guía “integración de potencias de funciones trigonométricas”

GUÍA “INTEGRACIÓN DE POTENCIAS DE FUNCIONES
TRIGONOMÉTRICAS”
OBJETIVO:
 Aprender a usar el método de sustitución trigonométrica para resolver
integrales en que aparezcan lo radicales
 Capacidad de plantear opciones de solución a diferentes tipos
de problemas de aplicación del cálculo Integral.
Son los casos de integrales de la forma:
∫
∫
∫
dx
1. ∫
a.
impar positivo
El que tenga potencia impar se descompone en la máxima potencia par
Si es
Si es
El objetivo es transformar esa potencia par en términos de la otra función
trigonométrica
Usando la identidad
; el término de potencia 1 que queda
servirá como diferencial en una integración por sustitución.
EJEMPLO 1: ∫
∫
= ∫(
=∫
)
(
)
=∫
multiplicando los dos términos
∫
Remplazando en la integral
tenemos:
=∫
(
)
∫
(
)
integramos
=
EJEMPLO 2: ∫
En este caso
,
:∫
=∫
x(
=∫
(
=∫
)
)
Se desarrollan los productos que se forman dentro de la integral y se separan
las integrales:
:∫
(
=∫
)
=∫
∫
∫
Dónde:
∫
=∫
∫
∫
=
Con lo cual se observa que si ambas funciones tienen potencia impar es más
corto trabajar con la que este elevada a la potencia menor.
b.
pares positivas
(
Para ambas se usan las identidades:
)
(
)
Con este procedimiento se pasa del cuadrado al argumento doble
EJEMPLO 3: ∫
∫
= ∫
(
) (
)
=
∫(
=
∫
(
))
(
∫
)
(
=
(
(
=
))
)
EJEMPLO 4: ∫
∫
∫(
=
)
(
∫(
(
=
)
)
=
(
)
=
(
)
=
(
)
(
))
(
∫
∫(
)
(
(
(
))
)
)
∫
a.
es impar positiva
S e toma la máxima potencia par, para transformarla en términos de
utilizando
EJEMPLO 5: ∫
∫
=∫
= ∫(
)
=
(
(
)
)
∫
(
)
Donde remplazamos en
términos de
=∫
∫
=
EJEMPLO 6: ∫
∫
∫
=
∫(
)
= ∫(
)
= ∫
∫
(
= ∫
Donde
∫
)
∫
(
)
∫
y
Remplazando tenemos:
∫
=
∫
∫
(con z= cosx )
=
|
=
|
b.
Se aísla
el resto que tiene potencia par se pone en función de
Para usar
en una integral por sustitución
con
EJEMPLO 7: ∫
∫
=∫
∫(
)
∫
∫
∫
=
=
=
(
EJEMPLO 8: ∫
(
∫
)
(
)
)
(
∫
∫
(
∫
)
(
=
∫
)
)
)
(
)(
)(
∫
)
))
(
))
(
(
)
)
∫
(
(
(
(
=
(
=∫
)
(
(
(
(
)
)
))
+∫
)
(
(
)
)
(
(
)
)
∫
(
)
(
)
c.
Se pasan las potencias pares de tangente a potencias de secante; si llegan a
quedar potencias impares de secante se reduce al caso siguiente.
EJEMPLO 9: ∫
∫(
∫
)
=
EJEMPLO 10: ∫
∫(
∫
)
=∫
∫
d.
Se hace por partes
EJEMPLO 11. ∫
∫
∫
)
(
=
∫
=
∫
)
∫
=
+∫
|
∫
=
3∫
a. Si
Ejemplo: 12 ∫
∫
(
=∫
[
|
|
|]
Aplicando la identidad:
)
∫(
Tenemos:
∫(
=
=
-
=
=
)
∫
∫
∫
∫
-
b. Si
Ejemplo 13: ∫
: ∫
= ∫
Aplicando la identidad
Tenemos:
=
=∫
=
(
∫
(
)
)
=