Ejercicio 19

UNIDAD 4 Resolución de sistemas mediante determinantes
Resolución de algunos Ejercicios y Problemas:
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Ejercicio 19
19 Discute los siguientes sistemas en función del parámetro y resuélvelos cuando sean compatibles:
=0
° ax + y
§
– y + 2az = 0
a) ¢
§
=0
£ –x + ay
° mx + y + z = 0
§
b) ¢ x – my – z = 1
§
£ 2x + y + z = 0
° kx + ky – z
§
§ 3x – ky
c) ¢
§ 5x + ky
§
+ 2z
£ x
=
=
=
=
2
0
0
1
° x + 3y + z
§
+ 2z
§ mx
d) ¢
my – z
§
§
£ x– y+ z
=
=
=
=
5
0
m
0
Resolución
a) ax + y
=
– y + 2az =
–x + ay
=
(
0°
a 1 0
§
0 ¢ A' = 0 –1 2a
§
–1 a 0
0£
14243
A
0
0
0
)
Se trata de un sistema homogéneo. Por tanto, siempre es compatible porque ran (A ) = ran (A' ) para cualquier
valor de a.
Estudiamos el rango de A : buscamos los valores que hacen | A | = 0.
|
|
a 1 0
| A | = 0 –1 2a = –2a(1 + a2) = 0 8 a = 0
–1 a 0
• Si a = 0:
(
0 1 0
A' = 0 –1 0
–1 0 0
0
0
0
)
La 1.a ecuación es la opuesta de la 2.a.
|–10 –10 | = –1 ? 0 8 ran (A ) = ran (A' ) = 2
El sistema es compatible indeterminado. Lo resolvemos prescindiendo de la 2.a ecuación:
y = 0°
¢ Cualquier valor de z satisface la ecuación.
–x = 0 £
Solución: x = 0, y = 0, z = l
• Si a ? 0: ran (A ) = ran (A' ) = 3. El sistema es compatible determinado y su única solución es la trivial.
Solución: x = 0, y = 0, z = 0.
(
b) mx + y + z = 0 °
m 1 1
§
x – my – z = 1 ¢ A' = 1 –m –1
§
2 1 1
2x + y + z = 0 £
14243
A
0
1
0
)
El sistema será compatible si ran (A ) = ran (A' ), según el teorema de Rouché.
Como A y A' tienen tres filas, su rango no puede ser mayor que 3.
Para estudiar el rango de A, buscamos los valores que anulen su determinante, ya que A es una matriz cuadrada.
| A | = –m 2 + 3m – 2 = 0
m=1
m=2
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Ejercicio 19
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• Si m = 1:
(
1 1 1
A' = 1 –1 –1
2 1 1
0
1
0
)
Tomamos en A un menor de orden 2 distinto de cero y buscamos en A' algún menor de orden 3 distinto
de cero.
|
|
|
1 1 0
1
= –2 y 1 –1 1 = 1 ? 0; luego 2 = ran (A ) < ran (A' ) = 3. El sistema es incompatible.
–1
2 1 0
|
1
1
• Si m = 2:
(
2 1 1
A' = 1 –2 –1
2 1 1
0
1
0
)
La 1.a y la 3.a fila son iguales y, por ello, ran (A ) = ran (A' ). Buscamos en A un menor de orden 2 distinto de cero.
| 21 –21 | = –5 ? 0; luego ran (A ) = ran (A' ) = 2
El sistema es compatible indeterminado. Lo resolvemos prescindiendo de la 3.a ecuación:
2x + y + z = 0 ° 2x + y = –z °
¢
¢
x – 2y – z = 1 £ x – 2y = 1 + z £
–z
§1 + z
x=
1
–2
2
§1
y=
§ = z–1= 1 – z
–5
–5
–z
1 +z
–5
| 21 –21 | = –5
§
Soluciones: x =
5
5
2 + 3z
2 3
=– – z
–5
5 5
1 l
2 3
– , y = – – l, z = l.
5
5
5 5
Comprobamos la solución:
°
§
§
§
§
¢
§
§
§
§
£
2
(
) (
(
) (
)
1 1
2 3
2 2
2 3
– l + – – l +l= – l– – l+l=0
5 5
5 5
5 5
5 5
)
1 1
2 3
1 1
4 6
– l–2 – – l –l= – l+ + l– l=1
5 5
5 5
5 5
5 5
2
(
)
1 1
2 3
2 2
2 3
– l + – – l +l= – l– – l+l=0
5 5
5 5
5 5
5 5
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• Si m ? 1 y m ? 2: ran (A ) = ran (A' ) = 3. El sistema es compatible determinado. Lo resolvemos:
0
1
0
x=
–m 2
§
1
–m
1
+ 3m
1
–1
1
=0
–2
m
1
2
y=
–m 2
§
0
1
0
+ 3m
1
–1
m–2
–1
1
=
=
–(m
–
2)(m
–
1)
m
–1
–2
m
1
2
z=
–m 2
1
–m
1
+ 3m
0
1
–m + 2
1
0
=
=
(m – 2)(m – 1) m – 1
–2
§
§
§
§
Soluciones: x = 0, y =
–1
1
, z=
m–1
m–1
Comprobamos la solución:
°
§ m·0– 1 + 1 =0
§
m–1 m–1
§
§
m
1
m–1
–
=
=1
¢ 0+
m–1 m–1 m–1
§
§
§ 2·0– 1 + 1 =0
§
m–1 m–1
£
(
c) kx + ky – z = 2 °
k k –1
§
3x – ky
= 0§
3 –k 0
¢ A' = 5 k 0
5x + ky
= 0§
§
1 0 2
x
+ 2z = 1 £
14243
A
2
0
0
1
)
El sistema tendrá solución si ran (A ) = ran (A' ), según el teorema de Rouché.
El rango de A no puede ser mayor que 3 porque solo tiene 3 columnas, pero el de A' puede ser 4. Por ello,
empezamos buscando los valores que hacen | A' | = 0.
| A' | = –40k = 0 8 k = 0
• Si k ? 0: como ran (A ) < 4 y ran (A' ) = 4 el sistema es incompatible.
• Si k = 0:
(
0 0 –1
3 0 0
A' =
5 0 0
1 0 2
14243
A
2
0
0
1
)
La 2.a y la 3.a ecuación son equivalentes.
Observamos que en A
| 03 –10 | ? 0, y que no puede haber ningún menor de orden 3 distinto de cero, por
tener la 2.a columna todos los elementos cero. Luego ran (A ) = 2.
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|
|
0 –1 2
En A' : 3 0 0 = 15 ? 0 8 ran (A' ) = 3
1 2 1
Como ran (A ) ? ran (A' ) el sistema es incompatible.
Por tanto, el sistema es incompatible para cualquier valor de k.
d)
x + 3y +
mx
+
my –
x– y+
z
2z
z
z
(
=
=
=
=
5°
1 3 1
§
0§
m 0 2
¢ A' = 0 m –1
m§
§
1 –1 1
0£
14243
A
5
0
m
0
)
El sistema tendrá solución si ran (A ) = ran (A' ), según el teorema de Rouché.
El rango de A no puede ser mayor que 3 porque solo tiene 3 columnas, pero el de A' puede ser 4. Por ello,
empezamos buscando los valores que hacen | A' | = 0.
m=0
m=7
| A' | = –m 2 + 7m = 0
• Si m ? 0 y m ? 7: como ran (A ) < 4 y ran (A' ) = 4, el sistema es incompatible.
• Si m = 0:
(
1
0
A' =
0
1
3
0
0
–1
1
2
–1
1
5
0
0
0
)
Comprobamos que
La 2.a y la 3.a fila son proporcionales.
|
|
1 3 1
0 0 –1 = –4 ? 0. Este es un menor de orden 3 de la matriz A y de la matriz A'.
1 –1 –1
Por tanto, ran (A ) = ran (A' ) = 3. El sistema es compatible determinado. Lo resolvemos prescindiendo de
la 2.a ecuación:
x=
§
5
0
3 1
0 –1
0 –1 1
–4
Solución: x =
§
=
–5
5
= ; y=
–4
4
5
5
, y= , z=0
4
4
Comprobamos la solución:
°
§
§
§
§
¢
§
§
§
§
£
5 15
+
+0=5
4
4
0 +2
·0=0
0 – 0
=0
5 5
–
+0=0
4 4
§
1
0
5 1
0 –1
1
0 1
–4
§
=
–5
5
= ; z=
–4
4
§
1
0
3
0
5
0
1 –1 0
–4
§
=0
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• Si m = 7:
(
1
7
A' =
0
1
3
0
7
–1
|
1
2
–1
1
5
0
7
0
)
|
1
Como 7
0
3 1
0 2 = 56 ? 0, ran (A' ) = ran (A ) = 3
7 –1
El sistema es compatible determinado.
Lo resolvemos prescindiendo de la 4.a ecuación:
x=
y=
z=
§
5
0
7
3
0
1
2
7
1
§
=
–28
1
=–
56
2
§
=
70
5
=
56
4
§
=
98
7
=
56
4
56
§
1
7
0
5
0
1
2
7 –1
56
§
1
7
0
3
0
5
0
7
7
56
Solución: x = –
1
5
7
, y= , z=
2
4
4
Comprobamos la solución:
15
7
° 1
+ =5
§ – +
2
4
4
§
§
1
7
§
§ 7 – 2 +2· 4 =0
§
¢
5
7
§
7·
– =7
§
4
4
§
§
§ –1 – 5 + 7 =0
§
2
4
4
£
( )
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