Taller 1 Teoria de juegos SOLUCION

UNIVERSIDAD INDUSTRIAL DE SANTANDER
ESCUELA DE ECONOMÍA
TEORÍA DE JUEGOS
Taller 1
Prof. Luis Alejandro Palacio G
1. EL JUEGO DE LA INSPECCIÓN.
Un empleado fue contratado por su jefe para realizar cierta tarea. El empleado puede decidir
trabajar (T) o no trabajar (NT). Los costos de trabajar para el empleado son iguales a G y el
nivel de producto que el consigue en caso que trabaje será igual a V. El jefe puede
inspeccionar (I) o no inspeccionar (NI). Si el jefe decide inspeccionar incurre en un gasto
igual a H, pero le provee evidencias sobre si el agente trabaja o no. Han convenido que el jefe
le pague a su empleado un salario W, a menos que tenga evidencia de que el empleado no ha
trabajado. Los dos jugadores toman sus decisiones simultáneamente. Para solucionar el juego
suponga que W >G > H > 0.
a. Describa el problema anterior como un juego en forma estratégica y encuentre los
equilibrios de Nash en estrategias puras.
SOLUCIÓN
T
NT
Empleado
Jefe
I
NI
W–G , V–H–W
W–G , V–W
0 , –H
W , –W
Este juego no tiene equilibrios de Nash en estrategias puras.
2. UN JUEGO DE ESTRATEGIA MILITAR.
El país A y el país I están en guerra. Los dos países están separados por una serie de ríos
como se ilustra en la siguiente figura:
c
b
A
d
e
f
g
h
I
El país I envía una flota naval a destruir A, la cual debe desplazarse por los diferentes ríos y
se detiene cada noche en una de las intersecciones (por ejemplo, IhebA quiere decir que la
flota paso la primera noche en h, luego en e y así sucesivamente). Si al cuarto día la flota
logra llegar al país A, entonces lo destruirá y ganará la guerra el país I.
1
Para defenderse, el país A envía un buque que solamente puede desplazarse por tres sitios
contiguos (por ejemplo, Abcf quiere decir que la flota paso la primera noche en b, luego en c
y así sucesivamente). Si el buque logra intersectar a la flota en alguno de los lugares donde
ésta pasa la noche, entonces la destruirá y ganará la guerra el país A.
a. Plantee esta situación como un juego en forma estratégica y determine el equilibrio de
Nash en estrategias puras.
b. Elimine las estrategias débilmente dominadas y determine el juego resultante.
SOLUCIÓN
N  I , A
S A  (b, e, f ) (b, c, f ) (b, e, h) (b, e, d ) (d , e, f ) (d , e, h) (d , g, h) (d , e, b)
SI  ( f , c, b) ( f , e, d ) ( f , e, h) (h, e, b) (h, g , d ) (h, e, d )
a. Equilibrio de Nash en estrategias puras
A
B,E,F
B,C,F
B,E,H
B,E,D
D,E,F
D,E,H
D,G,H
D,E,B
F,C,B
0,1
1,0
0,1
0,1
0,1
0,1
0,1
1,0
F,E,D
1,0
0,1
1,0
1,0
1,0
1,0
0,1
1,0
I
F,E,H
1,0
0,1
1,0
1,0
1,0
1,0
1,0
1,0
H,E,B
1,0
0,1
1,0
1,0
1,0
1,0
0,1
1,0
H,G,D
0,1
0,1
0,1
1,0
0,1
0,1
1,0
0,1
H,E,D
1,0
0,1
1,0
1,0
1,0
1,0
0,1
1,0
Como se puede ver no existe equilibrio de Nash en estrategias puras
b. Eliminación de estrategias débilmente dominadas
En la primera ronda A elimina las siguientes estrategias:
I
A
B,E,D
D,E,B
F,C,B
0,1
1,0
F,E,D
1,0
1,0
F,E,H
1,0
1,0
H,E,B
1,0
1,0
H,G,D
1,0
0,1
H,E,D
1,0
1,0
En la segunda ronda el juego queda reducido a:
A
B,E,D
D,E,B
I
F,C,B
0,1
1,0
H,G,D
1,0
0,1
2
De lo anterior se puede concluir que el juego resultante es un juego 2x2 que no se puede
solucionar en estrategias puras.
3. HALCÓN Y PALOMA.
Dos animales de cierta población pelean por una presa de valor V. Cada animal puede
comportarse como una paloma o como un halcón. Si estos animales se enfrentan y ambos se
comportan como palomas, entonces ellos se dividen en partes iguales el valor de la presa; si
ambos se comportan como halcones, se pelearán ferozmente reduciendo el valor de la presa
en C y cualquiera de los dos puede ganarla con igual probabilidad; si uno de ellos se
comporta como halcón y el otro como paloma, entonces el halcón obtiene la presa y no le da
nada al otro.
a. Describa el problema como un juego en forma normal y encuentre los equilibrios de Nash
en estrategias puras. Nota: analice que paso cuando C > V y cuando V > C
SOLUCIÓN
J2
H
J1
P
H
(V  C )
(V  C )
,
2
2
P
V , 0
V
V
,
2
2
0, V
Si V  C el equilibrio de Nash sería (H,H)
J2
H
P
H
(V  C )
(V  C )
,
2
2
V , 0
P
0 , V
V
V
,
2
2
J1
Si V  C el equilibrio de Nash sería (H,P) ; (P,H).
4. MODELO DE VOTACIÓN.
Hay tres electores, 1, 2 y 3, y tres alternativas, A, B y C. Los electores votan simultáneamente
por una alternativa y no se permite la abstención. La alternativa con más votos gana, y si
ninguna alternativa consigue la mayoría, entonces gana la alternativa A.
Una vez se ha realizado las votaciones, las preferencias de los electores sobre los resultados
de la votación se pueden representar de la siguiente forma:
U1 (A) = U2 (B) = U3 (C) = 2
U1 (B) = U2 (C) = U3 (A) = 1
U1 (C) = U2 (A) = U3 (B) = 0.
3
Donde, por ejemplo, U3 (C) = 2 significa que si gana el candidato C, este resultado le
representa una utilidad de 2 para el jugador 3.
a. Represente esta situación como un juego en forma estratégica y encuentre todos los
equilibrios de Nash en estrategias puras.
SOLUCIÓN
J1
A
B
C
A
2, 0, 1
2, 0, 1
2, 0, 1
J2
B
2, 0, 1
1, 2, 0
2, 0, 1
A
C
2, 0, 1
2, 0, 1
0, 1, 2
J1
A
B
C
A
2, 0, 1
1, 2, 0
2, 0, 1
J2
B
1, 2, 0
1, 2, 0
1, 2, 0
B
C
2, 0, 1
1, 2, 0
0, 1, 2
J3
J1
A
B
C
A
2, 0, 1
2, 0, 1
0, 1, 2
J2
B
2, 0, 1
1, 2, 0
0, 1, 2
C
J3
C
0, 1, 2
0, 1, 2
0, 1, 2
Los equilibrios de Nash en estrategias puras son:
(A, A, A); (A, B, A); (B, B, B); (A, C, C); (C, C, C)
5. Dos individuos están interesados en comprar cada uno un automóvil y solamente puede
escoger entre un vehículos japonés o un vehiculo francés. Al jugador 1 le gustan más los
vehículos franceses, y al jugador 2 le gustan más los vehículos japoneses, sin embargo, para
garantizar que haya un mejor suministro de repuestos es deseable que ambos jugadores
compren vehículos del mismo proveedor.
Estas preferencias se pueden representar por medio de las siguientes funciones de utilidad:
U1 (W1 ,W2 )  u1 (W1 )  2W1W2
U 2 (W1 ,W2 )  u2 (W2 )  2W1W2
Donde Wi  1 Si i adquiere un vehiculo japonés, para i  {1, 2 }
Wi  1 Si i adquiere un vehiculo francés, para i  {1, 2 }
u1 (1)  1; u1 (1)  2; u2 (1)  2; u2 (1)  1.
Describa este juego en una bimatriz y encuentre los equilibrios de Nash.
Para hallar los valores de cada casilla
U1 ( J , J )  1  2  (1)  (1)  3
U 2 ( J , J )  2  2  (1)  (1)  4
U1 ( F , J )  2  2  (1)  (1)  0
U 2 ( F , J )  2  2  (1)  (1)  0
4
U1 ( J , F )  1  2  (1)  (1)  1
U 2 ( J , F )  1  2  (1)  (1)  1
J1
Japonés
francés
U1 ( F , F )  2  2  (1)  (1)  4
U 2 ( F , F )  1  2  (1)  (1)  3
J2
Japonés
3,4
0,0
Francés
-1 , -1
4,3
Los equilibrios de Nash de este juego son (J, J); (F, F)
6. La guardia imperial de Napoleón Bonaparte se enfrenta a las tropas inglesas del General
Wellington. Para esta contienda, hay 5 campos de batalla con valores militares 1, 2, 3 ,4 y 5
respectivamente. Cada General es dotado con 4 escuadrones y debe decidir a qué campo de
batalla los envía, pero solo puede enviar un escuadrón como máximo a cada campo.
a. Cuando el combate comienza, los pagos de cada ejercito serán iguales al valor militar de
los campos de batalla en los cuales tenga superioridad numérica, y en caso que en un
campo de batalla halla igual numero de escuadrones, entonces ninguno lo gana. Describa
esta situación como un juego en forma normal y encuentre los equilibrios de Nash.
b. Ahora suponga que lo importante es ganar la guerra, y la gana aquel ejército que obtenga
mayor valor militar por los territorios ocupados. Analice este nuevo juego y verifique que
el equilibrio de Nash es una combinación de estrategias débilmente dominantes.
SOLUCIÓN:
a. Para plantear el juego, las estrategias de cada jugador representarán el campo de batalla
que descuidan. Por ejemplo, I significa que se enviaron escuadrones a todos lo campos de
batalla menos al campo 1.
I
II
III
IV
V
NAPOLEON
I
0,0
1,2
1,3
1,4
1,5
WELLINGTON
II
III
IV
2,1 3,1 4,1
0,0 3,2 4,2
2,3 0,0 4,3
2,4 3,4 0,0
2,5 3,5 4,5
V
5,1
5,2
5,3
5,4
0,0
WELLINGTON
II
III
IV
1 , -1 1 , -1 1 , -1
0,0
1 , -1 1 , -1
V
1 , -1
1 , -1
Este juego tiene 20 equilibrios de Nash
b.
NAPOLEON
I
II
I
0,0
-1 , 1
5
0,0
1 , -1 1 , -1
III -1 , 1 -1 , 1
0,0
1 , -1
IV -1 , 1 -1 , 1 -1 , 1
-1 , 1 -1 , 1 -1 , 1 -1 , 1
0,0
V
El equilibrio de Nash es (I ,I); y es fácil observar que estas estrategias siempre brindan mayor o
igual utilidad sobre todas las demás estrategias disponibles, sin importar lo que este haciendo el
adversario.
7. Resuelva el siguiente juego con el principio solución de eliminación iterada de estrategias
estrictamente dominadas y encuentre el equilibrio de Nash.
J2
A
B
C
D
E
-2, 0
-2, 45
-3, 19
A 63, -1 28, -1
32, 1
2, 2
2, 5
33, 0
2, 3
B
J1 C
54, 1
95, -1
0, 2
4, -1
0, 4
1, -12
-1, 17
D 1, -33 -3, 43 -1, 39
E -22, 0 1, -13 -1, 88 -2, -57 -3, 72
SOLUCIÓN
J1
A
B
C
D
E
A
63, -1
32, 1
54, 1
1, -33
-22, 0
B
28, -1
2, 2
95, -1
-3, 43
1, -13
J2
C
-2, 0
2, 5
0, 2
-1, 39
-1, 88
D
-2, 45
33, 0
4, -1
1, -12
-2, -57
E
-3, 19
2, 3
0, 4
-1, 17
-3, 72
El equilibrio de Nash de este juego es la combinación de estrategias (B, C)
Resolviendo el juego por eliminación iterada de estrategias estrictamente dominadas tenemos:
Para el jugador 1, las estrategias E y D son dominadas por la estrategia C, por lo tanto podemos
eliminarlas.
J2
A
B
C
D
E
A 63, -1 28, -1 -2, 0 -2, 45 -3, 19
J1 B
32, 1
2, 2
2, 5
33, 0
2, 3
54, 1
95, -1
0, 2
4, -1
0, 4
C
Luego, para el jugador 2, las estrategias A y B son dominadas por la estrategia E, por lo tanto
podemos eliminarlas.
J1
A
B
C
-2, 0
2, 5
J2
D
-2, 45
33, 0
E
-3, 19
2, 3
6
C
0, 2
4, -1
0, 4
En una tercera ronda, para el jugador 1, las estrategias A y C son dominadas por la estrategia B,
por lo tanto podemos eliminarlas.
J2
C
D
E
J1 B 2, 5 33, 0 2, 3
Por último, para el jugador 2, las estrategias D y E son dominadas por la estrategia C, por lo tanto
podemos eliminarlas.
La solución de este juego por eliminación iterada de estrategias fuertemente dominadas es la
combinación de estrategias (B, C).
8. Considere el siguiente juego:
J2
D
E
F
A 10, 25, 14 20, 15,18 15, 10, 11
J1 B 56, 30, 28 32, 40, 30 23, 11, 23
C 8, 30, 18 10, 25, 35 10, 20, 30
G
J1
D
A 41,24,10
B 54, 53, 19
C 60, 13 9
J2
E
24, 21, 14
12, 23, 25
42, 13, 22
H
F
13, 45, 1
46, 87, 11
23, 21, 24
J3
a. ¿Existe alguna estrategia fuertemente dominada para algún jugador?
b. Resuelva el juego utilizando el principio de eliminación iterada de estrategias fuertemente
dominadas y encuentre el equilibrio de Nash
SOLUCION
a. Si, la estrategia H del jugador 3 es dominada por la estrategia G.
b.
Como la estrategia H de J3 es dominada por G, entonces podemos eliminarla
J2
D
E
F
A 10, 25, 14 20, 15,18 15, 10, 11
J1 B 56, 30, 28 32, 40, 30 23, 11, 23
C 8, 30, 18 10, 25, 35 10, 20, 30
G
J3
Ahora, las estrategias A y D para J1 son dominadas por B, además la estrategia F de J2 es
dominada por E, por lo tanto se pueden eliminar
J2
D
E
7
J1
B
56, 30, 28
32, 40, 30
G
J3
En la tercera ronda, la estrategia D es dominada por E, por lo tanto la solución del juego por
eliminación iterada de estrategias fuertemente dominantes es (B, E, G)
c. Resuelva el juego utilizando el principio de equilibrio de Nash
J2
D
E
F
D
A 10, 25, 14 20, 15,18 15, 10, 11
A 41,24,10
J1 B 56, 30, 28 32, 40, 30 23, 11, 23
J1 B 54, 53, 19
C 8, 30, 18 10, 25, 35 10, 20, 30
C 60, 13 9
G
J3
J2
E
24, 21, 14
12, 23, 25
42, 13, 22
H
F
13, 45, 1
46, 87, 11
23, 21, 24
El único equilibrio de Nash del juego es (B, E, G)
9. Considere que un par de amigos deben escoger un número de 1 a 5 de forma simultánea. Si
coinciden en el mismo número, entonces obtienen un pago igual al número que escogieron.
En caso contrario, cada uno pierde el número que escogió.
a. Plantee esta situación como un juego en forma estratégica y determine los equilibrios de
Nash en estrategias puras.
b. ¿Qué creería usted que efectivamente se jugará en esta situación?
SOLUCIÓN
J2
1
2
3
4
5
1,1
-1 , -2 -1 , -3 -1 , -4 -1 , -5
1
2,2
-2 , -3 -2 , -4 -2 , -5
2 -2 , -1
J1
3,3
-3 , -4 -3 , -5
3 -3 , -1 -3 , -2
4,4
-5 , -4
4 -4 , -1 -4 , -2 -4 , -3
5,5
5 -5 , -1 -5 , -2 -5 , -3 -5 , -4
Los equilibrios de Nash en estrategias puras son: (1, 1); (2, 2); (3, 3); (4, 4); (5, 5).
10. Dos grupos elite de cierto ejercito de deben enfrentar como parte de su entrenamiento. El
primer grupo es el de los Infantes, los cuales cuentan con cuatro estrategias. El otro grupo es
el de los Artilleros, que cuentan con tres estrategias. El siguiente diagrama muestra la
probabilidad de que el grupo de los infantes derrote a los artilleros.
Infantes
Armas de asalto
Granadas de mano
Artillería Pesada,
baja velocidad
0.3
0.18
Artilleros
Artillería
Mediana
0.25
0.14
Artillería ligera,
alta velocidad
0.15
0.16
8
0.35
0.22
0.17
Morteros
0.21
0.16
0.1
Minas terrestres
Utilice la eliminación iterada de estrategias fuertemente dominadas para determinar la
solución de este juego.
SOLUCIÓN
Este esquema se puede interpretar como un juego de suma cero, dado que la probabilidad de
ganar de un equipo es la misma probabilidad de perder del otro.
En una primera ronda, se puede eliminar las estrategias “Minas terrestres” y Granadas de
mano” por ser dominadas por “Morteros”; de igual forma, “Artillería pesada” es dominada
por “Artillería mediana”
Armas de asalto
Artilleros
Artillería
Artillería ligera,
Mediana
alta velocidad
0.25 , 0.75
0.15 , 0.85
Infantes
Morteros
0.22 , 0.78
0.17 , 0.83
En la segunda ronda, “Artillería Mediana” es dominada por “Artillería ligera”.
Artilleros
Artillería ligera,
alta velocidad
0.15 , 0.85
Armas de asalto
Infantes
0.17 , 0.83
Morteros
Por último, “Armas de asalto” es dominada por “Morteros”, por lo tanto, la solución de este
juego por eliminación iterada de estrategias fuertemente dominadas es (Morteros, Artillería
ligera)
11. LA SUBASTA DEL SEGUNDO MEJOR PRECIO.
Un objeto será vendido por medio de una subasta. Existen n  1 oferentes y cada uno de ellos
solamente puede presentar una oferta en un sobre sellado. El ganador de la subasta será aquel
que realice la oferta más alta, pero solamente pagará el valor correspondiente con la segunda
mejor oferta. El valor del objeto para el oferente i es igual a Vi . En caso de empate, se
utilizará un mecanismo aleatorio que otorgue la misma probabilidad de ganar a cada uno de
los oferentes que realicen la mejor oferta. Muestre que revelar verdaderamente el valor del
objeto es una estrategia débilmente dominante para cada oferente.
SOLUCIÓN
El juego en forma normal es
9
N   1, 2 , ..., n 
Si   0 ,   donde Pi  Si
Sea Pj la puja más alta de todos los individuos sin incluir al i esimo
Por lo tanto, la función de utilidad del jugador i será

 Vi  Pj

U i ( Pi , Pj )   0

 Vi  Pj
 m
si Pi  Pj
si Pi  Pj
si Pi  Pj
Para entender mejor esta función de utilidad es útil graficar las diferentes posibilidades
Vi  Pj
Vi  Pj
U
U
Vi-Pj
Vi-Pj
(Vi-Pj)/m
(Vi-Pj)/m
Pi
0
Pj
Pi
0
Vi
Vi
Pj
(Vi-Pj)/m
Vi  Pj
Vi-Pj
U
Pi
0
Pj= Vi
Por lo tanto, la función de mejor respuesta será
 ( Pj ,  ) si Vi  Pj

Pi ( Pj )   0 , Pj  si Vi  Pj

  0 ,   si Vi  Pj

Por lo tanto el equilibrio de Nash está donde se crucen todas las mejores respuestas,
(V1 ,V2 ,...,Vn ) , es decir, cada persona escribe en el papel el número que coincide con su
valoración; ganándose la subasta la persona que más valore el objeto.
10
12. Tres amigos van a ir a un restaurante. Cada uno de ellos elegirá simultáneamente lo que va a
comer y la cuenta se dividirá en partes iguales. Si uno de ellos elige un plato de precio Pi y
contribuye con X pesos a la cuenta, su utilidad es igual a
Nash en estrategias puras de este juego.
P i  X . Calcule los equilibrios de
SOLUCIÓN
El juego en forma normal es
N   A, B , C 
Si  0 ,  Donde P
Pi es el valor del plato del jugador i .
i Si
 P  P  P3 
U i ( P1 , P2 , P3 )  Pi   1 2

3

Por lo tanto, el problema de cada jugador 1 es
 P  P  P3 
U1 ( P1 , P2 , P3 )  P1   1 2

3

C.P.O
U 1  1 1
 P1 2   0
P1 2
3
1
1

1
2 P1 2 3
3
P1  
2
2
9
es una estrategia fuertemente dominante, porque siempre es mejor respuesta,
4
9 9 9
y el equilibrio de Nash será  , , 
4 4 4
Por lo tanto, jugar
13. Utilice el siguiente juego en forma estratégica para mostrar que el orden en que se eliminan
iteradamente estrategias débilmente dominadas puede afectar el conjunto de posibles
resultados:
J2
C
D
E
2,1
1,1
0,0
A
J1 B
1,2
3,1
2,1
2 , -2
1 , -1 -1 , -1
C
SOLUCIÓN
11
La estrategia E del J2 es dominada débilmente por la estrategia D, entonces quedaría el juego de
la siguiente forma:
J2
C
D
2,1
1,1
A
J1 B
1,2
3,1
2 , -2
1 , -1
C
Y en este juego no hay estrategias dominadas.
Por otro lado, si primero elimino la estrategia C del J1 que es dominada débilmente por la
estrategia A,
J2
C
D
E
A 2,1 1,1 0,0
J1
B 1,2 3,1 2,1
Ahora, la estrategia E del J2 es dominada débilmente por la estrategia D, sucede que:
J2
J1
A
B
C
2,1
1,2
D
1,1
3,1
La estrategia D del J2 es dominada débilmente por la estrategia C, quedando:
J1
A
B
J2
C
2,1
1,2
Y por último, la estrategia B del J1 es domina por la estrategia A.
J2
C
J1 A 2 , 1
Por lo tanto, la solución del juego es (A, C)
14. Una corporación que posee cierto activo debe decidir si permite que un corredor de bolsa lo
invierta en un proyecto productivo. Si la corporación pone el activo en manos del corredor de
bolsa, este debe decidir si efectivamente lo invierte y recibe una comisión o si simplemente se
apropia del activo sin invertirlo. Sea X el valor del activo que posee la corporación, R la
rentabilidad de la inversión y P la comisión.
Modele esta situación como un juego en forma estratégica y en encuentre el equilibrio de
Nash. Comente el resultado.
Solución
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S = Si entrega el activo
N = No entrega el activo
J1
S
N
I = Invierte el activo
NI = No invierte el activo
J2
I
NI
X  RP, P
X , X
0 ,0
0, 0
El único equilibrio de Nash de este juego sería (N, NI)
15. Discutiendo acerca de la evolución social y sus beneficios, J. Rousseau (1755) describe la
siguiente situación a la que se enfrenta un grupo de cazadores que persiguen un venado:
“…En el trabajo de cazar un venado cada cazador debe sentir que su propósito es mantenerse
fiel a su objetivo; sin embargo, si una liebre pasara cerca de alguno de ellos, no habría duda
de que éste la perseguiría sin escrúpulos y que, habiendo obtenido su presa, poco le
importaría haber causado a sus compañeros la perdida de las suyas.”
a. Modele esta situación en una bimatriz asumiendo que las únicas acciones disponibles a
cada agente son “cazar venado” y “cazar liebre”
b. Encuentre el equilibrio de Nash e interprete el resultado.
SOLUCIÓN
V  Valor del venado
L  Valor de la liebre
Sea V , L  0
y
V
L
2
J1
CV
CL
J2
CV
V V
,
2 2
L,0
CL
0,L
L L
,
2 2
Se puede observar como el equilibrio de Nash es ( CL, CL )
16. A mediados del siglo XX mientras se discernía la segunda guerra mundial se presento un
hecho bastante crítico, la batalla del mar de Bismarck, para controlar Nueva Guinea. El jefe
de los aliados, el general Kenney, tendía reportes de inteligencia que indicaban que el ejército
japonés haría movimientos de tropa y convoyes del puerto de Rabaul, en la punta oriental de
la isla de Nueva Bretaña, a Lae, que esta justo al este de Nueva Bretaña en Nueva Guinea. El
jefe de los japoneses tendía dos alternativas: Tomar una ruta pasando por el norte, o bien otra
por el sur de Nueva Bretaña. En la ruta por el norte, donde con seguridad la visibilidad sería
muy mala debido al clima, el viaje durará tres días, mientras que en la ruta por el sur el clima
sería más favorable, lo que conlleva a que el viaje solo tardará un día.
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El general Kenney tenía la opción de concentrar la mayor parte de sus aviones de
reconocimiento en una ruta o en la otra, y una vez localizado el convoy, podía bombardearlo
hasta su llegada a Lae. Sin embargo, el clima también influye en el trabajo de
reconocimiento, porque con buen clima se puede reconocer el convoy fácilmente, pero con
mal clima la probabilidad de identificar el convoy se reduce a la mitad.
Plantee esta situación como un juego en forma normal y encuentre los equilibrios de Nash en
estrategias puras.
SOLUCIÓN
N = Ruta del Norte (Mala visibilidad)
S = Ruta del Sur (Buena visibilidad)
D = Valor de detectar y destruir el convoy
J1
Norte
Sur
J2
Norte
D
D
 3 ,
2
2
1 , 0
Sur
3 ,0
 D 1 , D
17. En el viaje de regreso de unas vacaciones se perdieron los equipajes de dos viajeros que
habían comprado exactamente los mismos objetos. La compañía aérea le dice a los viajeros
que cada uno debe solicitar un pago por el valor de los objetos extraviados, que se sabe es un
numero múltiplo de mil entre 7.000 y 10.000, ambos incluidos. La compañía se compromete
a pagar a cada uno el MÍNIMO de las dos cantidades solicitadas, pero para asegurarse que no
exista engaño, se le quitarán 3.000 a la persona que haga la solicitud más alta para dárselos a
la que hizo la más baja.
a. Por medio de una matriz plantee este problema como un juego en forma estratégica y
encuentre los equilibrios de Nash en estrategias puras de este juego
SOLUCIÓN
J2
J1
7.000
8.000
9.000
10.000
7.000
7.000 , 7.000
4.000 , 10.000
4.000 , 10.000
4.000 , 10.000
8.000
10.000 , 4.000
8.000 , 8.000
5.000 , 11.000
5.000 , 11.000
9.000
10.000 , 4.000
11.000 , 5.000
9.000 , 9.000
6.000, 12.000
10.000
10.000 , 4.000
11.000 , 5.000
12.000 , 6.000
10.000, 10.000
Por lo tanto, el único equilibrio de Nash del juego es (7.000 , 7.000)
18. Considere la siguiente situación. Tres jugadores deben escoger entre cara o sello, y cada uno
de ellos obtiene un paga igual al numero de jugadores que escogieron la misma estrategia que
el. Por ejemplo, U1 (c, c, s)  U 2 (c, c, s)  2 y U3 (c, c, s)  1 . Plantee esta situación como un
juego en forma normal y encuentre los equilibrios de Nash en estrategias puras.
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19. Dos amigos acordaron encontrarse a cierta hora en la universidad, pero en el momento de
dejar claro el lugar se cortó la comunicación. En el momento que estaban hablando, uno de
ellos se encontraba en la entrada de la universidad y el otro esta en la biblioteca, lo cual es de
conocimiento común. Sin embargo existe un tercer lugar donde podrían encontrarse, el
edificio de ciencias humanas.
a. Plantee esta situación como un juego en forma normal, donde los pagos deban reflejar que
lo fundamental es que los dos amigos se encuentren, sin importar el lugar. Además
encuentre los equilibrios de Nash para este juego.
b. Ahora considere que desplazarse cuesta, es decir, se sabe que el jugador 1 esta en la
entrada y el jugador 2 en la biblioteca y si ellos decidieran cambiar de lugar incurrirían en
un costo. Suponga además que el costo de desplazarse es menor que lo que ganan cuando
se encuentran. Plantee esta nueva situación como un juego y encuentre los equilibrios de
Nash.
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