2 El conjunto de los Números Racionales - U. T. F. S. M.

CONJUNTOS NUMERICOS
Primera Versión
Los Numeros Racionales
Tomo II
Sr. Gonzalo Andrés Garrido Carvajal
Valparaíso, Chile
2008
Los Numeros Racionales
TABLA DE CONTENIDOS
1
Introducción
............................................................................... 1-3
2
El conjunto de los Números Racionales
2.1
Orden en los Números Racionales
2.2
Equvalencia en los Números Racionales
.......................................... 2-4
..................................................... 2-4
............................................. 2-4
2.3
Amplificación de un Número Racional ..................................................... 2-7
2.4
Simplificación de un Número Racional .................................................... 2-8
2.5
Clasificación de los Números Racionales ................................................. 2-8
2.6
Transformaciones de Numeros Racionales .............................................. 2-9
2.6.1
Transformación de Fracción a Decimal ............................................ 2-9
2.6.2
Transformación de Decimal a Fracción ........................................... 2-11
2.7
Las operaciones binarias en el conjunto de los números Racionales ......... 2-13
2.7.1
La Adición .................................................................................. 2-13
2.7.2
La Resta ..................................................................................... 2-15
2.7.3
La Multiplicación en
................................................................. 2-18
2.7.4
2.8
2.9
2.10
La División en
........................................................................ 2-21
Elemento Inverso Multiplicativo ........................................................... 2-30
Potencias de base Diez, un caso Particular ............................................ 2-37
Relacion entre Racional, Potencia y Porcentaje ................................... 2-40
3
Taller del Alumno .......................................................................... 3-42
4
Auto Evaluaciones ......................................................................... 4-47
4.1
4.2
Primera Auto Evaluacion..................................................................... 4-47
Segunda Auto Evaluación ................................................................... 4-51
Sr. Gonzalo Garrido C.
Capitulo 1-2 de 51
Los Numeros Racionales
1 INTRODUCCIÓN
Un mago tiene una máquina
maravillosa y se la describe a su amigo
Alfredo de la siguiente manera:
“Si colocas un número Entero en una de las entradas,
otro número Entero en la segunda entrada de la máquina y
después oprimes el botón S, a la salida tendrás la Suma de los
números que introdujiste. Si oprimes el botón R obtendrás la
diferencia de los números introducidos. Si oprimes el botón M,
la máquina te da el producto de los números de entrada. Y
ahora, ¡ he agregado un nuevo botón D.”
Coloca 7 en una entrada y 8, y al presionar el botón
M, resulta el 42.
Ahora dime ¿ sin no supieras el segundo número,
pero si el resultado? ¿Que contestarías?
Que el valor buscado es ocho, para eso sirve mi
botón D para hallar valores a lo cual se denomina División
Sr. Gonzalo Garrido C.
Capitulo 1-3 de 51
Los Numeros Racionales
2 EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS
RACIONALES
Se define al conjunto de los Números Racionales
a los elementos del conjunto
 a

Q
/ a  Z , b  Z , b  0
 b

donde al término a se le denomina “ Numerador ” y
al término b “ Denominador ”
Ejemplo 1
Los siguientes valores son números racionales
1 4 3 6
, , ,
2 5 4 1
2.1 Orden en los Números Racionales
El conjunto
es un conjunto infinito y ordenado, es
decir, sus elementos pueden ubicarse en la recta numérica y
pueden ser comparados entre sí. Si consideramos dos números
Racionales estos cumplen con alguna de las siguientes dos
alternativas:
Son iguales.
Uno es mayor que el otro.
Para determinar cuál de dos racionales es el mayor,
conviene igualar los numeradores o denominadores mediante
una amplificación y comparar las fracciones resultantes.
Si los numeradores son iguales, la fracción menor es
la de mayor denominador. Si los denominadores son iguales la
mayor es la de mayor numerador.
2.2 Equvalencia en los Números Racionales
Dos fracciones son equivalentes si:
a c
  ad  bc
b d
Sr. Gonzalo Garrido C.
Capitulo 2-4 de 51
Los Numeros Racionales
Ejemplo 2
Ordene las fracciones
ubíquelas en la recta numérica:
3
5
y
4
6 de menor a mayor y
Solución:
ello
Debemos primero igualas los denominadores, para
3
4
Amplifiquemos 5 por 6 y 6 por 5 , luego
3
18
4
20
5 se transforma en 30 y 6 se transforma en 30 , de
donde al identificar los denominadores que son iguales y
3 4

18  20 se tiene que 5 6
Téngase presente además que ambas fracciones son
menores que 1 .¿por qué?
figura
En la recta numérica se ubican según la siguiente
Ejemplo 3
1
3 7
Ordene las fracciones 4 , 5 y 2 de menor a mayor
y ubíquelas en la recta numérica:
Solución:
Debemos primero igualas los denominadores, para
ello
7
1
3
Amplifiquemos 4 por 5 , 5 por 4 y 2 por 10 , luego
se tiene las siguientes fracciones:
Sr. Gonzalo Garrido C.
Capitulo 2-5 de 51
Los Numeros Racionales
15 28
10
20 , 20 y 20 , claramente el orden de estas es:
10 15 28
1 3 7


 
20 20 20 , por lo tanto 2 4 5
Téngase presente además que
3
4
y
1
2
son
7
fracciones menores que 1 y que 5 es mayor que 1 . ¿ por qué
?
figura
En la recta numérica se ubican según la siguiente
Ejemplo 4
Ordene de menor a mayor los siguientes números:
 4;
3
5 2
1
; 0;  1; ; ; 
2
2 3
6
Solución:
Debemos primero igualas los denominadores, para
ello Amplifiquemos cada número de
tal modo que sus
denominadores sean iguales:
Los
 4;
3
5 2
1
; 0;  1; ; ; 
2
2 3
6 al ser amplificados,
quedan

24 9
6 15 4
1
; ; 0;  ;
; ; 
6 6
6 6 6
6
Luego ordenados de menor a mayor quedan:

24
6
1
4
9
15
     0


6
6
6
6
6
6
o bien
 4  1  
Sr. Gonzalo Garrido C.
1
2
3
5
 0


6
3
2
2
Capitulo 2-6 de 51
Los Numeros Racionales
Téngase presente que entre dos números enteros ,
no existe ningún otro valor, en cambio en los números
Racionales
figura
En la recta numérica se ubican según la siguiente
 4  1  
1
2
3
5
 0


6
3
2
2
Si a Ud. le cuenta mucho hallar el valor por el hay
que amplificar cada expresión , tenga presente las dos
siguientes reglas:
Propiedad 1
a
c
Sean b , d  Q , entonces
a c 
  
1.-  b d 
sí y sólo si a  d  b  c 
a c 
  
2.-  b d 
sí y sólo si a  d  b  c 
3 7
  
1.-  5 8 


 8  5
 7 
 3
35 
pues  24
Ejemplo 5
 3 8



9 
2.-  5



8 
 39  5
 40 
pues   27
2.3 Amplificación de un Número Racional
Amplificar un número racional
es multiplicar el
numerador y denominador por un mismo número entero no
nulo, es decir,
Sr. Gonzalo Garrido C.
Capitulo 2-7 de 51
Los Numeros Racionales
a an

,
b bn
nZ *
a
es la multiplicación de la fracción b por n
2.4 Simplificación de un Número Racional
Simplificar un número racional
es dividir el
numerador y denominador por un mismo número entero no
nulo, es decir,
ma a
 ,
mb b
m
*
a
es la dividir la fracción b por m
2.5 Clasificación de los Números Racionales
Los números
siguiente manera
racionales
se
clasificación
de
la
2.5.1.1 Fracción Propia
Una Fraccion Propia, es aquella fracción en que el
numerador es menor que el denominador, es decir,
a
donde a  b
b
2.5.1.2 Fracción Impropia
Una fracción Impropia, es aquella en
numerador es mayor que el denominador, es decir,
Sr. Gonzalo Garrido C.
que
el
Capitulo 2-8 de 51
Los Numeros Racionales
a
donde a  b
b
2.5.1.3 Números Mixtos
Un número Mixto, es aquel que se expresa a través
de una fracción y un número entero
E
p
p Eq  p
E 
q
q
q
2.5.1.4 Decimal Finito
Es aquel número que tiene a la derecha de la coma
un número finito1 de dígitos
2.5.1.5 Decimales Infinitos
Estos números se caracterizan por tener a la derecha
de la coma un número infinito de dígitos
2.5.1.5.1
Decimal periódico
Es un Número decimal infinito tal que a la derecha de
la coma posee una combinación de número que se repite
infinitas veces hacia la derecha, dicho número se llama Periodo
y se indica con una barra horizontal sobre él.
2.5.1.5.2
Decimal Semi Periódico
Es un Número Decimal Infinito tal que a la derecha
de la coma y antes del periodo posee un número que no se
repite, llamado anti - periodo.
2.6 Transformaciones de Numeros Racionales
2.6.1 Transformación de Fracción a Decimal
Toda fracción es el cociente de la división indicada de
su numerador
entre su denominador, recodemos que en
a
fracción b
al realizar la división aparecen los siguientes
términos:
Finito: Cantidad de Objetos que se pueden contar.
Sr. Gonzalo Garrido C.
Capitulo 2-9 de 51
1
Los Numeros Racionales

a
b

c
r
donde
a es el dividendo
b es el divisor
c es el cociente
r es el resto
Propiedad 2 Regla
Se divide el numerador por el denominador,
aproximando la división hasta que el cociente de exacto o hasta
que se repita en el cociente indefinidamente un dígito o un
grupo de dígitos.
Siguiendo esta regla se presentan dos casos
 Primero Caso
Si r  0 , para este caso se esta enfrente a una
fracción que corresponde a un número decimal finito ( o con
periodo cero )
Ejemplo 6
3
Hallar el decimal de la fracción 4
Solución
decir,
En este caso tan solo debemos hacer la división, es
3'

0
4

0,75
20
0
3
Luego la fracción 4 representa al número 0,75
 Segundo caso
Sr. Gonzalo Garrido C.
Capitulo 2-10 de 51
Los Numeros Racionales
En el caso que r  0 , Ud. podrá seguir dividiendo,
generalmente se esta en la presencia de un numero decimal
periódico
Ejemplo 7
17
Hallar el decimal de la fracción 9
Solución
decir
En este caso tan solo debemos hacer la división, es
17'

0
9

1,888...
80
80
80

17
Luego la fracción 9 representa al número periódico
1, 8
2.6.2 Transformación de Decimal a Fracción
2.6.2.1 Decimal Finito a Fracción
Se escribe el número formado por los dígitos de la
parte entera y decimal como numeradores y como denominador
una potencia de diez con tantos ceros como dígitos tenga la
parte decimal, luego se simplifica en el caso que corresponda
Ejemplo 8
0,73 
73
100
0,007 
Sr. Gonzalo Garrido C.
7
1000
1,5 
15 3

10 2
0,0001 
1
10000
Capitulo 2-11 de 51
Los Numeros Racionales
2.6.2.2 Decimal Infinito Periódico sin Anti Periodo
En el numerador
la diferencia entre el número
formado por los dígitos de la parte entera y el periodo, menos
el número formado por los dígitos de la parte entera, y como
denominador un número formado por tantos nueves como
dígitos tenga el periodo, luego se simplifica en el caso que
corresponda:
Ejemplo 9
3, 4 
34  3 31

9
9
0, 42 
42  0 42 14


99
99 33
0, 003 
30
3
1


999 999 333
2.6.2.3 Decimal Infinito Periódico con Anti Periodo
En el numerador
la diferencia entre el número
formado por los dígitos de la parte entera, anti periodo y
periodo, menos el número formado por los dígitos de la parte
entera, y anti periodo, y
como denominador un número
formado por tantos nueves como dígitos tenga el periodo,
seguidos de tantos ceros como dígitos tenga el anti periodo,
luego se simplifica en el caso que corresponda
Ejemplo 10
3,12 
312  31 281

90
90
0,123 
132  1 122
61


990
990 495
0,28 
28  2 26 13


90
90 45
Sr. Gonzalo Garrido C.
Capitulo 2-12 de 51
Los Numeros Racionales
2.7 Las operaciones binarias en el conjunto de los números Racionales
2.7.1 La Adición
Se
define
la
conjunto de los racionales
operación
binaria
a c
para todo , 
b d
Adición
bajo
el
como
a c ad  bc
 
b d
bd
Ejemplo 11
Determine el valor de
3 2

4 7
Solución
3 2 3  7  4  2 21  8 29
 


4 7
47
28
28
3 2 29
 
Respuesta 4 7 28
Ejemplo 12
2 3

Determine el valor de 5 8
Solución
 2 3 (2)  8  5  3  16  15  1
 


5 8
58
40
40
 2 3 1
 
5
8 40
Respuesta
Observación
Para sumar fracciones que tienen el mismo
denominar, se conserva el denominador y se suman los
numeradores, es decir,
a c ac
 
b b
b
Sr. Gonzalo Garrido C.
Capitulo 2-13 de 51
Los Numeros Racionales
Para sumar más dos fracciones que tienen distintos
denominadores, la adición se efectúa calculando el “ Mínimo
Común Múltiplo” entre los Denominadores, es decir
Ejemplo 13
5 8

Determinar el valor de 6 6
Solución
Como los denominadores de las fracciones son
iguales , tan solo deberemos sumar los numeradores, es decir,
5 8 5  8 13
 

6 6
6
6
Ejemplo 14
3 3 1 5  7
   
Determinar el valor de 4 8 2 6 12
Solución
Para este caso, como son más de dos las fracciones
que se desean sumar, debemos hallar el m.c.m. entre los
denominadores.
m.c.m.( 4, 8, 2, 6, 12 ) 
 24 
luego,
3 3 1 5  7
   
4 8 2 6 12

3  6  3  3  112  5  4  7 1
24

18  9  12  20  7
24

28 7

24 6
por lo tanto
Sr. Gonzalo Garrido C.

3 3 1 5 7 7
   

4 8 2 6 12 6
Capitulo 2-14 de 51
Los Numeros Racionales
Ejemplo 15
3 2 1 5
  
Determinar el valor de 4 3 2 6
Solución
Para este caso, como son más de dos las fracciones
que se desean sumar, debemos hallar el m.c.m. entre los
denominadores.

m.c.m.( 4, 3, 2, 6, )  12

luego,
3 2 1 5 3  3  2  4  1 6  5  2
   
4 3 2 6
12

9  8  6  10 33 11


12
12
4
3 2 1 5 11
   
4
por lo tanto 4 3 2 6
2.7.2 La Resta
Se define la operación binaria Resta bajo el conjunto
de los racionales
para todo
a c
, 
b d
como
a c ad bc
 
b d
bd
Ejemplo 16
Determine el valor de
5 3

6 7
Solución:
5 3 5  7  3  6 35  18 17
 


6 7
42
42
42
Respuesta
5 3 17
 
6 7 42
Ejemplo 17
Sr. Gonzalo Garrido C.
Capitulo 2-15 de 51
Los Numeros Racionales

12
Determine el valor de 3

4
8
Solución:


12 4

3
8

12  8  4  3  96  12  108  54  27  9





38
24
2
12
6
24
Respuesta
 12 4  9
 
3
8
2
Observación
Para restar fracciones que tienen el mismo
denominar, se conserva el denominador y se restan los
numeradores, al igual que en la suma, es decir,
a c ac
 
b b
b
Para restar más dos fracciones que tienen distintos
denominadores, la resta se efectúa calculando el “ Mínimo
Común Múltiplo” entre los Denominadores
Ejemplo 18
15 12

7
Determinar el valor de 7
Solución:
Como los denominadores de las fracciones son
iguales , tan solo deberemos sumar los numeradores, es decir,
15 12 15  12 3



7 7
7
7
Ejemplo 19
1 4 1 1
  
4
3 5 6
Determinar el valor de
Solución:
Sr. Gonzalo Garrido C.
Capitulo 2-16 de 51
Los Numeros Racionales
Para este caso, como son más de dos las fracciones
que se desean sumar, debemos hallar el m.c.m. entre los
denominadores.
m.c.m.( 4, 3, 5, 6 ) 
 60 
luego,
1 4 1 1
  
4 3 5 6

1  15  4  20  1  12  1  10
60


15  80  12  10
87  29


60
60
20
por lo tanto
1 4 1 1  29
   
4 3 5 6
20
Ejemplo 20
Determinar el valor de
1  4 2 1    3 7  1 1 
1 2
               4   
4  3 5 6    5 4  2 3 
2 3
Solución:
Para este caso, se debe calcular resolviendo los
paréntesis
1  4 2 1    3 7  1 1 
1 2
               4   
4  3 5 6    5 4  2 3 
2 3

1  40  12  5    12  35  1 1   24  3  4 

   
  

4 
30
6
   20  2 3  


1 33    23  1 1  17
  
  
4 30   20  2 3  6

1 33  23 1 1  17


  
4 30  20 2 3  6
Sr. Gonzalo Garrido C.
Capitulo 2-17 de 51
Los Numeros Racionales

1 33 138 60  40 17


  6
4 30 
120

1 33 238 17



4 30 120 6

1 11 119 17
 

4 10 60
6

15  66  119  170 238 119


60
60
30
luego,
1  4 2 1    3 7  1 1 
1 2  119
               4    
4  3 5 6    5 4  2 3 
2 3  30
2.7.3 La Multiplicación en
Se define la operación binaria de Multiplicación entre
dos fracciones como
a
c ac


b
d bd ,
a, b, c, d 
y b  0, d  0
Ejemplo 21
5
7

3
Determinar el valor de 4
Solución
Tan solo se debe multiplicar los numeradores con los
denominadores, es decir,
5 7 5  7 35
 

4 3 4  3 12
Ejemplo 22
1 1 7 3
  
4
3 2 5
Determinar el valor de
Solución
Sr. Gonzalo Garrido C.
Capitulo 2-18 de 51
Los Numeros Racionales
1 1 7 3 1 1  7  3
21
7
   


4 3 2 5 4  3  2  5 120 40
por lo tanto
1 1 7 3 7
   
4 3 2 5 40
Ejemplo 23
Determinar el valor de
2   7 1   20  1 2  2  
3 1 4

6                4    
3   2 8   5  5 4  3 
5 2 3

Solución
Para este caso, se debe calcular resolviendo los
paréntesis
2   7 1   20  1 2  2  
3 1 4

6                4    
3   2 8   5  5 4  3 
5 2 3

12 
 18  2   28  1   20  4  10  2  


   
    4  
30 
 3   8   5  20  3  
 16   29   20   6  2   120  12 
      
 

 3   8   5  20  3   30 

464   120 2   108

 

24  100 3   30 

58   6 2   18 

  
3  5 3   5 

58   18  10  18 

 
3  15   5 

58 8 18
 
3 15 5

20  8  54 66 22


15
15
5
Nombre las propiedades
que se van aplicando
luego,
Sr. Gonzalo Garrido C.
Capitulo 2-19 de 51
Los Numeros Racionales
2   7 1   20  1 2  2  
3 1 4  22

6                4     
3   2 8   5  5 4  3 
5 2 3 5 .

Ejemplo 24
6
5
 3
5  7  3   7
8
6
Determine el valor de  5
Solución
6
5
 3
5  7  3   7
8
6
 5
Nombre las propiedades
que se van aplicando
 55  3 7 8  6 3 6  5 



7
8
6 
 5
 28 62 23 
 
 7
8
6
 5
 672  930  460

7
120


 1142
571
3997

7 
7 
120


60
60
6
5
 3
5  7  3   7
8
6
luego,  5
Sr. Gonzalo Garrido C.
Capitulo 2-20 de 51
Los Numeros Racionales
2.7.4 La División en
Se define la operación binaria de División entre dos
fracciones como
a c a
d
 

*
b d b
c , a, b  , y c, d  
observación
a c

b
d también se puede expresar de la
La división
a
b
c
d
siguiente forma
Ejemplo 25
15
6

7
Determinar el valor de 4
Solución
Para realizar la división debe multiplicar la primera
fracción por la segunda invertida, es decir,
15
6 15 7 15  7 105 35

  


4
7 4 6 46
24
8
Ejemplo 26
 2 8  4 1
     
Determinar el valor de  7 3   3 5 
Solución
 2 8  4 1
     
 7 3  3 5
 16   4 
    
 21  15 

16 15 4 5 20

  
21 4 7 1
7
Sr. Gonzalo Garrido C.
Capitulo 2-21 de 51
Los Numeros Racionales
por lo tanto
 2 8   4 1  20
      
 7 3  3 5 7
Ejemplo 27
3 2 1 5
   
Determinar el valor de 4 3  2 6 
Solución
Para este caso, se debe calcular resolviendo los
paréntesis
3 2 1 5
   
4 3 2 6

3 2 35
 

4 3  6 

3 2 8
 
4 3 6

3 2 6
 
4 3 8

3 1 1
 
4 1 2

3 1

4 2

32
4

1
4
Nombre las propiedades
que se van aplicando
3 2 1 5 1
    
luego, 4 3  2 6  4
Sr. Gonzalo Garrido C.
Capitulo 2-22 de 51
Los Numeros Racionales
Ejemplo 28
1 1

2 3
1 1

Determinar el valor de 5 6
Solución
Para este caso, se debe calcular el
denominador de la fracción “mayor”.
numerador y
1 1 3 2
1

2 3  6  6
1
1 1 65

30
30
5 6

1 30 30


6 1
6 5
1 1

2 3 5
1 1

luego, 5 6
Ejemplo 29
Determine el valor de
1 3 1
 
2 5 4
4 9
1 
5 20 ,
trasnsformando cada fraccion a decimal
Solución
1 3 1
 
2 5 4
4 9
1 
5 20
Luego
Sr. Gonzalo Garrido C.

0,5  0,6  0,25
1,35

1,8  0,45
1,35  1
1 3 1
 
2 5 4 1
4 9
1 
5 20
Capitulo 2-23 de 51
Los Numeros Racionales
Ejemplo 30
Determine el valor de
1
7 1
  3
4
 2 5
7
4 3
  3
 5 2  10 ,
trasnsformando cada fraccion a decimal
Solución
1
7 1
  3
4
 2 5
7
4 3
  3
 5 2  10
 7 1  13
  
2 5 4
 
 4 3  37
  
 5 2  10

3,5  0,2  3,25 
0,8  1,5  3,7
3,7  3,25
0.45

2,3  3,7
6  0,075
1
7 1
  3
4
 2 5
 0,075
7
4 3
  3
10
por lo tanto  5 2 
Ejemplo 31
Determinar el decimal que representa la expresión
1
2
4  3  0,25
2
3
1
2
3
Sr. Gonzalo Garrido C.
Capitulo 2-24 de 51
Los Numeros Racionales
Solución
1
2
4  3  0,25
2
3
1
2
3
Nombre las propiedades
que se van aplicando
9 11 25
 
2
3 100

6 1
3
9 11 1
 
2
3 4

6 1
3
54  44  3
2

5
3
13
 2
5
13 3 39
  
2 5 10
3
1
2
4  3  0,25
2
3
1
2
3
al
Luego la expresión representa
decimal 3,9 .
Ejemplo 32
1
1
2
Determinar el valor de
Sr. Gonzalo Garrido C.
1
3
1
4
Capitulo 2-25 de 51
Los Numeros Racionales
Solución
1
1
1
2
3
1
12  1
4
2
1
 1
1
13
4
2
1
2
4
13
 1
1
26  4
13
 1
1
30
13
 1
Nombre las propiedades
que se van aplicando
1
 1
 1
1
4
13 30  13 43


30
30
30
1
1
2
por lo tanto
Sr. Gonzalo Garrido C.

1
3
43
30
1
4
Capitulo 2-26 de 51
Los Numeros Racionales
Ejemplo 33
1
1
1
2
3
Determinar el valor de
1
2
1
2
Solución:
Para este caso, se debe desarrollar de “abajo hacia
arriba”,
1
1
1
2
1
3
1
2
2
Nombre las propiedades
que se van aplicando
1
 1
1
2
1
4 1
2
3
1
 1
1
2
3
1
3
2
1
 1
2
1
3
Sr. Gonzalo Garrido C.
2
3
Capitulo 2-27 de 51
Los Numeros Racionales
1
 1
1
92
3
2
1
 1
2
 1
1
7
3
1
2
3
7
 1
1
14  3
7
 1
1
17
7
 1
Nombre las propiedades
que se van aplicando
7 17  7 24


17
17
17
1
1
1
2
3
Luego,

24
17
1
2
1
2
Ejemplo 34
1 3
2
x
3
4
x
3
2
x si
Reducir la fracción
Solución
Reemplazando el valor de
Sr. Gonzalo Garrido C.
x
3
2 en la fracción
Capitulo 2-28 de 51
Los Numeros Racionales
1 3
2
x
4
3
x
se tiene que
1 3
2
x
4
3
x





3

2
Nombre las propiedades
que se van aplicando
1 3
2
3
4
3
2
2
3
2

8
2
3
3
2
3
2

2 98
3
2
3 2

2 17
3
2
2
2


3 6
39
51  12
68


2 17
34
34
39
1 3
68

2
39
x
3
4
x
3
2.
x
por lo tanto
si
Sr. Gonzalo Garrido C.
Capitulo 2-29 de 51
Los Numeros Racionales
2.8 Elemento Inverso Multiplicativo
*
Todo número del conjunto de los números Q , posee
su Inverso Multiplicativo, es decir,
a
a
 
 
Para todo número racional  b  , existe  b 
1
b
 
a
racional tal que
a
  
b
a
 
b
1
a
  
b
1
a
   1
b
Observación
El conjunto de los números racionales
operación binaria Multiplicación, es decir

bajo la
,   forma un Grupo
Abeliano
La propiedad Distributiva nos permite relacionar
ambas operaciones binarias de modo que para todo elemento
del conjunto de los números
se cumple que,
a  c e  a c  a e 
             
b d f  b d  b f 
Ejemplo 35
3
7
Para el número 7 , existe su inverso que es 3 , en
efecto
 3  3
  
7 7
1
 3   7  3  7 21
    

1
 7   3  7  3 21
Ejemplo 36
4
5
Para el número 5 , existe su inverso que es  4 , en
efecto
 4  4



 5   5 
Sr. Gonzalo Garrido C.
1
  4   5   4  5  20


1


 5    4  5  4  20
Capitulo 2-30 de 51
Los Numeros Racionales
,en efecto
c) Para el número
 1  1
   
 8  8
1

1
8

8 existe su inverso que es 1
 1   8   1 8  8
     

1
 8   1  8  1  8
Ejemplo 37
1
6
 15
1 3
    

7
 2 4
Determinar el valor de  4
1
Solución
Resolvamos primero los paréntesis
1
6
 15
1 3
    

7
 2 4
4
1
1
7
 15
 2  3

  

6
 4 
4
1
 35 
5
   
8
 4

8 4

35 5

8  28 36

35
35
1
1
1
6
 15
1 3
    

7
 2 4
luego,  4
1

36
35
Ejemplo 38
1
1
  2  1  4  1 
         2  1 
 3   3  
 3 5

Determinar el valor de 
Solución
Sr. Gonzalo Garrido C.
Capitulo 2-31 de 51
Los Numeros Racionales
1
1
  2  1  4  1 
         2  1 
 3   3  
 3 5


1
1
  2  4   1 
2


     
 
 3  3  
 15 


 2 4
  
 3 3
11
2
 
 15 
1
 2 4  15
  
3 3 2
 8  15 8 2
16
 
 

 9  2 9 15 135
1
por lo tanto
1
  2  1  4  1 
         2  1   16
 3   3  
135
 3 5


Ejemplo 39
Si X  2  5  1  3  2  6  7  6  1  2  6 . Determinar
el inverso multiplicativo de 2 X
Solución
Para este caso, se debe determinar el valor de X
X  2  5  1  3   4  7  6   1  6
 2  5  1  12  7  6  6
 2  5  26  6
 2  130  6
 122
Sr. Gonzalo Garrido C.
Capitulo 2-32 de 51
Los Numeros Racionales
2 X  244
Luego, X  122 , reemplazando en 2 X
Por lo tanto su inverso multiplicativo es
se tiene que

1
244
Ejemplo 40
Si X 
1
1 5  1 3

1 2 1 2 3
        y Y   4     1   
2 3  2 5
2 3 2 5 2

Dterminar el valor exacto de
X2
2
 1  1
2 Y
Solución
Calculo del valor X
1
1 2 1 2 3
X       
2 3 2 5 2
Nombre las
propiedades que se
van aplicando
1
1  4  3   4  15 
 
 

2  6   10 
1
1  1   19 
    
2  6   10 
1 6  19 
   
2 1  10 
3  19 
  
1  10 

57
10
por lo tanto X 
57
10
Calculo del valor Y
1 5  1 3

 4     1   
2 3  2 5

Sr. Gonzalo Garrido C.
1
Capitulo 2-33 de 51
Los Numeros Racionales
 24  3  10   10  5  6 

 

2
2

 

 11  9 
    
 2  2

1
1
11 2 11 9 99
   
2 9 2 2
4
por lo tanto
Y
99
4
Reemplazando los valores de:
X
57
y
10
Y
99
2
4 en la expresión X  2  1 se tiene que:
2 Y 1
X2
2
 1  1
2 Y
2
 57 
 
2
10
  
1
1
2
 99 
 
 4 
Nombre las
propiedades que se
van aplicando
3249
2
 100 
1
4
2
99

3249 2
99
  2  1
100 1
4

3249 99
 1
50
2

3249  2475  50
50

824 412

25
50
por lo tanto
Sr. Gonzalo Garrido C.
X2
2
412
 1  1 
2 Y
25
Capitulo 2-34 de 51
Los Numeros Racionales
Ejemplo 41
Transformar a fracciones y determinar el valor exacto
de la expresión
0, 36  0,045  1,5 0,3
0, 3
Solución
Por hallar las fracciones de los número decimales
periódicos
36
0, 36 corresponde a 99 , simplificando por 9 se tiene
4
11 .
0,045 corresponde
45
a 990 , simplificando por 9
y
1
luego por 5 se tiene 22 ..
3
1
0, 3 corresponde a 9 , simplificando por 3 se tiene 3 .
Por hallar las fracciones de los número decimales no
periódicos
1,5 corresponde
15
a 10 , simplificando por 5 se tiene
3
2.
3
0,3 corresponde a 10 .
Reemplazando se tiene :
0, 36  0,045  1,5 0,3
0, 3
Sr. Gonzalo Garrido C.
Capitulo 2-35 de 51
Los Numeros Racionales
1 3 3
4
11  22  2   10

 
1
3
 8  1  33 3
 22   10

 
1
3
 42  3
 22   10
  
1
3
 21 3
21 10
7 10
70


 11  10
  
 11 3  11 1  11
1
1
1
1
3
3
3
3

70 3 210
 
11 1
11
0, 36  0,045  1,5 0,3
Luego se tiene que
Sr. Gonzalo Garrido C.
0, 3

210
11
Capitulo 2-36 de 51
Los Numeros Racionales
2.9 Potencias de base Diez, un caso Particular
Se
entiende por una
10  10 10 10 10 donde n  .
potencia
en
base
10
a
n
se
n
n  factores
tiene que:
Al aplicar la definición para distintos valores de
Potencia
10
n
Valor
1
1

n
10 10 10 10  10
n  factores
0,000001
0,00001
0,0001
0,001
0,01
0,1
1
106
105
104
103
102
101
10 0
101
10 2
103
10 4
10 5
10 6

10 n
10
100
1.000
10.000
100.000
1.000.000
10.000.000
10  10
 10
 10

10




n
n  veces
Recordemos que por ser una potencia, se rige bajo
las Propiedades de Potencias
Ejemplo 42
Hallar la fracción de los siguientes números decimales
0, 25
Solución
0, 25
Sr. Gonzalo Garrido C.
Capitulo 2-37 de 51
Los Numeros Racionales

25
100

1
4
luego la fraccion que representa a 0, 25 es
1
4
Ejemplo 43
Hallar la fracción de los siguientes números decimales
1, 425
Solución
1, 425

1425 285 57


1000 200 40
luego la fraccion que representa a 1, 425 es
57
40
Ejemplo 44
Hallar la fracción de los siguientes números decimales
31,34
Solución
31,34

3134 1567

100
50
luego la fraccion que representa a 31,34 es
1567
50
Ejemplo 45
Hallar la fracción de los siguientes números decimales
6, 6  0,1  2,5
Solución
6, 6  0,1  2,5
Sr. Gonzalo Garrido C.
Capitulo 2-38 de 51
Los Numeros Racionales

66 1 25 66  1  25 42 21
 



10 10 10
10
10
5
luego la fraccion que representa a 6, 6  0,1  2,5 es
21
5
Ejemplo 46
Una persona necesita comprar Aceite para el motor
de su auto, sabiendo que un litro son 103 cc ¿ Cuántos litros
deberá comprar para llenar el estanque de su auto, el cual hace
5500 cc?
Solución
La cantidad de litros que la persona debera comprar
para llenar el estanque esta dada por
5500 cc
1litro  5,5 litro
1000 cc
La persoan debera comprar 5, 5 litros para llenar el
estanque de su auto.
Ejemplo 47
Determinar el valor de
102 103 104


101 102 103
Solución
102 103 104


101 102 103
 1021  1032  1043
 101  101  101  10
Luego
102 103 104


 10
101 102 103
Ejemplo 48
1
102 
10
10
Determinar el valor de

1
2
10
Sr. Gonzalo Garrido C.
Capitulo 2-39 de 51
Los Numeros Racionales
Solución
102 
1
10
10

2
101

10 10

2 101
 5  100  105
1
102 
10
10  105
Luego

1
2
10
2.10 Relacion entre Racional, Potencia y Porcentaje
La sigiente tabla mustra la relacion entre un numero
racional , una potencia en base diez y el simbolo porcentaje
Potencia
Fraccion
Decimal
104
1
10 4
1
103
1
10 2
1
101
1
100
0, 0001


0, 01%
0,001
0,1%
0, 01
1%
0,1
10%
1
100%
101
10 2
103
10
1000%
100
10000%
1000
100000%
103
102
101
10 0
101
10 2
103
Sr. Gonzalo Garrido C.
Porcentaje  % 
1 

100 
Capitulo 2-40 de 51
Los Numeros Racionales
Ejemplo 49
Complete la siguiente tabla
valor
Potencia
Fraccion
Decimal


Porcentaje  % 
1 

100 
0, 5
0,25
0, 004
2,14
1,425
31,34
Solucion
Al completar la tabla quedaria de la siguiente forma
valor
Potencia
0, 5
5 101
0,25
25 102
0, 004
4 103
2,14
214 102
1,425
1425 103
31,34
3134 102
Sr. Gonzalo Garrido C.
Fraccion
5
10
25
100
4
1000
214
100
1425
1000
3134
100


Porcentaje  % 
1 

100 
50%
25%
4
%
10
214%
142,5%
3134%
Capitulo 2-41 de 51
Los Numeros Racionales
3 TALLER DEL ALUMNO
1) Resuelva
2 5

3 3
2 1

1
c)
9 45
3 4 6
 
e)
2 9 8
3 4 1 16
g) 1    
5 3 2 10
3 5

9 2
3 8

d)
4 5
3 2 5
f)
  
5 3 6
a)
1
3
2
3
k) 1 
5 4

3 9
i) 1  2
m)
b)

1  1    1 2  4 
 1         3
 4  4    2 5  3 
2
1
3
5
1
2 
1

    1  
 4 3   12 
1
1
1
1
1
1
2
 1 
1   1 1  1 
5  3   2  3    3  5   3  3 

 



h) 3 
j)
l)
3   1  4  1 2  4

             3 
4  5   3  5 7  3

n)
1  1  1   2   3  1 
p)
2 1  3
2  3
2

7
2

o)
7
4 1
2
3
2
1 1
3 8
2) ¿ Cuál es la expresión mayor? 
 
3 2
4 15
3) ¿Cuáles de las siguientes fracciones está(n) entre
a)
3
4
b)
3
5
5
7
y
?
8
9
2
c)
3
4) Resuelva
3
3
7
5
10
9  29

c) 7
35
40
a) 2
e) 4
6  11 12 
 
 
25  20 5 
 3
 8
5  2
2 
 1 
6  3
4 
g)  9  2    3
Sr. Gonzalo Garrido C.
5
7

16 12
5
1   3  11

d)   7
 8   4 

21 3   5 15 

b)  4
 1 5   5
1 
 5 3  6    6 8  5 4 
 


 4
2  2
1 
h)  7  5    2  4  
6  3
4 
 8
f)
Capitulo 3-42 de 51
Los Numeros Racionales
5) Ordene de mayor a menor
6
9
107
,
,
7
10
120
 1  5 5 10
, ,
c)
3
9 30
1
16
52
e) 4  2 , 1  ,  1 
3
9
102
a)
1
3
b) 2 ,
1
3
1
f) 3  3 ,
3
d) 6  2 ,
15
50
,
9
30
15
52
1 , 1
9
18
16
52
5 , 6
9
102
1
6) Transformar a decimal
1
a) 3
11
c) 4
1
b) 6
17
d) 22
a) 0,346
c) 3,141
b) 0,16
d) 3,141
e) 0, 6
f) 0,004
7) Tranformar a fracción
8) Simplifique
72
a) 198
6550
c) 255
900
e) 44
9) Resuelva
 1 3 1  1 
 2      
 4  4 12  12
a)
 15
1 

  0,16  0,1   0,2   
10  

c)  2
10)
  1 1  25
0,15    2    
  4 5 4 
b)
 15  1,01

1  

 0,2 


0
,
6

0
,
1



2
1
,
0


d) 
Calcular el valor de A si
2
A
2
1
2
a)
34
b) 68
17
d) 51
25
f) 1015
1
2
1
2
Sr. Gonzalo Garrido C.
Capitulo 3-43 de 51
Los Numeros Racionales
1 1 1 1 1 1 
 :  :  : 
 2 4   3 9   8 16 
b) A 
1
4
1
4
1
2
3
3
1
1
;  b  : c  . Determinar el valor de
6
4
4
a) 2a  b  c
3a  b
b)
c
cb ab

c)
a
b
11)
Si a  
12)
Si p  2 ; q  
a)
b)
c)
d)
13)
3
5
2  p  3  q : r
1:  p  r
 p  q  r: p
 p  q :  p  q
3
1
; r
calcular
4
2
1
1

 a  a
1
a
Si a  1 ¿ cuál es el valor de
?
1
 0,5
1
5

0,1
2
0,35 
14)
Calcular
15) ¿ Cual(es) de las siguientes sumas es (son) igual(es) a 1 ?
a) 0, 36  0, 64
b) 0,18  0, 81
c) 0,15  0, 85
16)
El valor de 0, 5  0,25 es igual a El valor de 0, 62  0, 62
17)
El valor de 2,323  0,001 900 2,49  2
18)
Determinar la fracción equivalente a 0,054
Sr. Gonzalo Garrido C.
Capitulo 3-44 de 51
Los Numeros Racionales
19)
¿Cuál de las siguientes fracciones es equivalente a la fracción
3
4
c) 0, 75
a) 1
e) 2
20)
21)
22)
23)
24)
25)
26)
27)
28)
1 5

4 4
b)
2  3 /2  4
d)
15
20
3
?
4
f)
1 3

3
6 es
El valor de
1 6

5 15
3 1

4
8 es
El valor de
5 1

8 4
1
1
2 4
3
3 es
El valor de
1
1
6 2
4
4
1
1
x  6y
Al reemplazar x  e y 
en la expresión
obtenemos
3
9
6x  y
1
1
Calcular 1 
si A 
1
4
1
1 A
1 1 4 1


36
4 es
2
4
El valor de
:
2
1
3
2
36 a 25c 27 a


Calcular
si a  1 , b  2 y c  4
4b
5b
9b
2 3
1 
3 5
Determinar el valor de
1
 0,01
5


 


 
1
1

 : 1 
Calcular 1 
 1 1   1 1 

 

2 
3

Sr. Gonzalo Garrido C.
Capitulo 3-45 de 51
Los Numeros Racionales
29)
30)
31)





1
Calcular 1 
1
 1
1

1

1
1

2












ab
a
1
1
Si a 
y b
calcular 1  ab
aa  b 
2
4
1
1  ab
1 1
  
1
b a
Si a  2 y b 
calcular
ab
3
ba
Sr. Gonzalo Garrido C.
Capitulo 3-46 de 51
Los Numeros Racionales
4 AUTO EVALUACIONES
4.1 Primera Auto Evaluacion
1. ¿Cuál es el menor número de 4 cifras que es a la vez divisible por 5 y por
7?
2. Observa el directorio de unos grandes almacenes.
Cada planta
tiene una
superficie de
1.320 metros
cuadrados.
-3
-2
-1
0
+1
+2
+3
+4
+5
+6
Aparcamiento
Aparcamiento
Supermercado / Limpieza
Complementos /Perfumería
Señoras
Caballeros
Niños
Hogar / Ferretería
Libros- Música / Bar - Restaurante
Oficinas
a) ¿Cuál es la superficie total de los grandes almacenes?
b) ¿Qué superficie está dedicada a aparcamientos?
c) ¿Qué parte de la superficie total ocupan los aparcamientos?
d) El supermercado ocupa los dos tercios del primer sótano. ¿Qué superficie
ocupa?
e) El restaurante y el bar ocupan dos quintas partes de la quinta planta. El
resto de dicha planta está ocupado en partes iguales por los departamentos de
libros y música ¿qué superficie tiene la sección de libros?
f) La ferretería ocupa un tercio de las dos quintas partes de la cuarta planta.
Expresa mediante una fracción lo que ocupa la ferretería. ¿Qué superficie
ocupa la ferretería?
3. ¿Qué parte de la figura está coloreada?
Sr. Gonzalo Garrido C.
Capitulo 4-47 de 51
Los Numeros Racionales
4. Representa 1/3 en la siguiente figura.
5. Calcula:
2
de 140
7
2
de 351
5
3
de 60
5
12
de 585
13
6. ¿Qué fracción hay que aplicarle a 63 para obtener 27?
7. ¿A que número hay que aplicarle
3
para obtener 56?
5
8. Simplifica lassiguientes fracciones.
a)
1.440
4.200
b)
3.003
264
c)
128
1.024
9. ¿Son equivalentes los siguientes pares de fracciones?
a)
12
84
y
7
49
b)
15
1.505
y
23
2.303
c)
125
135
y
33
43
10.Completa la siguiente tabla:
Fracciones
Reducidas a común denominador Ordenadas
4 3 5
,
, ,2
7 5 6
2 4 6 2
, , ,
7 3 42 15
47 23 7
, ,
12 15  24
Sr. Gonzalo Garrido C.
Capitulo 4-48 de 51
Los Numeros Racionales
10. determine el orden de los siguientes numeros
3 5 8 8 8 1
, , , , , y ubiquelos
5 3 8 5 5 9
en una recta numerica
11.Halla el resultado simplificado de las siguientes expresiones.
a)
3 3 4 7
  
2 4 5 3
1 2 4
1 3
c)  :  2.   
5 5 7
6 4
e)
2 4 6 2
   
3 5 5 7
b)
2
4 2
 3.     16
7
5 9
d)
2
5
6
4
3
4
1
5
1
f) 1 
1
1
2
1
4
12.En un periódico se recogen los puntos conseguidos por cada jugador del
equipo de la selección española de baloncesto en un determinado partido:
Jugador
Puntos
Lasa
Herreros
Smith
Orenga
Ferrán Martínez
Reyes
X. Fernández
Galilea
A. Martín
6
5
15
10
8
11
8
5
7
ESPAÑA
75 Puntos
Canastas de 2 p. Canastas de 3 p.
0/2
0/1
6/12
5/7
3/6
5/7
2/4
0/1
3/5
2/3
1/1
0/2
0/0
0/0
0/0
1/2
1/4
0/1
Tiros
libres
0/2
2/4
3/4
0/0
2/2
1/1
1/1
2/2
½
Rebotes
a) ¿Qué fracción de los puntos totales representa los puntos conseguidos
por cada jugador?
b) Si sumas todas esas fracciones ¿Cuál ha de ser el resultado?
Compruébalo realizando la suma.
c) ¿Qué fracción representa los puntos conseguidos mediante canasta de 2
puntos?
d) ¿Qué fracción representa los puntos conseguidos mediante canasta de 3
puntos?
e) ¿Qué fracción representa los tiros libres conseguidos?
Sr. Gonzalo Garrido C.
Capitulo 4-49 de 51
0
1
15
1
2
9
2
0
2
Los Numeros Racionales
f) Suma las fracciones correspondientes a los tiros de 2 puntos, a los tiros
de 3 puntos y a los tiros libres. ¿Cuál es el resultado?
g) ¿Cuántos rebotes se han conseguido? Si estos rebotes son los
4
de los
5
rebotes totales ¿Cuántps rebotes logró el equipo contrario?
13.En una encuesta realizada al alumnado de un centro escolar sobre sus
preferencias en deportes se obtuvieron los siguientes resultados que indica
la tabla:
Preferencias
Fútbol
Número de alumnos/as
Baloncesto
Otros deportes
267
5
del total
7
2
del total
14
a) ¿Cuántos alumnos realizaron la encuesta?
b) ¿Cuántos prefieren fútbol?
c) ¿Cuántos prefieren otros deportes?
14. Borja gastó el sábado la mitad del dinero que le dio su padre para toda
semana. El domingo gastó la tercera parte de lo que le quedaba. Y ya sólo
queda lo justo para el autobús que tiene que coger los restantes días de
semana para ir al instituto ( 130 pts. billete de ida y vuelta). ¿Cuánto dinero
dio esta semana su padre?
Sr. Gonzalo Garrido C.
Capitulo 4-50 de 51
la
le
la
le
Los Numeros Racionales
4.2 Segunda Auto Evaluación
1. Itemes de verdadero (V) y falso (F)
a. ___
b.
6
8
es menor que
5
9
___ 1, 7 es equivalente con
c. ___ 0,0012 corresponde a
d. ___
43
9
12 103
0,45  10.000  0,000045
e. ___ 16 milésimas se escribe como la fracción
16
1.000
2. Determine el valor de usando propiedades de Potencia
 3, 2  6 ,1
0 , 04  0 , 4  0 ,06  0 ,6
3.
Usando propiedades de Potencia determinar el valor de
2
4
2
0, 01  0, 05 1, 2
 0, 01   0, 016    0, 0001
4. Si
5 1  5 2
a
5
2
  5
2 Hallar el valor de
2
a3  a
5. Si la Velocidad de transmisión entre equipo en una red esta dada por el siguiente
diagrama
 0,1 2 Mhz
 0,01 2 Mhz
2 x10 4 Mhz
 0,01 3 Mhz
¿Cuál es la velocidad de transmisión promedio que existe en la red?
Sr. Gonzalo Garrido C.
Capitulo 4-51 de 51