Otra prueba de la desigualdad de Young - UAM-I

O tra prueba para la desigualdad de Young ¤
Fe r n a n d o Ga la z Fo n t e s .
Ce n t r o d e In ve s t ig a c i¶o n e n Ma t e m a¶ t ic a s
A . P . 4 0 2 , Gu a n a ju a t o , Gt o ., 3 6 0 0 0 , M¶ e xic o .
Introducci¶
on. El producto de dos funciones que
son Riemann-integrables en un intervalo [a; b] siempre es Riemann-integrable. Sin embargo, esto deja de ser v¶
alido al considerar la integral de Lebesgue. Por ejemplo, la funci¶on
F (u) ´
La desigualdad de Young
Sea 0 · a < b; 0 · c < d, y consideremos una funci¶
on continua y (estrictamente) creciente f : [a; b] !
[c; d]. Luego, f es invertible y su funci¶on inversa
f ¡1 : [c; d] ! [a; b] tambi¶en es continua y creciente. La desigualdad de Young [5] establece entonces
que
uv ¡ ac ·
f (x)dx +
a
Z
v
a
Esto muestra que g tiene un u
¶nico punto cr¶³tico u0 =
f ¡1 (v). Ya que f es creciente, observemos que g0 es
negativa en [a; u0 ) y positiva en (u0 ; b]. Por lo tanto,
Supongamos que a = c = 0. Entonces (1) toma la
forma
g(u) > g(u0 ); u 2 [a; b]; u 6= u0 ;
y s¶
olo resta establecer que
Z u0
Z v
g(u0 ) =
f (x)dx +
f ¡1 (y)dy ¡ u0 v + ac = 0:
(2)
a
donde
ste tr ab ajo fu e ap oy ad o en
(P r oy ecto 0326P -E ).
c
Luego, por el Teorema Fundamental del C¶
alculo, se
cumple
g0 (u) = f (u) ¡ v:
(1)
Adem¶
as, la igualdad en (1) ocurre si, y s¶
olo si,
f (v) = u.
¤E
f ¡1 (y)dy:
0
0
Iniciemos ¯jando v 2 [c; d], y consideremos la funci¶
on
Z u
Z v
g(u) =
f+
f ¡1 ¡ uv + ac; a · u · b:
c
uv · F (u) + G(v); 0 · u · b; 0 · v · d:
v
La prueba
f ¡1 (y)dy;
a · u · b; c · v · d:
f(x)dxyG(v) =
Z
Interpretada geom¶etricamente, la desigualdad de
Young es clara, como el lector podr¶
a sin duda veri¯carlo. Anal¶³ticamente, sin embargo, la conclusi¶on
no parece ser tan inmediata. Aunque la prueba original de W. H. Young no es complicada, supone que
la funci¶
on f en cuesti¶
on es derivable. E. J. McShane [4, p. 132] present¶
o otra prueba m¶
as sencilla, pero que tampoco es v¶
alida en el caso en que f solamente sea continua. Desde entonces han aparecido varias pruebas anal¶³ticas m¶
as [2-3] para corregir
esta de¯ciencia. La que presentaremos en esta nota es cercana a la de McShane y se basa en el Teorema de Fubini.
es (Lebesgue) integrable en (0; 1) pero su cuadrado g(x) = x1 no lo es. Dicha di¯cultad hace importante el encontrar condiciones sobre f y g que permitan asegurar que f g sea integrable. Esto, a su vez,
conduce naturalmente a buscar estimar un producto uv en \t¶erminos"de u y de v por separado. La desigualdad de Young proporciona una respuesta a esta cuesti¶
on.
u
u
Obtenemos as¶³ una estimaci¶
on de uv en \terminos"de u y de v.
1
f (x) = p
x
Z
Z
c
(3)
(Notemos que, geom¶etricamente, la igualdad anterior es obvia).
p ar te p or el C ON A C Y T
42
Otra prueba para la desigualdad de Young. Fernando Galaz Fontes.
Haciendo uso del Teorema de Fubini, observemos enseguida que
Z
v
f ¡1 (y)dy =
43
Bibliograf¶³a
1. R. A. Adams, Sobolev spaces. Academic Press,
New York, 1975.
c
Z
v
Z
(
a
dx +
0
c
(v ¡ c)a +
Z
(v ¡ c)a +
Z
f¡
1
(y)
dx)dy =
a
u0 Z v
(
a
Z
3. J. B. D¶³az and F. T. Metcalf, An analytic proof
of Young's inequality, Amer. Math. Monthly,
77(1970), 603-609.
dy)dx =
f (x)
u0
a
(v ¡ f (x))dx:
(4)
Por lo tanto,
Z
v
f ¡1 (y)dy +
c
Z
4. E. J. McShane, Integration. Princeton University Press, 1947.
5. W. H. Young, On classes of summable functions and their Fourier series. Proc. Royal Soc. Series (A), 87(1912), 225-229.
u0
f (x)dx =
a
(v ¡ c)a + (u0 ¡ a)v = u0 v ¡ ac:
cs
Esto prueba (3).
Un ejemplo
Sea 1 < p < 1 y tomemos q de manera que
1
1
p + q = 1. Consideremos u; v ¸ 0. Para utilizar la desigualdad de Young elijamos a = 0, b > u, d > v y
1
f (x) = xp¡1 . Entonces c = 0 y f ¡1 (y) = y p¡1 . Nop
tando que q = p¡1
, de (2) resulta
uv ·
2. F. Cunningham Jr. and N. Grossman, On
Young's Inequality. Amer. Math. Monthly,
78(1971), 781-783.
up v q
+ ; 0 · u; 0 · v:
p
q
(5)
Sean f y g : [a; b] ! IR funciones medibles. Usando
(4) obtenemos
jf (x)g(x)j·
jf (x)jp jg(x)jq
+
:
p
q
Suponiendo que jfjp y jfjq son integrables, se sigue
de aqu¶³ que fg es integrable.
Una observaci¶
on
La desigualdad de Young se utiliza en el estudio de
ciertos espacios de funciones, llamados espacios de
Orlicz [1, Cap. 8]. La idea para construir estos espacios es reemplazar la funci¶on F (x) = xp , empleap
da para de¯nir la norma en los espacios
R x L , 1 · p,
por una funci¶on de la forma F (x) = 0 f (s)ds donde f es como en la desigualdad de Young.