Determinar, de manera totalmente general, la inversa de una matriz 2x2. Solución: Sea a b A= c d una matriz 2x2 totalmente general. Denotemos a la inversa por la derecha como x1 x2 x3 x4 Debemos tener a b x1 x2 ax1 + bx3 ax2 + bx4 1 0 = = c d x3 x4 cx1 + dx3 cx2 + dx4 0 1 que nos da un sistema de 4 ecuaciones con 4 incognitas 1 0 1 0 10 1 x1 a 0 b 0 B 0 a 0 b C B x2 C B 0 C C=B C B CB @ c 0 d 0 A @ x3 A @ 0 A 1 x4 0 c 0 d Este sistema lo podemos resolver con 1 0 el método de reducción de Gauss-Jordan, 0 1 a 0 b 0 1 a 0 b 0 1 B a 0 b 0 C B 0 a 0 b 0 C c C B c0 B C c C @ c 0 d 0 0 A a R1 + R3 B a+c 0 b+d 0 c=a A @ ! a a 0 c 0 d 1 0 c 0 d 1 0 1 1 0 a 0 b 0 1 a 0 b 0 1 B 0 a 0 b 0 C B 0 a 0 b 0 C C C c R2 + R4 B B B 0 0 d bc=a 0 c=a C @ 0 0 d bc=a 0 c=a A a @ A c c ! 0 a+c 0 b+d 1 0 c 0 d 1 a a 0 1 0 a 0 b 0 a 0 b 0 1 B b C B 0 a B b 0 a 0 (d bc=a) + b 0 b 0 C B R4 + R2 B d bc=a B @ 0 0 d bc=a 0 c=a A d bc=a 0 ! @ 0 0 d bc=a 0 0 0 d bc=a 1 0 0 0 d bc=a 0 0 1 b a 0 (d bc=a) + b a 0 b 0 1 B d bc=a B C b B B 0 a C b 0 0 B 0 a B 0 d bc=a C B C d bc=a R3 + R1 B B @ 0 0 d bc=a A 0 c=a @ ! 0 0 d bc=a 0 0 0 d bc=a 1 0 0 0 d 0 1 1 0 d d a 0 0 0 a 1 0 0 0 B C B ad bc C ad bc B C R1 R2 B C 1 b b B 0 a C C B 0 0 0 1 0 0 ; B C B d bc=a C a a B a d bc=a C B C ! @ 0 0 d bc=a @ 0 0 d bc=a A A 0 c=a 0 c=a 0 0 0 0 1 0 B B B 0 1 B B @ 0 0 d 0 0 0 1 0 0 d bc=a 0 0 0 bc=a 0 d 0 bc=a B B B 0 1 0 0 B B B 0 0 1 0 B @ 0 0 0 1 d 0 1 0 0 1 1 b bc 0 0 d bc=a d B 1 0 0 0 B C B 0 1 0 0 ad bc C b 1 R4 B C R3 B ; B a d bc=a C C d bc=a d bc=a B 0 0 1 0 B A ! c=a B @ 1 0 0 0 1 C C C ad bc C C c C C ad bc A a ad bc ad 0 1 1 d ad b ad bc 1 bc=a c=a d bc=a 1 d bc=a 1 C C C C C C C C C A 1 b d bc=a c=a 1 0 0 0 bc=a d 1 C C C C A b ( c bc=a b d bc= c=a 1 Por tanto, d x1 = ad bc b x2 = ad bc c x3 = ad bc a x4 = ad bc Es claro que det A = det a b c d = ad bc así que d det A b x2 = det A c x3 = det A a x4 = det A y …nalmente tenemos la matriz inversa 1 d b A 1= c a det A Es fácil veri…car que esta matriz es también la inversa por la izquierda, 1 d b a b 1 0 A 1A = = c a c d 0 1 det A x1 = 2