1.2 la implicación lógica

ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
1.2 LA IMPLICACIÓN LÓGICA
Dada la función vital que tiene la implicación en la construcción de las argumentaciones
lógicas y en consecuencia en la estructuración del proceso demostrativo, es necesario
adelantar su estudio; y por ello se consideran los siguientes elementos:
M
a
U te
so ri
a
no l e
co du
m ca
er tiv
ci o
al
1.2.1 Definición. El condicional.
Si R y S son proposiciones, entonces la proposición R  S se denomina condicional de R y S.
La figura lógica del condicional responde a la conexión de dos proposiciones mediante el
esquema “Si….., entonces,….”.
La proposición R  S puede leerse de cualquiera de las siguientes formas:
Si R, entonces S.
R es suficiente para S.
S es necesario para R.
R sólo si S.
S siempre que R.
En este condicional, la proposición R se denomina antecedente y la preposición S se denomina
consecuente.
1.2.2 Definición. La implicación lógica.
Cuando el condicional es lógicamente verdadero, se dice que existe la implicación lógica y, en
este caso, se lee la expresión como:
R implica S.
La cual se denota R  S .
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
Es importante anotar, en este caso, el significado intuitivo que adquieren el antecedente y el
consecuente en las diferentes lecturas del condicional, así:
R es suficiente para S. Se entiende como “basta que se dé R para que ocurra S”. Se puede
concebir la implicación en estos términos como un compromiso en el sentido de que si se da el
antecedente, entonces tiene que darse el consecuente.
M
a
U te
so ri
a
no l e
co du
m ca
er tiv
ci o
al
Ahora, si no se da el antecedente, no hay compromiso y, por tanto, el consecuente puede darse o
no. Bien podría hablarse de un consecuente multicausado, en el sentido que causas diferentes
pueden conducir a la misma consecuencia.
S es necesario para R. Se entiende como: “Si no se da S, entonces, no se da R”. Ésta acepción es
en la práctica muy importante para comprender como se verá posteriormente la equivalencia
entre una implicación y su contrarrecíproca.
Además, puede utilizarse como un excelente criterio para determinar, en situaciones
concretas, si un condicional es o no verdadero, cuando la lectura directa “Si R, entonces S” no
es clara para el lector, si lo puede ser “Si no S, entonces, no R”.
Nota: Aunque el término implicación se utiliza estrictamente para designar un condicional
lógicamente verdadero, es usual en el lenguaje corriente llamar implicaciones a todas las
proposiciones de la forma si…., entonces,…., y en este sentido amplio la utilizaremos.2
1.2.3 Definición. El bicondicional.
Si R y S son proposiciones, entonces, la proposición R  S  y S  R  se nota R  S y se
denomina bicondicional de R y S.
La proposición R  S puede leerse de cualquiera de las siguientes formas:
R si y solo si S.
2
Las convenciones usuales utilizadas para diferenciar en la escritura el condicional de la
, , no se emplearan en adelante, pero el contexto permite precisarlas. Lo
mismo ocurre con el bicondicional y la equivalencia lógica ,  . N del A.
implicación lógica
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
R es suficiente y necesario para S.
Y recíprocamente de S respecto a R.
1.2.4 Definición. Equivalencia lógica.
Cuando el bicondicional es lógicamente verdadero, se dice que hay equivalencia. En este caso
M
a
U te
so ri
a
no l e
co du
m ca
er tiv
ci o
al
se lee:
R equivale a S.
Y se denota: R  S .
1.2.5 Definición. Implicaciones asociadas.
Dada una implicación R  S se identifican las siguientes implicaciones asociadas:
noR  noS
que se llama implicación contraria.
SR
que se llama implicación recíproca.
noS  noR
que se llama implicación contrarrecíproca (contraria de la recíproca).
Se puede establecer el siguiente cuadro de relaciones entre las implicaciones asociadas.
Recíprocas
Contrarrecíprocas
Contrarias
Contrarias
Recíprocas
Figura 1
Ilustración Nº1
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Dada la proposición: “Si un triángulo es rectángulo, entonces tiene dos ángulos agudos”.
Tomado esta implicación, que es verdadera, determinemos las implicaciones asociadas y sus
respectivos valores de verdad.
Implicación contraria: “Si un triángulo no es rectángulo, entonces, no tiene dos ángulos
agudos”.
M
a
U te
so ri
a
no l e
co du
m ca
er tiv
ci o
al
Esta proposición es falsa, porque podemos mostrar al menos un caso (contraejemplo)3 en el
cual el antecedente es verdadero, pero el consecuente es falso, como lo indica la figura
siguiente.
Figura 2
Implicación recíproca: “Si un triángulo tiene dos ángulos agudos, entonces, es un triángulo
rectángulo”.
Esta proposición es falsa, y podemos utilizar el contraejemplo anterior.
Implicación contrarrecíproca: “Si un triángulo no tiene dos ángulos agudos, entonces, el
triángulo no es rectángulo”.
Esta proposición es verdadera. ¿Por qué?
Ilustración Nº2
Dada la proposición: “Si un cuadrilátero convexo tiene sus cuatro ángulos congruentes,
entonces, el cuadrilátero tiene sus cuatro lados congruentes”.
3
Consultar en la sección 1.4.5.
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
Determinemos, el valor de verdad de esta implicación y el de las implicaciones asociadas.
La implicación anterior es falsa, puesto que en la figura siguiente podemos indicar un
M
a
U te
so ri
a
no l e
co du
m ca
er tiv
ci o
al
contraejemplo.
Figura 3
Implicación contraria. “Si un cuadrilátero convexo, no tiene sus cuatro ángulos congruentes,
entonces, el cuadrilátero no tiene sus cuatro lados congruentes”.
Esta proposición es falsa porque podemos mostrar al menos un caso (contraejemplo) en el
cual el antecedente es verdadero, pero el consecuente es falso, como lo indica la figura
siguiente.
  Ĉ , B̂  D̂ pero   B̂
Figura 4
Implicación recíproca. “Si un cuadrilátero convexo tiene sus cuatro lados congruentes,
entonces, el cuadrilátero tiene sus cuatro ángulos congruentes”.
Esta proposición es falsa, la figura inmediatamente anterior es un contraejemplo.
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Implicación contrarrecíproca. “Si un cuadrilátero convexo no tiene sus cuatro lados
congruentes, entonces, el cuadrilátero no tiene sus cuatro ángulos congruentes”.
Esta proposición es falsa, y la primera figura nos muestra un contraejemplo.
Como veremos posteriormente, toda implicación y su contrarrecíproca tienen el mismo valor
de verdad pues son proposiciones equivalentes.
M
a
U te
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1.2.6 Equivalencias lógicas fundamentales, en el cálculo proposicional,
cuantificacional y la teoría de conjuntos
1.
P  Q : P  Q .
2.
P  Q : P  Q   Q  P  .
3. a. P  P , b. P  P , c. P  P  P  , d. P  P  P  .
4.
P  Q   Q  P  Ley del contrarrecíproco.
5.
P  Q   P  Q  .
6. a. P  Q   P  Q  , b. P  Q   P  Q 
c. P  Q   P  Q 
7. a. P  Q  R   P  Q   P  R  , b. P  Q  R   P  Q   P  R  .
8. a. P  Q  R   P  Q   R , b. P  Q  R   P  Q   R .
9.
x Px   x Px  .
10. x Px   x Px  .
11. x P  Q   x P   x Q  .
12. x P  Q   x P   x Q  .
Las siguientes equivalencias se cumplen siendo A y B conjuntos.
13. A  B : x x  A  x  B .
14. A  B : x x  A  x  B  .
15. A  B  x x  A  x  B  .
16. x  A  B  x  A  x  B 
x  A  B  x  A  x  B  .
17. x  A  B  x  A  x  B 
x  A  B  x  A  x  B  .
18. x  A  B  x  A  x  B 
x  A  B  x  A  x  B  .