dice
Plutarco:
...Estaba en posesión de un espíritu tan alto, un alma tan
profunda y una riqueza tal de conocimientos que a pesar de
que estos inventos le habrían proporcionado la celebridad
de tener más que sabiduría humana, consideraba que
dichos trabajos eran innobles y viles como todo trabajo
mecánico y todo tipo de arte que se puede usar y aprovechar directamente, y por ello centró su mayor ambición en
aquellas especulaciones cuya belleza y sutileza no añaden
nada a las necesidades habituales de la vida.
Escribió más de diez obras que, siguiendo a los críticos actuales, podemos clasificar del siguiente modo:
1. Primer libro de los equilibrios, sobre los centros de gravedad, los paralelogramos y los triángulos.
2. Cuadratura de la parábola, sobre la cuadratura de un segmento parabólico, con un prólogo dirigido a Dositeo. Al
problema planteado en este libro le da Arquímedes dos
soluciones, una mecánica y otra geométrica.
3. Segundo libro de los equilibrios, sobre los centros de gravedad de los segmentos de parábola.
4. Sobre la esfera y el cilindro I y II. Aporta aquí resultados
interesantes, entre los que destacan el que la superficie
esférica es cuatro veces la de su círculo máximo, o que si
una esfera está inscrita en un cilindro de altura igual al diámetro de la esfera, entonces tanto el volumen como la
superficie total del cilindro son vez y media el volumen y la
superficie de la esfera, respectivamente. Este resultado
debió gustar de manera especial a Arquímedes, ya que
pidió a los suyos que sobre su tumba representaran la figura de la esfera inscrita en el cilindro. Gracias a esta inscripción, en el año 75 a. C., Marco Tulio Cicerón, cuestor por
entonces en Sicilia, pudo identificar la tumba de Arquímedes a pesar del estado ruinoso en que se encontraba.
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Manuscrito de obras de Arquímedes,
autógrafo de Piero della Francesca.
Biblioteca Riccardiana. Florencia (Italia)
5. Sobre las espirales, donde trata de la conocida como “espiral de Arquímedes”, la figura engendrada por un punto que
se mueve con velocidad constante sobre una semirrecta,
radio vector, que a su vez gira con velocidad angular constante alrededor de su origen (de ecuación r=a·θ, en coordenadas polares). Aunque esta espiral debió ser descubierta anteriormente por Conon, y no por Arquímedes, a éste
se debe el cálculo de la tangente en un punto cualquiera,
así como el de las áreas barridas por el radio vector.
6. Sobre los conoides y los esferoides, donde trata de los volúmenes engendrados por las elipses, las parábolas y las
hipérbolas al girar alrededor de un eje de simetría o del eje
transversal en el caso de las hipérbolas.
7. Medida del círculo, sobre diversas relaciones entre perímetros y diámetros, entre áreas de círculos y cuadrados inscritos. En este escrito aparece una interesante aproximación del número π, como resultado de un trabajo de aproximación a la longitud de la circunferencia, por medio de
polígonos regulares inscritos y circunscritos, de 3, 6, 12,
24, 48 y 96 lados. Tal aproximación da lugar al valor de π
dado por la desigualdad:
3+
8. El Arenario, que aporta un sistema de numeración para
tratar con números muy grandes.
9. Los cuerpos flotantes I y II, donde expone su principio
hidrostático y lo aplica al equilibrio de diversos cuerpos
que flotan o se hallan sumergidos en un líquido.
10.El método, ya mencionado, y del que hablamos detenidamente a continuación.
El método
En el siglo XVI, cuando empezó a conocerse, la obra de
Arquímedes asombraba de tal modo que alguien indicó si no
habría dispuesto de un método especial con que lograr semejantes resultados. Se conocían las demostraciones, pero,
¿cómo hacía para establecer las hipótesis de trabajo de las que
luego daba cumplida cuenta en sus demostraciones? La respuesta se hizo esperar, nada menos que hasta comienzos del
siglo XX, en que el investigador danés Heiberg logró descifrar
el pergamino de 185 páginas que contenía la carta a
Eratóstenes. En ella explicaba así Arquímedes su propósito:
Reconociendo, como digo, tu celo y tu excelente dominio
en materia de filosof ía, amén de que sabes apreciar, llegado el caso, la investigación de cuestiones matemáticas, he
creído oportuno confiarte por escrito, y explicar en este
10
10
< π<3+
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mismo libro, las características propias de un método
según el cual te será posible abordar la investigación de
ciertas cuestiones matemáticas por medio de la mecánica.
Algo que por lo demás, estoy convencido, no es en absoluto menos útil en orden a la demostración de los teoremas
mismos. Pues algunos de los que primero se me hicieron
patentes por la mecánica, recibieron luego demostración
por geometría, habida cuenta de que la investigación por
ese método queda lejos de una demostración; como que es
más fácil construir la demostración después de haber
adquirido por ese método cierto conocimiento de los problemas, que buscarla sin la menor idea al respecto...1
Como se ve, Arquímedes hacía:
B, colocados en el otro brazo.
Tanto para las construcciones geométricas que sirven de base
en sus exploraciones como las utilizadas en las demostraciones, los razonamientos de Arquímedes giran en torno a:
•
•
•
•
•
•
la teoría de las razones y las proporciones,
la teoría de los centros de gravedad,
la teoría de equilibrios,
algunos supuestos (a modo de postulados y definiciones),
los teoremas ya probados,
los métodos de comprensión y aproximación (una especie
de exhaución),
• la reducción al absurdo (sólo para las demostraciones).
a. Una exploración mecánica de la relación que deseaba establecer.
b. Concluido un resultado plausible procedía a buscar la
demostración geométrica.
Incluso la primera parte del proceso, la exploración mecánica, le
servía no sólo, según dice, para establecer una conjetura, si no
que le daba pistas también para la demostración geométrica
posterior. Por lo demás, la carta adjunta varios ejemplos de su
trabajo, y no se queda en una simple declaración de intenciones.
Así de reveladora es la carta a Eratóstenes, a la sazón bibliotecario y director del Museo de Alejandría. Experimentación
y observación, son los procesos que utilizaba antes de demostrar lo que, de lo contrario, se quedaría en meras conjeturas.
La exploración mecánica, consiste en lo siguiente:
Supongamos que se trata de hallar el área de una figura plana
o el volumen de un determinado cuerpo. Representemos por
A la figura o el cuerpo. Sea B otra figura o cuerpo cuyos área
o volumen son conocidos, así como sus respectivos centros de
gravedad. El método de exploración mecánica consiste,
entonces, en pesar elementos muy pequeños (infinitesimales,
diríamos hoy) de A en comparación con los correspondientes
de B. Estos elementos muy pequeños son segmentos paralelos, en el caso de las figuras, o cilindros de altura muy pequeña, en el caso de los cuerpos, siendo paralelos los planos de las
bases de todos ellos. Finalmente, equilibraba los elementos de
A, colocados en un brazo de la balanza, con los elementos de
Arquímedes, considerado como el más grande matemático de
la antigüedad, nos aporta de este modo los secretos de su
forma de trabajo, cosa que tantos matemáticos nos niegan con
frecuencia. No hay más que recordar el caso de Gauss, que
según nos hacía observar Abel: Es como el zorro, que borra
con la cola sus huellas en la arena.
NOTA
1 Seguimos
aquí la traducción directa del griego de Mª Luisa Puertas y Luis Vega en Arquímedes: El método, Ed. Alianza, 1986.
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