EJERCICIO 1 DE SELECTIVIDAD Sep`12 A

I.E.S. Los Pedroches. 2º de Bachillerato - Matemáticas II de las CC.SS. Curso 2012-13.
EJERCICIO 1 DE SELECTIVIDAD Sep’12 A
(2.5 puntos) Un empresario fabrica camisas y pantalones para jóvenes. Para hacer una camisa se necesitan 2
metros de tela y 5 botones, y para hacer un pantalón hacen falta 3 metros de tela, 2 botones y 1 cremallera. La
empresa dispone de 1050 metros de tela, 1250 botones y 300 cremalleras. El beneficio que se obtiene por la venta
de una camisa es de 30 euros y el de un pantalón es de 50 euros.
Suponiendo que se vende todo lo que se fabrica, calcule el número de camisas y de pantalones que debe
confeccionar para obtener el máximo beneficio, y determine este beneficio máximo.
Camisetas
Pantalones
Total
m de Tela
2
3
# 1050
Botones
5
2
# 1250
Cremalleras
0
1
# 300
Beneficio (i)
30
50
Número
x
y
Función objetivo: z = 30x + 50y ha de ser máxima (Beneficio por Número)
Restricciones: 2x + 3y # 1050 (m de Tela por Número)
5x + 2y # 1250 (Botones por Número)
y # 300 (Cremalleras por Número)
x $ 0 (nº de camisetas no negativo)
y $ 0 (nº de pantalones no negativo)
Región factible:
Rectas:
1050 & 2x x 0 525
r1 / 2x % 3y ' 1050 Y r1 / y '
y 350 0
3
r2 / 5x % 2y ' 1250 Y r2 / y '
1250 & 5x
2
x 0 250
y 625 0
r3 / y ' 300 Y recta horizontal por (0, 300)
x $ 0 e y $ 0 Y primer cuadrante
Semiplanos:
< P1 (0 , 0)
Y 2 · 0 % 3 · 0 # 1050 (V) Y P1 0 S1 (semiplano por debajo de r1 incluida r1)
2x % 3y # 1050 /00
< P2 (0 , 0)
Y 5 " 0 % 2 · 0 # 1250 (V) Y P2 0 S2 (semiplano por debajo de r2 incluida r2)
5x % 2y # 1250 /00
< P3 (0 , 0)
Y 0 # 300 (V) Y P3 0 S3 (semiplano por debajo de r3 incluida r3)
y # 300 /00
Luego, la región factible es el recinto plano pentagonal OABCD incluidos los lados.
Maximización. A partir de la función objetivo
, obtenemos la recta
,y
la representamos a partir de su vector director
.
Para obtener los valores óptimos se desplaza d paralelamente a sí misma dentro de la región factible:
- El óptimo máximo se alcanza en el punto de dicha región más alejado hacia la derecha (B).
1050 & 2x
1050 & 2x 1250 & 5x
r1 / y '
'
Y 2100 & 4x ' 3750 & 15x Y 11x ' 1650
3
3
2
Máximo en B :
1250 & 5x
1050 & 2 " 150
r2 / y '
Y x ' 150 Y y '
' 250 Y B (150, 250)
2
3
El máximo valor de z (máximo beneficio) es
.
Conclusión: han de fabricarse 150 camisas y 250 pantalones.