Los números reales

ANALISIS
MATEMATICO
BASICO.
Propiedades de los NUMEROS
REALES.
Respecto de las operaciones suma y producto y del orden, los numeros
reales se comportan como los racionales y se operan de la misma manera.
Resolvamos la ecuacion: (x 3) + (x 7) = 2: Es
claro que 2x 10 = 2: As 2x = 12 y por ultimo x = 6:
1 2x
La inecuacion
3 se resuelve en dos pasos. Si x + 2 0 o lo
x+2
que es lo mismo si x 2; entonces
Ejemplos. 1.
1
2x 3(x + 2) = 3x + 6
,
5 5x
,
Luego deducimos que x 1: Por otro lado si x <
1 2x 3(x + 2) = 3x + 6: Por tanto
5 5x
,
1 x:
2; entonces
1x
los cual es cierto ya que x < 2:
Concluimos que la inecuacion se verica para todo x 2 Rn[ 2; 1) =
S
( 1; 2) [ 1; 1):
Las operaciones anteriores se hacen independientemente de que x sea un
numero real o racional (incluso llegado el momento pueda ser un numero
complejo). Lo que diferencia a R de Q es la propiedad del extremo superior.
A continuacion la estudiamos en profundidad.
Propiedad del extremo superior.
A: Decimos que un subconjunto A de R (A R) esta
acotado superiormente si existe M 2 R de modo que a M para
todo elemento a 2 A: Se dice que M es una cota superior de A:
B: Decimos que un subconjunto A de R (A R) esta acotado inferiormente si existe N 2 R de modo que N a para todo elemento
a 2 A: Se dice que N es una cota inferior de A:
Denicion. 1.
1
2
C. RUIZ
Figura 1.
Cotas inferiores y superiores.
Ejemplo. 1. Sea C = fr 2 R : r > 0 y r < 2g: Es claro que N = 0
es una cota inferior de C: Ademas M = 4 es una cota superior de C; pero
tambien lo es 2: Claro si s > 2; entonces s > 2s > 4 > 2; y as s 2= C:
2
2
Las cotas inferiores y superiores no tienen por que ser unicas, de hecho
no lo son.
A: Dado un subconjunto A de R (A R) acotado
superiormente dedimos que 2 R es el supremo de A ( = sup A)
Denicion. 2.
si se verica que:
es cota superior de A; ademas
es la menor de las cotas superiores de A; es decir para todo M
cota superior de A se tiene que M:
B: Dado un subconjunto A de R (A R) acotado inferioremente
dedimos que 2 R es el nmo de A ( = nf A) si se verica que:
es cota inferior de A; ademas
es la mayor de las cotas inferiores de A; es decir para todo N
cota inferior de A se tiene que N :
La La Propiedad del Extremo Superior de R nos dice que todo
subconjuto de numeros reales no vaco acotado superiormente tiene un
supremo.
Denicion. 3. Se llama maximo de un conjunto a su supremo si pertenece
al conjunto.
Se llama mnimo de un conjunto al nmo si pertenece al conjunto.
Ejemplos. 2.
Sea B = f n 2 Q : n 2 Ng: Es claro que en Q;
nf B = 0 y que sup B = 1: En R ocurre lo mismo, pero se vera mas
1
claro un poco mas adelante.
El conjunto C anterior esta acotado superiormente como sabemos.
Luego existe sup C: Haciendo algunas cuentas se puede probar que
p
sup C = 2:
APUNTES MMI
Figura 2.
3
Inmos y supremos.
En este ultimo ejemplo vemos la diferencia entre Q y
racionales no tienen la propiedad del extremo superior.
R:
Los numeros
Proposicion. 1. Dado n 2 N y para todo numero real positivo 0 < r 2 R;
p
existe n r:
Demostracion: Se dene C = fs 2 R : s > 0 y sn < r g: Como en el
caso n = 2; este conjunto esta acotado superiormente y por tanto tiene un
supremo, en R (si solo contasemos con numeros racionales no tendra por
que existir). Y con algunas cuentas se comprueba que (sup C )n no puede ser
ni mayor ni menor que r; luego solo queda la posibilidad de que (sup C )n = r;
p
es decir que sup C = n r: Proposicion. 2. (Propiedad del extremo inferior) Si B es un subconjunto de
B:
R no vaco y acotado inferiormente, entonces existe el nmo de
Demostracion: Sea N una cota inferior de B; es decir N
b 2 B: Se dene el conjunto
b para todo
B = f b : b 2 B g:
Es facil ver que M = N es una cota superior del conjunto B: Por tanto existe su supremo, 9 sup B: Ahora es un simple ejercicio probar que
sup B = nf B Observacion. 1. Si = sup A; entonces para todo > 0 el numero
no es supremo de A: Claro, de serlo no sera la menor de las cotas
superiores.
Del mismo modo, si a un nmo le sumamos cualquier cantidad positiva
deja de ser una cota inferior y por tanto un nmo.
Propiedades Geometricas de R. Hemos visto anteriormente que los
numeros los podamos situar sobre una recta. De hecho R es una recta.
4
C. RUIZ
Figura 3.
La recta real.
Tomemos un punto r sobre la recta y consideremos los puntos a la izquierda de el (los numeros menores que el). Esto constituye un subconjunto
de R acotado superiormente por el propio r y cuyo supremo solo puede ser
r: Es decir los numeros reales ocupan todos los punto de la recta sin dejar
huecos, como pasaba con Q:
Proposicion. 3. Todo numero real esta comprendido entre dos enteros consecutivos.
Demostracion: Lo que queremos probar es que para todo r
m 2 Z de modo que m r < m + 1:
Figura 4.
2 R existe
Los enteros en la recta real.
Primero veamos que existe n 2 N tal que r < n: Si esto no es cierto,
existira = sup N: As 1 no es supremo y existira un n 2 N de modo
que 1 < n y por tanto < n + 1 2 N: Lo que nos lleva a contradiccion.
Sea ahora A = fn 2 Z : r < n g: Por lo anterior A es no vaco y por
la propiedad de la buena ordenacion existe mn A = m 2 Z: Ahora ya es
facil ver que:
m 1r<m
0
0
0
0
0
0
Proposicion. 4. (Propiedad Arquimediana) Dados x; y 2 R; con x > 0;
entonces existe n 2 N de modo que y < nx
Demostracion: Lo que queremos probar es que existe un natural n de modo
que
nx = x + x + xn
Figura 5.
veces
::: + x > y:
Propiedad Arquimediana de R.
APUNTES MMI
5
Claro, sea y=x 2 R; por la Proposicion anterior sabemos que existe n 2 N
de modo que y=x < n; como x es positivo se deduce que y < nx Ejemplo. 2. nf f n
1
:
n 2 Ng = 0:
Demostracion: El 0 es una cota inferior del conjunto. Sea 0 < N 2 R:
As, 1=N es positivo y existe un natural n tal que 1=N < n; luego n < N:
Por tanto N > 0 no es cota inferior del conjunto; la mayor de ellas es
1
precisamente 0
Proposicion. 5. Dados x; y 2 R; con x < y; entonces existe q 2 Q de modo
que x < q < y
Demostracion: Lo que queremos probar es que siempre existe un racional
entre dos numeros reales.
Figura 6.
Densidad de
Q en R.
Sea m 2 Z de modo que m x < m + 1: Por la propiedad arquimediana
de R sabemos que existe n 2 N de modo que n < mnfx m; y xg (si
m = x; solo consideramos y x y tomamos q = m + n ). Por otro lado, existe
k 2 N de modo que k n x m < nk : Por tanto
k 1 1
1
k
+ x + < x + (y x) = y
x<m+ =q =m+
1
1
1
n
n
n
n
Ejemplo. 3. Sean x y dos numeros reales. Si para cualquier cantidad
positiva > 0; se tiene que x y x + ; entonces necesariamente x = y:
Demostracion: Dados dos numeros reales, a; b 2 R puede ocurrir tres cosas:
o bien a < b; o bien b < a o que a = b: En nuestro caso como x y;
descartamos ya la posibilidad de y < x: Supongamos que x < y: Si miramos
la gura anterior, entre x e y se abre un espacio (mas adelante diremos que
la distancia de x a y es y x > 0). Sea = y x > 0; entonces
y x y+x y+y
x+ =x+
=
<
= y:
0
2
2
2
2
Luego para este concreto no se verica nuestra hipotesis. Llegamos pues
a contradiccion. Nuestra suposicion de que x < y no es cierta. Luego ya solo
es posible que x = y 0
0
6
C. RUIZ
Referencias
lisis Matema
tico, Facultad de Matema
ticas, UniverDepartamento de Ana
sidad Complutense, 28040 Madrid, Spain
E-mail address :
Cesar Ruiz@mat.ucm.es