Solución de la Ecuación de Transporte en Ordenadas Discretas y

Simposio LAS/ANS 2007 / 2007 LAS/ANS Symposium
XVIII Congreso Anual de la SNM / XVIII SNM Annual Meeting
XXV Reunión Anual de la SMSR / XXV SMSR Annual Meeting
Copatrocinado por la AMEE / Co-sponsored by AMEE
Cancún, Quintana Roo, MÉXICO, del 1 al 5 de Julio 2007 / Cancun, Quintana Roo, MEXICO, July 1-5, 2007
Solución de la Ecuación de Transporte en Ordenadas Discretas
y Geometría Hexagonal para Varias Condiciones de Simetría
Edmundo del Valle Gallegos§, César Adrián Múgica Rodríguez
Instituto Politécnico Nacional
Escuela Superior de Física y Matemáticas
Av. IPN s/n, Col. Lindavista, México, D. F., 07738, MEXICO
evalle@esfm.ipn.mx; cmugica@ipn.mx.
Ernest H. Mund
Université Libre de Bruxelles
Service de Métrologie Nucléaire (CP 165/84)
B-1050 Bruselas, Bélgica
emund@ulb.ac.be
Resumen
En este trabajo se resuelven las ecuaciones de transporte de neutrones en geometría
hexagonal utilizando dos esquemas nodales tipo elemento finito fuertemente discontinuos
denominados SD3 y SD8 (de sus siglas en inglés Strongly Discontinuous). La técnica fue
formalmente desarrollada por del Valle y Mund para dos esquemas nodales tipo elemento
finito débilmente discontinuos denominados WD3 y WD8 (de sus siglas en inglés Weakly
Discontinuous) y para núcleos completos que consiste en descomponer cada hexágono en
tres rombos y posteriormente cada rombo es convertido en un cuadrado mediante una
transformación de Gordon y Hall. Se describe la aplicación en cada caso así como un
problema de referencia para los que se proporcionan resultados para el factor de
multiplicación efectivo así como el flujo escalar de neutrones promediado por ensamble.
Se realizó una comparación con los resultados obtenidos previamente por del Valle y
Mund para diferentes mallas de discretización. En lo particular se desarrollaron los
programas THG-SD y HexCoreViewTool que permiten resolver las ecuaciones de
transporte en geometría hexagonal usando los esquemas nodales mencionados y visualizar
gráficamente los resultados que el primero provee. Una de las características de estos
programas en que pueden resolver el problema para núcleo completo y tres diferentes
condiciones de simetría: mitad de núcleo (simetría π ), un tercio de núcleo ( 2π / 3 ) y un
sexto de núcleo ( π / 3 ) lo que permite reducir considerablemente el tiempo de cómputo
así como los requisitos de memoria respecto del problema de núcleo completo, que era el
que resolvía el programa THG. Los problemas benchmark utilizados y las comparaciones
realizadas con los resultados reportados en la literatura con el código TWOHEX permiten
afirmar que no obstante que THG-SD no considera el flujo de neutrones re-entrante las
diferencias entre los flujos escalares de grupo promediados por región no exceden el 3
por ciento, mientras que el factor de multiplicación efectivo no rebasa el 0.5 por ciento.
§
Becario COFAA-IPN
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1. INTRODUCCIÓN
En este trabajo se describe la forma en que se aplican los esquemas nodales polinomiales de
elemento finito fuertemente discontinuos SD3 y SD8, desarrollados por J. P. Hennart y E. del Valle
en 1997 [1], para discretizar y resolver las ecuaciones de transporte de neutrones en ordenadas
discretas y estado estacionario en núcleos formados por ensambles de combustible hexagonales
siguiendo el método desarrollado por del E. del Valle y E. H. Mund [2,3] que consiste en dividir
un hexágono en tres rombos que son transformados en cuadrados mediante una transformación
transfinita de Gordon y Hall utilizando los esquemas débilmente discontinuos WD3 y WD8 [1]. Se
desarrollaron dos herramientas computacionales designadas por THG-SD y HexCoreViewTool
[4]. La primera, basada en lenguaje FORTRAN que resuelve en forma aproximada las ecuaciones
de transporte considerando cuatro posibles configuraciones: a) sin simetría (núcleo completo), b)
simetría π (mitad del núcleo), c) simetría 2π / 3 (tercera parte del núcleo), y d) simetría π / 3
(sexta parte del núcleo). La segunda, HexCoreViewTool, basada en lenguaje MATLAB, es una
herramienta desarrollada como extensión complementaria para THG-SD la cual permite
visualizar los resultados obtenidos en forma gráfica en mapa de colores y en forma numérica lo
que hace muy funcional a esta pareja de programas. Los problemas benchmark o de prueba
utilizados y las comparaciones realizadas con los resultados reportados en la literatura con el
código TWOHEX permiten afirmar que no obstante que THG-SD no considera el flujo de
neutrones re-entrante las diferencias entre los flujos escalares de grupo promediados por región
no exceden el 3 por ciento, mientras que el factor de multiplicación efectivo no rebasa el 0.5 por
ciento. En cuanto a los tiempos de cómputo requeridos para resolver un problema dado con
simetría 2π/n donde n es un entero que puede tomar los valores 2, 3 y 6, es 100%/ n en relación
al caso de núcleo completo. En cuanto a precisión, la solución que ofrecen los esquemas nodales
fuertemente discontinuos SD3 y SD8 es prácticamente la misma que se obtiene con los esquemas
débilmente discontinuos WD3 y WD8 cuando la malla es cada vez más y más fina. También, los
estudios realizados permiten asegurar que la solución de un problema dado con malla gruesa (1x1
por rombo) para una aproximación de ordenadas discretas SN usando el esquema SD8 tiene una
precisión similar a la que da la solución obtenida con una malla fina (4x4 por rombo) usando el
esquema SD3. Los ahorros en los requisitos básicos de memoria para resolver un problema dado
aprovechando las simetrías del mismo son sustanciales al igual que los tiempos de CPU
utilizados para resolver el problema bajo estas condiciones lo que permite obtener resultados aún
más precisos una vez que se tomen en cuenta los neutrones que regresan al sistema.
2. LA ECUACIÓN DE TRANSPORTE EN GEOMETRÍA HEXAGONAL
Consideraremos como punto de partida la ecuación de transporte de neutrones monoenergéticos
en ordenadas discretas [5,6], en 2D, en un dominio dado V, que es la unión de ensambles
hexagonales de combustible nuclear con propiedades homogéneas:
µk
M
∂ψ k
∂ψ k
+ν k
+ Σ tψ k = Σ s ∑ wλψ λ + S k (≡ Qk ),
∂x
∂y
λ=1
(x , y ) ∈ V ,
1≤ k ≤ M.
(1)
En esta ecuación, ψ k representa el flujo angular corespondiente al k-ésimo rayo de la
aproximación angular de ordenadas discretas, también conocida como aproximación SN, con
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coeficientes angulares µ k y ν k , siendo M el número total de rayos. El lado derecho de la Ec. (1),
Qk , incluye las contribuciones debidas a las dispersiones y a las fisiones o a una fuente de
neutrones independiente del flujo. Los coeficientes wλ son pesos de cuadratura asociados a las
direcciones angulares (µ λ , vλ ) correspondientes al método de ordenadas discretas utilizado. En
este trabajo la esfera unitaria correspondiente al ángulo sólido se divide en seis sextantes
(Ω1 ,Κ , Ω 6 ) que se muestran en la Figura 1a. El número total de rayos asociados a la
aproximación SN en 2D está dado por:
M=3N(N+2)/4 (para geometría XY M es N(N+2)/2).
A manera de ejemplo, los puntos sobre la Figura 1(a) denotan a las 18 ordenadas discretas que
corresponden a la aproximación S4. La parte derecha (Figura 1b) muestra la distribución de los
sextantes en un hexágono en particular. En un trabajo relacionado, del Valle y Mund [2,3]
adoptaron el conjunto de ordenadas discretas que utiliza el código DIAMANT2 [7] el cual utiliza
elementos triangulares para descomponer un hexágono y tratar este tipo de geometría.
Figura 1. (a) Sectores angulares (código DIAMANT2) y conjunto
de ordenadas discretas para la aproximación,
(b) Sectores angulares en la partición en rombos de un hexágono genérico.
2.1 Técnica de Descomposición de un Hexágono
Como ya se ha mencionado, cada hexágono es dividido en tres rombos, tal y como se muestra en
la Figura 2, que son a su vez convertidos en cuadrados mediante transformaciones de Gordon y
Hall. Por ejemplo, si se considera el rombo A en su sistema coordenado (x,y), entonces la
transformación de Gordon y Hall, que lo convierte en un cuadrado en el sistema coordenado
(ξ ,η ) , estará dada por:
x = a (ξ − 1) / 2 ,
y = b(η + (ξ + 1) / 2 ),
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(2)
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donde a = R 3 / 2 y b = R / 2 , siendo R la longitud de cada lado del hexágono.
Figura 2. Descomposición de un hexágono en las celdas de referencia V = [− 1,+1] .
2
Una vez que se aplica la transformación a la Ec. (1), se obtiene una nueva ecuación transformada
dada por:
µˆ k
∂ψ k
∂ψ k ˆ
+ νˆ k
+ Σ tψ k =Q̂ k ,
∂ξ
∂η
(ξ ,η ) ∈ V ,
k = 1,Κ , M ,
(3)
donde:
µˆ k = µ k ,

,


(4)
3R
Qk .
4
(5)
ν k 3 − µ k
2

νˆ k = 
y
Σˆ t =
3R
Σt ,
4
Q̂k =
Procediendo de manera análoga se obtienen las expresiones para los rombos B y C.
2.2 Técnica de Solución de la Ecuación de Transporte
Una vez que se obtienen las ecuaciones transformadas (4) y (5) para cada rombo A, B y C se
aplican los métodos nodales de elemento finito fuertemente discontinuo SD3 y SD8 a cada una de
las celdas en que se subdivida cada cuadrado, un total de N H × N V , donde NH es el número de
particiones en la dirección horizontal y NV en la dirección vertical.
En el método SD3 el flujo angular es aproximado mediante una función polinomial que interpola
tres parámetros que son sus valores promedio en las caras derecha y superior así como el
promedio de celda. En el método SD8 son 8 los parámetros que interpola dicha función de
aproximación los que corresponden a los momentos de Legendre 0 y 1 de las caras derecha y
superior así como los momentos de Legendre (00), (10), (01), y (11) del flujo en la celda.
Suponiendo que ψ ( x, y ) es aproximada por ψ h ( x, y ) ∈ S , los momentos de Legendre de celda de
ψ h están definidos sobre V por la expresión:
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ψ Cij := ∫
+1 +1
∫
−1 −1
Pij ( x , y )ψ h ( x , y )dxdy / (N i ⋅ N j ) .
(6)
y los momentos de cara están definidos por:
+1
ψ Ei := ∫ Pi (s E )ψ h ( x E , y E )ds E / N i ,
(7)
−1
donde E denota R, o T, para la cara derecha y la cara superior de la celda, siendo xE o yE iguales a
1 dependiendo de la cara particular que se considere, siendo la otra coordenada s E , la coordenada
a lo largo de esa cara y donde Pij ( x, y ) = Pi ( x )Pj ( y ) , siendo Pi ( x ) el polinomio de Legendre de
grado i el cual tiene las siguientes propiedades:
Pi (+ 1) = 1, Pi (− 1) = (− 1) ,
i
y
∫
+1
−1
Pi ( x )Pj ( x )dx = N i δ ij , con N i = 2 / (2i + 1)
(8)
El espacio polinomial, Sh, donde se construye la función de interpolación se puede definir en
términos del los espacio polinomial Q ij ( x, y ) ≡ x a y b | 0 ≤ a ≤ i, 0 ≤ b ≤ j , donde a y b son
enteros no negativos. Así, los métodos nodales fuertemente discontinuos de índice m, SDm, donde
m=(k +1)(k+3), con k un entero no negativo, se puede definir como:
{
[ {
}
}
]
SDm = D ≡ ψ Ei ,ψ Cij ,i , j = 0 ,Κ , k , S h ≡ {Q k +1,k (x , y ) + Q k , k +1 (x , y )} .
(9)
La Figura 3 muestra el espacio polinomial y los parámetros de interpolación para cada uno de
estos dos esquemas fuertemente discontinuos SD3 y SD8 (3 y 8 respectivamente), utilizados en el
presente trabajo para resolver la ecuación de transporte en geometría hexagonal.
Figura 3. Espacio polinomial y parámetros de interpolación para los esquemas SD3 y SD8.
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3. DESCRIPCIÓN DEL PROBLEMA BECNHMARK
Son dos los problemas benchmark que se consideraron en este trabajo, ambos en versiones sin
barras de control y con barra de control. La configuración para 1/12 de núcleo del primer
problema benchmark considerado en este trabajo, el así llamado SNR modificado [8,9], se
muestra en la Figura 4. Este problema se compone de 5 regiones y la solución con THG-SD se
realizó con los datos para los 4 grupos de energía que especifica el citado problema. El problema
plantea en realidad dos opciones: a) con las barras de control insertadas (CRI, de sus siglas en
inglés Control Rods In) y b) con las barras de control extraídas (CRO, de sus siglas en inglés
Control Rods Out)). Ambas opciones se resolvieron con THG-SD denotando con SNR-CRI a la
primera y con SNR-CRO a la segunda. Sin embargo por limitaciones de espacio sólo se
presentarán los resultados obtenidos para el primero de ellos con las barras de control insertadas.
Aunque THG-SD no tiene la capacidad de resolver para 1/12 de núcleo dado que el mínimo
objeto en que puede dividirse cada hexágono utilizando la transformada transfinita de GordonHall es un rombo y no un triángulo como lo hacen diversos programas de cómputo utilizando
diferencias finitas [ 7 ].
Figura 4. Configuración de 1/12 de núcleo del problema benchmark SNR modificado.
4. RESULTADOS NUMÉRICOS
Los resultados numéricos, obtenidos con el programa de cómputo desarrollado THG-SD, para
este problema benchmark, también denominado de referencia o de prueba, se muestran en la
Tablas I y II para el esquema nodal SD3 utilizando diversas configuraciones de núcleo,
aproximaciones angulares, y mallas espaciales por rombo, reportando en las tablas lo siguiente:
a) el factor de multiplicación efectivo ( keff ), b) los requisitos básicos de memoria para cada
problema c) el porcentaje de ésta que requiere una configuración en relación a la que requiere la
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de núcleo completo ( 2π ), d) el tiempo de CPU en segundos y e) el porcentaje de éste que
requiere resolver una configuración de núcleo dada en relación al tiempo que requiere resolver la
de núcleo completo.
Empezando con la Tabla I, en ésta se puede ver que keff es la misma sin importar si el cálculo se
realizó con el núcleo completo, o con la mitad de éste, la tercera parte o la sexta parte. En cuanto
a los requisitos básicos de memoria (M) para realizar el cálculo se observa que al realizar el
cálculo con la mitad del núcleo el porcentaje utilizado con respecto al cálculo a núcleo completo
es de 51.7% (cercano a 100%/2). Pasando a la configuración 2π / 3 dicho porcentaje se reduce al
35% (cercano a 100%/3) y finalmente para la configuración π / 3 se llega a un 18.4% (cercano a
100%/6). En cuanto a los tiempos de CPU ocurre algo semejante. Esto apunta a que tanto la
memoria básica como el tiempo de CPU para resolver un problema dado es aproximadamente
100%/n donde n es 1 para núcleo completo, 2 para el núcleo mitad, 3, resolviendo la tercera
parte del núcleo y 6 cuando se resuelve solamente la sexta parte del núcleo. Otro aspecto
importante que se muestra en la Tabla I, la cual corresponde a un mallado interior por rombo de
1x1, es la forma en que keff se va acercando asintóticamente al valor de mejor aproximación
angular, es decir la aproximación S8. Resultados similares se concluyen de la Tabla II, que
corresponde a un mallado 2x2 por rombo.
Tabla I. Resultados con SD3 para el Problema SNR-CRI Usando una Malla 1x1
SN
S2
S4
S6
S8
Núcleo Memoria
2π
401172
π
207252
2π/3
140592
π/3
73932
2π 1068468
π
551988
2π/3
374448
π/3
196908
2π 2069412
π 1069092
2π/3
725232
π/3
381372
2π 3404004
π 1758564
2π/3 1192944
π/3
627324
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keff
1.13229
1.13229
1.13229
1.13229
1.13403
1.13403
1.13403
1.13404
1.13419
1.13419
1.13419
1.13419
1.13424
1.13424
1.13424
1.13424
341
t(s)
%M(2π) %t(2π)
88.07
100.0
100.0
45.32
51.7
51.5
31.77
35.0
36.1
16.71
18.4
19.0
242.14
100.0
100.0
124.03
51.7
51.2
83.46
35.0
34.5
42.28
18.4
17.5
471.37
100.0
100.0
240.67
51.7
51.1
162.57
35.0
34.5
82.25
18.4
17.4
777.87
100.0
100.0
399.09
51.7
51.3
269.35
35.0
34.6
136.84
18.4
17.6
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Tabla II. Resultados con SD3 para el Problema SNR-CRI Usando una Malla 2x2
SN
S2
S4
S6
S8
Núcleo Memoria
2π 1286928
π
664848
2π/3
451008
π/3
237168
2π 3384144
π 1748304
2π/3 1185984
π/3
623664
2π 6529968
π 3373488
2π/3 2288448
π/3 1203408
2π 10724400
π 5540400
2π/3 3758400
π/3 1976400
keff
1.13321
1.13321
1.13321
1.13321
1.13485
1.13485
1.13485
1.13485
1.13498
1.13497
1.13497
1.13497
1.13501
1.13500
1.13500
1.13501
t(s)
%M(2π) %t(2π)
291.17
100.0
100.0
148.87
51.7
51.1
99.94
35.0
34.3
48.96
18.4
16.8
819.43
100.0
100.0
421.29
51.7
51.4
280.83
35.0
34.3
142.09
18.4
17.3
1717.35
100.0
100.0
836.58
51.7
48.7
560.00
35.0
32.6
281.99
18.4
16.4
2677.46
100.0
100.0
1302.40
51.7
48.6
866.81
35.0
32.4
466.74
18.4
17.4
Utilizando la herramienta de visualización HexCoreViewTool desarrollada se obtienen, para el
problema benchmark SNR-CRI usando el esquema nodal SD3, la aproximación S2 y una malla
espacial de 4x4 por rombo: a) la configuración del núcleo que se resuelve y b) los flujos escalares
correspondientes a cada uno de los cuatro grupos de energía. La Figura 5 muestra la
configuración y la 6 el flujo escalar que corresponde al primer grupo de energía. Aún en estas dos
figuras se puede apreciar la simetría que presenta el problema ya que en este caso se podría trazar
una línea recta que partiendo del centro del reactor hacia afuera lo divida justamente a la mitad y
lo que se observa es que los flujos escalares promediados por celda que se ubican sobre el eje y
son prácticamente iguales a los que se encuentran en la línea recta a -60 grados.
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Figura 5. Mapa de la distribución del núcleo del problema SNR-CRI
para una configuración de un sexto de núcleo ( π / 3 ).
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Figura 6. Distribución del flujo escalar de neutrones promediado por celda
para el primer grupo de energía , problema SNR-CRI ( π / 3 ).
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La Tabla III muestra los resultados obtenidos para el problema SNR-CRI usando simetría π/3,
malla espacial 1x1, 2x2 y 4x4, discretizaciones angulares S2, S4, S6 y S8, y esquemas nodales
polinomiales SD3, SD8, WD3 y WD8. De esta tabla se puede observar que el factor de
multiplicación efectivo keff va siendo prácticamente el mismo conforme la malla espacial va
siendo cada vez más y más fina (ver filas correspondientes a la malla 4x4), siendo la diferencia
para el caso de la malla espacial más fina del orden de la tolerancia utilizada en los cálculos es
decir no mayor a 10-5. Otro aspecto que se puede ver de esta misma tabla es que conforme la
aproximación angular va siendo cada vez más precisa, es decir al pasar de S2 a S4 a S6 y
finalmente a S8, la keff tiende a un valor, que redondeado a 4 dígitos, prácticamente no cambia.
Tabla III. Resumen de resultados obtenidos para keff para el problema SNR-CRI.
S2
S4
Malla
SD3
SD8
SD3
SD8
1x1 1.13229 1.13328 1.13404 1.13488
2x2 1.13321 1.13342 1.13485 1.13500
4x4 1.13340 1.13344 1.13499 1.13501
S2
S4
Malla
WD3
WD8
WD3
WD8
1x1 1.13273 1.13319 1.13438 1.13478
2x2 1.13325 1.13341 1.13487 1.13498
4x4 1.13340 1.13344 1.13499 1.13502
S6
S8
SD3
SD8
SD3
SD8
1.13419 1.13499 1.13424 1.13502
1.13497 1.13510 1.13501 1.13512
1.13511 1.13512 1.13513 1.13514
S6
S8
WD3
WD8
WD3
WD8
1.13450 1.13489 1.13453 1.13491
1.13497 1.13508 1.13450 1.13510
1.13510 1.13513 1.13511 1.13514
Antes de finalizar esta sección de resultados numéricos, la Tabla IV muestra los flujos escalares
de cada uno de los cuatro grupos de energía promediados por región así como las diferencias
porcentuales con los resultados de referencia reportados con el código TWOHEX [10,11]
utilizando 96 triángulos por hexágono para el problema SNR con las barras de control insertadas
(CRI). No obstante que los resultados reportados con TWOHEX consideran el flujo de neutrones
re-entrante y THG-SD no, se consideró importante incluir esta comparación para dar evidencia
numérica de: a) que las mayores diferencias están en la región del cobertor radial que está justo
en la frontera del núcleo, b) que un cálculo con el esquema SD3 usando una malla 4x4 es similar
en precisión al cálculo realizado usando el esquema SD8 con una malla 1x1, y c) que son mayores
las diferencias en el caso SNR-CRI que en el SNR-CRO, particularmente en lo que se refiere al
factor de multiplicación efectiva. Como información complementaria un cálculo como el
señalado en b) usando el esquema SD3 y la malla 4x4 es 2.5 veces más tardado que si se usa el
esquema SD8 con una malla 1x1.
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Tabla IV. Flujos Escalares de Cada Grupo de Energía Promediados por Región y
Diferencias Porcentuales con los Resultados de Referencia para el Problema SNR-CRI
Región
Referencia
(TWOHEX-96∆)
SNR-CRI
SD3
(4 × 4)
154.762
88.165
13.416
89.404
146.206
154.798 (-0.015)
87.469 (+0.789)
13.255 (+1.197)
89.131 (+0.305)
146.447 (-0.165)
154.818 (-0.036)
87.466 (+0.793)
13.258 (+1.177)
89.142 (+0.293)
146.503 (-0.203)
781.163
394.941
118.211
437.949
83.148
778.599 (+0.328)
389.249 (+1.441)
115.743 (+2.088)
428.271 (+2.210)
82.999 (+0.179)
778.635 (+0.324)
389.219 (+1.449)
115.734 (+2.095)
428.494 (+2.159)
83.019 (+0.155)
70.550
33.030
17.420
29.630
88.714
70.308 (+0.343)
32.541 (+1.481)
17.018 (+2.305)
29.101 (+1.785)
88.505 (+0.235)
70.300 (+0.354)
32.543 (+1.473)
17.004 (+2.390)
29.155 (+1.601)
88.337 (+0.424)
12.379
4.983
5.429
2.590
18.229
1.13890
12.337 (+0.337)
4.9064 (+1.541)
5.274 (+2.851)
2.549 (+1.564)
18.171 (+0.318)
1.13499
0.344
12.332 (+0.378)
4.907 (+1.521)
5.266 (+3.006)
2.555 (+1.338)
18.111 (+0.647)
1.13488
0.353
Grupo 1
Núcleo Interior
Núcleo Exterior
Cobertor Radial
Absorbedor
Seguidor
Grupo 2
Núcleo Interior
Núcleo Exterior
Cobertor Radial
Absorbedor
Seguidor
Grupo 3
Núcleo Interior
Núcleo Exterior
Cobertor Radial
Absorbedor
Seguidor
Grupo 4
Núcleo Interior
Núcleo Exterior
Cobertor Radial
Absorbedor
Seguidor
keff
|εk| (%)
SD8
( 1× 1 )
4. CONCLUSIONES
Los resultados para la keff obtenidos con el programa THG-SD desarrollado en [4] usando los
esquemas fuertemente discontinuos SD3 y SD8 son cercanos a los obtenidos para los esquemas
WD5,3 y WD12,8 (débilmente discontinuos) obtenidos por E. del Valle y E. Mund [2,3], del orden
de 10-5 en lo que se refiere a la keff. Actualmente, dicho programa resuelve las ecuaciones de
transporte para núcleo completo (configuración 2π ), núcleo mitad (configuración π ), tercera
parte del núcleo (configuración 2π / 3 ) y sexta parte del núcleo (configuración π / 3 ), sin
embargo no toma en cuenta las condiciones de frontera de flujo re-entrante. No obstante los
resultados obtenidos para la keff así como para los flujos de cada grupo de energía promediados
por región dan prácticamente los mismos resultados si se resuelve sobre el núcleo completo, la
mitad del núcleo, la tercera o sexta parte de éste aprovechando la simetría que presente una
configuración dada.
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Proceedings IJM Cancun 2007 on CDROM
Congreso Internacional Conjunto Cancún 2007 / International Joint Meeting Cancun 2007
Los ahorros en los requisitos básicos de memoria para resolver un problema dado aprovechando
las simetrías del mismo son sustanciales al igual que los tiempos de CPU utilizados para resolver
el problema bajo estas condiciones lo que permitirá obtener resultados aún más precisos una vez
que se tomen en cuenta los neutrones que regresan al sistema. Los tiempos de cómputo
requeridos para resolver el problema con simetría 2π/n donde n es un entero que puede tomar los
valores 2, 3 y 6, es 100%/ n en relación al caso de núcleo completo.
En cuanto a las diferencias entre las keff obtenidas con los esquemas nodales aquí utilizados y los
empleados por del Valle y Mund para mallas gruesas se pueden atribuir a que la precisión que
presentan los esquemas SD3 y SD8 en el caso unidimensional, O(h3) y O(h5) [13,14]
respectivamente, mientras que para los esquemas WD3 y WD8 son O(h4) y O(h6) [12,14]. No
obstante lo anterior, es conocido que los esquemas WD3 y WD8 pueden producir oscilaciones de
origen numérico mientras que en los SD3 y SD8, dichas oscilaciones son atenuadas
considerablemente [14]. Esto último representa una ventaja para THG-SD sobre su predecesor
THG [14].
Una herramienta desarrollada como extensión complementaria para THG-SD es el programa
HexCore ViewTool, el cual permite visualizar los resultados obtenidos en forma gráfica en mapa
de colores y en forma numérica lo que hace muy funcional a esta pareja de programas y abre
opciones para desarrollar versiones que puedan visualizar ya no sólo en dos dimensiones los
resultados sino también en tres dimensiones así como el comportamiento del flujo de neutrones
en diferentes cortes transversales.
AGRADECIMIENTOS
Los primeros dos autores agradecen al Instituto Politécnico Nacional el apoyo recibido para la
realización de este trabajo a través del proyecto de investigación 20050154 de la Secretaría de
Investigación y Posgrado.
REFERENCIAS
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Maestría, ESFM-IPN (2007), México D.F.
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