Un Algoritmo Genético Fijo para solucionar el problema de

1
Un Algoritmo Genético Fijo para solucionar el
problema de Asignación de Canales
L.E. Ruiz y C.I. Páez, Member, IEEE
Resumen—En el presente artículo se expone una solución al
Problema de Asignación de Canales (CAP) sujeto a una demanda
especificada por el diseñador y bajo las restricciones de
interferencia electromagnética Co-canal, Adyacente y Co-Site.
La solución fue realizada con un Algoritmo Genético Fijo (AGF)
con operadores de cruce fijo, mutación fija, reinserción y con un
algoritmo de búsqueda local. Se encontró que la función de
asignación de Aptitud de Jerarquía no lineal, el operador de
Reinserción basada en Aptitud y el algoritmo de búsqueda local,
mejoran sustancialmente la convergencia del problema y la
velocidad de ejecución.
Índice de Términos—Algoritmo Genético, Diseño de Redes
Celulares, Asignación de Canales.
I.
INTRODUCCIÓN
D
EBIDO a la demanda creciente de los servicios que
involucran acceso a radio frecuencia y a la característica
limitada de este espectro, surge la necesidad de implementar
algoritmos eficientes que satisfagan las restricciones de
interferencia electromagnética, para la asignación compartida
de estos recursos. La solución de este problema es de
complejidad dura No-Polinómica [1] y ha sido solucionado en
las dos últimas décadas con métodos de optimización basados
en Grafos [2,3], Métodos Heurísticos [4,5], Redes Neuronales
[6,7,8] y Algoritmos Genéticos (AG) [9,10,11].
Los AG fueron formulados por primera vez en la década de
los 70 por Holland, quien tuvo su inspiración en la Evolución
Biológica. Éstos han sido utilizados desde las dos últimas
décadas con resultados aceptables para la solución de
problemas complejos, como la generación de música, la
síntesis de dispositivos electrónicos y algunas estrategias de
planeación [11].
Los AG se consideran una técnica de búsqueda global
estocástica, que a través de los operadores genéticos aplicados
a una población encuentra las posibles soluciones de un
problema [12]. Las principales diferencias de los AG con
respecto a los métodos de búsqueda tradicional, se encuentra
entre otras, en la utilización de estrategias que permiten operar
Este trabajo hace parte de los resultados parciales obtenidos por el grupo
de investigación en Optimización en Telecomunicaciones de la FUSM
(Fundación Universitaria San Martín), Bogotá - Colombia.
L.E. Ruiz email: luiseduardoruiz@hotmail.com
C.I. Paez. email: car-paez@ieee.org
sobre múltiples soluciones, la utilización de estrategias
evolutivas basadas en reglas de transición probabilística, la
codificación de los parámetros de entrada y la eliminación de
estrategias basadas en derivadas [13].
La eficacia de los AG para dar solución a problemas ha
permitido encontrar respuestas vitales en diseño de
telecomunicaciones, como la asignación de recursos a nivel de
sistema (canales, frecuencias, enlaces), el diseño de topologías
de red fija, la localización de estaciones base, la gestión de la
movilidad de los usuarios, la gestión de las llamadas, la
estrategia de detección multiusuario en CDMA, el diseño de
las tramas en TDMA y ecualización de canales [11].
El desafío de la comunidad científica en esta área, se
encuentra en diseñar, comprobar e innovar en los siguientes
aspectos, para incrementar la efectividad y el tiempo de
convergencia en los resultados.
Obtener una representación eficiente de la población
de individuos.
Implementar una función de costo que represente de
forma exacta y simple el problema.
Escoger, concebir, modificar y/o definir los
operadores genéticos y sus parámetros.
Elegir una técnica de búsqueda local para obtener
mejores resultados, especialmente en los problemas
de optimización combinatoria.
Obtener una adecuada representación del problema,
para evitar que éste se convierta en un AG difícil.
[1,14].
En el siguiente trabajo se presentan los resultados parciales
encontrados en la solución y el modelo del problema de
asignación de canales (CAP) con la técnica basada en AG. A
continuación, en la sección II se presentará la formulación
general del problema por medio de un AG. En la sección III,
se presentará el modelo realizado para solucionar el CAP
basado en el trabajo realizado por C.Y. Ngo y V.O.K. Li en la
referencia [10]. En la sección IV se mostrarán los resultados
de evaluar diferentes operadores genéticos y diferentes
técnicas de optimización local. Por último, en la sección V se
concluirá acerca de las mejores políticas encontradas en el
AGF y cómo el grupo de investigación continuará trabajando
en el área.
II. FORMULACIÓN DEL PROBLEMA
ISBN-958-33-6534-3. Segundo Congreso Internacional de la Región Andina ANDESCON 2004.
2
El problema de asignación de canales en una red celular
FCA [15] ha sido trabajado por medio de AG en [9,10,11],
modelando diferentes representaciones del problema,
diferentes operadores genéticos y diferentes algoritmos de
búsqueda local fina.
A continuación se realizará una breve descripción de un
algoritmo genético simple, la formulación matemática del
problema CAP y una descripción de la función de costo.
A. Algoritmos Genéticos Simples
Asociado al concepto de los Algoritmos Genéticos se
encuentran una serie de términos que serán aclarados en la
Tabla I.
TABLA I
TERMINOLOGÍA UTILIZADA EN ALGORTIMOS EVOLUTIVOS
Fig. 2. Seudo código del AGS.
El resultado final de la evaluación de este algoritmo, son
los individuos más aptos para su ambiente. El criterio de
finalización puede ser por el número de generaciones o por
cumplimiento de un determinado umbral en el Fitness, entre
otros.
B. Formulación General del problema de Asignación de
Canales
En el problema particular de una red compuesta por N
celdas distribuidas geográficamente en forma disyunta (Fig.
3), se desea asignar canales que cumplan las restricciones de
compatibilidad electromagnética y los requerimientos de
tráfico.
Una posible representación de un individuo codificado
(fenotipo) puede ser por medio de un vector tipo fila, como se
observa gráficamente en Fig. 1.
Fig. 1. Posible representación del fenotipo.
La representación original implementada por Holland
consistió de individuos conformados por cromosomas en los
cuales cada gen estaba formado por Alelos binarios.
Un Algoritmo Genético Simple (AGS) es un algoritmo
sencillo con solo dos operadores (cruce y mutación) que logra
en la mayoría de los casos soluciones factibles a los problemas
planteados. Para la aplicación de un AGS [14] se debe
primero encontrar una representación válida de los individuos
(fenotipo) y definir un ambiente para esta representación
(Función de Costo). También se debe escoger una política de
selección, y los operados válidos de cruce y mutación. Un
algoritmo que resume el AGS, se describe en la Fig. 2.
Fig. 3. Topología básica de una red celular y su representación analítica
básica.
El vector tipo fila D = [dj]1xN representa la demanda de
canales de la j-esima celda. La matriz simétrica C = [Cik]NxN
representa
las
restricciones
de
compatibilidad
electromagnética. El número Cik, representa la distancia de
separación de canales mínima entre las celda i y la celda k.
Estas restricciones pueden representar en una red celular, la
distancia de separación de canales entre celdas adyacentes
(ACC), la distancia de separación de los canales asignados en
la misma celda (CSC) y la distancia de separación de canales
que están en diferente cluster (CCC).
La solución del problema anterior (Genotipo) es
representada [7] por medio de un matriz F = [fim]NxM, donde M
es el número de canales asignados a toda la red celular y N el
número de celdas totales. Se utilizará la siguiente
representación binaria para las posiciones de la matriz F:
f
im
 1 , si _ el _ canal
= 
el
canal
 0 si
_ m _ es _ asignado
m
no
es
asignado

 a _ la

_ celda
_ i
C. Descripción de la función objetivo
La función objetivo que representa el número de
infracciones en la asignación de canales para las celdas de
toda la red es caracterizada por la función de costo (1) [6]. El
ISBN-958-33-6534-3. Segundo Congreso Internacional de la Región Andina ANDESCON 2004.
3
primer término de (1) representa la interferencia ACC y CCC
(2). El segundo término de (1) representa la interferencia CSC
(3). El último término de (1) representa el número total de
violaciones de la restricción de canales solicitada por cada
celda (4).
 ACC _ CCC ( F , C ) + CSC ( F , C )
(1)
C (F , C , D) = 
 + dem ( F , D )
n
m
ACC _ CCC ( F , C ) = ∑∑ (
i =1 p =1
∑ ∑
n
q = p + ( c ij −1)
j =1
j ≠i
Cij > 0
q = p −( cij −1)
1≤ q ≤ m


 p + (Cii −1) 
CSC (F , C ) = ∑∑  ∑ f iq  f ip


i =1 p =1 q = p − ( Cii −1)
 q≠ p

 1≤q ≤ m

n
f jq
) f ip
garantizar una correcta codificación, se adicionan Ckk-1 alelos
de valor 0 al final de la antigua representación. La
representación final del k-ésimo Gen contiene M + Ckk-1 dk(Ckk-1) Locus en total (Fig. 5).
(2)
m


dem( F , D) = ∑  ∑ f iq − d i 
i =1  q =1

n
m
(3)
2
(4)
III. SOLUCIÓN IMPLEMENTADA
Con miras a simplificar la función objetivo y a incrementar
la convergencia de la solución, se implementó un algoritmo
genético híbrido compuesto por un AG Fijo (AGF) con un
algoritmo de búsqueda local [10]. En el AGF se codifica a los
individuos por medio de un esquema de mínima separación
[10], razón por la cual se debe aplicar operadores genéticos
especiales que garanticen dicha representación para cada
generación. A continuación se detallan las simplificaciones,
los operadores genéticos y funciones de búsqueda local
evaluadas y/o implementadas.
A. Representación de los Individuos en el AGF (Fenotipo)
El individuo se representa por un único cromosoma
formado por N Genes. El k-ésimo Gen representa una posible
solución para la celda k, que satisface la demanda y la
restricción CSC. La primera limitante es satisfecha al
garantizar que la sumatoria de los Alelos que toman el valor
‘1’ es igual a la demanda necesaria en esa celda. La segunda
restricción, se garantiza al exigir que en cada Gen, todos los
Alelos de valor ‘1’ están separados uno de otro, como
mínimo por Ckk-1 Alelos de valor ‘0’ (ver Fig. 4).
Fig. 4. Gen k-ésimo de un Cromosoma sin codificación de Mínima
Separación.
La codificación de Mínima Separación de este gen,
consiste en agrupar los Alelos de valor ‘1’ con (Ckk-1) Alelos
consecutivos de valor ‘0’, para producir una nueva
representación del Gen y por ende un nuevo cromosoma. Para
Fig. 5. Representación de un Gen, codificado con mínima separación.
B. Algoritmo Genético Fijo (AGF)
En el algoritmo AGF implementado se utilizaron los
operadores especiales de Cruce y Mutación fija, para
garantizar que el número de Alelos con valor ‘1’ en cada Gen
permaneciera constante de individuo a individuo. Gracias a
esta característica se garantiza que las restricciones de
demanda y de CSC siempre se cumplen, simplificando la
función objetivo a solo la expresión (2). Adicionalmente, se
evaluaron diferentes esquemas de reinserción y de búsqueda
local, con el objetivo de mejorar la convergencia del
problema. El seudocódigo del AGF implementado se ilustra a
continuación:
AGF
{
Generar Población inicial
Evaluar la función Objetivo
Calcular la representa Fenotipo
Asociar función de Aptitud
MIENTRAS (Número Generaciones < Umbral o C(F) diferente cero)
{
Seleccionar Individuos
Calcular Codificación Mínima Separación
Aplicar Operador de Cruce Genético Fijo
Aplicar Operador de Mutación Genética Fija
Calcular el Genotipo
Aplicar el Algoritmo de Búsqueda Local
Calcular la representa Fenotipo
Asociar función de Aptitud
Aplicar Reinserción
}
Individuos más Aptos (Resultado encontrado)
}
C. Esquemas de Asignación de Aptitud
Se evaluaron dos diferentes estrategias de Asignación de
Aptitud, a saber: el método basado en jerarquía lineal y el
método basado en jerarquía no lineal. En ambos métodos se
ordenan los individuos del menos apto al más apto, analizando
el desempeño de éstos con respecto a su ambiente. En el caso
lineal, se asigna el valor de Fitness dado en (5) y en el caso no
lineal el valor de Fitness dado en (6), donde Nind es el
número de individuos y j es la posición ordenada de éstos. El
ISBN-958-33-6534-3. Segundo Congreso Internacional de la Región Andina ANDESCON 2004.
4
valor SP representa la presión de seleccionar los mejores
individuos (Selective Pressure).
2( SP − 1)( j − 1)
Fitness ( j ) = 2 − SP +
con 1 ≤ SP ≤ 2 (5)
Nind − 1
Nind ⋅ X j −1
Fitness ( j ) = Nind
con 1 ≤ SP ≤ Nind − 2 (6)
k −1
X
∑
k =1
donde X, es calculado como la raíz del polinomio:
0=
Nind
∑a
k =1
k −1
x k −1
(7)
Fig. 7. Comparación entre los criterios RW y SUS.
Un ejemplo de una asignación de aptitud es mostrado en la
Fig. 6 con 11 individuos. La ventaja de la asignación no lineal
es que permite con valores pequeños de SP, darle una mayor
probabilidad a los individuos menos aptos de ser escogidos y
con valores de SP grandes, permite asignar una mayor
probabilidad de escoger solo a los individuos más aptos.
Valor del Fitness
Esquema de Asignación de Aptitud (SP=2.0)
2.5
2
Lineal
1.5
No lineal
1
0.5
0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Posición ordenada de los
individuos
Fig. 6. Comparación de la Asignación de Aptitud Lineal versus la no lineal.
D. Política de Selección
Los individuos escogidos para la reproducción son
seleccionados de acuerdo a dos diferentes estrategias [12] a
saber: Política de la Rueda de la Ruleta (Roulette Wheel RW) y la Política de Muestreo Universal Estocástico
(Stochastic Universal Sampling - SUS). En ambos métodos se
organizan los individuos de acuerdo a su función Fitness
normalizada, en un círculo con un rango de ángulos bien
definidos. En el criterio RW, se generan K ángulos aleatorios
uniformemente distribuidos en el intervalo 0 a 360 grados y se
escogen los K individuos que sean seleccionados en la rueda.
En el criterio SUS, se genera un solo ángulo aleatorio θ1
uniformemente distribuido en el intervalo 0 a 360/K grados.
Se genera los K ángulos por medio de la relación rθ1, con r =
1,...K y se escogen los K individuos que sean seleccionados
en la rueda. En la Fig. 7 se puede observar un ejemplo
seleccionando 4 individuos de la población (K=4)
.
Como se observa en la Fig, 7, el criterio SUS proporciona
más selectividad que el criterio RW, cuando se encuentra un
individuo muy bueno permitiendo que la solución converja
rápidamente. Sin embargo, este hecho puede ser un problema
ya que se puede quedar el algoritmo en mínimos o máximos
locales y la única forma de salir de ellos sería por medio del
operador de mutación.
E. Operadores Genéticos utilizados
El operador genético de Cruce Fijo implementado fue
inspirado por [10], siendo modificado el algoritmo para no
utilizar una pila y seguir manteniendo la misma complejidad
computacional. En este operador, se toman dos padres
representados por los cromosomas CH1 y CH2 y se genera la
descendencia a partir de encontrar un Locus inicial y final
aleatorios, e intercambiar el material genético siguiendo el
algoritmo descrito a continuación.
Operador de Cruce Fijo
{
MAX_locus = Número Máximo de Locus de CH1
LOCUS_inicial = U [0, MAX_locus]
LOCUS_final = U [0, MAX_locus - LOCUS_inicial ]
PARA i = LOCUS_inicial hasta LOCUS_final
{
SI (CH1( i ) XOR (CH2( i )) )AND (CRUCE = FALSE)
{
TempI = i; CRUCE = TRUE
}
SINO SI (CRUCE = TRUE)
{
SI ( CH1(i) XOR CH2(i) ) AND (CH1(TempI) XOR CH1 (i))
{
CH1(TempI) = / CH1(TempI ); CH1 (i) = / CH1(i)
CH2(TempI )= / CH2(TempI ); CH2 (i) = / CH2(i)
CRUCE = FALSE
}
}
}
El operador Genético de Mutación fija reemplaza solo un
par de locus, de tal forma que el alelo CH1(i) es
intercambiado con el alelo CH1(j), si se cumple que CH1(i)
XOR CH1(j) = 1.
Este par de operadores genéticos especiales, fueron
diseñados por [10] para garantizar que los descendientes
tengan un número total de Alelos de valor ‘1’ igual al de los
ISBN-958-33-6534-3. Segundo Congreso Internacional de la Región Andina ANDESCON 2004.
5
padres y por ende, la descendencia cumple con la codificación
de mínima separación y por consiguiente cumple con los
requerimiento de la demanda y la restricción CSC. Estos
operadores son aplicados a los individuos seleccionados con
cierta probabilidad, que para el caso de mutación se denomina
Pm y para el caso de cruce se denomina Px.
F. Operador de Reinserción
La descendencia producida por los operadores genéticos de
cruce y mutación es reinsertada para producir una nueva
población, utilizando alguno de los siguientes esquemas:
Reinserción uniforme o Reinserción basada en aptitud.
En el primer esquema de reinserción, se genera una nueva
población reemplazando de forma aleatoria los padres por la
descendencia. En el segundo esquema de reinserción, una
nueva población es generada reemplazando a los padres
menos competentes por la descendencia más apta. En la Fig.
8, se puede observar los dos esquemas utilizados.
un porcentaje de descendientes de 40%, una probabilidad de
mutación de 1%, una probabilidad de cruce del 95% y el
método de selección SUS. En las figuras a continuación se
analizan los resultados con diferentes individuos por
generación, los dos diferentes esquemas de reinserción y de
asignación de aptitud. Los resultados encontrados al comparar
los operadores de selección (RWS y SUS) y los algoritmos de
búsqueda local no fueron contundentes.
En la Fig. 9 se observa los mejores datos obtenidos de la
función de costo versus el tiempo de la simulación
considerando una cantidad de 5, 15, 30, 45 y 60 individuos
por generación. Se simuló durante 5 horas (18000 seg) por
resultado y la gráfica suministra la información solo del
intervalo de tiempo necesario para que la función de costo
converja.
Fig. 9. Convergencia de la Función de Costo versus el tiempo de la
simulación.
Fig. 8. Ejemplo de los esquemas de Reinserción utilizados.
G. Búsqueda local
Con el fin de incrementar la convergencia del problema se
implementaron dos estrategias para mejorar localmente una
determinada generación. La primera es la descrita por [10], la
cual corresponde a buscar al canal asignado que más genera
conflictos (peor caso) en la función de costo y reemplazarlo
por un canal aleatorio que no haya sido asignado. El segundo
corresponde a reemplazar el canal que más genere conflicto
por un canal que permita disminuir la función de costo. Esta
búsqueda se realiza desde el primer canal libre hasta final.
IV. RESULTADOS
A. Resultados de los Operadores y funciones evaluadas
Como escenario básico de comparación de los operadores
evaluados se utilizó el problema 4 descrito por [10], el cual
esta formado por 25 celdas de tráfico no homogéneo y con un
número de canales asignados de 74.
En los diferentes resultados aquí presentados, se utilizaron
Como lo demuestran lo resultados, es posible trabajar
efectivamente el problema con micro poblaciones, con la
ventaja de una rápida convergencia de la función objetivo a un
valor pequeño pero con la desventaja de un tiempo grande
para realmente cumplir con todas las restricciones del
problema. Los resultados encontrados de este problema
complejo, permiten concluir que es posible hallar la solución
con poblaciones formadas entre 5 y 60 individuos. Trabajar
con poblaciones grandes implica que el espacio de búsqueda
se incrementa, permitiendo que se pueda encontrar el mínimo
más rápidamente, pero con la desventaja de una tasa lenta de
convergencia de la función objetivo.
En la Fig. 10 se observa la comparación del mejor caso
entre el esquema de reinserción uniforme y el basado en
aptitud. Esta comparación demuestra que la reinserción
uniforme le da más grado de libertad al problema, pero
cuando la población es grande redunda en un tiempo de
solución grande. El esquema basado en aptitud tiene una tasa
de convergencia de la función de costo mayor pero corre el
peligro, de quedarse un tiempo grande entre mínimos locales.
Los resultados encontrados con una cantidad menor de
individuos, permiten concluir que aunque se genera una
diversidad en la solución, no es suficiente la cantidad de
ISBN-958-33-6534-3. Segundo Congreso Internacional de la Región Andina ANDESCON 2004.
6
material genético intercambiado para producir mejores
tiempos de solución.
soluciona el problema. Para un mayor detalle de la matriz de
compatibilidad y el vector demanda de estos problemas se
pueden consultar las referencias [6,8,10].
TABLA II
BENCHMARK UTILIZADOS PARA EVALUAR EL AGF
En la Tabla III, se muestran los resultados del tiempo de
evaluación en un computador DURON 1.2 GHz con 128 de
RAM del AGF para encontrar la asignación de canales óptima
y la convergencia de dicho algoritmo.
TABLA III
RESULTADOS DE LOS BENCHMARK UTILIZADOS
Fig. 10. Comparación de esquemas de Reinserción..
En la Fig. 11 se puede observar la comparación entre los
mejores casos de ambos esquemas de Asignación de Aptitud.
Con esta figura se puede concluir que tener un esquema de
asignación no lineal con una presión de selección grande,
permite disminuir el tiempo de convergencia de la función
objetivo, sin embargo esta escogencia disminuye el espacio de
búsqueda haciendo que se incremente el tiempo para encontrar
el mínimo global.
Fig. 11. Comparación entre los métodos de asignación de aptitud lineal y no
lineal.
B. Resultados del algoritmo con diferentes Benchmark
El AGF implementado se evaluó con respecto a tres
escenarios básicos, los cuales son reconocidos como
Benchmark a nivel internacional. El primer problema (Pr1) es
el número 1 de [16], el segundo problema (Pr2) es expuesto
por [8] y el tercer problema (Pr3) es un diseño real en una
zona de cubrimiento 24km x 21Km en la ciudad de Helsinki
(Finlandia) expuesto por [6].
En la Tabla II, se expone la cantidad de celdas modeladas
en cada problema, el número de canales utilizados en la
solución y el número más pequeño de canales conocido que
V. CONCLUSIONES
En este artículo se implementó un AGF que soluciona el
problema CAP. En éste, se evalúan múltiples operadores para
determinar que influencia tienen sobre el incremento de la
convergencia y la disminución del tiempo de simulación.
La implementación de la búsqueda local disminuye
sustancialmente el tiempo para encontrar una respuesta válida
al problema CAP. Incrementar el número de individuos de la
población inicial permite tener una mayor convergencia, pero
no implica que el AGF se demore menos, ya que el tiempo de
evaluar la función costo para cada individuo puede ser grande.
Con una cantidad de individuos pequeña se puede disminuir
rápidamente la función de costo combinándola con la
asignación de Aptitud no lineal y un esquema de reinserción
basado en aptitud, pero la falta de diversidad genética hace
que se tenga un tiempo de simulación largo para encontrar el
mínimo de la función. La comparación de los resultados de los
Benchmark no es totalmente satisfactoria ya que en [10] se
logra 73 canales para el problema Pr3. Nuestro AGF no logra
este resultado por falta de tiempo de ejecución ya que se
probó en un PC personal.
Con la condiciones del problema, el comportamiento con
micro poblaciones del AGF y con la necesidad de poder
evaluar un algoritmo que solucione el problema CAP en un
computador personal, se establece que la mejor estrategia es
trabajar con múltiples sub poblaciones de tamaño pequeño
aisladas con algún operador de migración. Estos nuevos
operadores esperamos que aprovechen la convergencia rápida
del AGF con una función de asignación de Aptitud no lineal,
una presión de selección alta y un esquema de reinserción
ISBN-958-33-6534-3. Segundo Congreso Internacional de la Región Andina ANDESCON 2004.
7
basado en aptitud.
El grupo de investigación en Optimización de problemas
de Telecomunicaciones de la FUSM seguirá trabajando en el
problema CAP con Algoritmos Genéticos, tratando de evaluar
que mejora se obtiene con sub poblaciones e implementar esta
aplicación en computadores personales en configuración
paralelo, tratar de buscar mejores representaciones del
problema y explorar la influencia de nuevos operadores en la
convergencia del problema.
REFERENCIAS
[1]
[2]
[3]
[4]
[5]
[6]
[7]
[8]
[9]
[10]
[11]
[12]
[13]
[14]
[15]
[16]
A. Diaz, F. Glover, H. Ghaziri, J. Gonzales, M. Laguna, P. Moscato y F.
Tseng. Optimización Heurística y redes Neuronales. Editorial Paraninfo.
1996.
W.K. Hale, “Frequency assigment: Theory and applications”, Proc.
IEEE, vol. 68, No.12, pp. 1497-1514, 1980.
S. Kim and S.L. Kim, “A two phase algorithm for frequency assigment
in cellular mobile system”, IEEE trans. Veh. Technol.,vol43, no. 3, pp.
542-548,1994.
D. w. Tcha, J. H. Kwon, T. J. Choi and S.H. Oh. “PertubationMinimizing Frequency Assigment in a changing TDMA/FDMA Cellular
Enviroment”, IEEE trans. Veh. Technoly, vol 49, No. 2, march 2000.
Harilaos, G. Sandalidis and P. Stavroulakis. Handbook of Wireless
Network and Mobile Computing by I. Stojmenovic. Capt: Heuristics for
solving Fixed Channel Assigment Problems, pp.51-70.John
Wiley&Sons, 2002.
D. Kunz. “Channel assigment for cellular radio using neural networks”,
IEEE trans. Veh. Technol., vol 40, pp. 188-193, february 1991.
N. Funabiki and Y. Takefuji. A neural network parallel algoritm for
Channel Assigment Problems in Cellular Radio Networks. IEEE Trans.
On Vehicular technology, vol 41, No.4, November 1992.
K.A. Smith, “Solving combinatorial optimisation problems using neural
networks”, Ph.D. dissertation, Dept. of Electrical and Electronic
Engineering, Univ. Melbourne. March 1996.
W.K. Lai, “Channel Assigment Through Evolutionary Optimization”,
IEEE trans. Vehicular Technology, vol 45, No.1, February, 1996.
C.Y. Ngo y V.O.K. li. “Fixed channel assigment in cellular radio
Networks using Modified Genetic Algorithm”. IEEE trans. Vehicular
technology, vol 47, No.1 february 1998. pag 163-172.
D.W. Corne, M.J. Oates and G.D. Smith. Telecommunication
optimization: Heuristic and adaptive Techniques. Cpt 18-19.
A. Chipperfield, P. Fleming, H. Pohlheim y C.Fonseca. “Genetic
Algorithms Toolbox for use with MATLAB”. Department of Automatic
Control and Systemas Engineering. University of Sheffield.
D.E.Goldberg. Genetic algoritms in search optimization and machine
learning. 1989. Addison-Weley. Pag 7.
M.Srinivas, L.M Patnaik.“Genetic Algorithms: Survey”.
IEEE
Computer, vol, 27, isuue 6, June 1994, pp. 17-26
I. Katzela y M. Naghshineh. “Channel assigment schemes for cellular
mobile telecommunication systems: A comprehensive survey”. IEEE
personal communication, vol 3,issue 3, pp. 10-31, June 1996.
K. N. Sivarajan, R.J. McEliece, and J.W. Ketchum, “Channel assigment
in cellular radio”, in Proc. 39th IEEE Veh. Technol. Soc. Conf, may
1989, pp. 846-850.
Carlos Iván Páez Rueda él nació en Cúcuta, Norte
de Santander – Colombia en 1973. Él se graduó
como ingeniero electrónico de la Universidad
Pontificia Javeriana en el año 1997, Magíster en
Eléctrica de la Universidad de los Andes en el año
2002.
Su experiencia como profesional se encuentra
en el área de diseño de redes Celulares de
tecnología FDMA, TDMA y CDMA. Actualmente
se desempeña como docente e investigador en la
FUSM. Su campo de interés se encuentra en el
diseño, simulación y optimización de problemas aplicados en la ingeniería de
Telecomunicaciones.
Luis E. Ruiz Gordillo. Él nació en Bogotá Colombia en 1979. él se graduó como ingeniero
Electrónico y de Telecomunicaciones de la FUSM
en el año 2004.
Sus intereses son los sistemas móviles y la
aplicación de los Algoritmos Genéticos a problemas
de optimización en Telecomunicaciones.
ISBN-958-33-6534-3. Segundo Congreso Internacional de la Región Andina ANDESCON 2004.