Unid. IV

UNIDAD 4 - PROBLEMA 44
Considere el flujo viscoso laminar de un líquido de densidad ρ y viscosidad dinámica μ entre dos
placas horizontales paralelas. La placa inferior está fija y la placa superior se mueve hacia la derecha
con velocidad U0. La distancia entre las placas es h.
Además el flujo entre las placas está sometido a un gradiente de presiones ∂p/∂x
El flujo es estacionario, bidimensional y unidireccional (líneas de corriente paralelas).
Obtenga el perfil de velocidades del fluido y el caudal volumétrico en el sentido de x.
Para el caso siguiente: ρ = 800 kg/m3 μ= 0.1 N.s/m2 U0 = 1 m/seg y h = 1 cm, determine el
gradiente de presiones ∂p/∂x necesario a fin de tener un caudal neto hacia la izquierda (en –x) de
Q/b = 3 litros/seg/m (caudal por unidad de ancho en y)
z
U0
h
x
Parte a)
∂
=0
∂t
∂
=0
Por flujo bidimensional:
∂y
Por flujo estacionario:
y v=0
(1)
Por flujo unidireccional, con líneas de corriente paralelas: w = 0
Ecuación de masa:
Resulta
∂u ∂v ∂ w
+
+
=0
∂x ∂y ∂z
∂u
= 0 lo que significa que la velocidad depende sólo de z : u ( z )
∂x
(2)
Introduciendo las (1) y (2) en las ecuaciones de Navier Stokes:
⎛ ∂2 u ∂2 u ∂2 u ⎞
⎛ ∂u
∂u
∂u
∂p
∂u ⎞
⎟
⎟⎟ = −
+u
+v
+w
+ ρ g x + μ ⎜⎜ 2 +
ρ ⎜⎜
+
2
2 ⎟
t
∂
x
∂
y
∂
∂
z
x
∂
∂
x
y
z
∂
∂
⎠
⎝
⎠
⎝
(3)
⎛ ∂2 v ∂2 v ∂2 v ⎞
⎛∂v
∂v ⎞
∂v
∂p
∂v
⎟
+
+ w ⎟⎟ = −
+ ρ g y + μ ⎜⎜ 2 +
+v
+u
∂z⎠
∂y
∂y
∂x
∂ y 2 ∂ z 2 ⎟⎠
⎝ ∂t
⎝∂x
ρ ⎜⎜
⎛ ∂2 w ∂2 w ∂2 w ⎞
⎛∂w
∂w
∂w
∂w⎞
∂p
⎟
⎟⎟ = −
+
+u
+v
+w
+
+ ρ g z + μ ⎜⎜
2
2
2 ⎟
∂
∂
∂
∂
∂
t
x
y
z
z
∂
∂
∂
x
y
z
⎝
⎠
⎝
⎠
ρ ⎜⎜
(4)
Desarrollando la (4) con g z = − g se llega a que la presión es la suma de dos términos: una
función sólo de x más el término de presión hidrostática función sólo de z:
∂p
= −ρ g
∂z
p ( x, z ) = − ρ g z + f ( x )
En la (3) aparece
(5)
∂p
: observando la (5) se ve que ésta derivada es sólo una función de x.
∂x
Por lo tanto, la (5) queda:
0=−
∂p
∂2 u
+μ 2
∂x
∂z
μ
∂2 u ∂ p
=
∂ z2 ∂ x
(6)
Función sólo de x
Función sólo de z
Cómo x y z son variables independientes, la única posibilidad de que una función de x y una
función de z sean iguales como establece la (6) es que sean igual a una constante.
∂p
= cte
∂x
d2 u 1 ∂ p
=
d z2 μ ∂ x
Se integra dos veces con las constantes de integración correspondientes:
du 1 ∂ p
=
z + C1
d z μ ∂x
u( z) =
1 ∂ p z2
+ C1 z + C2
μ ∂x 2
Las constantes de integración se obtienen en base a las condiciones de contorno, que son:
u ( z = 0) = 0
u ( z = h) = U 0
C2 = 0
De donde se obtienen:
C1 =
U 0 1 ∂p h
−
h μ ∂x 2
Finalmente el perfil de velocidades está dado por:
u( z) =
1 ∂ p z2 ⎛ h ⎞
+ −
z
μ ∂ x 2 ⎜⎝ 2 ⎟⎠
u( z) = U 0
z 1 ∂p
−
z (h − z)
h 2μ ∂x
El primer término de denomina "flujo Couette" y es el flujo generado por corte por el simple
arrastre de la placa superior respecto la inferior y el fluido entre ambas. Es un flujo con perfil
de velocidades lineal.
El segundo término de denomina "flujo Poiseuille" y es el flujo generado por diferencia de
presiones entre dos extremos, implícito en el término de gradiente de presiones
∂p
. Es un
∂x
flujo con perfil de velocidades parabólico.
U0
Ambos tipos de flujo se suman combinándose según el problema particular de que se trate.
El caudal volumétrico se obtiene integrando el perfil de velocidades en el área de la sección.
Se asume una dimensión b en el sentido del eje y.
⎡ z 1 ∂p
⎤
Q = ∫ u dA = ∫ ⎢U 0 −
z ( h − z ) ⎥ b dz
h 2μ ∂x
⎦
A
0 ⎣
h
Q 1
1 ∂p 3
= U 0h −
h
b 2
12μ ∂x
Esta expresión pone en evidencia que para un caudal positivo, el gradiente de presiones
debe ser negativo:
∂p
< 0 , es decir que en caso de movimiento del fluido por diferencia de
∂x
presiones, caso de flujo Poiseuille, el fluido avanza de mayor a menor presión.
Parte b)
Matemáticamente el caudal debe llevar sigo negativo:
Q 1
1 ∂p 3
= U 0h −
h
b 2
12 μ ∂x
1
1 ∂p
−0.003 = 1 0.01 −
0.013
2
12 0.1 ∂x
Se despeja:
∂p
= +9600 Pa / m
∂x
El perfil de velocidades es de la forma mostrada: por el arrastre de la placa superior hay un
efecto Couette pero es preponderante el efecto Poiseuille debido al gradiente de presión
positivo.
1 m/s
Menor
presión
Mayor
presión
UNIDAD 4 - PROBLEMA 45
Considere el flujo viscoso laminar de un líquido de densidad ρ y viscosidad dinámica μ en un
conducto horizontal, recto y cilíndrico de radio R, sometido a un gradiente de presiones ∂p/∂x.
El flujo es estacionario, axilsimétrico y unidireccional (líneas de corriente paralelas).
Obtenga el perfil de velocidades del fluido y el caudal volumétrico en el sentido de x.
Para el caso siguiente: ρ = 800 kg/m3 μ= 0.1 N.s/m2 y R = 5 cm, determine el gradiente de presiones
∂p/∂x necesario a fin de tener un caudal neto de Q = 1 m3/min.
r
Q
D = 2R
Parte a)
x
∂
=0
∂t
Por flujo estacionario:
Flujo con simetría de revolución, unidireccional, con líneas de corriente paralelas (no existen
líneas de flujo helicoidales:
Ecuación de masa:
Resulta
∂
=0
∂θ
ur = 0
uθ = 0
1 ∂ ( r ur ) 1 ∂ ( uθ ) ∂ u x
+
+
=0
∂x
r ∂r
r ∂θ
∂u x
= 0 lo que significa que la velocidad depende sólo del radio r : u x (r )
∂x
En las ecuaciones de Navier Stokes, sólo la ecuación en x es la relevante:
⎧ 1 ∂ ⎛ ∂u x ⎞ 1 ∂ 2u x ∂ 2u x ⎫
∂u u ∂u
∂u ⎞
∂p
⎛ ∂u x
+ ur x + θ x + u x x ⎟ = − + ρ g x + μ ⎨
+ 2 ⎬
⎜r
⎟+ 2
2
∂r
∂x ⎠
∂x
∂x ⎭
r ∂θ
⎝ ∂t
⎩ r ∂r ⎝ ∂r ⎠ r ∂θ
ρ⎜
∂p
1 ∂ ⎛ ∂u x ⎞
+μ
⎜r
⎟
r ∂r ⎝ ∂r ⎠
∂x
1 d ⎛ du x ⎞ ∂p
μ
⎜r
⎟=
r dr ⎝ dr ⎠ ∂x
0=−
Cómo se planteo en el problema anterior, la única posibilidad de que una función de x y una
función de r sean iguales es que sean igual a una constante:
μ
1 d ⎛ du x
⎜r
r dr ⎝ dr
⎞ ∂p
= cte
⎟=
⎠ ∂x
Se integra dos veces con las constantes de integración correspondientes:
d ⎛ du x
⎜r
dr ⎝ dr
⎞ 1 ∂p
r
⎟=
⎠ μ ∂x
du x 1 ∂p r 2
=
+ C1
dr μ ∂x 2
du x 1 ∂p r C1
=
+
dr μ ∂x 2 r
r
ux =
1 ∂p r 2
+ C1 ln r + C2
μ ∂x 4
Las constantes de integración se obtienen en base a las condiciones de contorno, que son:
u (r = R) = 0
u (r = 0) = finita
De donde se obtienen:
C2 = −
1 ∂p R 2
μ ∂x 4
C1 = 0
Finalmente el perfil de velocidades, de forma parabólica, está dado por:
ux = −
1 ∂p 2 2
(R − r )
4 μ ∂x
El caudal volumétrico se obtiene integrando el perfil de velocidades en el área de la sección.
⎡ 1 ∂p 2 2 ⎤
Q = ∫ u dA = ∫ ⎢ −
( R − r )⎥ 2π r dr
4μ ∂x
⎦
A
0 ⎣
R
Q=−
π R 4 ∂p
8μ ∂x
Esta expresión pone en evidencia que para un caudal positivo, el gradiente de presiones
debe ser negativo:
∂p
< 0 , es decir que en caso de movimiento de un fluido viscoso por
∂x
diferencia de presiones, el fluido avanza de mayor a menor presión.
Parte b)
Q=−
π R 4 ∂p
8μ ∂x
0.01667 = −
π 0.054 ∂p
resultando:
∂p
= −1061 Pa / m
∂x
8 0.1 ∂x
Este gradiente de presiones significa que para una tubería de, por ejemplo, 10 m de longitud
descargando a la atmósfera en su sección aguas abajo, se requiere de una presión
manométrica de 10610 Pa en la sección aguas arriba.
UNIDAD 4 - PROBLEMA 46
Considere el flujo viscoso laminar de un líquido de densidad ρ y viscosidad dinámica μ que desliza
por gravedad por un plano inclinado que forma un ángulo α respecto la horizontal, como se muestra.
La capa de fluido posee un espesor constante h.
El flujo es estacionario, bidimensional y unidireccional (líneas de corriente paralelas). Desprecie la
fricción entre la superficie libre de líquido y el aire de la atmósfera.
z
Atmósfera a pamb
α
h
∂
=0
∂t
∂
=0
Por flujo bidimensional:
∂y
x
Por flujo estacionario:
y v=0
Por flujo unidireccional, con líneas de corriente paralelas: w = 0
∂u ∂v ∂ w
+
+
=0
∂x ∂y ∂z
Ecuación de masa:
Resulta
∂u
= 0 lo cual significa que la velocidad depende sólo de z : u ( z )
∂x
Introduciendo todo en las ecuaciones de Navier Stokes:
⎛ ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ⎞
⎛ ∂u
∂u
∂u
∂u ⎞
∂p
ρ ⎜ + u + v + w ⎟ = − + ρ g sin α + μ ⎜ 2 + 2 + 2 ⎟
∂x
∂y
∂z ⎠
∂x
∂y
∂z ⎠
⎝ ∂t
⎝ ∂x
⎛ ∂v
∂v
⎛ ∂w
∂w
∂v
∂v ⎞
∂p
⎛ ∂ 2v
∂ 2v
∂ 2v ⎞
ρ ⎜ + u + v + w ⎟ = − + ρ gy + μ ⎜ 2 + 2 + 2 ⎟
∂x
∂y
∂z ⎠
∂y
⎝ ∂t
⎝ ∂x ∂y ∂z ⎠
∂w
∂w ⎞
∂p
⎛ ∂2w
∂2w
∂2w ⎞
ρ ⎜ +u
+v
+ w ⎟ = − − ρ g cos α + μ ⎜ 2 + 2 + 2 ⎟
∂x
∂y
∂z ⎠
∂z
∂y
∂z ⎠
⎝ ∂t
⎝ ∂x
Quedan dos ecuaciones:
∂p
∂ 2u
+ ρ g sin α + μ 2
∂x
∂z
∂p
0 = − − ρ g cos α
∂z
0=−
Integrando la segunda ecuación se llega a :
p( x, z ) = − ρ g cos α z + f ( x)
Evaluando p ( x, z ) sobre la superficie libre, en z = h se tiene:
p( x, h) = − ρ g cos α h + f ( x) = pamb = cte
De donde se concluye que f ( x) = cte y por lo tanto
∂p
=0
∂x
La primera ecuación entonces queda:
d 2u
0 = ρ g sin α + μ 2
dz
Se integra dos veces:
d 2u
1
= − ρ g sin α
2
μ
dz
du
1
= − ρ g sin α z + C1
μ
dz
u=−
1
μ
ρ g sin α
z2
+ C1 z + C2
2
Las constantes de integración se obtienen en base a las condiciones de contorno. Una
condición es la condición de no deslizamiento sobre la pared del plano:
u ( z = 0) = 0
de dónde C2 = 0
Otra condición se obtiene de despreciar la tensión de corte existente entre la superficie libre
del líquido y el aire de la atmósfera (dicha tensión sería realmente nula si existiera vacío
absoluto):
du
= − ρ g sin α z + μ C1
dz
du
τ ( h) = μ
= − ρ g sin α h + μ C1 = 0
dz
τ ( z) = μ
de dónde resulta:
C1 =
1
μ
ρ g sin α h
Finalmente el perfil de velocidades queda:
u=
ρg
μ
z⎞
⎛
z ⎜ h − ⎟ sin α
2⎠
⎝
Es nuevamente un perfil parabólico. Como se ha visto en los problemas anteriores, ésta es
una de las características más distintivas del flujo laminar.
El caudal drenado resulta:
Q=
ρ g sin α h3
μ
3