TRANSFORMADA DE LAPLACE Definición: Transformada de

TRANSFORMADA DE LAPLACE
Definición: Transformada de Laplace. Sea f(t) una función definida para t ≥ 0; a la expresión
ℒ = = Se le llama Transformada de Laplace de la función f(t), si la integral existe.
Notación: ℒ significa que el operador ℒ se le aplica a la función f(t) para generar una nueva
función, llamada F(s).
Ejemplos :
Hallar : ℒ donde c es un real.
Solución:
ℒ.
Solución:
ℒ .
Solución:
> 0
dividida entre la variable s; la transformada de t es , la transformada de es . Entonces
Observamos, después de estos ejemplos, que la transformada de una constante es la constante
podemos deducir, por la definición, que:
ℒ =
Ejemplos:
!!
#
! = 1,2,3, …
Hallar: ℒ
+ .
b ℒcos /.
c ℒ 1 = 2
)!
0! = 1.
+
Solución:
0, 0 ≤ < 16
.
3, ≥ 1
d ℒsenh ;) 1!11ó! senh =
Solución:
Solución:
= >? = @>?
> # 0 7 Solución:
+
+ > > ||
En este ejemplo, hemos aplicado una importante propiedad de la transformada: su linealidad.
TEOREMA: La transformada de Laplace es un operador lineal: para cada función f(t) y g(t) cuya
transformada de Laplace exista y para cualesquiera constantes a y b, tenemos:
ℒ + C = ℒ + ℒC.
Ejemplo:
Hallar : ℒ
7 + 7 − 2.
Solución:
E F #F#G
E #7
EXISTENCIA DE LA TRANSFORMADA
Teorema: Existencia de la transformada. Sea f(t) de orden exponencial α en t ≥ 0. Sea f(t)
seccionalmente continua en t ≥ 0, entonces ℒ existe para s > α.
Ejemplo:
Hallar : a) ℒ
! /.
b) ℒ) /.
Solución:
Solución:
0
#0 #0 TRANSFORMADA DE LAPLACE DE FUNCIONES BÁSICAS
Encuentre la transformada de Laplace en las siguientes funciones:
= F .
= J .
?
c = 4
7
d = 6 − Solución:
Solución:
Solución:
Solución:
H
I
K
K
M
#7
F e = M − 3 + 9
Solución:
MF #PE
J
TRASFORMADA DE LAPLACE DE FUNCIONES DEFINIDAS POR TRAMOS
−1, 0 < < 2
= Q 0, 2 ≤ < 46
1, ≥ 4
Solución::
= 2
1, 0 < < 36
, ≥ 3
Solución:c
= 2
3, 0 < < 16
0, ≥ 1
Solución: 3 R− 6 − + 1
+ 2
7 + 7
FUNCIÓN ESCALÓN UNITARIO
Definición: La función escalón unitario S está dada por:
S ∶= 2
0,
1,
< 06
0<
+ M − 1
Al recorrer el argumento de S podemos mover el salto a otra posición: es decir,
S − = 2
0,
1,
− <0
0<−
=
2
0,
1,
< 6 6
<
tiene su salto en t = a. Al multiplicar por una constante M, la altura del salto también se puede
modificar
US − = 2
0,
U,
<
<
6
Cualquier función continua por partes se puede expresar en términos de funciones escalón
unitario.
Ejemplo: Escribir la función.
3,
1,
= V
,
/10,
en términos de funciones escalón unitario.
<2
2 < < 56
5<<8
8<
= 3 − 2S − 2 + − 1S − 5 + Z
La transformada de Laplace de S − con a ≥ 0 es:
ℒS − =
Ejercicios:
− [ S − 8
10
+
En los siguientes problemas, bosqueje la gráfica de la función dada y determine su transformada
de Laplace.
a) − 1 S − 1
b) S − 2
Solución: 2
= @\
Solución: R
M #M#
]
En los siguientes problemas, exprese la función dada, mediante funciones escalón unitario y
calcule su transformada de Laplace.
0,
2,
C = V
1,
3,
0<<1
1 < < 26
2<<3
3<
Solución:
= @\ = @\ #= @\
b)
Solución:
= @\ = @\ #
PROPIEDADES DE LA TRASFORMADA DE LAPLACE
Linealidad de la transformada
Teorema 1. Sean f, f1, f2 funciones cuyas transformadas de Laplace existen para s>α y sea c una
constante. Entonces, para s>α,
ℒf + f = ℒf + ℒf ℒcf = ℒf
Translación en s
Teorema 2. Si la transformada de Laplace ℒf = existe para s>α, entonces
para s>α+a.
ℒe_` ft = − Translación en t
Teorema 3. Suponga que = ℒf existe para s > α ≥ 0. Si a es una constante positiva,
entonces
ℒ − S − = + En la práctica es más común encontrarse con el problema de calcular la transformada de una
función expresada como CS − en vez de − S − . Para calcular
ℒCS − , basta identificar C con − de modo que = C + . Así entonces
tenemos ℒCS − = + ℒC + .
TRANSFORMADA DE FUNCIONES MULTIPLICADAS POR tn, Y DIVIDIDAS ENTRE t
Teorema. Sea = ℒf y suponga que es continua por partes en b0,6∞ y de orden
exponencial α. Entonces para s > α,
ℒ = −1
def
.
de
Ejemplo: Determinar
ℒ ! g
Solución: #g ℒ ) g
Solución: #g ℒ ) Solución:
Fg
#g TRANSFORMADA DE DERIVADAS
Teorema. Sea continua en b0,6∞ y ´ continua por partes en b0,6∞, ambas de orden
exponencial α. Entonces, para s > α,
Ejemplo:
ℒ´ = ℒ − 0.
a) Use el teorema anterior y el hecho de que ℒ
! = #g , para determinar ℒ) .
g
6 y sea continua por partes en
Teorema. Sea , ´,…, continuas en b0,∞
b0,6∞, con todas estas funciones de orden exponencial α. Entonces, para s > α,
ℒi j = ℒ − 0 − ´0−. . . − 0.
TRANSFORMADA INVERSA
Definición: Si ℒ = , entonces ℒ = se llama transformada inversa de .
Ejemplo: Hallar = Solución: = 3
7
Solución: = 7
7
= #7
H
= E
Solución: = F 7
ALGUNAS TRANSFORMADAS INVERSAS
1.- FACTORES REPETIDOS
Si l se puede factorizar como un producto de factores lineales distintos,
l = − − … − ,
Donde los m son números reales distintos entre sí, entonces el desarrollo en fracciones parciales
tiene la forma
;
n
n
n
=
+
+ ⋯+
,
l − − −
Donde las nm son números reales.
Ejemplo: Determinar ℒ , donde = ##7.
Solución: 2
− 3
+ 7 .
H
2.- FACTORES LINEALES REPETIDOS
Sea − un factor de l y supongamos que − p es la máxima potencia de − que
divide a l. Entonces la parte del desarrollo en fracciones parciales de r correspondiente al
q
término − p es
n
np
n
+
+ ⋯+
,
− − − p
Donde los nm son números reales.
Ejemplo: Determinar ℒ 2 #7s.
#P#
Solución: 2
+ 3
− 7 .
3.- FACTORES CUADRÁTICAS
Sea − t + u un factor cuadrático de l que no se pueda reducir a factores lineales con
coeficientes reales. Supongamos que v es la máxima potencia de − t + u que divide a
l. Entonces la parte del desarrollo en fracciones parciales correspondiente a − t + u es
w + x
w + x
wp + xp
+
+⋯+
− t + u
b − t + u ]
b − t + u ]p
TRANSFORMADA DE INTEGRALES
Teorema. Sea una función seccionalmente continua en ≥ 0 y de orden exponencial α, y si
ℒ = , entonces:
ℒ 2z {{s = ℒ = .
BREVE TABLA DE TRANSFORMACIONES DE LAPLACE
1
+
,
! = 1,2, …
! + ,
) ! = 1,2, …
+ ! + ) = ℒ
1
, >0
1
, >
−
!!
, >0
#
, >0
+
, >0
+
!!
, >
− #
, >
− +
−
, >
− +