Análisis de cointegraci´on y factores comunes en sistemas de

Análisis de cointegración y factores comunes en
sistemas de indicadores económicos
Ignacio Dı́az-Emparanza
11 de Junio, 1993
2
Índice general
1. Introducción
5
2. Modelos de factores comunes
2.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2. Modelos de tendencias comunes . . . . . . .
2.3. Modelos de factores estacionales comunes . .
2.4. Mod. de tendencias y factores estac. comunes
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3. Cointegración y factores comunes
3.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2. Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3. Relación entre cointegración y factores comunes . . . . . . . . .
3.3.1. Modelos con tendencias comunes . . . . . . . . . . . .
3.3.2. Modelos con factores comunes estacionales . . . . . . .
3.3.3. Modelos con tendencias y factores estacionales comunes
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4. Contrastes de r.u. y de cointegración
4.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2. Contrastes de raı́ces unitarias en la frecuencia cero . . . . . .
4.2.1. Contrastes de Dickey y Fuller . . . . . . . . . . . . .
4.2.2. Contraste de Bhargava . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.3. Contrastes de Phillips . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3. Contrastes de Cointegración en la frecuencia cero . . . . . . .
4.4. Contrastes de r.u. en las frecuencias estacionales . . . . . . . .
4.4.1. Contrastes de Hasza y Fuller . . . . . . . . . . . . . .
4.4.2. Contrastes de Dickey, Hasza y Fuller . . . . . . . . .
4.4.3. Contraste de Bhargava . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.4. Contraste de Hylleberg, Engle, Granger y Yoo (HEGY)
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5. Contrastes de integración estacional
5.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2. Contraste con un estadı́stico tipo F . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3. Potencia del contraste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.1. Hipótesis alternativas con igual módulo en todas sus raı́ces
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ÍNDICE GENERAL
5.3.2. Hipótesis alternativas con raı́ces de distinto módulo . . . . . . .
5.4. Series con estructura en el componente no estacional . . . . . . . . . .
5.5. Método de contraste basado en un estadı́stico de tipo t . . . . . . . . .
5.5.1. Potencia del contraste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5.1.1. Igual módulo en todas las raı́ces estacionales . . . . .
5.5.1.2. Hipótesis alternativas con raı́ces de módulo diferente
46
49
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53
53
54
Apéndices
5.A. Polinomio con raı́ces del mismo módulo . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.B. Modelos para hipótesis alternativas con diferente número de raı́ces unitarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
57
57
6. Estimación de modelos de factores comunes
6.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2. Estimación de modelos con tendencias comunes . . . . . . . . . . . . .
6.2.1. Maximización de la función de verosimilitud espectral del modelo
6.2.2. Método de estimación basado en el modelo de correción de error
6.3. Est. de mod. con factores comunes estacionales . . . . . . . . . . . . .
6.3.1. Maximización de la función de verosimilitud espectral del modelo
6.3.2. Método basado en el modelo de corrección de error . . . . . . .
6.3.2.1. Estimación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3.2.2. Estimación de factores completos . . . . . . . . . . .
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7. Indicadores económicos
7.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2. Modelo teórico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3. Indicadores cı́clicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3.1. Cointegración en sistemas de indicadores . . . . . .
7.3.2. Análisis de los indicadores de la Economı́a Española
7.3.2.1. Punto de partida . . . . . . . . . . . . . .
7.3.2.2. Estudio de cointegración . . . . . . . . .
7.3.2.2.1. El ciclo de referencia. . . . . . .
7.3.2.2.2. Indicadores adelantados . . . . .
7.3.2.2.3. Indicadores retrasados . . . . . .
7.3.3. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.4. Indicadores de producción . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.4.1. Cointegración completa . . . . . . . . . . . . . . .
7.4.2. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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106
112
8. Conclusiones
115
A. Los datos
119
B. Gráficos
121
Capı́tulo 1
Introducción
Los objetivos principales de los distintos métodos de análisis de series económicas
temporales son: en primer lugar, explicar el comportamiento que históricamente han
seguido los valores observados de las series, y en segundo lugar, obtener predicciones
para valores futuros de dichas series.
Para llevar a cabo tanto el primer como el segundo objetivo, es importante realizar
una observación detallada de cada una de las series de interés. La observación de series económicas proporciona una información que, más tarde, será utilizada de forma
diferente por cada uno de los distintos métodos de series temporales (modelos ARIMA,
modelos estructurales, etc) con vistas a conseguir alguno de los objetivos anteriormente
citados (o ambos).
El presente trabajo se va a centrar en series de datos temporales recogidos a intervalos de tiempo inferiores al año, tomando como referencia, mientras no se mencione
expresamente lo contrario, el perı́odo mensual.
La inspección visual de muchas series económicas temporales suele llevar a varias
conclusiones: por un lado, es frecuente que sus medias no sean constantes en el tiempo,
sino que muestren alguna tendencia (casi siempre creciente), y por otro lado, si las series
son mensuales o trimestrales, suelen presentar un comportamiento de tipo “periódico”
donde picos y valles se presentan “casi en los mismos perı́odos” cada año; esto se conoce
como estructura estacional. En la literatura de series temporales se suele considerar que
las series de datos de perı́odo inferior al año, están formadas por varios componentes,
que normalmente se resumen en tres: componente de tendencia, componente estacional
y componente irregular1 .
El componente de tendencia recoge las fluctuaciones de largo plazo, incluyendo
también las variaciones debidas a los ciclos económicos (o ciclos de negocios) si es que
existen en la serie.
El componente estacional recoge la evolución de la serie que es motivada por los
ciclos de frecuencias estacionales. Estos ciclos, normalmente se atribuyen a la influencia
de factores fı́sicos (clima, etc) o factores de tipo sociológico (costumbres) y, en cualquier
1
Algunos autores además mencionan un componente cı́clico, pero aquı́ este componente se considerará incorporado dentro de la tendencia (Uriel (1985), pág. 16)
5
6
CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN
caso son ciclos de perı́odo corto, aunque pueden ser permanentes a largo plazo.
El componente irregular refleja las variaciones no sistemáticas de la serie, que se
suponen aleatorias y no predecibles.
El comportamiento del componente de tendencia de una serie temporal ha sido ampliamente estudiado (Ver Fuller, 1976; Nerlove, Grether y Carvalho, 1979; Harvey, 1981,
1985, 1989, ,... etc). Al principio, el interés estuvo en la estimación de los componentes
de tendencia como estructuras deterministas; para ello se utilizaron diversos métodos,
siendo uno de los más aceptados el que considera como regresor a la variable tiempo
(ver p.ej Uriel, 1985). Este método se basa en el teorema de aproximación de Weierstrass, por el cual cualquier función continua definida sobre un intervalo compacto en la
recta real, puede ser uniformemente aproximado mediante un polinomio. Más adelante
se aceptaron modelizaciones con componentes estocásticos, en algunos modelos de forma implı́cita (modelos ARIMA y ARIMA estacionales) y en otros de forma explı́cita
(modelos UCARIMA y estructurales estocásticos).
El primer objetivo planteado al iniciar el presente trabajo fue el estudio sobre cointegración y factores de tendencia comunes aplicado a una clasificación de indicadores
económicos del ciclo de negocios realizada comparando los puntos crı́ticos (máximos
y mı́nimos locales) de una amplia gama de indicadores de la economı́a, respecto a un
indicador de referencia que supuestamente refleja las variaciones cı́clicas de la actividad económica en España. Se toma como base la clasificación realizada por (Fernández
Macho, 1991). Hay que señalar que al inicio de este trabajo no habı́an llegado a mi conocimiento la mayor parte de los trabajos sobre cointegración estacional y raı́ces unitarias
estacionales que ahora, a la finalización del mismo, se encuentran publicados y disponibles. En unos casos esto se debe a que su publicación ha sido bastante reciente, por
ejemplo: Hylleberg, Engle, Granger y Yoo (1990), Granger (1991), Lee (1992), etc; y en
otros casos debido al retraso en recibir la información (Por ejemplo, Engle, Granger y
Hallman, 1989). Ası́ que la primera dificultad que se ha tenido que afrontar es el hecho
de que toda la literatura conocida, en un principio, sobre cointegración, estaba basada
en la frecuencia cero y por lo tanto debı́a aplicarse a datos anuales o desestacionalizados. Sin embargo, en los últimos tiempos se ha producido bastante literatura en contra
de los procedimientos habitulaes de desestacionalización (P.ej.: Maravall, 1992), y si se
desea trabajar con indicadores cı́clicos el perı́odo de referencia ha de ser el mensual.
En concreto, para desarrollar el trabajo que nos habı́amos planteado se deberı́a trabajar
incluso con las mismas series de datos (mensuales) que (Fernández Macho, 1991) utilizaba. Solamente dos de los contrastes de raı́ces unitarias disponibles2 tenı́an en cuenta
la posibilidad de que las series presentaran raı́ces unitarias estacionales, pero en los dos
se contrastaba simultáneamente una raı́z unitaria en la frecuencia cero (ver secciones
4.4.1 y 4.4.2). De ahı́ viene el interés por el contraste del estadı́stico F desarrollado en
el capı́tulo 4, en el cual bajo la hipótesis nula se contempla una raı́z unitaria en cada
frecuencia estacional sin imponer necesariamente una raı́z unitaria en la frecuencia cero. La aparición del artı́culo de Hylleberg et al (1990) ha arrojado nueva luz sobre la
manera de contrastar la existencia de raı́ces unitarias en una serie temporal. En dicho
2
Contrastes de (Hasza y Fuller, 1982) y (Dickey et al, 1984).
7
trabajo (ver sección 4.4.4) el interés se centra en el contraste de cada una de las raı́ces
unitarias por separado. El conocimiento del artı́culo presentado por (Engle et al, 1989)
nos llevó a una solución al problema estacional, planteando la hipótesis de cointegración
estacional en nuestros modelos y al estudio de los modelos con factores comunes estacionales, siendo estos factores series temporales con una raı́z unitaria en cada frecuencia
estacional. Si los factores comunes a un conjunto de series dado son de este tipo, cada
una de las series contendrá también una raı́z unitaria en cada frecuencia estacional y por
tanto, para este tipo de series cobra especial interés el contraste del estadı́stico F descrito
en el capı́tulo 4, en detrimento de otro tipo de contrastes no diseñados especı́ficamente
para la hipótesis nula de que todas las raı́ces estacionales son unitarias.
Por otra parte, Stock y Watson (1988) han demostrado la equivalencia entre un modelo multivariante cointegrado en la frecuencia cero y un modelo de tendencias comunes. Intuitivamente, es fácil comprender que en el componente estacional ha de ocurrir algo parecido. Tomando como base la demostración de Stock y Watson es sencillo
demostrar que si un vector presenta cointegración en una determinada frecuencia estacional existirá un modelo con factores comunes integrados en dicha frecuencia que lo
represente, y viceversa. Sin embargo, cuando se consideran simultáneamente varias frecuencias estacionales, el resultado no se comprueba de forma tan simple. En la sección
3.3.2 se demuestra la equivalencia entre un modelo cointegrado estacional y uniformemente (con los mismos vectores cointegrantes en todas las frecuencias estacionales) y
un modelo de factores estacionales comunes, donde dichos factores presentan una raı́z
unitaria en cada frecuencia estacional.
El capı́tulo 6 trata sobre la estimación de modelos de factores comunes. Fernández
Macho (1986) propuso un método basado en la utilización del criterio de máxima verosimilitud en el dominio de la frecuencia, que antes ya se habı́a aplicado a la estimación de
los modelos estructurales univariantes3 . Sin embargo, el método de estimación propuesto por Gonzalo y Granger (1991) permite una estimación de las tendencias comunes
computacionalmente más rapida (y de más sencilla programación). La estimación de
modelos con factores estacionales comunes se puede realizar mediante la extensión del
procedimiento de Fernández, que él mismo presenta en el citado trabajo. En la sección
6.3.2 se plantea una adaptación del procedimiento de Gonzalo y Granger para la estimación de un modelo en el que los factores comunes presentan raı́ces unitarias en todas
las frecuencias estacionales. Dicho procedimiento se puede extender directamente para la estimación de factores comunes que, además de las raı́ces unitarias estacionales,
contengan una raı́z unitaria en la frecuencia cero. Este método presenta aún más rapidez
computacional respecto al de Fernández (1986) en la estimación de los factores comunes
estacionales.
Disponer de una estimación de los factores comunes de un modelo permite efectuar
un análisis detallado de los mismos. La aplicación de modelos de factores comunes y
su estimación puede ser de utilidad en diversos campos. En el contexto de indicadores
cı́clicos, es interesante la obtención de los factores comunes a varias series, para realizar el análisis del comportamiento común de todo el conjunto. Es posible plantear una
3
Harvey y Peters (1990).
8
CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN
interpretación de dichos factores como indicadores sintéticos de actividad, cuando las
series que intervienen en el modelo son indicadores coincidentes en el con el ciclo, o
indicadores sintéticos adelantados, cuando en el modelo intervienen indicadores adelantados respecto al ciclo. Si en un determinado vector de series temporales se detectan
factores de tendencia común y factores comunes estacionales (o factores completos que
contengan los dos componentes) el estudio de dichos factores permitirá obtener conclusiones acerca de la tendencia, o del componente estacional respectivamente, de todo el
conjunto.
El trabajo se ha desarrollado de la siguiente forma:
En el Capı́tulo 2 se presentan las caracterı́sticas fundamentales de los modelos de
factores comunes, considerando tanto factores de tendencia como estacionales.
El Capı́tulo 3 analiza la relación entre el concepto de cointegración y los modelos
de factores comunes, tanto en la frecuencia cero como en las frecuencias estacionales.
En el Capı́tulo 4 se hace una revisión de los principales contrastes de raı́ces unitarias y cointegración, considerando en primer lugar los contrastes relativos a la
frecuencia cero y después los contrastes de raı́ces unitarias estacionales.
En el Capı́tulo 5 se presentan dos métodos para el contraste de la hipótesis de
existencia de una raı́z unitaria en cada frecuencia estacional. Se incluyen las respectivas pruebas sobre la potencia de los mismos.
El Capı́tulo 6 revisa los métodos de estimación de modelos con factores comunes.
Se incluyen dos métodos para la estimación de modelos con tendencias comunes
(Fernández Macho, 1986; Gonzalo y Granger, 1991), se describe el método propuesto también por Fernández Macho (1986) para estimar modelos con factores
estacionales y se propone una extensión del método de Gonzalo y Granger para
efectuar la estimación de este tipo de modelos.
En el Capı́tulo 7 se presentan dos aplicaciones de los modelos de factores comunes a series económicas. La primera de ellas se basa en una clasificación de los
indicadores cı́clicos en función de su comportamiento respecto al ciclo económico, tratando de extraer los factores comunes de series que sean del mismo tipo en
cuanto a su retraso o adelanto respecto al ciclo. En la segunda se tratan de extraer
los componentes permanentes comunes de diversos indicadores de producción.
Capı́tulo 2
Modelos de factores comunes
2.1.
Introducción
En Economı́a es muy frecuente que las series de datos temporales sean no estacionarias. En la mayorı́a de los casos se observa que las series no son estacionarias en media
y, muchas veces, tampoco lo son en varianza. Siguiendo la metodologı́a del análisis
ARIMA clásico (Box y Jenkins, 1970) la transformación más utilizada para este tipo
de series es la toma de diferencias. Tomando diferencias sobre las series no estacionarias se suele conseguir estacionariedad, sin embargo, al tomar diferencias se pierde la
estructura de largo plazo de las series, quedando sólo en ellas el componente transitorio.
Cuando se comparan gráficamente varias series temporales económicas, algunas veces
se puede apreciar que la trayectoria de largo plazo de distintas variables parece seguir
una evolución con reacciones simultáneas a lo largo del tiempo, es decir, una evolución
común.
Al observar la tendencia de las series, algunos investigadores pensaron en la posibilidad de que exista algún motivo por el cual las tendencias de distintas series puedan
presentar una evolución común. Estas ideas, por una parte, han llevado a proponer modelos con factores de tendencia común (Stock y Watson, 1988; Fernández Macho, 1986;
Fernández Macho, Harvey y Stock, 1987) y, por otra parte, han llevado a formular definiciones como las de paralelismo (Raveh, 1989) o cointegración de series temporales
(Engle y Granger, 1987).
De la misma manera en que se ha apreciado la posibilidad de que distintas series
económicas presenten caracterı́sticas comunes en su tendencia, también se puede pensar
que los componentes estacionales de diferentes series pueden estar influenciados por
los mismos impulsos. Ası́, la idea de cointegración estacional que ha sido ya planteada
por Engle, Granger y Hallman (1989), refleja la posibilidad de que los componentes
estacionales de distintas series guarden una relación de carácter permanente a lo largo
del tiempo. Una forma más explı́cita de considerar este fenómeno es mediante un modelo
con factores comunes estacionales, que podrı́a ser1 :
1
Este es un caso particular del modelo presentado por Fernández Macho (1986) y también del recientemente comentado por Granger (1991)
9
10
CAPÍTULO 2. MODELOS DE FACTORES COMUNES
yt
n×1
S(L) st
k×1
=
=
A
st
n×k k×1
+ εt
(2.1)
n×1
ωt
k×1
(2.2)
donde:
S(L) = (1 + L + L2 + · · · + LS−1 ), siendo L un operador de retardos, tal que
L xt = xt−1 ;
S es la periodicidad estacional. Por ejemplo, S = 12 si la serie es mensual;
yt es el vector que contiene las observaciones t-ésimas de cada una de las n series
temporales que interesa analizar.
st es un vector formado por k factores estacionales comunes a las n series. Se
supone k < n.
A es la matriz de pesos de los factores.
εt y ωt son dos vectores de n y k variables aleatorias, tales que:
εt
Σε 0
∼ N ID 0,
ωt
0 Σω
(2.3)
En este modelo los componentes estacionales de las n series que forman el vector yt
resumen o aglutinan su estructura en torno a sólo k factores de tipo puramente estacional. En los siguientes apartados del presente capı́tulo se van a revisar las caracterı́sticas
fundamentales de los modelos de tendencias comunes (2.2), se van a estudiar los modelos de factores estacionales comunes (2.3), incluyendo el que aquı́ se ha propuesto, y
finalmente se van a estudiar los modelos que presentan factores estacionales y tendencias
comunes conjuntamente (2.4).
11
2.2. MODELOS DE TENDENCIAS COMUNES
2.2.
Modelos de tendencias comunes
Dada la estructura del componente de tendencia de las series temporales, algunos
autores pensaron en la posibilidad de que distintas series presenten caracterı́sticas comunes en sus tendencias. Ası́ investigadores como Stock y Watson (1988), Fernández
Macho et al (1987) y Fernández Macho (1986) han formulado modelos con factores de
tendencia común.
Box y Tiao (1977, pág 362) comentan que si se trabaja con un vector de series no
estacionarias, diferenciarlas a todas ellas puede no ser lo más adecuado si es sólo un
pequeño conjunto de factores no estacionarios el que origina la estructura dinámica a
largo plazo de los datos. Sin embargo, un modelo de análisis factorial dinámico puede
tratar con series no estacionarias de manera bastante obvia. Puede plantearse un modelo
de la forma:
yt
n×1
=
A µt
n×k k×1
+ εt
t = 0, . . . , T.
(2.4)
n×1
(2.5)
µt = µt−1 + β + ηt
con
εt
ηt
∼ N ID
0,
Σε 0
0 Ση
,
(2.6)
donde µt es el vector que contiene los k factores comunes, A es la matriz de pesos de los
factores, β es el vector de pendientes de los factores y εt y ηt son vectores de variables
aleatorias estacionarias.
Aquı́ los factores comunes (µt ) se modelan especı́ficamente como paseos aleatorios
con rumbo, de forma que se pueden interpretar como tendencias lineales comunes. Dado
que µt es de dimensión k, éste es el número de tendencias comunes en el modelo.
Como se puede apreciar, el modelo descrito en (2.4-2.5) no es identificable, ya que
mediante cualquier matriz P de orden k × k no singular pueden redefinirse la matriz A y
los componentes de tendencia µt como A P −1 y P µt de manera que sigue cumpliendose
la ecuación (2.4) del modelo. En otras palabras, hay un número infinito de conjuntos de
parámetros para los cuales el modelo generarı́a idénticas series {yt } y, por tanto, es
necesario elegir un miembro dentro de cada clase de equivalencia de manera que pueda
estimarse la estructura del modelo.
Para que (2.4-2.5) sea identificable es necesario imponer restricciones sobre Ση y
A. Hay muchas formas de hacerlo, Fernández Macho (1986) y Fernández Macho et al
(1987) proponen construir Ση de forma que sea una matriz diagonal y que A esté formada por las primeras k columnas de una matriz triangular hacia abajo, es decir:
A = (aij | aij = 0 para i < j y aii = 1)
(2.7)
12
CAPÍTULO 2. MODELOS DE FACTORES COMUNES
La primera de estas restricciones no es demasiado fuerte, implica que los k factores
de tendencia comunes han de ser ortogonales entre sı́. Esta es una condición que se suele
exigir en cualquier modelo de factores comunes no observables, ya que significa que la
información que recoge cada uno de los factores es independiente de la que aportan los
demás.
La ecuación (2.5) propone un término de tendencia estocástica que es un paseo aleatorio con rumbo β. Esto significa que cada una de las series que forman el vector yt ,
diferenciada una vez, es igual a una constante más un proceso estacionario. Un caso particular se produce cuando β = 0, esto significa que la tendencia es solamente un paseo
aleatorio. En este caso el modelo quedarı́a:
yt
n×1
=
A µt
n×k k×1
+ εt
t = 0, . . . , T.
(2.8)
n×1
(2.9)
µt = µt−1 + ηt
con
εt
ηt
∼ N ID
0,
Σε 0
0 Ση
.
La ecuación (2.5) puede generalizarse de manera que la tendencia recoja alteraciones
estocásticas tanto en su nivel como en su pendiente, para ello sólo habrı́a que modificarla
e incluir otra ecuación que determine el cambio en las pendientes (Theil y Wage, 1964),
quedando ası́ el modelo:
yt
n×1
=
A µt
n×k k×1
+ εt
t = 0, . . . , T.
(2.10)
n×1
µt = µt−1 + β + ηt
(2.11)
βt = βt−1 + ξt
(2.12)
con


 
 
εt
Σε 0
0
 ηt  ∼ N ID  0,  0 Ση 0   ,
ξt
0
0 Σξ
siendo βt la pendiente de los factores, que ahora es estocástica puesto que contiene un
término de perturbación aleatoria que es ξt .
13
2.3. MODELOS DE FACTORES ESTACIONALES COMUNES
2.3.
Modelos de factores estacionales comunes
Como ya se ha mencionado en la introducción del capı́tulo, al igual que se puede
postular la existencia de tendencias comunes entre diversas series, se puede pensar en la
existencia de componentes estacionales comunes a varias series. Una posible forma de
recoger este comportamiento es por medio del análisis factorial dinámico, construyendo
un modelo donde los factores comunes sean de tipo estacional. Esto se puede hacer de
diversas formas. Por ejemplo, supongamos que yt es un vector compuesto por n series
temporales sin tendencias, pero que siguen un comportamiento estacional común, se
puede diseñar un modelo como el propuesto en la introducción de este Capı́tulo:
yt
n×1
=
A
st
n×k k×1
(2.13)
+ εt
n×1
(2.14)
S(L) st = ωt
donde:
S(L) = (1 + L + L2 + · · · + LS−1 );
S es la periodicidad estacional. Por ejemplo, S = 12 si la serie es mensual;
st es un vector formado por k factores estacionales comunes a las n series. Se
supone que k < n.
εt y ωt son dos vectores de n y k variables aleatorias, tales que:
εt
ωt
∼ N ID
0,
Σε 0
0 Σω
.
(2.15)
Igual que ocurrı́a en los modelos de tendencias comunes, este modelo no es identificable ya que la matriz A y el vector st no están unı́vocamente determinados. Para que
el modelo esté identificado se pueden añadir las mismas restricciones que se utilizan en
los modelos de tendencias comunes. En este caso se pueden concretar en la restricción
(2.7) y en que los k factores sean ortogonales, de forma que Σω sea una matriz diagonal.
En este caso, el filtro S(L) se ha utilizado para definir el comportamiento de los
k factores estacionales. La estructura de este filtro implica que, con datos mensuales
(S = 12), cada uno de esos factores presenta 11 raı́ces unitarias estacionales. Por lo
tanto, cada uno de estos factores seguirá un fuerte comportamiento estacional. Para definir el comportamiento de los factores, se podrı́an haber propuesto otros tipos de filtros
estacionales, pero no se ha encontrado a priori ningún motivo para inclinarse por otro
filtro y el que aquı́ se ha utilizado ha sido considerado en muchos trabajos anteriores
como filtro estacional (Unas veces explı́citamente y otras de forma implı́cita al utilizar
∆S = [1 − LS ]) y tiene la ventaja de permitir las comparaciones de resultados.
14
CAPÍTULO 2. MODELOS DE FACTORES COMUNES
Además, la definición de los factores se ha hecho de manera que refleja un comportamiento puramente estocástico, es decir, no incluye una parte determinista2 . Si se desea
introducir una parte determinista en la estructura de los factores estacionales, una forma
de hacerlo es incluir S variables ficticias en la segunda ecuación del modelo y añadir
una restricción sobre los coeficientes:
S(L) st =
S
X
γj Djt + εt
(2.16)
γj = 0
(2.17)
j=1
con
S
X
j=1
La restricción (2.17) es necesaria, ya que si no se considerara, la suma de los componentes estacionales deterministas serı́a distinta de cero y, por tanto, existirı́a una tendencia determinista, cuando al principio se ha supuesto que los componentes del vector
yt no tienen tendencia.
2
Lo mismo ocurre en el modelo de tendencias comunes cuando β = 0.
15
2.4. MOD. DE TENDENCIAS Y FACTORES ESTAC. COMUNES
2.4.
Modelos de tendencias y factores estacionales comunes
Si se tiene en cuenta la posibilidad de presentar factores comunes en la tendencia y
en el componente estacional, se puede plantear el siguiente modelo3 :
yt
n×1
=
A µt
n×k k×1
+ B
st
n×mm×1
+ εt
(2.18)
n×1
S(L) st = ωt
µt = µt−1 + β + ηt
(2.19)
(2.20)
donde:
β es un vector de constantes.
Cada elemento de µt es un componente de tendencia que sigue un paseo aleatorio
con rumbo.
A es la matriz de ponderaciones de los factores de tendencia.
st es un vector que recoge los m factores estacionales.
B es la matriz de pesos de los factores de estacionales.
εt , ωt y ηt son vectores de variables aleatorias de dimensiones n, m y k respectivamente, tales que:


 
 
εt
Σε 0
0
 ωt  ∼ N ID  0,  0 Σω 0   .
ηt
0
0 Ση
Este modelo es una generalización del propuesto por Fernández Macho (1986), donde ahora se permite que la matriz de ponderaciones de los factores de tendencia sea
distinta de la matriz de pesos de los factores estacionales.
Para que el modelo esté identificado es necesario imponerle algunas restricciones:
una posibilidad es construir la matriz A de forma que esté constituı́da por las primeras
k columnas de una matriz triangular hacia abajo y la matriz B por las m primeras columnas de una matriz triangular hacia abajo. Si además se supone que todos los factores
son ortogonales entre sı́, se tendrá que Ση y Σω son matrices diagonales, y ası́ el modelo
será identificable.
Si se desea permitir que la pendiente de la tendencia cambie de manera aleatoria a lo
largo del tiempo, se debe incluir una ecuación más en el modelo quedando de la forma:
3
Granger (1991) menciona un modelo similar a este aplicado a un problema bivariante.
16
CAPÍTULO 2. MODELOS DE FACTORES COMUNES
yt
n×1
=
A µt
n×k k×1
+ B
st
n×mm×1
+ εt
µt = µt−1 + βt + ηt
(2.22)
βt = βt−1 + ξt
(2.23)
(2.24)
S(L) st = ωt
con

(2.21)
n×1

 
εt
Σε 0
0
0
 ηt 
  0 Ση 0
0


 
 ξt  ∼ N ID  0,  0
0 Σξ 0
ωt
0
0
0 Σω
 
 
 .
 
Capı́tulo 3
Cointegración y factores comunes
3.1.
Introducción
Cuando se analiza a lo largo del tiempo la evolución de una variable determinada,
se suelen apreciar movimientos notables en su trayectoria. Sin embargo, si se consideran dos series temporales, algunas veces se puede esperar que no difieran o se aparten
demasiado la una de la otra. La teorı́a económica suele proponer modelos en los que se
recogen las fuerzas que se activan para que las series se mantengan unidas. Es fácil encontrar ejemplos, como: tipo de interés a corto y a largo plazo, renta disponible y gasto
de las economı́as domésticas, precios del mismo bien en diferentes mercados, o precios
de bienes sustitutivos en el mismo mercado, etc.
Engle y Granger (1987) intentaron formalizar la idea de equilibrio1 entre distintas
series económicas, introduciendo el concepto de cointegración entre series temporales.
A partir de este artı́culo el desarrollo de la teorı́a sobre series cointegradas ha sido vertiginoso.
Una de las cuestiones derivada de estos trabajos, que ha ido desarrollándose hasta
la actualidad, ha sido la de integración y cointegración en diferentes frecuencias, con
especial énfasis en las frecuencias estacionales. A este respecto, merece la pena resaltar
los trabajos de Engle, Granger y Hallman (1989) (EGH), Lee (1992) y el de Hylleberg,
Engle, Granger y Yoo (1990) (HEGY).
En el trabajo de EGH se establecen las definiciones de integración y cointegración
en diferentes frecuencias, ası́ como una serie de propiedades para los estimadores de
Mı́nimos Cuadrados Ordinarios (MCO) de las ecuaciones cointegrantes, tanto de la frecuencia cero como de las frecuencias estacionales.
Por otro lado, el artı́culo de HEGY (1990) establece un método para contrastar la
existencia de raı́ces unitarias en las frecuencias estacionales que tiene la particularidad
1
El término equilibrio tiene muchos significados en Economı́a y su uso en la literatura sobre cointegración es muy distinto de la mayorı́a de los usos que se le asignan en la Teorı́a Económica. En la literatura de
cointegración la existencia de equilibrio entre un conjunto de series significa que existe una relación observada que se mantiene durante un largo perı́odo de tiempo. Esto no conlleva ninguna de las implicaciones
teóricas habituales, como el vaciado de mercados o el pleno empleo ni implica que el sistema haya llegado
al estado estacionario.
17
18
CAPÍTULO 3. COINTEGRACIÓN Y FACTORES COMUNES
de servir para hacer contrastes en cada una de las frecuencias por separado.
Es importante también señalar la existencia de otro tipo de modelos, los modelos de
factores comunes (de los cuales se ha hablado ampliamente en el capı́tulo anterior) que
se ha demostrado que están ı́ntimamente relacionados con el concepto de cointegración.
Se ha demostrado (Stock y Watson, 1988; King, Plosser, Stock y Watson, 1987) que si un
conjunto de series están cointegradas (en la frecuencia cero) entonces tienen tendencias
comunes (y viceversa). Tomando esto como base, uno de los objetivos de este capı́tulo
será comprobar si ocurre lo mismo en las frecuencias estacionales, es decir, demostrar
que cuando un conjunto de series están cointegradas estacionalmente, tienen factores
estacionales comunes (y viceversa).
Pero, antes de entrar en materia, se hace necesario presentar las definiciones de integración y cointegración, tanto en el sentido original de Engle y Granger como en diferentes frecuencias. En la sección 3.2 se presentan las definiciones fundamentales de la
literatura sobre cointegración y cointegración estacional. En la sección 3.3 se estudia la
relación entre el concepto de cointegración entre un conjunto de variables y el concepto
de factor común (o factores comunes) tanto en el componente de tendencia como en el
estacional.
3.2. DEFINICIONES
3.2.
19
Definiciones
Definición 1. (Engle-Granger, 1987) Se dice que una serie xt sin componente determinista es integrada de orden d y se denota xt ∼ I(d) si, después de diferenciarla d veces,
se obtiene una serie con representación ARMA estacionaria e invertible.
Entre las series que son I(0) y las series I(1) hay diferencias importantes. Engle y
Granger mencionan que si xt es I(0) con media cero, entonces:
1. La varianza de xt es finita.
2. Una innovación tiene sólo un efecto transitorio sobre el valor de xt .
3. El espectro de xt , f (ω), tiene la propiedad de que 0 < f (0) < ∞.
4. La duración esperada de los intervalos entre cruces consecutivos de la serie con el
eje x = 0 es finita.
5. Los coeficientes de autocorrelación, ρk , decrecen uniformemente en magnitud para valores de k suficientemente grandes, de manera que su suma es finita.
Sin embargo, si xt es I(1) con x0 = 0, entonces:
1. La varianza de xt tiende a infinito cuando t tiende a infinito.
2. Una innovación tiene un efecto permanente sobre el valor de xt , ya que xt es la
suma de todas las innovaciones anteriores.
3. El espectro de xt tiene aproximadamente la forma2 f (ω) = A ω −2 para valores
pequeños de ω; esto implica que, en particular, f (0) = ∞.
4. El intervalo de tiempo esperado entre cruces consecutivos de la recta x = 0 es
infinito.
5. Los coeficientes de correlación teóricos, ρk , tienden a uno, para todo k, cuando t
tiende a infinito.
Definición 2. (Engle y Granger, 1987) Los componentes del vector xt se dice que son
cointegrados de órdenes d, b, y se denota xt ∼ CI(d, b), si:
i) Todos los componentes de xt son I(d) y
ii) existe un vector α (6= 0) tal que zt = α0 xt ∼ I(d − b), con b > 0. Al vector α se
le denomina vector cointegrante.
2
La transformada de Fourier de (1 − L)d xt es f (ω) = c · (sen ω/2)−2d lo que, para valores pequeños
de ω (sen ω/2 ≈ ω/2), da f (ω) = c/2 ω −2d .
20
CAPÍTULO 3. COINTEGRACIÓN Y FACTORES COMUNES
Si se trabaja con series de datos recogidos a intervalos inferiores al año (p.ej. mensuales o trimestrales), suele hacer falta tomar un cierto número de diferencias de orden
uno para conseguir hacerlas estacionarias, y de esta forma es fácil introducir inadvertidamente un componente de medias móviles no invertible en la representación de la serie.
Hablando en el sentido de la definición 1 de Engle-Granger, las series de este tipo no
serı́an integradas de ningún orden. Por ello se hace necesaria la introducción de nuevas
definiciones, que sean aplicables a datos de periodicidad inferior al año y sirvan ası́ para
aclarar este punto. Estas definiciones las aportan Engle et al (1989):
Definición 3. (Engle, Granger y Hallman, 1989) Se dice que una serie xt es integrada
de orden d en la frecuencia θ, y se denota xt ∼ Iθ (d), si xt tiene un espectro f (ω) que
toma la forma:
f (ω) = c(ω − θ)−2d
(3.1)
para valores de ω cercanos a θ.
Definición 4. (EGH, 1989) Si la serie xt es generada por
(3.2)
S(L)dxt = C(L)t + µ
2
S−1
donde S(L) = (1 + L + L + · · · + L
)
(3.3)
y el espectro de C(L)t tiene una cota superior c, con 0 < c < ∞ para todas las
frecuencias estacionales, entonces se dice que xt es integrada estacionalmente de orden
d, con rumbo si µ 6= 0, y se denota xt ∼ SI(d). (También se suele llamar integración
estacional uniforme).
Definición 5. (EGH, 1989) Se dice que un vector xt , formado por series temporales, es
cointegrado en la frecuencia θ si:
a) Cada componente de xt es Iθ (d).
b) Existe un vector αθ tal que zt = αθ0 xt es integrada de orden menor que d en la
frecuencia θ.
Como ayuda, para aclarar algunos detalles posteriores, se añade aquı́ la definición
del concepto de cointegración estacional uniforme.
Definición 6. Se dice que un vector xt formado por series temporales es estacional y
uniformemente cointegrado, y se denota SC(d, b) si:
Cada componente de xt es SI(d).
Existe al menos un vector α∫ 6= 0 tal que zt = α∫0 xt es integrada estacionalmente
(y uniformemente) de orden (d - b), con b > 0.
Como se puede apreciar, la cointegración estacional uniforme supone que existe
cointegración en cada una de las frecuencias estacionales y que el vector cointegrante
αθ es el mismo para todas ellas.
3.3. RELACIÓN ENTRE COINTEGRACIÓN Y FACTORES COMUNES
3.3.
Relación entre cointegración y factores comunes
3.3.1.
Modelos con tendencias comunes
21
La relación entre el concepto de tendencia común y el de cointegración ha sido
estudiada por King et al (1987); Stock y Watson (1988) y Fernández Macho (1986).
Fernández Macho señala que un modelo de tendencias comunes como el descrito en el
capı́tulo anterior,
yt
n×1
=
A µt
n×k k×1
+ εt
t = 0, 1, . . . , T.
(3.4)
n×1
(3.5)
µt = µt−1 + β + ηt
con
εt
ηt
∼ NID
0,
Σε 0
0 Ση
,
(3.6)
es adecuado cuando se consideran dos o más variables relacionadas de manera que
evolucionan en forma similar a lo largo del tiempo. O, en otras palabras, parecen seguir
tendencias comunes.
Aunque separadamente cada una de estas series necesite ser diferenciada para transformarla en estacionaria, diferenciar una serie temporal múltiple como yt no será apropiado si se sospecha la existencia de factores comunes. En general, al hacer esto se
impondrı́an más raı́ces unitarias de las necesarias sobre el vector yt y sólo se podrı́an
estudiar las relaciones entre sus incrementos, mientras que se perderı́an, en gran parte,
las relaciones entre los niveles de las series. Suponiendo que haya k tendencias comunes
(con k < n) sólo deberı́an imponerse al vector y k raı́ces unitarias.
Considérese el modelo (3.4-3.5); como la matriz de pesos A es de rango completo
(k), si denominamos à a la matriz complemento ortogonal de A en una base de Rn , Ã
también será de rango completo (n − k) y sus columnas serán ortogonales a las de A, es
decir: Ã0 A = 0.
Entonces, si se multiplica la ecuación (3.4) por Ã:
Ã0 yt = Ã0 εt = νt
para
t = 0, 1, . . . , T.
(3.7)
donde
νt ∼ NID(0, Ã0 Σε Ã)
Esto significa que existen n − k combinaciones lineales de las variables observadas,
para las cuales los componentes de tendencia se cancelan; aún cuando cada uno de los n
elementos del vector yt tiene una raı́z unitaria (en la frecuencia cero). En los términos de
la definición 2 de Engle y Granger, esto significa que las variables que forman el vector
22
CAPÍTULO 3. COINTEGRACIÓN Y FACTORES COMUNES
yt están cointegradas y los vectores cointegrantes son, precisamente, las n − k filas de
la matriz Ã0 .
En este caso, esto implica que las series que constituyen el vector yt en (3.4) son
cointegradas de órdenes (1, 1), C(1, 1).
La inversa también es cierta. King et al (1987) y Stock y Watson (1988) han demostrado que los datos generados por un proceso yt multivariante cointegrado, con n − k
vectores cointegrantes linealmente independientes, pueden ser representados como combinaciones lineales de k variables con tendencia (paseos aleatorios) más n − k variables
estacionarias.
3.3.2.
Modelos con factores comunes estacionales
Sea yt un vector compuesto por n series temporales que siguen un modelo de factores comunes de la forma:
yt
n×1
=
A
st
n×k k×1
+ εt
(3.8)
n×1
(3.9)
S(L) st = ωt
donde:
st es un vector formado por k factores estacionales comunes a las n series. Se
supone que k < n.
S(L) es el operador definido en (3.3);
A es la matriz de pesos de los factores (de rango k),
εt es un vector de variables aleatorias NID(0, Σε ) y ωt es un vector NID(0, Σω )
De aquı́ en adelante, supondremos que se cumplen las restricciones de identificación
señaladas en (2.7).
Proposición 1. Sea yt = (y1t , . . . , ynt )0 un vector formado por n series temporales. yt
es cointegrado estacionalmente y únicamente de forma uniforme3 si y solo si el vector
yt sigue una representación de factores comunes estacionales como la siguiente:
yt
n×1
=
A
st
n×k k×1
S(L) st = ωt
3
+ at
(3.10)
n×1
(3.11)
Esto significa que es cointegrado estacionalmente sólo de manera uniforme, es decir, existe al menos
un vector α∫ tal que α∫0 yt es SI(0) pero no existe ningún vector α que sea vector cointegrante sólo para
algunas frecuencias.
3.3. RELACIÓN ENTRE COINTEGRACIÓN Y FACTORES COMUNES
23
siendo at y ωt procesos vectoriales independientes SI(0), es decir, procesos tales que
su matriz de densidad espectral tiene determinante finito, no nulo, para las frecuencias
estacionales.
Demostración. (Condición suficiente)
Si se multiplica la primera ecuación del modelo (3.10) por S(L), para cada uno de los
componentes de yt se obtiene:
S(L) yit = Ai ωt + S(L) ait
i = 1, . . . , n.
siendo Ai la fila i-ésima de la matriz A y ait el elemento i-ésimo del vector at .
Supongamos que Ω es la matriz de varianzas y covarianzas de ωt . Dado que ωt es
SI(0), vt = Ai ωt también es SI(0), su varianza es Ai ΩA0i y su función de densidad
espectral fv (λ) toma valores no nulos (y finitos) para las frecuencias estacionales, es
decir, para λ = 2πj/S con j = 1, . . . , S − 1.
Por otra parte, como ait es un proceso SI(0), S(L) ait es un proceso con S − 1
raı́ces unitarias (correspondientes a las frecuencias estacionales) en su representación de
medias móviles y, por tanto (Ver Lütkepohl, 1987, p.13) su función de densidad espectral
fS(L)ai (λ) toma valor cero en cada una de estas frecuencias.
Como consecuencia de todo esto, la función de densidad espectral de S(L) yit , que
es:
fS(L)yi (λ) = fv (λ) + fS(L)ai (λ)
toma valores distintos de cero para las frecuencias estacionales, entonces el proceso
S(L) yit no presenta raı́ces unitarias en su representación MA y, por tanto, es SI(0).
Esto necesariamente implica que el proceso yit , ∀i : 1, . . . , n, es SI(1).
Sea à una matriz complemento ortogonal de A en Rn , si se multiplica la ecuación
(3.10) por la izquierda por la traspuesta de esta matriz, se obtiene
Ã0 yt = Ã0 at = ut
siendo ut un proceso SI(0). Por tanto, yt es un vector formado por n elementos que son
SI(1), pero existen n − k combinaciones lineales de todos ellos Ã0 yt que son integradas
de orden cero en su componente estacional.
Por lo tanto, en este caso yt es cointegrado estacional y uniformemente SC(1, 1), y
además los vectores cointegrantes son las n − k filas de la matriz Ã0 .
Demostración. (Condición necesaria)
Sea yt un vector (n × 1) de series temporales que es cointegrado estacional y uniformemente SC(1, 1), siendo r el rango de cointegración y α la matriz n × r que contiene
como vectores columna los r vectores cointegrantes. Cada elemento de yt es SI(1), pero
existen r combinaciones lineales de los elementos de yt que son SI(0). Siempre existe
para yt una representación de Wold multivariante4 :
S(L) yt = C(L) εt
con
∞
X
j |Cj | < ∞
(3.12)
j=1
4
Ver Hannan (1970, p.66) o Engle y Granger (1987, p. 256) para el caso de cointegración en la frecuencia cero.
24
CAPÍTULO 3. COINTEGRACIÓN Y FACTORES COMUNES
P∞
i
donde C(z) =
i=0 Ci z con C(0) = In (matriz identidad). εt es iid con media
cero y matriz de varianzas y covarianzas G. Si λ1 , λ2 , . . . , λS−1 son las S − 1 raı́ces
unitarias estacionales del polinomio S(L), entonces C(λ1 ), . . . , C(λS−1 ) son de rango5
k = n − r, igual para todas ellas. Si yt es SC(1, 1)6 , existe una matriz α de orden n × r
tal que α0 C(λ1 ) = 0, α0 C(λ2 ) = 0, ..., α0 C(λS−1 ) = 0, es decir, C(λ1 ),..., C(λS−1 )
pertenecen al Ker(α0 ) (o espacio nulo de α0 ). Además, al ser k + r = n, las r columnas
linealmente independientes de cualquiera de las matrices C(λj ), por ejemplo las de
C(λ1 ), forman una base del espacio Ker(α0 ) y el resto de los C(λj ) se pueden expresar
como combinaciones lineales de C(λ1 ), es decir:
C(λ2 ) = C(λ1 ) B2 ,
C(λ3 ) = C(λ1 ) B3 ,
···
C(λS−1 ) = C(λ1 )BS−1
(3.13)
siendo B2 , . . . , BS−1 las matrices n×n de ponderaciones. Estas matrices no son únicas,
pero siempre es posible elegir un grupo de matrices que presenten rango completo n.
Por ejemplo, veámoslo para B2 . Como C(λ1 ) es de rango reducido k, se puede expresar
como (Ver, por ejemplo Johansen, 1988):
"
# Ξ1
..
(3.14)
C(λ1 ) = D Ξ1 = D .
· Θ
0
1
n×k k×n
n × (n − k)
n×n
teniendo D y Ξ1 rango k. Θ1 es una matriz cualquiera
de orden (n − k) × n, entonces
Ξ1
se puede seleccionar esta matriz de forma que
tenga rango completo n. Dado
Θ1
que los vectores columna de D forman una base del subespacio de Rn Ker(α0 ), C(λ2 )
se puede expresar:
"
# Ξ2
..
C(λ2 ) = D Ξ2 = D .
· Θ
(3.15)
0
2
n×k k×n
n × (n − k)
n×n
donde Ξ2 también tiene rango k y Θ2 se puede elegir de manera que
completo n. De la ecuación (3.14) se obtiene:
"
#
−1
..
Ξ1
D .
= C(λ1 )
0
Θ1
n × (n − k)
Ξ2
Θ2
tenga rango
que sustituyendo en (3.15) queda:
C(λ2 ) = C(λ1 )
5
Ξ1
Θ1
−1 Ξ2
Θ2
Por el Teorema de Representación de Granger, sección 1 (Engle y Granger, 1987), perfectamente
aplicable al caso estacional.
6
Por el mismo Teorema, sección 2.
3.3. RELACIÓN ENTRE COINTEGRACIÓN Y FACTORES COMUNES
25
−1 Ξ1
Ξ2
y
tienen rango completo n, su producto también lo tieΘ1
Θ2
ne y, por tanto, hemos encontrado al menos una matriz con rango completo n, B2 =
−1 Ξ1
Ξ2
·
tal que C(λ2 ) = C(λ1 ) B2 .
Θ1
Θ2
Lo mismo se puede hacer para el resto de las matrices de la expresión (3.13) de
manera que dispongamos de un conjunto de matrices de ponderaciones B2 , ..., BS−1
todas ellas con rango n.
PN
Sea νt = G−1/2 εt y ξt =
r=1 νSr+m , donde N es la parte entera de (t/S),
es decir, el número de años transcurridos, y m = t − S N , o sea, un número entero
m ∈ {0, 1, 2, . . . , S−1} que indica el perı́odo del año en que se encuentra la observación
t. Supongamos, por convención (Ver Dickey y Fuller, 1979) que εj = 0 para j ≤ 0
y que yt tiene unos valores iniciales fijos y−(S−1) , y−(S−2) , . . . , y−1 , y0 . Sustituyendo
recursivamente en (3.12) se obtiene:
Dado que
yt = y−m + C(L)(1 − L)
N
X
(3.16)
εSr+m
r=1
C(L) se puede escribir como (Ver Hylleberg et al, 1990; Dolado, 1990):
C(L) = C(λ1 ) z1 (L)/z1 (λ1 ) + C(λ2 ) z2 (L)/z2 (λ2 ) + · · · +
+C(λS−1 ) zS−1 (L)/zS−1 (λS−1 ) + C ∗ (L)S(L)
(3.17)
donde λ1 , . . . , λS−1 son las S−1 raı́ces unitarias del polinomio S(L), zj (L) = S(L)/(1−
(1/λj )L) para j = 1, . . . , S − 1 y C ∗ (L) tiene todas sus raı́ces estacionales fuera del
cı́rculo unidad.
Entonces, la ecuación (3.16) se puede escribir:
yt = y−m +(1 − L) [C(λ1 ) z1 (L)/z1 (λ1 ) + C(λ2 ) z2 (L)/z2 (λ2 )+
+ · · · + C(λS−1 ) zS−1 (L)/zS−1 (λS−1 )] G1/2 ξt +
+(1 − LS )C ∗ (L)
N
X
(3.18)
εSr+m
r=1
y, por tanto, teniendo en cuenta (3.13),
yt = y−m + C(λ1 )(1 − L) M (L) G1/2 ξt + C ∗ (L) G1/2 νt
(3.19)
h
i
zS−1 (L)
(L)
z2 (L)
siendo M (L) = zz11(λ
I
+
B
+
·
·
·
+
B
.
2
S−1
z2 (λ2 )
zS−1 (λS−1 )
1)
Como C(λ1 ) tiene rango k < n, esto implica que existe una matriz H1 de orden
n × r y rango r tal que C(λ1 ) H1 = 0. Si H2 es una matriz n × k de rango k y
columnas ortogonales a las de H1 , entonces A ≡ C(λ1 ) H2 tiene rango k. La matriz
.
H = (H1 .. H2) es no singular y multiplicándola por la izquierda por C(λ ) se obtiene:
1
.
C(λ1 ) H = (0 .. A) = A Sk
26
CAPÍTULO 3. COINTEGRACIÓN Y FACTORES COMUNES
siendo Sk la matriz de selección de orden (k × n): Sk =
0
..
.
k × (n − k)
La ecuación (3.19) se puede expresar:
!
Ik
k×k
.
yt = y−m + C(λ1 ) H H −1 (1 − L) M (L) G1/2 ξt + C ∗ (L) G1/2 νt
(3.20)
yt = y−m + A Sk H −1 (1 − L) M (L) G1/2 ξt + C ∗ (L) G1/2 νt ,
(3.21)
y
proporcionando una representación de factores estacionales comunes para yt que se puede escribir como:
yt = β + A st + at
(3.22)
siendo
β = y−m ,
st = Sk H −1 (1 − L) M (L) G1/2 ξt ,
y
at = C ∗ (L) G1/2 νt
Dada la estructura de st se cumple que
N
X
st = Sk H −1 (1 − L) M (L) G1/2
νSr+m =
= Sk H −1 (1 − L) M (L) G1/2
r=1
N
−1
X
νSr+m +
r=1
+Sk H −1 (1 − L) M (L) G1/2 νt
es decir,
st = st−S + (1 − L)Sk H −1 M (L) G1/2 νt
y, por tanto,
S(L) st = ωt
siendo
ωt = Sk H −1 M (L) G1/2 νt .
(3.23)
Para demostrar que ωt es un proceso vectorial SI(0), desarrollaremos a continuación
su matriz de densidad espectral.
Como z1 (λ1 ), . . . , zS−1 (λS−1 ), términos que participan en M (L), son escalares,
podemos redefinir las matrices B2 , . . . , BS−1 de manera que incluyan los términos
1/z2 (λ2 ), . . . , 1/zS−1 (λS−1 ) y definir ϑ = 1/z1 (λ1 ) y Ψ = Sk H −1 , la ecuación (3.23)
queda entonces:
∗
ωt = Ψ ϑ z1 (L) In + z2 (L) B2∗ + · · · + zS−1 (L)BS−1
εt
(3.24)
3.3. RELACIÓN ENTRE COINTEGRACIÓN Y FACTORES COMUNES
27
Sabemos, por hipótesis, que εt ∼ NID(0, G), por tanto,
δ1t = Ψ ϑ εt ∼ NID 0, (ψ ϑ) G (ψ ϑ)0
y δjt = Ψ Bj∗ εt ∼ NID 0, (ψ Bj∗ ) G (ψ Bj∗ )0 para j = 2, . . . , S − 1.
Las matrices de varianzas y covarianzas de δ1t , . . . , δS−1,t son todas definidas positivas ya que las Bj∗ tienen rango completo n, Ψ que es de orden (k × n) tiene rango k y
las (ΨBj∗ ) = Sk H −1 Bj∗ también tienen rango k.
La matriz de densidad espectral de εt es (Hannan, 1970):
fε (λ) = (2π)−1 G
por tanto,
fδ1 (λ) = (2π)−1 (Ψ ϑ) G (Ψ ϑ)0
y
fδj (λ) = (2π)−1 (Ψ Bj∗ ) G (Ψ Bj∗ )0 para j = 2, ..., S − 1.
Tomando como base la ecuación (3.24) se puede obtener la matriz de densidad espectral de ωt :
fω (λ) = (2π)−1 |z1 (e−iλ )|2 (Ψ ϑ) G (Ψ ϑ)0 +
+|z2 (e−iλ )|2 (Ψ B2∗ ) G (Ψ B2∗ )0 +
·········
∗
∗
+|zS−1 (e−iλ )|2 (Ψ BS−1
) G (Ψ BS−1
)0
Para toda frecuencia estacional λj con j = 1, . . . , S−1, los polinomios |zı (e−iλ )|2ı6=j
se hacen cero, pero el polinomio |zj (e−iλ )|2 es distinto de cero. Dado que todas las
matrices de varianzas y covarianzas tienen rango completo, la asociada a δj también lo
tiene y por tanto fω (λj ) tiene rango completo, lo cual implica (Ver Lütkepohl, 1987,
p.13) que ω no presenta raı́z unitaria en la frecuencia λj para j = 1, . . . , S − 1 y, por
tanto, ωt es SI(0).
3.3.3.
Modelos con tendencias y factores estacionales comunes
Sea yt un vector compuesto por n series temporales que siguen un modelo de tendencias y factores estacionales comunes de la forma:
yt
n×1
=
A µt
n×k k×1
+ B
st
n×mm×1
µt = µt−1 + β + ηt
k×1
S(L) st =
ωt
m×1
+ εt
(3.25)
n×1
(3.26)
k×1
(3.27)
28
CAPÍTULO 3. COINTEGRACIÓN Y FACTORES COMUNES
donde ahora µt es un componente de tendencia que sigue un paseo aleatorio con rumbo,
β es un vector de constantes y ηt es una variable aleatoria NID(0, Ση ).
Multiplicando la ecuación (3.25) por S(L), para un elemento i cualquiera del vector
yt se obtiene:
S(L) yit = Ai S(L) µt + Bi ωt + S(L) εit = uit
(3.28)
siendo uit un proceso que no tiene raı́ces unitarias en las frecuencias estacionales [es
SI(0)], por lo tanto, cada componente de yt es SI(1).
Si se multiplica esa i-ésima ecuación por (1 − L):
(1 − L) yit = Ai β + Ai ηt + Bi (1 − L) st + (1 − L) εit = rt
(3.29)
donde rt es un proceso sin raı́z unitaria en la frecuencia cero [I0 (0)], es decir, cada
elemento de yt es I0 (1).
Supongamos que à es una matriz complemento ortogonal de A y B̃ es un complemento ortogonal de B, esntonces, si se multiplica la ecuación (3.25) por la izquierda por
Ã0 , se obtiene:
Ã0 yt = Ã0 B st + Ã0 εt
(3.30)
donde st y, por tanto, Ã0 B st , es una variable que no tiene raı́ces unitarias en la frecuencia cero (sólo las tiene en las frecuencias estacionales) y Ã0 εt es un vector de variables
aleatorias NID ∼ (0, Ã0 Σε Ã) estacionarias. Esto implica que Ã0 yt no tiene raı́ces unitarias en la frecuencia cero y, por tanto, el vector yt es cointegrado de tipo C(1, 1) en
dicha frecuencia. Los vectores cointegrantes son las n − k filas de la matriz Ã0 .
Si, en cambio, se multiplica la ecuación (3.25) por la izquierda por B̃ 0 se obtiene:
B̃ 0 yt = B̃ 0 A µt + B̃ 0 εt .
(3.31)
En tal caso, se comprueba que B̃ 0 A µt tiene una raı́z unitaria que corresponde a la
frecuencia cero, pero no tiene raı́ces unitarias en las frecuencias estacionales, y B̃ 0 εt es
un vector de variables NID(0, B̃ 0 Σε B̃) estacionario. Por lo tanto, B̃ 0 yt no tiene raı́ces
unitarias en las frecuencias estacionales [es SI(0)], lo cual implica que yt es un vector
cointegrado SC(1, 1). En este caso los vectores cointegrantes son las n − m filas de la
matriz B̃ 0 .
En algunos casos, es posible conseguir cointegración simultánea en la frecuencia
cero y en las frecuencias estacionales con los mismos vectores cointegrantes7 como se
puede ver en la siguiente proposición.
Proposición 2. (Condición para Cointegración completa) Sea el modelo definido por
las ecuaciones (3.25), (3.26) y (3.27) y supongamos, sin pérdida de generalidad, que
k ≥ m. Si existe una matriz C de orden (k × m) y de rango m tal que A · C = B,
entonces hay cointegración completa.
7
Es lo que Granger (1991) denomina cointegración completa (Full cointegration).
3.3. RELACIÓN ENTRE COINTEGRACIÓN Y FACTORES COMUNES
29
Demostración. Supongamos que k ≥ m, si todas las columnas de la matriz B son
combinaciones lineales de las columnas de la matriz A; es decir, si existe una matriz C
tal que A · C = B, entonces al multiplicar la ecuación (3.25) por Ã0 se obtiene:
Ã0 yt = Ã0 A µt + Ã0 B st + Ã0 εt = Ã0 A C st + Ã0 εt = Ã0 εt
siendo Ã0 εt un vector NID ∼ (0, Ã0 Σε Ã) y, por tanto, sin raı́ces unitarias en la frecuencia cero ni en las estacionales. En este caso, el vector yt es cointegrado simultáneamente
en la frecuencia cero y en las estacionales, los vectores cointegrantes son las n − k filas
de la matriz Ã0 y son comunes a todas las frecuencias.
30
CAPÍTULO 3. COINTEGRACIÓN Y FACTORES COMUNES
Capı́tulo 4
Contrastes de raı́ces unitarias y de
cointegración
4.1.
Introducción
Las series de datos temporales, tanto ajustadas como no ajustadas estacionalmente,
suelen ser no estacionarias. En los últimos años, muchos de los autores que analizan
series temporales han centrado su atención en la estimación y contrastes de modelos paramétricos de procesos con tendencia. A lo largo de la última década se ha desarrollado
de forma notable la literatura relacionada con los contrastes de raı́ces unitarias, contrastes de cointegración, factores comunes, etc. De manera que ahora se entienden mejor
los efectos de las tendencias deterministas y estocásticas y se conocen algunas formas
de tener en cuenta su influencia sobre la distribución de los parámetros estimados y los
contrastes. La presencia de estacionalidad en las series de datos temporales tiene como
consecuencia un conjunto de complicaciones añadidas. En los últimos años se está avanzando en temas básicos, como contrastes de no estacionariedad y tendencias comunes,
en el contexto de procesos estacionales no estacionarios.
La teorı́a sobre conjuntos de variables cointegrados ha relanzado el interés por los
contrastes de raı́ces unitarias. Se suelen utilizar estos contrastes, en primer lugar, para
determinar el orden de integración de cada variable y, en segundo lugar, para analizar
los residuos de las ecuaciones cointegrantes, determinar su orden de integración y ası́ la
existencia o no de cointegración en el conjunto de series estudiado.
En el presente capı́tulo se lleva a cabo una revisión de los contrastes de raı́ces unitarias y de cointegración más utilizados. En la sección 4.2 se estudian los contrastes más
clásicos de raı́ces unitarias en la frecuencia cero. En la sección 4.3 se comentan algunos
contrastes de cointegración en dicha frecuencia, y en la sección 4.4 se analizan varios
tipos de contrastes de raı́ces unitarias estacionales.
31
32
CAPÍTULO 4. CONTRASTES DE R.U. Y DE COINTEGRACIÓN
4.2.
Contrastes de raı́ces unitarias en la frecuencia cero
A partir de la aparición de los conceptos de integración y cointegración se apreció la
necesidad de disponer de un contraste que ayude a decidir el orden de integración de
una serie. A este respecto la propuesta de Engle y Granger fué utilizar los contrastes
de Dickey y Fuller (1979). Aunque la literatura sobre contrastes de raı́ces unitarias ha
avanzado enormemente desde entonces, aún ahora uno de los métodos de contraste más
utilizados es el contraste de Dickey y Fuller aumentado (ADF).
4.2.1.
Contrastes de Dickey y Fuller
Dickey y Fuller (1979) analizan tres tipos de modelos:
i) yt = α yt−1 + ut
ii) yt = C + α yt−1 + ut
iii) yt = C + β t + α yt−1 + ut
Como se puede apreciar, el modelo i) no admite constante ni tendencia determinista, en
el ii) sólo se admite la presencia de constante y en el iii) se admite una constante y una
tendencia determinista lineal.
Consideran, en los tres modelos, la hipótesis nula de que α = 1 y utilizan el estadı́stico t para efectuar el contraste (se le suele denominar estadı́stico DF). Dado que
en las tres ecuaciones interviene una variable endógena retardada, que bajo la hipótesis
nula presenta una raı́z unitaria, la distribución de ese estadı́stico no es una t de Student.
Dickey y Fuller se encargan, por medio de simulaciones, de hallar los valores crı́ticos
de la distribución empı́rica de este estadı́stico. Esos valores están recogidos en Fuller
(1976, tabla 8.5.2, pág.373.).
El estadı́stico DF calculado en cualquiera de las tres ecuaciones es válido cuando
la alternativa es un modelo autorregresivo de orden uno estacionario y la hipótesis nula
es un modelo como el i), ii) o iii) con α = 1. Sin embargo, cuando se espera que la
serie contenga más de una raı́z unitaria, o la alternativa es un proceso AR de orden
mayor que uno, o un proceso de medias móviles, el procedimiento aquı́ descrito no serı́a
válido. Por ello, Dickey y Fuller consideran la posibilidad de que yt siga un proceso
ARM A(p0 , q) estacionario e invertible. Teniendo en cuenta que todo proceso ARM A
de este tipo puede ser aproximado mediante un proceso autorregresivo puro AR(p) de
un orden p suficientemente elevado, postulan que:
ut =
p
X
δi yt−i + t
(4.1)
i=2
donde E(t ) = 0 y E(0 ) = σ 2 I.
Se pueden reescribir, por tanto, los tres modelos considerados antes, de la siguiente
4.2. CONTRASTES DE RAÍCES UNITARIAS EN LA FRECUENCIA CERO
33
manera:
i) yt = α yt−1 +
p
X
δi yt−i + t
i=2
ii) yt = C + α yt−1 +
p
X
δi yt−i + t
i=2
iii) yt = C + β t + α yt−1 +
p
X
δi yt−i + t
i=2
Para determinar el valor de p sugieren que se incluyan tantos retardos como sean necesarios para eliminar la autocorrelación.
La hipótesis nula en estos modelos es que α = 1. Para contrastar esta hipótesis se
utiliza el estadı́stico t pero, para facilitar los cálculos, se suele reparametrizar el modelo
sustrayendo yt−1 en ambos lados de las ecuaciones, obteniendo:
i)
∆yt = µ yt−1 +
p
X
γi ∆yt−i + t
(4.2)
i=2
ii)
∆yt = C + µ yt−1 +
p
X
γi ∆yt−i + t
(4.3)
i=2
iii)
∆yt = C + β t + µ yt−1 +
p
X
γi ∆yt−i + t
(4.4)
i=2
Ahora la hipótesis nula, para cualquiera de los tres modelos, es µ = 0, y para contrastarla se utiliza el estadı́stico t muestral (que se suele denominar ADF, estadı́stico de
Dickey-Fuller aumentado). La distribución del estadı́stico ADF es la misma que la del
estadı́stico DF. Los valores crı́ticos están recogidos en la tabla que se encuentra en Fuller
(1976, sec. 8.5.2, pág.373).
Si el modelo que se considera adecuado es el i), los valores crı́ticos son los tabulados
en la parte (a) de la tabla. Si es el ii), lo apropiado es utilizar la parte (b), y si el modelo
considerado es el iii), los valores crı́ticos figuran en la parte (c) de la misma.
4.2.2.
Contraste de Bhargava
Bhargava (1986) desarrolla un contraste para la hipótesis nula de paseo aleatorio con
rumbo. Este contraste es válido para muestras pequeñas.
El modelo que considera bajo la hipótesis nula es:
(4.5)
yt = C + yt−1 + ut
y el modelo alternativo es:
yt = C + α yt−1 + ut
con
|α| < 1
(4.6)
34
CAPÍTULO 4. CONTRASTES DE R.U. Y DE COINTEGRACIÓN
Bhargava define el estadı́stico R2 como:
PT
R2 = PT
t=1 [(T
t=1 (yt
− yt−1 )2 −
1
T −1 (yT
− y1 )2
− 1)yt − (t − 1)yT − (T − t)y1 − (T − 1) (ȳ − 0,5(y1 + yT ))]2 /(T − 1)2
Los valores crı́ticos de este estadı́stico al 5 % de significación se pueden encontrar en el
artı́culo de Bhargava (1986, tabla 1, pág. 378). Bhargava comprueba que R2 es algo más
potente que los contrastes de Dickey-Fuller.
4.2.3.
Contrastes de Phillips
Los contrastes desarrollados por Dickey y Fuller consideran que las innovaciones del
modelo nulo pueden ser autorregresivas, y aportan una solución que valida la utilización
de sus estadı́sticos en dicha situación. Estos autores, sin embargo, suponen homocedasticidad en las innovaciones, lo cual puede limitar la aplicabilidad de estos contrastes,
ya que es más realista suponer que las perturbaciones pueden ser heterocedásticas. Phillips (1987) aporta una solución a este problema, desarrollando unos contrastes de raı́ces
unitarias no paramétricos, en los que se permite que las innovaciones del proceso sean
débilmente dependientes y heterogéneamente distribuı́das. En este sentido, los contrastes propuestos por Phillips gozan de una aplicabilidad más general que los de Dickey y
Fuller.
4.3.
Contrastes de Cointegración en la frecuencia cero
Contrastar la existencia de un vector de cointegración entre un conjunto de variables
equivale a contrastar la existencia de una raı́z unitaria en las perturbaciones de la ecuación cointegrante. Por lo tanto, se puede utilizar para ello cualquier contraste de raı́ces
unitarias. La única diferencia estriba en que ahora se contrasta la presencia de una raı́z
unitaria en una serie estimada (los residuos minimocuadráticos de la ecuación cointegrante), en lugar de en una serie observada. Por este motivo, los valores crı́ticos de este
tipo de contrastes han de ajustarse al alza, ya que de otra forma el error de tipo I estarı́a
exagerado.
En la práctica, los contrastes de cointegración que más se suelen utilizar son el basado en el estadı́stico de Durbin y Watson [conocido como CRDW, Cointegrating regression Durbin-Watson. Durbin y Watson (1950)] (Ver también Sargan y Bhargava, 1983) y
los contrastes de Dickey-Fuller en sus versiones simple y aumentada. Para un excelente
resumen sobre estos contrastes de cointegración ver Dolado (1990).
Johansen (1988) presenta un método, basado en el modelo de corrección de error,
para contrastar la existencia de cointegración y decidir el número de vectores cointegrantes existentes entre un conjunto dado de series temporales.
Por último hay que señalar que la literatura sobre contrastes de raı́ces unitarias ha
evolucionado enormemente desde la aparición de los conceptos de integración y cointegración. A medida que avanza el tiempo van apareciendo métodos de contraste, cada vez
4.4. CONTRASTES DE R.U. EN LAS FRECUENCIAS ESTACIONALES
35
más refinados, con el objetivo de llenar las lagunas que los anteriores métodos tenı́an y
de perfeccionarlos. En este sentido, es importante señalar la existencia de los estadı́sticos qcµ y qfµ de Stock y Watson (1988), basados en los modelos de tendencias comunes.
Estos estadı́sticos tienen la ventaja de permitir la estructura tanto de procesos AR estacionarios como de medias móviles en las perturbaciones de la ecuación cointegrante,
aparte de la posible raı́z unitaria.
4.4.
Contrastes de raı́ces unitarias en las frecuencias
estacionales.
Utilizar series sin desestacionalizar complica los contrastes de raı́ces unitarias tradicionales para la frecuencia cero y, sin embargo, desestacionalizarlas es potencialmente
peor, ya que si el componente estacional tiene raı́ces unitarias, el estimador de la tendencia y la serie ajustada estacionalmente son no invertibles y no aceptan una representación
autorregresiva, como demuestra Maravall (1992).
Cuando se desea contrastar la presencia de raı́ces unitarias en series que presentan
estacionalidad, normalmente se suele centrar la atención sobre un proceso generador
de datos caracterizado por una raı́z unitaria, posiblemente con rumbo, bajo la hipótesis nula y un proceso estacionario, o un proceso estacionario más una tendencia lineal
determinista, bajo la alternativa. Para series estacionales hay cuatro tipos de procesos
generadores de datos que se han utilizado con bastante frecuencia. Con datos mensuales
se definen como sigue:
(4.7)
(1 − L)(1 − L12 ) yt = η1t
12
(1 − L ) yt = a0 + η2t
12
X
s
(1 − L) yt =
δj Djt
+ η3t
(4.8)
(4.9)
j=1
yt = a1 t +
12
X
s
δj Djt
+ η4t
(4.10)
j=1
Estas cuatro expresiones representan las caracterizaciones más utilizadas de series
temporales no estacionarias con estacionalidad. El proceso de selección de modelos se
enfrenta con varias dificultades. Casos especiales de (4.7) a (4.10) pueden presentar la
misma estructura estocástica. Bell (1987) demuestra cómo cuando θ tiende a uno en la
ecuación
(1 − L)(1 − L12 ) yt = (1 − θL12 ) ηt
en el lı́mite se obtiene un modelo del tipo (4.9) con δj 6= 0 ∀j y también, si θ tiende a
uno en el modelo
(1 − L12 )yt = (1 − θL12 ) ηt
se obtiene un modelo del tipo (4.10) con a1 = 0 y δj 6= 0 ∀j.
36
CAPÍTULO 4. CONTRASTES DE R.U. Y DE COINTEGRACIÓN
Ası́ que según una raı́z en la parte de medias móviles se acerca a la unidad, con
una raı́z unitaria de la misma frecuencia en la parte autorregresiva, se llega a un proceso
con estacionalidad determinı́stica. Se suelen aplicar argumentos similares, y quizás más
conocidos, a las raı́ces de los polinomios autorregresivos, de forma que ası́ se distinguen
las tendencias estocásticas de las determinı́sticas.
En principio, los modelos (4.7), (4.8) y (4.9) tienen al menos una raı́z en la frontera
del cı́rculo unidad. La mayorı́a de los contrastes considerados en la literatura utilizan
el modelo (4.9) como hipótesis nula contra el (4.10) como alternativa (normalmente
sin variables ficticias estacionales, ya que se utilizan datos no estacionales o ajustados
estacionalmente). Como los modelos (4.7) y (4.8) tienen al menos una raı́z unitaria, se
podrı́a, en principio, considerar la aplicación de tales contrastes para los datos generados
por estos modelos, pero hay que señalar que aquı́ se violan las condiciones de regularidad de los contrastes usuales de raı́ces unitarias, ya que la presencia de raı́ces unitarias
estacionales provoca inconsistencia en los estimadores de las ecuaciones (4.2) o (4.3) de
Dickey-Fuller (Ver Engle et al, 1989, pág. 50).
El polinomio (1 − L12 ) puede factorizarse como
√
√
(1 − L)(1 + L)(1 + iL)(1 − iL) 1 + ( 3 + i)L/2 1 + ( 3 − i)L/2
√
√
√
√
1 − ( 3 + i)L/2 1 − ( 3 − i)L/2 1 + (i 3 + 1)L/2 1 − (i 3 − 1)L/2
√
√
1 − (i 3 + 1)L/2 1 + (i 3 − 1)L/2
(4.11)
ası́ que cuando (4.7) o (4.8) son los verdaderos procesos generadores de los datos es
inadecuado suponer bajo la hipótesis nula (4.9) que todas las raı́ces de la parte AR
son estacionarias (y reales). Se han desarrollado contrastes especı́ficos para los modelos
(4.7) y (4.8) por Hasza y Fuller (1982), Dickey, Hasza y Fuller (1984), Bhargava (1990),
Osborn, Chui, Smith y Birchenhall (1988), además de Hylleberg, Engle, Granger y Yoo
(1990) entre otros.
4.4.1.
Contrastes de Hasza y Fuller
Hasza y Fuller (1982) desarrollaron varios contrastes para un modelo del tipo (4.7).
Estos contrastes, ası́ como los de Dickey, Hasza y Fuller (1984) para el modelo (4.8),
utilizan un planteamiento similar a los ya clásicos tests de Dickey-Fuller. La distribución
de los distintos estadı́sticos se tabula para innovaciones ruido blanco y su extensión para
polinomios autorregresivos es fácil de desarrollar.
Hasza y Fuller desarrollan tres contrastes. El primero se basa en la regresión:
yt = β1 yt−1 + β2 (yt−1 − yt−S−1 ) + β3 (yt−S − yt−S−1 ) + +
p
X
φj xt−j + t
j=1
donde xt = (1 − L)(1 − LS )yt , t es iid normal con varianza σ 2 y S es el periodo al
que se recogen las observaciones (S = 12 si son datos mensuales). La hipótesis nula
4.4. CONTRASTES DE R.U. EN LAS FRECUENCIAS ESTACIONALES
37
β1 = 1, β2 = 0 y β3 = 1 implica que
(1 − φ1 L − φ2 L2 − · · · − φp Lp )(1 − L)(1 − LS )yt = t
donde el polinomio autorregresivo φ(L) no tiene raı́ces en el cı́rculo unidad. Los parámetros φi y p se dejan sin especificar de forma que han de ser estimados y determinados.
Los otros dos contrastes sugeridos por Hasza y Fuller se basan en la regresión:
yt = α0 t +
S
X
αj Djt + β1 yt−1 + β2 yt−S + β3 yt−S−1 + t
(4.12)
j=1
la hipótesis nula del segundo contraste es αi = 0 ∀i, β1 = β2 = 1 y β3 = −1. La
hipótesis nula del tercer contraste es β1 = β2 = 1 y β3 = −1. Los contrastes basados
en (4.12) tienen explı́citamente la alternativa de una tendencia lineal y una estacionalidad determinista. Desafortunadamente la alternativa es bastante restrictiva ya que solo
se permiten innovaciones que son ruido blanco. La interpretación de los resultados de
Hasza-Fuller es difı́cil por dos razones. Primero, el contraste impone dos raı́ces unitarias en la frecuencia cero bajo la hipótesis nula. Segundo, no está claro cómo cambia el
desarrollo del test cuando sólo alguna de las frecuencias estacionales muestra una raı́z
unitaria. El rechazo no demuestra que no exista ninguna raı́z unitaria en todas las frecuencias. Además, el hecho de no rechazar la hipótesis nula no ayuda a identificar las
frecuencias que son integradas. Sólo se obtiene que todas las frecuencias tienen raı́ces
unitarias y la frecuencia cero tiene dos. La hipótesis nula en los test de Hasza y Fuller es
un modelo multiplicativo estacional con raı́ces unitarias. Es obvio que el rechazo de tal
especificación puede deberse al hecho de que el supuesto de raı́ces unitarias estacionales
no es adecuado o al hecho de que no haya dos raı́ces unitarias en la parte no estacional.
Posteriormente Osborn, Chui, Smith y Birchenhall (1988) construyen un método para
contrastar las dos hipótesis por separado.
4.4.2.
Contrastes de Dickey, Hasza y Fuller
Dickey, Hasza y Fuller (1984) formulan varios contrastes para el modelo con raı́ces
unitarias estacionales (4.8). Bajo la hipótesis nula se supone que:
(1 − φ1 L − φ2 L2 − · · · − φp Lp )(1 − LS )yt = t
(4.13)
evitando ası́ el supuesto de dos raı́ces unitarias en la frecuencia cero. La ecuación (4.13)
de nuevo sugiere un método similar al de Dickey-Fuller aumentado (ADF), utilizando un
estadı́stico t o el sesgo normalizado del coeficiente estimado. Basándose en su potencia,
Dickey, Hasza y Fuller sugieren utilizar el estadı́stico del sesgo normalizado, que parece
más potente contra un modelo de media determinista estacional (sin tendencia). Como
el test de Hasza-Fuller, este test adolece de los problemas de la interpretación de los
rechazos, baja potencia y autocorrelación residual.
38
4.4.3.
CAPÍTULO 4. CONTRASTES DE R.U. Y DE COINTEGRACIÓN
Contraste de Bhargava
Bhargava (1990) propone un procedimiento alternativo para contrastar raı́ces unitarias estacionales. Está basado en el método que desarrollaron Sargan y Bhargava (1983)
para contrastar la hipótesis de que los residuos de una ecuación de regresión siguen un
paseo aleatorio, método que, a su vez, deriva del de Durbin y Watson (1950). El contraste
que propone Bhargava se basa en los residuos de la regresión
yt = α 0 t +
S
X
αj Djt + µt
(4.14)
j=1
donde µt sigue un modelo estacional gaussiano de paseo aleatorio bajo la hipótesis nula.
El método de Bhargava proporciona contrastes con distribución exacta para muestras
finitas, pero no permite otro tipo de residuos que no sea el paseo aleatorio estacional
gaussiano.
4.4.4.
Contraste de Hylleberg, Engle, Granger y Yoo (HEGY)
Hylleberg, Engle, Granger y Yoo (1990) (HEGY) consideran que la hipótesis de
igual orden de integración en todas las frecuencias estacionales es demasiado fuerte.
Desarrollan un método para contrastar raı́ces unitarias en cada una de las frecuencias
estacionales por separado. HEGY utilizan en su estudio series trimestrales y posteriormente Franses (1990) y Beaulieu y Miron (1993) extienden este método para datos mensuales.
El procedimiento de HEGY, traducido a datos mensuales por Beaulieu y Miron,
consiste en lo siguiente:
Sea xt la serie de interés, generada por la ecuación
φ(L)xt = t
(4.15)
donde t es un ruido blanco y φ(L) es un polinomio en el operador de retardos. Supongamos que la serie xt no presenta componente determinista de ninguna clase. Sean γk
las raı́ces de la ecuación caracterı́stica asociada a φ(L). La frecuencia asociada a una
determinada raı́z es el valor de α en < eαi , la representación polar de la raı́z. Una raı́z es
estacional si α = 2πj
S , j = 1, 2, . . . , S − 1 donde S es el número de observaciones por
año. Para datos mensuales, las raı́ces unitarias estacionales son:
√
√
√
√
−1, ±i, −(1 ± 3i)/2, (1 ± 3i)/2, −( 3 ± i)/2, ( 3 ± i)/2
(4.16)
El método de contraste desarrollado por HEGY consiste en linealizar el polinomio φ(L)
en torno a la raı́z unitaria de la frecuencia cero y las S − 1 raı́ces unitarias estacionales
de (4.16). Ası́ φ(L) se puede escribir:
φ(L) =
S
X
k=1
λk ∆(L)
1 − δk (L)
+ ∆(L)φ∗ (L)
δk (L)
(4.17)
4.4. CONTRASTES DE R.U. EN LAS FRECUENCIAS ESTACIONALES
donde δk (L) = 1 −
1
θk (L),
λk =
Q φ(θk )
j6=k δj (θk )
y ∆(L) =
39
QS
k=1 δk (L).
φ∗ (L) tiene todas sus raı́ces fuera del cı́rculo unidad, y los θk son las raı́ces unitarias
de frecuencia cero y estacionales. En el caso de datos mensuales, sustituyendo (4.17) en
(4.15) se obtiene:
12
X
∗
φ (L) y13,t =
πk yk,t−1 + t
(4.18)
k=1
donde:
y1,t = (1 + L + L2 + · · · + L11 ) xt
y2,t = −(1 − L + L2 − L3 + L4 − L5 + L6 − L7 + L8 − L9 + L10 − L11 ) xt
y3,t = −(L − L3 + L5 − L7 + L9 − L11 ) xt
y4,t = −(1 − L2 + L4 − L6 + L8 − L10 ) xt
1
y5,t = − (1 + L − 2L2 + L3 + L4 − 2L5 + L6 + L7 − 2L8 + L9 + L10 − 2L11 ) xt
√2
3
y6,t =
(1 − L + L3 − L4 + L6 − L7 + L9 − L10 )xt
2
1
y7,t =
(1 − L − L2 − L3 + L4 + L5 + L6 − L7 − L8 − L9 + L10 + L11 ) xt
2√
3
y8,t = −
(1 + L − L3 − L4 + L6 + L7 − L9 − L10 ) xt
2
√
√
√
1 √
y9,t = − ( 3 − L + L3 − 3L4 + 2L5 − 3L6 + L7 − L9 + 3L10 − 2L11 )xt
2
√
√
√
√
1
(1 − 3L + 2L2 − 3L3 + L4 − L6 + 3L7 − 2L8 + 3L9 − L10 ) xt
y10,t =
2
√
√
√
1 √
( 3 + L − L3 − 3L4 − 2L5 − 3L6 − L7 + L9 + 3L10 + 2L11 ) xt
y11,t =
2
√
√
√
√
1
y12,t = − (1 + 3L + 2L2 + 3L3 + L4 − L6 − 3L7 − 2L8 − 3L9 − L10 ) xt
2
y13,t = (1 − L12 ) xt
Para contrastar hipótesis sobre raı́ces unitarias se estima (4.18) por mı́nimos cuadrados ordinarios y se comparan determinados estadı́sticos con las distribuciones adecuadas
halladas mediante métodos de Montecarlo. Para las frecuencias cero y π se examina simplemente el estadı́stico t relevante para la hipótesis nula πk = 0 contra la alternativa de
πk < 0. Para las otras raı́ces se contrasta πk = 0, donde k es par, en un test de dos
colas. El coeficiente par es cero si la serie tiene una raı́z unitaria en esa frecuencia y es
distinto de cero si no la tiene. Bajo la alternativa de que no hay una raı́z unitaria en la
frecuencia en cuestión, el coeficiente par puede ser positivo o negativo. Si se rechaza
πk = 0, entonces se contrasta πk−1 = 0 contra la alternativa de que πk−1 < 0; el test es
de una cola debido a que la alternativa es que la serie contiene una raı́z fuera del cı́rculo
unidad. Otra estrategia serı́a contrastar πk−1 = πk = 0 mediante un estadı́stico F.
40
CAPÍTULO 4. CONTRASTES DE R.U. Y DE COINTEGRACIÓN
HEGY presentan tablas calculadas por el método de Montecarlo para todos los estadı́sticos t y F necesarios con datos trimestrales. En Beaulieu y Miron (1993) se encuentran las tablas para datos mensuales.
La ventaja fundamental del procedimiento de HEGY sobre trabajos anteriores es
que permite distinguir procesos que son integrados sólo en alguna de las frecuencias
estacionales y no en todas.
Capı́tulo 5
Contrastes de integración estacional
5.1.
Introducción
En el capı́tulo 3 se ha mostrado cómo la existencia de factores estacionales comunes
SI(1) entre los elementos de un vector yt formado por n series temporales, implica
que existe cointegración estacional uniforme entre ellas, y viceversa. Esto sugiere la
utilización de un método indirecto para contrastar la especificación de un modelo de
factores estacionales comunes. Se tratarı́a de contrastar la existencia de cointegración
estacional entre ellas.
Sin embargo, no se dispone de un método para contrastar la hipótesis de integración
estacional [en los términos de la definición 4 de Engle et al (1989)] ni tampoco para
contrastar la hipótesis de cointegración estacional1 . Utilizando los contrastes de HEGY
se obtendrı́an valores crı́ticos erróneos para estas hipótesis, ya que HEGY intentan contrastar la presencia de raı́ces unitarias separadamente en cada frecuencia, mientras que
lo que aquı́ interesa es un contraste conjunto para todas las frecuencias estacionales, ya
que el modelo de referencia es un modelo de factores comunes estacionales SI(1) y, por
tanto, para comprobar si un conjunto de series determinado puede haber sido generado
por un modelo de este tipo se necesita contrastar que cada una de las series es SI(1) y
que los residuos de las ecuaciones cointegrantes son SI(0).
En la sección 5.2 se presenta un método de contraste para la hipótesis de integración
estacional, basado en un estadı́stico de tipo F y siguiendo la estructura de los contrastes
de raı́ces unitarias de Dickey y Fuller (1979). En la sección 5.3 se realizan las pruebas
de potencia de este método, en la sección 5.4 se extiende el método para permitir alguna
estructura en el componente no estacional de la serie, en la sección 5.5 se presenta un
método de contraste de la hipótesis de integración estacional utilizando un estadı́stico
de tipo t y en la sección 5.5.1 se realizan las pruebas de potencia de este contraste.
1
Lee (1992) propone un método, basado en el modelo de corrección de error, que permite contrastar la
hipótesis de cointegración estacional, pero los estadı́sticos sólo están tabulados para el caso trimestral.
41
42
CAPÍTULO 5. CONTRASTES DE INTEGRACIÓN ESTACIONAL
5.2.
Contraste de la hipótesis de integración estacional utilizando un estadı́stico de tipo F
Sea xt una serie de datos mensuales (S = 12). Si la serie xt fuera SI(1), tendrı́amos
que S(L) xt serı́a un proceso estacionario, generado por una ecuación del tipo:
(5.1)
S(L) xt = µ + ut
donde µ es una constante y ut un proceso estacionario. Teniendo esto en cuenta, se puede
plantear un test de integración en las frecuencias estacionales considerando la ecuación:
(5.2)
(1 + φ1 L + φ2 L2 + · · · + φ11 L11 ) xt = µ + t
en la que t es un proceso iid2 . En esta ecuación, bajo la hipótesis nula conjunta:
H0 : [φ1 = 1, φ2 = 1, . . . , φ11 = 1]
la serie xt serı́a integrada estacionalmente de orden uno, SI(1).
Para realizar este contraste de una forma más práctica se puede expresar el modelo
como:
xt = µ − φ1 xt−1 − φ2 xt−2 − · · · − φ11 xt−11 + t
(5.3)
y sumando (xt−1 + xt−2 + · · · + xt−11 ) en los dos miembros se obtiene,
S(L)xt = µ + (1 − φ1 ) xt−1 + (1 − φ2 ) xt−2 + · · · + (1 − φ11 )xt−11 + t
(5.4)
que se puede escribir como
(5.5)
S(L) xt = µ + γ1 xt−1 + γ2 xt−2 + · · · + γ11 xt−11 + t
siendo γj = (1 − φj ) para j = 1, 2, ..., 11. y ahora la hipótesis a contrastar serı́a:
H0 : [γ1 = 0, γ2 = 0, . . . , γ11 = 0]
Para contrastar este tipo de hipótesis, en el modelo de regresión lineal clásico se
suele utilizar el estadı́stico:
−1
(Rβ̂ − r)0 R(X 0 X)−1 R0
(Rβ̂ − r)/11
F =
0
ˆ ˆ / (n − 12)
donde la matriz R y el vector r son:

0 1 0 0 0 0 0 0
 0 0 1 0 0 0 0 0

 0 0 0 1 0 0 0 0

R= 0 0 0 0 1 0 0 0

 . . . . . . . .
 .. .. .. .. .. .. .. ..
0
0
0
0
..
.
0
0
0
0
..
.
0
0
0
0
..
.
0
0
0
0
..
.
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
2
En la sección 5.4 se relaja este supuesto.














r=



11×12
y
0
0
0
0
..
.
0









11×1
(5.6)
43
5.3. POTENCIA DEL CONTRASTE
Pero en el modelo que aquı́ se utiliza intervienen variables explicativas estocásticas con raı́ces unitarias y la distribución del estadı́stico F queda ahora deformada (por
eso desde ahora lo llamaremos estadı́stico FD, F-deformado). Su distribución exacta en
este caso es desconocida, pero se pueden aproximar sus valores crı́ticos por medio de
simulaciones.
Para obtener los valores crı́ticos de la distribución empı́rica del estadı́stico FD se han
generado 10 000 muestras (para cada tamaño muestral: T = 50, 100, 150, 200, 250, 500
y 1000 observaciones) que cumplen la hipótesis nula a contrastar, es decir la ecuación
S(L) xt = µ + t (se ha utilizado µ = 0). Una vez calculado el estadı́stico FD a partir
de (5.5) para cada muestra, se obtiene la distribución empı́rica del Cuadro 5.1.
Cuadro 5.1: Valores crı́ticos del estadı́stico FD.
N. obs
50
100
150
200
250
500
1000
10 %
2.36
2.59
2.77
2.92
3.02
3.27
3.52
5%
2.72
2.96
3.12
3.23
3.35
3.59
3.81
1%
3.67
3.65
3.80
3.80
4.02
4.16
4.44
Esta tabla se ha generado suponiendo perturbaciones normales en la ecuación (5.5).
Sin embargo la distribución del estadı́stico FD no cambia mucho si se utiliza otro tipo
de distribución para las perturbaciones. Esto se puede observar en la figura 5.1, donde
se han representado las distribuciones del estadı́stico FD obtenidas mediante simulación
(con T = 200 y 10 000 replicaciones) cuando las perturbaciones de (5.5) siguen una
distribución normal, logarı́tmico-normal y de Cauchy.
5.3.
Potencia del contraste
Para comprobar la potencia del contraste se debe verificar el comportamiento del
estadı́stico bajo hipótesis alternativas. En este trabajo se comprobará en primer lugar
la probabilidad de rechazar la hipótesis nula cuando el proceso que genera los datos,
siendo estacionario, tiene igual módulo en todas sus frecuencias, es decir cuando todas
sus raı́ces tienen igual módulo y están simultáneamente fuera del cı́rculo unidad. Posteriormente se comprobará lo que ocurre cuando sólo alguna de ellas se sale del cı́rculo
unidad.
5.3.1.
Hipótesis alternativas con igual módulo en todas sus raı́ces
En el polinomio φ(L) = 1 − φ1 L − φ2 L2 − · · · − φ11 L11 existen 11 raı́ces, una es
real y, de las restantes, cinco son las complejas conjugadas de las otras cinco.
44
CAPÍTULO 5. CONTRASTES DE INTEGRACIÓN ESTACIONAL
.160
HNORM
HLOG
.140
HCAU
.120
.100
.080
.060
.040
.020
.000
0.25
1.25
2.25
3.25
4.25
5.25
6.25
7.25
8.25
9.25
Figura 5.1: Distribución empı́rica del estadı́stico FD ante varias distribuciones generadoras.
45
5.3. POTENCIA DEL CONTRASTE
Siendo 1/µ1 , . . . , 1/µ11 las once raı́ces de φ(L), supongamos que µ1 = m1 , µ2 =
m̄1 , µ3 = m2 , µ4 = m̄2 , µ5 = m3 , µ6 = m̄3 , µ7 = m4 , µ8 = m̄4 , µ9 = m5 , µ10 = m̄5
y µ11 = m6 , donde m̄ es la compleja conjugada de m. Utilizando las coordenadas
polares, cada raı́z se puede escribir de la forma:
1 i 2πj
1
=
e S
mj
Aj
y su conjugada:
1 −i 2πj
1
=
e S
m̄j
Aj
2πj
2πj
y, por tanto, mj = Aj e−i S y m̄j = Aj ei S , siendo 2πj
S la frecuencia angular asociada a las raı́ces 1/mj y 1/m̄j . Si S = 12, las once raı́ces de φ(L) corresponden a las
frecuencias ±π/6, ±π/3, ±π/2, ±2π/3, ±5π/6 y π.
Si todas las raı́ces del polinomio tuvieran el mismo módulo (1/Aj = 1/A, constante
para todo j) el polinomio φ(L) se podrı́a escribir de forma bastante sencilla en función
del inverso del módulo3 , A:
φ(L) = 1 + A L + (A L)2 + (A L)3 + (A L)4 + (A L)5
+(A L)6 + (A L)7 + (A L)8 + (A L)9 + (A L)10 + (A L)11
(5.7)
Para comprobar la potencia del test se han generado 10 000 muestras de un proceso
estacionario con 11 raı́ces de módulo 1/0,85, es decir, que provienen de la ecuación:
1 + 0,85L + (0,85L)2 + (0,85L)3 + · · · + (0,85L)11 xt = t
(5.8)
siendo t un ruido blanco N (0, 1). Los resultados han sido los que recoge el Cuadro 5.2.
Cuadro 5.2: Potencia ante la alternativa del modelo (5.8).
N. Obs.
50
100
150
200
250
Nivel de significación
10 %
5%
1%
0,7164 0,5870 0,2818
0,9919 0,9736 0,8848
1,0000 0,9999 0,9967
1,0000 1,0000 1,0000
1,0000 1,0000 1,0000
En el apéndice de gráficos B (página 122), gráficos 1 a 5, se han representado las
distribuciones empı́ricas del estadı́stido FD bajo la hipótesis nula y bajo la hipótesis
alternativa para cada tamaño muestral.
3
Ver prueba en el Apéndice 1
46
CAPÍTULO 5. CONTRASTES DE INTEGRACIÓN ESTACIONAL
Se comprueba cómo a medida que aumenta el tamaño muestral, aumenta la probabilidad de rechazar la hipótesis nula de que el proceso tiene 11 raı́ces unitarias cuando
realmente ha sido generado por la ecuación (5.8) Por tanto, el test no es inconsistente.
Por otra parte, estas cantidades muestran cómo para un nivel de significación del 5 %,
utilizando aproximadamente 100 observaciones o más el test es capaz de enfrentarse con
bastante fiabilidad a esta hipótesis alternativa. Se ha desarrollado el mismo experimento
variando el módulo de las raı́ces a 1/0,90, 1/0,95 y 1/0,97 obteniendo los resultados
del Cuadro 5.3 (esta vez sólo para un valor fijo de n = 150 observaciones).
Cuadro 5.3: Potencia ante diferentes módulos.
Módulo
1/0,90
1/0,95
1/0,97
Nivel de significación
10 %
5%
1%
0,9999 0,9991 0,9876
0,9556 0,8969 0,6740
0,6157 0,4341 0,1614
Se comprueba cómo hasta módulos cercanos a 1/0,95 la probabilidad de rechazar la
hipótesis alternativa es bastante alta y, por tanto, se puede considerar el estadı́stico como
suficientemente fiable.
5.3.2.
Hipótesis alternativas con raı́ces de distinto módulo
En el modelo de regresión lineal clásico, con regresores fijos, cuando la hipótesis
nula H0 : Rβ = r no se verifica, el vector (Rβ̂ − r) sigue una distribución normal, pero
con media distinta de cero (igual a Rβ −r). Esto hace que el numerador del estadı́stico F
(multiplicado por σ 2 ) siga una distribución descentrada χ2 (q, δ) donde q son los grados
de libertad del numerador y δ es el parámetro de excentricidad:
−1
δ = (Rβ − r)0 R(X 0 X)−1 R
(Rβ − r)
(5.9)
La media de esta distribución es T + δ y su varianza 2(T + 2δ). Entonces, el estadı́stico F sigue una distribución F de Snedecor descentrada, F(q,T −k,δ) cuyo parámetro de
excentricidad es el definido anteriormente (5.9).
Sin embargo, en nuestro caso, la naturaleza estocástica de la matriz (X 0 X) impide la obtención analı́tica del parámetro de excentricidad. A pesar de ello, cabe esperar
un comportamiento parecido, ya que el numerador del estadı́stico, en cualquier caso,
va a tener una distribución descentrada. La potencia, por tanto, dependerı́a de un único
parámetro similar al δ. A medida que crece el número de raı́ces que se alejan del cı́rculo
unidad, aumentarı́a el valor de ese parámetro, haciendo que la potencia, a su vez aumente. Pero el hecho de que sea una u otra la raı́z que se aleje del cı́rculo unidad no deberı́a
afectar al parámetro de excentricidad y, por tanto, a la potencia del contraste.
47
5.3. POTENCIA DEL CONTRASTE
Para comprobar la potencia del estadı́stico FD ante hipótesis alternativas con raı́ces
de distinto módulo, se han generado 10 000 replicaciones de tamaño muestral 150 de
diez tipos de modelos4 :
el primero con diez raı́ces de módulo uno y una raı́z superior a uno (1/0,85)(en
la frecuencia π).
el segundo con nueve raı́ces de módulo uno y dos raı́ces superiores a uno (las dos
raı́ces, de frecuencias ±π/2 con módulos iguales a 1/0,85).
y se ha seguido la misma pauta hasta llegar al décimo modelo con una sola raı́z unitaria
y diez raı́ces superiores a uno (raı́z unitaria en la frecuencia π y en todas las demás
módulos iguales a 1/0,85).
Se ha calculado el estadı́stico FD para cada una de las replicaciones. Teniendo en
cuenta que para T = 150 y nivel de significación de 5 % el valor que toma el estadı́stico
FD bajo la hipótesis nula de que el modelo tiene once raı́ces unitarias es 3,12, se han
obtenido los resultados del Cuadro 5.4.
Cuadro 5.4: Potencia ante alternativas con raı́ces de distinto módulo.
Modelo
10 raı́ces unitarias y una raı́z 1/0,85
9 raı́ces unitarias y 2 raı́ces 1/0,85
8 raı́ces unitarias y 3 raı́ces 1/0,85
7 raı́ces unitarias y 4 raı́ces 1/0,85
6 raı́ces unitarias y 5 raı́ces 1/0,85
5 raı́ces unitarias y 6 raı́ces 1/0,85
4 raı́ces unitarias y 7 raı́ces 1/0,85
3 raı́ces unitarias y 8 raı́ces 1/0,85
2 raı́ces unitarias y 9 raı́ces 1/0,85
1 raı́z unitaria y 10 raı́ces 1/0,85
Probabilidad de rechazar
la hipótesis nula
0,0452
0,0987
0,1300
0,1709
0,2975
0,5584
0,6221
0,8332
0,9391
0,9949
Como se puede apreciar, el estadı́stico no es capaz de detectar con suficiente probabilidad de una a cinco raı́ces estacionarias, sin embargo cuando se observan seis o más
se manifiesta como bastante potente. En la figura 5.2 se ha representado la distribución
empı́rica del estadı́stico FD bajo la hipótesis nula y bajo siete modelos alternativos (el
programa gráfico no permite más) en los que el número de raı́ces no unitarias se va cambiando paulatinamente. En este gráfico se puede apreciar cómo a medida que aumenta
el número de raı́ces estacionarias, la distribución se desplaza hacia la derecha, quedando
totalmente a la derecha del valor 3,12 (valor crı́tico al 5 %) cuando se presentan once
raı́ces de módulo superior a la unidad.
4
Las ecuaciones que, en concreto, se han utilizado se encuentran en el apéndice 5.B
48
CAPÍTULO 5. CONTRASTES DE INTEGRACIÓN ESTACIONAL
Figura 5.2: Movimiento de la distribución según aumenta el número de raı́ces no unitarias.
5.4. SERIES CON ESTRUCTURA EN EL COMPONENTE NO ESTACIONAL
5.4.
49
Series con estructura en el componente no estacional
Es posible que la serie que se analiza, aparte del componente estacional (con o sin
raı́ces unitarias), contenga un componente no estacional, que puede ser estacionario o
no estacionario. Aquı́ se estudiarán los dos casos. En primer lugar, supongamos que es
estacionario. En tal caso, puede representarse mediante una estructura ARMA estacionaria e invertible, lo cual implica que las perturbaciones de la ecuación (5.2) para esta
serie están autocorrelacionadas. Entonces, los estimadores MCO de los coeficientes no
son consistentes y la distribución del estadı́stico varı́a con respecto a la obtenida cuando
sólo habı́a estructura estacional (cuyos valores crı́ticos se han aproximado empı́ricamente en la tabla 5.1).
Para solucionar esto, sabemos que cualquier proceso ARMA invertible puede ser
aproximado mediante un proceso AR de orden suficientemente elevado (llamémosle p).
En este caso, se puede considerar que la serie ha sido aproximadamente generada por
una ecuación como:
(1 − α1 L − · · · − αq Lq ) S(L) xt = µ + t
(5.10)
siendo t iid.
Para este tipo de series, el contraste de la hipótesis de integración estacional se puede
construir de una forma análoga a como se hizo para el modelo (5.1). Siguiendo el mismo
proceso, la ecuación a estimar quedarı́a:
(1 − α1∗ L − · · · − αp∗ Lp ) S(L) xt = µ + γ1 xt−1 + · · · + γ11 xt−11 + t
(5.11)
donde p = q + 11 y
(1 − α1∗ L − · · · − αp∗ Lp ) = (1 − α1 L − · · · − αq Lq )(1 + φ1 L + · · · + φ11 L11 )
−(φ1 L + · · · + φ11 L)
La expresión (5.11) se puede escribir:
S(L) xt = µ + γ1 xt−1 + · · · + γ11 xt−11 + α1∗ S(L) xt−1 +
+α2∗ S(L) xt−2 + · · · + αp∗ S(L)xt−p + t
(5.12)
En la práctica, dado que p es desconocido, se debe elegir aquél valor que haga que
las perturbaciones de la ecuación (5.12) no presenten autocorrelación. En tal caso, los
estimadores MCO de los coeficientes son consistentes.
Aquı́ la hipótesis de integración estacional uniforme significa que γ1 = 0, γ2 = 0,
. . . y γ11 = 0. Esta hipótesis se puede contrastar por medio de un estadı́stico F de restricciones lineales (Como en 5.6). Dado que los estimadores de α1∗ , α2∗ , . . . , αp∗ son consistentes, la distribución de ese estadı́stico F converge hacia la del estadı́stico FD, y por
tanto, se pueden utilizar sus valores crı́ticos para un tamaño muestral suficientemente
grande (> 100).
Supongamos, en segundo lugar, que el componente no estacional de la serie es no
estacionario; en concreto, supongamos que presenta una raı́z unitaria en la frecuencia
50
CAPÍTULO 5. CONTRASTES DE INTEGRACIÓN ESTACIONAL
cero. En tal caso, bajo la hipótesis de integración estacional, la serie habrı́a sido generada
por la ecuación:
(1 − L) S(L) xt = µ + t
con t iid.
Cuando se trabaja con una serie de este tipo, el procedimiento más directo es tomar
una diferencia regular:
δ xt = ωt
ya que entonces, la serie ωt no contendrá la raı́z unitaria en la frecuencia cero y puede
ser tratada como en (5.1) para contrastar la hipótesis de integración estacional.
El problema que surge en la práctica es que no se sabe si las series presentan o no
raı́ces unitarias en el componente no estacional. Entonces, para decidir si se diferencia
o no a la serie, es necesario disponer de un método que permita contrastar la existencia
de una raı́z unitaria en la frecuencia cero cuando se sospecha la existencia de raı́ces
unitarias en las frecuencias estacionales. Hylleberg et al (1990) (HEGY) proporcionan
un método que cumple este requisito, ya que permite contrastar la presencia de raı́ces
unitarias por separado en cada una de las frecuencias estacionales y en la frecuencia
cero. En el presente trabajo, sólo nos interesa realmente el contraste de la frecuencia
cero.
Teniendo en cuenta que en la realidad, la mayorı́a de las series económicas presentan alguna raı́z unitaria en la frecuencia cero, es casi obligatorio realizar el contraste
de HEGY para esta frecuencia en todas las series que se utilicen. Sin embargo, como
veremos a continuación, ambos contrastes (Para la frec. cero y para todas las frec. estacionales) se pueden integrar en una sola ecuación.
Supongamos que la serie xt contiene una raı́z unitaria en cada frecuencia estacional
y, además, una raı́z unitaria en la frecuencia cero, entonces responderı́a a la ecuación:
(1 − L12 ) xt = µ + ut
(5.13)
siendo ut iid. O, escrito de otra forma:
(1 − L) S(L) xt = µ + ut .
(5.14)
Para efectuar el contraste sobre la raı́z unitaria de la frecuencia cero, teniendo en
cuenta la presencia de once raı́ces unitarias estacionales, se puede construir la ecuación:
(1 − φL) S(L) xt = µ + ut
(5.15)
donde la hipótesis a contrastar es H0 : φ = 1 frente a la alternativa H1 : φ < 1.
La ecuación (5.15) se puede reescribir:
S(L) xt = µ + φ S(L) xt−1 + ut
y restando S(L) xt en los dos lados de la ecuación:
S(L) ∆ xt = µ + γ S(L) xt−1 + ut
(5.16)
5.4. SERIES CON ESTRUCTURA EN EL COMPONENTE NO ESTACIONAL
51
siendo γ = φ − 1. El contraste de la raı́z unitaria en la frecuencia cero es un contraste
de significatividad del parámetro γ y, por tanto, se hace por medio del estadı́stico t del
coeficiente γ estimado, que ha de seguir la distribución del estadı́stico de Dickey-Fuller.
Para, simultáneamente, realizar el contraste de integración estacional, se puede utilizar la ecuación:
(1 + φ1 L − · · · + φ11 L11 )∆ xt = µ + (φ − 1) S(L) xt + ut
(5.17)
que, reordenando los términos, se transforma en:
∆ xt = µ + (φ − 1) S(L) xt−1 − φ1 ∆ xt−1 − · · · − φ11 ∆ xt−11 + ut
(5.18)
y sumando (∆xt−1 + · · · + ∆ xt−11 ) a ambos lados de la ecuación:
S(L) ∆ xt = µ + (φ − 1) S(L) xt−1 + (1 − φ1 ) ∆ xt−1 +
(1 − φ2 )∆ xt−2 + · · · + (1 − φ11 ) ∆ xt−11 + ut
(5.19)
que se puede expresar como:
(1 − L12 ) xt = µ + γ0 S(L) xt−1 + γ1 ∆ xt−1 + · · · + γ11 ∆ xt−11 + ut
(5.20)
donde γ0 = (φ − 1), y γj = (1 − φj ) para j = 1, ..., 11.
Bajo la hipótesis de que existe una raı́z unitaria en la frecuencia cero, γ0 es igual a
cero. Por lo tanto se puede utilizar un estadı́stico de tipo t de Student para realizar este
contraste. Ya que la influencia de los efectos estacionales viene recogida por el resto de
los parámetros, la distribución del estadı́stico t en este modelo será la misma que la del
estadı́stico correspondiente a la frecuencia cero en HEGY (1990).
Bajo la hipótesis de integración estacional uniforme (11 raı́ces unitarias, una en cada
frecuencia estacional),γj serı́a igual a cero ∀j : 1, ..., 11. Por lo tanto, para contrastar
esta hipótesis múltiple se puede utilizar un estadı́stico de tipo “F”. Dado que la influencia
del componente regular, bajo la hipótesis nula, está recogida en el término γ0 S(L) xt−1 ,
la distribución del estadı́stico F para contrastar conjuntamente las restricciones lineales:
H0 : γ1 = 0, . . . , γ11 = 0
es asintóticamente la misma que la del estadı́stico FD (Cuyos valores crı́ticos aproximados se encuentran en el Cuadro 5.1).
Por último, hay que señalar que también es posible extender el modelo (5.20) de manera que recoja la posibilidad de que exista además una parte autorregresiva estacionaria
en el componente no estacional del modelo. Desarrollándolo tal y como se hizo para la
ecuación (4.1) se obtiene una ecuación similar a la (5.12):
∆12 xt = µ + γ0 S(L) xt−1 + γ1 ∆ xt−1 + · · · + γ11 ∆ xt−11 +
+α1 ∆12 xt−1 + · · · + αp ∆12 xt−p + ut
(5.21)
siendo ∆12 = (1 − L12 ).
Los contrastes se llevan a cabo como en la ecuación (5.20), ya que los estadı́sticos t
y F siguen asintóticamente las mismas distribuciones.
52
5.5.
CAPÍTULO 5. CONTRASTES DE INTEGRACIÓN ESTACIONAL
Método de contraste basado en un estadı́stico de tipo t
La hipótesis de integración estacional uniforme incorpora 11 restricciones sobre los
coeficientes de la ecuación (5.5), en concreto:
γ1 = 0, γ2 = 0, . . . , γ11 = 0.
Estas restricciones se pueden plantear en dos etapas. La primera supone que la serie tiene igual módulo en todas sus raı́ces estacionales y la segunda que ese módulo,
en concreto, vale uno. La forma de expresar esto matemáticamente es la siguiente. Teniendo en cuenta que las series con igual módulo en todas sus raı́ces estacionales (ver
Apéndice 5.A) son generadas por una ecuación como:
1 + A L + (A L)2 + (A L)3 + · · · + (A L)11 xt = t
(5.22)
donde A es el inverso del módulo de todas esas raı́ces. Sobre los parámetros de la ecuación (5.5) esto significa que se cumplen las siguientes restricciones, de tipo no lineal:
γj = 1 − (1 − γ1 )j
para j = 2, . . . , 11.
(5.23)
Tomando esto como base, se puede desarrollar un contraste para la hipótesis de
igualdad de módulos. Consistirı́a en estimar la ecuación (5.5) primero sin restricciones,
luego imponiendo estas 10 restricciones no lineales y construir ası́ un estadı́stico F (o
un test razón de verosimilitudes, o un test de Wald). Se puede desarrollar la distribución
empı́rica de este estadı́stico, igual que se hizo para el estadı́stico FD anterior.
Si, para una serie determinada, se acepta la hipótesis nula utilizando este nuevo
estadı́stico F, es oportuno contrastar la hipótesis de que el módulo toma concretamente
el valor uno. Para hacerlo, basta con utilizar el estadı́stico t del coeficiente γ̂1 de la
ecuación (5.5) estimada imponiendo las restricciones (5.23):
S(L) xt = µ + γ1 xt−1 + (1 − (1 − γ1 )2 ) xt−2 + · · · + (1 − (1 − γ1 )11 ) xt−11 + t (5.24)
Bajo el supuesto de igualdad de módulos, el parámetro γ1 de la ecuación (5.24) es
precisamente uno menos el inverso del módulo, esto implica que el contraste relevante en
este caso es de una sóla cola. Bajo la hipótesis de integración estacional, las restricciones
de igualdad de módulos se cumplen, el módulo de todas las raı́ces es igual a uno y
por tanto γ1 = 0; pero bajo la hipótesis alternativa de estacionariedad, el módulo es
mayor que uno, γ1 toma un valor positivo comprendido entre cero y uno y, por tanto, lo
adecuado es comparar el valor obtenido del estadı́stico t con el valor crı́tico de la cola
derecha de la distribución bajo la hipótesis nula.
Se ha hallado por medio de simulaciones, una aproximación empı́rica a la distribución del estadı́stico t para el coeficiente γ1 . En el Cuadro 5.5 se presentan sus valores
crı́ticos (cola derecha), basados en 10 000 replicaciones.
Cabe suponer que si, para una determinada variable, las raı́ces no tienen el mismo
módulo, entonces el estadı́stico t de γ̂1 en (5.24) no tendrá la distribución adecuada. Por
tanto, se puede pensar que, en la práctica, para contrastar integración estacional sólo
habrı́a que comprobar el valor de la t(γˆ1 ) (sin necesidad del primer paso). Nótese que la
hipótesis nula contiene las dos etapas: todas las raı́ces han de tener el mismo módulo, y
su valor en concreto ha de ser 1.
5.5. MÉTODO DE CONTRASTE BASADO EN UN ESTADÍSTICO DE TIPO T 53
Cuadro 5.5: Valores crı́ticos de t(γ̂1 ).
N. Obs.
50
100
150
200
250
5.5.1.
Nivel de significación
10 % 5 %
1%
1,38 1,72
2,42
1,43 1,78
2,36
1,48 1,81
2,46
1,54 1,89
2,56
1,55 1,90
2,54
Potencia del contraste
En esta sección se va a comprobar la potencia del contraste de integración estacional
basado en el estadı́stico t que se acaba de describir en la sección anterior. Para ello se
va a utilizar un procedimiento similar al que se ha seguido para comprobar la potencia
del estadı́stico FD en el apartado 5.3. En primer lugar, se comprueba la probabilidad de
rechazar la hipótesis nula cuando el proceso que genera los datos, siendo estacionario,
tiene igual módulo en todas sus frecuencias estacionales. Más adelante se analiza lo que
ocurre cuando algunas de las raı́ces estacionales, aunque no todas, están fuera del cı́rculo
unidad.
5.5.1.1.
Igual módulo en todas las raı́ces estacionales
Para comprobar la potencia del contraste se han generado 10 000 muestras de tamaños T = 50, 100, 150, 200 y 250 de un proceso estacionario con 11 raı́ces estacionales de módulo 1/0,85 (Ecuación 5.8).
Al aplicar el estadı́stico t los resultados han sido los que recoge el Cuadro 5.6.
Cuadro 5.6: Potencia del contraste mediante el estadı́stico t(γˆ1 ).
N. Obs.
50
100
150
200
250
150 (Mod.= 1/0,95)
Nivel de significación
10 %
5%
1%
0,075 0,021 0,0001
0,131 0,053 0,0042
0,178 0,086 0,0083
0,216 0,107 0,0118
0,254 0,132 0,0220
0,107 0,042 0,0031
Al igual que el contraste basado en el estadı́stico FD, este contraste no parece inconsistente, ya que al aumentar el tamaño muestral, aumenta la probabilidad de rechazar
54
CAPÍTULO 5. CONTRASTES DE INTEGRACIÓN ESTACIONAL
la hipótesis nula de que el proceso tiene 11 raı́ces unitarias cuando realmente ha sido
generado por un modelo estacionario.
Sin embargo, se puede observar que este contraste es mucho menos potente que el
del estadı́stico FD ante hipótesis alternativas de este tipo.
5.5.1.2.
Hipótesis alternativas con raı́ces de módulo diferente
Para comprobar la potencia del contraste ante hipótesis alternativas con raı́ces de
distinto módulo, se han generado 10 000 réplicas de tamaño muestral 150 de cinco tipos
de modelos:
1. Modelo con dos raı́ces fuera del cı́rculo unidad y nueve raı́ces unitarias.
2. Modelo con cuatro raı́ces fuera del cı́rculo unidad y siete raı́ces unitarias.
3. Modelo con seis raı́ces fuera del cı́rculo unidad y cinco raı́ces unitarias.
4. Modelo con ocho raı́ces fuera del cı́rculo unidad y tres raı́ces unitarias.
5. Modelo con diez raı́ces fuera del cı́rculo unidad y una raı́z unitaria.
Para todas las raı́ces fuera del cı́rculo unidad se ha tomado un módulo igual a 1/0,85.
Para todas las replicaciones se ha estimado la ecuación (5.24) por mı́nimos cuadrados no lineales, utilizando el algoritmo de Gauss-Newton, posteriormente se ha calculado el estadı́stico t del coeficiente γ̂1 y se han obtenido los resultados del Cuadro 5.7.
Cuadro 5.7: Potencia de t(γ̂1 ) ante alternativas con raı́ces de distinto módulo.
Modelo
1
2
3
4
5
Probabilidad de rechazar
la hipótesis nula
0,0496
0,0845
0,1231
0,1589
0,2934
Como se puede ver, la potencia aumenta al crecer el número de raı́ces fuera del
cı́rculo unidad. También se aprecia que la potencia es mayor en los cuatro últimos modelos que la que se tenı́a frente a la hipótesis alternativa con todos los módulos iguales a
1/0,85. Esto es comprensible ya que ahora se está incumpliendo también la hipótesis de
igualdad de módulos, la ecuación (5.24) es una mala especificación para series generadas por procesos con módulos diferentes en sus distintas raı́ces estacionales y para estas
series el estimador del parámetro γ es inconsistente.
5.5. MÉTODO DE CONTRASTE BASADO EN UN ESTADÍSTICO DE TIPO T 55
De nuevo, si se compara la potencia del estadı́stico t frente a la del estadı́stico FD,
se aprecia que éste también es más potente ante hipótesis alternativas con diferentes
módulos en sus raı́ces.
56
CAPÍTULO 5. CONTRASTES DE INTEGRACIÓN ESTACIONAL
Apéndice
5.A.
Polinomio con raı́ces del mismo módulo
Si todas las raı́ces del polinomio tienen el mismo módulo (1/Aj = 1/A constante
para todo j). El polinomio φ(L) se puede escribir:
φ(L) = 1 + AL + (AL)2 + (AL)3 + (AL)4 + (AL)5
+(AL)6 + (AL)7 + (AL)8 + (AL)9 + (AL)10 + (AL)11
Demostración:
Para verlo se ha de tener en cuenta que
φ(L) = 1 − φ1 L − φ2 L2 − · · · − φ11 L11 = (1 − µ1 L)(1 − µ2 L) · · · (1 − µ11 L)
que a su vez es igual a
(1 − m1 L)(1 − m̄1 L)(1 − m2 L)(1 − m̄2 L) · · · (1 − m6 L).
Recordemos que si mj y m̄j son dos raı́ces conjugadas, entonces:
mj + m̄j = 2A cos
2πj
12
y
mj · m̄j = A2
por tanto,
2πj
+ (AL)2
12
teniendo en cuenta esta última expresión, se obtiene que
(1 − mj L)(1 − m̄j L) = 1 − 2A cos
para j = 2
2π
+ (AL)2
6
(1 − m2 L)(1 − m̄2 L) = 1 − AL + (AL)2
para j = 3
(1 − m3 L)(1 − m̄3 L) = 1 + (AL)2
para j = 4
(1 − m4 L)(1 − m̄4 L) = 1 + AL + (AL)2
5π
(1 − m5 L)(1 − m̄5 L) = 1 − 2A cos
+ (AL)2
6
(1 − m6 L)(1 − m̄6 L) = 1 + AL
para j = 1
para j = 5
para j = 6
(1 − m1 L)(1 − m̄1 L) = 1 − 2A cos
57
(5.25)
58
CAPÍTULO 5. CONTRASTES DE INTEGRACIÓN ESTACIONAL
ası́ que multiplicando,
(1 − m2 L)(1 − m̄2 L)(1 − m4 L)(1 − m̄4 L) = 1 + (AL)2 + (AL)4
(1 − m1 L)(1 − m̄1 L)(1 − m5 L)(1 − m̄5 L) = 1 − (AL)2 − (AL)4 (5.26)
y el producto de estas dos expresiones da:
(1 − m1 L)(1 − m̄1 L)(1 − m2 L)(1 − m̄2 L)(1 − m4 L)(1 − m̄4 L)·
·(1 − m5 L)(1 − m̄5 L) = 1 + (AL)4 + (AL)8
(5.27)
que multiplicado por (1 − m3 L)(1 − m̄3 L) es igual a:
1 + (AL)2 + (AL)4 + (AL)6 + (AL)8 + (AL)10
y, finalmente multiplicando por (1 − m6 L) se obtiene el polinomio original φ(L) en
función del módulo (común) de todas sus raı́ces:
φ(L) = 1 + AL + (AL)2 + (AL)3 + (AL)4 + (AL)5
+(AL)6 + (AL)7 + (AL)8 + (AL)9 + (AL)10 + (AL)11
5.B.
(5.28)
Modelos para hipótesis alternativas con diferente número de raı́ces unitarias
Las ecuaciones que se han utilizado para simular el modelo bajo hipótesis alternativas son las siguientes: (Se ha utilizado A = 1 y B = 0.85)
10 raı́ces con módulo 1/A y una con módulo 1/B (Frec. π):
(1 + BL + A2 L2 + A2 BL3 + A4 L4 + A4 BL5 + A6 L6 +
A6 BL7 + A8 L8 + A8 BL9 + A10 L10 + A10 BL11 )xt = t
(5.29)
9 raı́ces con módulo 1/A y dos con módulo 1/B (Frecs. ±π/2)
(1 + AL + B 2 L2 + AB 2 L3 + A4 L4 + A5 L5 + A4 B 2 L6 +
A5 B 2 L7 + A8 L8 + A9 L9 + A8 B 2 L10 + A9 B 2 L11 )xt = t
(5.30)
8 raı́ces con módulo 1/A y tres con módulo 1/B (Frecs. ±π/2 y π)
(1 + BL + B 2 L2 + B 3 L3 + A4 L4 + A4 BL5 + A4 B 2 L6 +
A4 B 3 L7 + A8 L8 + A8 BL9 + A8 B 2 L10 + A8 B 3 L11 )xt = t
(5.31)
7 raı́ces con módulo 1/A y cuatro con módulo 1/B (Frecs. ±π/6 y ±5π/6)
(1 + AL + (2A2 − B 2 )L2 + (2A3 − AB 2 )L3 +
(2A4 − 2A2 B 2 − B 4 )L4 + (2A5 − 2A3 B 2 − AB 4 )L5 +
(A6 − 2A4 B 2 − 2A2 B 4 )L6 + (A7 − 2A5 B 2 − 2A3 B 4 )L7 +
(−(A6 B 2 ) − 2A4 B 4 )L8 + (−(A7 B 2 ) − 2A5 B 4 )L9 −
A6 B 4 L10 − A7 B 4 L11 )xt = t
(5.32)
5.B. MODELOS PARA HIPÓTESIS ALTERNATIVAS CON DIFERENTE NÚMERO DE RAÍCES UNITARIAS59
6 raı́ces con módulo 1/A y cinco con módulo 1/B (Frecs. ±π/6, ±5π/6 y π).
(1 + BL + (2A2 − B 2 )L2 + (2A2 B − B 3 )L3 +
(2A4 − 2A2 B 2 + B 2 )L2 + (2A4 B − 2A2 B 3 + B 5 )L5 +
(A6 − 2A4 B 2 + 2A2 B 4 )L6 + (A6 B − 2A4 B 3 +
(5.33)
2A2 B 5 )L7 + (−(A6 B 2 ) + 2A4 B 4 )L8 + (−(A6 B 3 )+
2A4 B 5 )L9 + A6 B 4 L10 + A6 B 5 L11 )xt = t
Para el modelo con cinco raı́ces unitarias y seis estacionarias se ha utilizado la ecuación
(5.33) pero con B = 1 y A = 0,85. De la misma forma, para el modelo con cuatro
raı́ces unitarias se ha utilizado la ecuación (5.32), para el de tres la ecuación (5.31), para
el de dos la ecuación (5.30) y para el de una la ecuación (5.29), utilizando en todas ellas
B = 1 y A = 0,85.
60
CAPÍTULO 5. CONTRASTES DE INTEGRACIÓN ESTACIONAL
Capı́tulo 6
Métodos de estimación de modelos
de factores comunes
6.1.
Introducción
A lo largo del capı́tulo 3 se ha comprobado que el concepto de cointegración está estrechamente relacionado con el concepto de factor común. En la literatura sobre cointegración se ha puesto mucha atención y esfuerzo en la estimación de los vectores cointegrantes, tanto en lo que se refiere a la frecuencia cero (Ver por ejemplo Engle y Granger,
1987; Johansen, 1988) como a las frecuencias estacionales (Ver Engle et al, 1989; Lee,
1992; Engle et al, 1993; Hylleberg et al, 1990). Sin embargo, se ha dedicado relativamente poca atención a la estimación de los vectores de factores comunes. Hay varias
razones por las que puede resultar interesante disponer de una estimación de los factores. Por ejemplo, cuando se dispone de un sistema con una gran cantidad de variables y
se necesita reducir su dimensión. El modelo, para todo el conjunto de variables, puede
parecer muy complejo, pero si lo que interesa es su comportamiento a largo plazo, puede utilizarse una representación formada por un conjunto más pequeño de variables, que
son los factores comunes de las originales. El análisis del comportamiento a largo plazo
de un sistema macroeconómico completo puede hacerse encontrando primero los factores comunes de cada sector de la economı́a y estudiando después la cointegración entre
ellos. Otra razón para que interese extraer los factores es que la estimación de éstos permite descomponer el vector yt , formado por las series originales, en dos componentes
ft (vector de factores comunes) y (yt − Aft ) que contienen diferentes tipos de información. Por ejemplo, los encargados de la polı́tica económica pueden estar interesados en
el componente permanente ft (que puede incluir la tendencia y la parte no estacionaria
del componente estacional), mientras que los empresarios, más preocupados por controlar el ciclo de negocios, estarán más interesados en el componente cı́clico o transitorio
(yt − Aft ). Otra ventaja que tiene la extracción de los factores es que permite estudiar
su relación con variables reales, ası́ a veces será posible establecer la similitud entre un
factor y una variable o una combinación de variables reales.
En lo que se refiere a la estimación de factores de tendencia común, se conocen
61
62
CAPÍTULO 6. ESTIMACIÓN DE MODELOS DE FACTORES COMUNES
dos métodos: uno basado en la maximización de la función de verosimilitud del modelo (en el dominio de la frecuencia) (Fernández Macho, 1986), que se verá aquı́ en la
sección 6.2.1 y el segundo y más reciente, de Gonzalo y Granger (1991) que, como se
apreciará en la sección 6.2.2, basa la estimación en la representación como mecanismo
de corrección de error (ECM) del modelo.
En cuanto a la estimación de modelos con factores comunes estacionales, es posible
utilizar la extensión del procedimiento de Fernández Macho (1986) que él mismo propone en su trabajo, y se recoge aquı́ en la sección refsec6.3.1. Este es el único método
conocido para estimar factores estacionales comunes, aunque se puede intuir, y se tratará de comprobar en este capı́tulo, en la sección 6.3.2, que es posible adaptar el método
propuesto por Gonzalo y Granger para la estimación de este tipo de factores.
6.2.
Estimación de modelos con tendencias comunes
6.2.1.
Maximización de la función de verosimilitud espectral del modelo
Desarrollaremos aquı́ el método de Fernández Macho (1986). Sea el modelo:
yt
n×1
=
µt
k×1
=
t
ηt
A µt
n×k k×1
+ t ,
t = 0, . . . , T
(6.2)
µt−1 + β + ηt
k×1
k×1
∼ NID
(6.1)
n×1
0,
k×1
Σ 0
0 Ση
(6.3)
Es decir, un modelo en el que los factores comunes se determinan especı́ficamente
como paseos aleatorios con rumbo, y por tanto, se interpretan como tendencias lineales
comunes.
En este modelo hay {k(3 + 2n − k) + n(n + 1)}/2 parámetros a estimar, que son
los siguientes:
k parámetros en el vector de rumbos β,
nk − k(k + 1)/2 en la matriz de pesos A,
k en la matriz de covarianzas de las innovaciones de las tendencias comunes, Ση ,
y
n(n + 1)/2 en la matriz de covarianzas del componente transitorio, Σ .
Como yt ∼ CI(1, 1), tomando diferencias en (6.1) se obtiene una serie estacionaria:
zt = ∆yt − Aβ = Aηt + ∆t
t = 1, . . . , T
(6.4)
6.2. ESTIMACIÓN DE MODELOS CON TENDENCIAS COMUNES
63
Consideremos la transformación de Fourier de la serie {zt }:
ωj = (2πT )−1/2
T
X
zt eiλj t ,
λj =
t=1
2πj
,
T
j = 0, . . . , T − 1.
Esto puede expresarse de forma más compacta como:
⊗ In ) vec(z)
vec(ω) = ( U
nT × 1
T ×T
n×n
(6.5)
nT × 1
donde ω = (ω0 , . . . , ωT −1 ), z = (z1 , . . . , zT ) y U es la matriz de Fourier (T × T ) cuyo
elemento (h, k) es (2πT )−1/2 exp(i k λh−1 ).
Como {zt } es un proceso no determinista, estacionario y normal multivariante, {ωj }
se distribuye asintóticamente como un proceso heterocedástico normal independiente
con media cero, es decir,
a
ωj ∼ N(0,
1
Gzj ),
2π
j = 0, ..., T − 1
donde Gzj es la función generadora de matrices de autocovarianzas de {zt } evaluada en
λj = 2πj
T . De (6.4) es fácil ver que
Gz (u) = AΣη A0 + (1 − u)(1 − u−1 )Σ
Gzj = Gz (ei λj ) = AΣη A0 + cj Σ ,
cj = 2 − 2 cos λj
Como las ωj son independientes, el logaritmo de su función de densidad conjunta es la
suma de los logaritmos de sus densidades marginales:
L=
T
−1
X
`j
j=0
El hecho de que Σ 0 asegura que Gzj 0 para j > 0, ası́ que
`j = log det Gzj + tr[G−1
(2πP
)]
/2, para j > 0
zj
zj
siendo Pzj la parte real de la matriz de periodogramas de {zt } en la frecuencia λj .
Es obvio que, para j = 0, Gz0 = AΣη A0 es de rango deficiente. Ası́ que ω0 tiene
una distribución normal multivariante degenerada y no es posible una determinación
explı́cita de su función de densidad en Rn . Sin embargo (Rao y Mitra, 1971), la densidad
existe en un subespacio de Rn . El logaritmo de la densidad de ω0 en el hiperplano
K 0 ω0 = 0 (donde K es una matriz n × (n − k) de rango (n − k)) puede escribirse1 :
1
1
1
+
+ 0
`0 = − log det(A0 A) − log det(Ση0 ) − trΣ−1
η [A (2πP0 )(A ) ]
1
2
2
1 +
A es la inversa generalizada Moore-Penrose de A. Cuando A es de rango completo igual al número
de columnas A+ = (A0 A)−1 A0 . Si existe A−1 entonces A+ = A−1 .
64
CAPÍTULO 6. ESTIMACIÓN DE MODELOS DE FACTORES COMUNES
En (6.5) se aprecia que, como U U ∗ es (2π)−1/2 veces una matriz unitaria, la función
de verosimilitud (es decir, la función de densidad de vec(z) con respecto a la muestra) es
(2π)nT /2 veces la función de densidad de vec(ω). Entonces, el logaritmo de la función
de verosimilitud puede escribirse:
T −1
X
nT
L=−
log(2π) +
`j
2
j=0
El periodograma de zt no se puede calcular directamente de la muestra, pues depende del parámetro desconocido β. Sin embargo β aparece sólo en `0 , por lo que la
función de verosimilitud puede concentrarse en un factor que sólo depende de los otros
parámetros del modelo:
T −1
X
nT
1
1
L =−
log(2π) − log det(A0 A) − log det(Ση ) +
`j
2
2
2
c
j=0
Fernández Macho (1986) propone un algoritmo de scoring para maximizar esta función
de verosimilitud. Si θ es el vector de parámetros a estimar, es decir2
θ = α, (diag Ση )0 , (vΣ )0 ,
se plantea el procedimiento recursivo:
θk+1 = θk + λk H(θk )
siendo H el vector de dirección H = φ(θ)−1 dLc (θ) con3

h
P −1 i
m̄j
Dα0 − vec((A+ )0 ) + (Ση A0 ⊗ In ) Tj=1



PT −1
1
1
−1
0
0
0
dLc = 
 H {− 2 vec Ση + 2 (A ⊗ A ) j=1 m̄j }


P −1
D0 ( 12 Tj=1
cj m̄j )
..
..
y φ(θ) = φ1 (θ).φ2 (θ).φ3 (θ) donde:










φ11 (θ)
φ1 (θ) =  φ12 (θ)  =
φ13 (θ)
h
i

P −1
Dα0 {(A0 A)−1 ⊗ (In − AA+ )} − Cnk {(A+ )0 ⊗ A+ } + 2(Ση A0 ⊗ In )( Tj=1
Mj )Nn (AΣη ⊗ In ) Dα


P −1
=

H 0 {(A0 ⊗ A0 )( Tj=1
Mj )(AΣη ⊗ In )}Dα
PT −1
0
D {( j=1 Mj )(AΣη ⊗ In )}Dα

2
vΣ es el vector obtenido de vec(Σ ) eliminando los elementos que están por encima de la diagonal
principal de Σ , como Σ es simétrica, vΣ contendrá sólo los elementos distintos de Σ .
3
Las definiciones de Dα , D, m̄j y Mj se pueden ver en Fernández Macho (1986).
65
6.2. ESTIMACIÓN DE MODELOS CON TENDENCIAS COMUNES

φ21 (θ)


φ2 (θ) = 
 φ22 (θ)

φ23 (θ)



φ12 (θ)
 
 
PT −1
1
−1
0
0
=
H 0 {− 12 (Σ−1
η ⊗ Ση ) + 2 (A ⊗ A )( j=1 Mj )(A ⊗ A)}H
 
 

P −1
cj Mj )(A ⊗ A)}H
D0 {( Tj=1

φ31 (θ)


φ3 (θ) = 
 φ32 (θ)

φ33 (θ)

φ13 (θ)

 
 
=
 
 
φ23 (θ)






P −1 2
cj Mj )}D
D0 { 21 ( Tj=1
Una vez se han estimado los parámetros que forman el vector θ, la estimación de β
se obtiene como:
β̃ = T −1 A+ (yT − y0 )
y se puede calcular una estimación de los factores de tendencia por medio de un algoritmo de suavizamiento de intervalo fijo (Ver Harvey, 1989, pág 154).
6.2.2.
Método de estimación basado en el modelo de correción de error
(Gonzalo y Granger, 1991)
Sea xt un vector formado por n series temporales I(1) con media cero y rango de
cointegración r. Los elementos de xt pueden explicarse en términos de un número más
pequeño (n − r) de variables I(1), µt , llamados factores más unos componentes I(0):
xt
n×1
= A1
µt
n×k k×1
+ x̃t
n×1
donde k = n − r. Como se vió en el capı́tulo 2, este modelo no está identificado a no
ser que se imponga alguna restricción sobre los elementos que lo componen. Gonzalo
y Granger proponen unas restricciones distintas a las que se han mencionado en los
capı́tulos 2 y 3, y que se han utilizado en el método de estimación visto anteriormente.
Una de las condiciones que servirá para identificar los factores comunes µt es imponer
que µt sean combinaciones lineales de las variables xt :
µt
k×1
= B1
xt
k×nn×1
(6.6)
La otra condición que ayudará a identificar µt es la restricción de que A1 µt y x̃t constituyan los componentes permanente y transitorio, respectivamente, de xt , utilizando la
siguiente definición de una descomposición en parte permanente-parte transitoria.
Definición 7. (Gonzalo y Granger, 1991) Sea xt una serie estacionaria en diferencias.
Una descomposición en parte permanente-parte transitoria (P-T) de xt es un par de
procesos estocásticos Pt , Tt tales que:






66
CAPÍTULO 6. ESTIMACIÓN DE MODELOS DE FACTORES COMUNES
i) Pt es estacionario en diferencias y Tt es estacionario en covarianzas,
ii) var(∆Pt ), var(∆Tt ) > 0,
iii) xt = Pt + Tt ,
iv)
a)
lı́m
h→∞
∂Et (xt+h )
6= 0
∂P t
y
b)
lı́m
h→∞
∂Et (xt+h )
=0
∂T t
siendo Et la esperanza condicionada a la información disponible hasta el momento
t, y siendo P t (T t ) la parte de las innovaciones de Pt (Tt ) que es ortogonal a las
innovaciones de Tt (Pt ).
Gonzalo y Granger demuestran que las dos restricciones anteriores son suficientes
para identificar los factores comunes µt . Y para estimar estos factores se puede utilizar
el siguiente procedimiento.
Consideremos la representación autorregresiva del vector xt ,
xt = π1 xt−1 + · · · + πq xt−q + t
t = 1, . . . , T
(6.7)
donde 1 , . . . , T son IINn (0, Λ) y x−q+1 , . . . , x0 son fijos. Es conveniente reescribir
el modelo (6.7) en su representación como mecanismo de corrección de error (ECM):
∆xt = Πxt−1 + Γ1 ∆xt−1 + · · · + Γq−1 ∆xt−(q−1) + t
donde
Γi = −(πi+1 + · · · + πq )
y
(6.8)
i = 1, . . . , q − 1
Π = −(I − π1 − · · · − πq )
Debido a que xt está cointegrado con rango r, la matriz de multiplicadores de largo
plazo Π puede descomponerse en
α0
Π = γ
n×n
n×r r×n
donde α es la matriz de vectores cointegrantes y γ son los coeficientes de ajuste.
De la representación como mecanismo de corrección de error (ECM) del vector
xt , se obtiene que la matriz B1 que hace que la combinación (6.6) proporcione una
0 γ = 0). Esto se
descomposición (P-T) del vector xt es γ⊥ , ortogonal a γ (es decir γ⊥
explica porque el ECM del vector xt es:
0
∆xt = γ α xt−1 +
q−1
X
Γi ∆xt−i + t
i=1
0 x entonces:
y si el factor se define como ft = γ⊥
t
0
0
∆ft = γ⊥
∆xt = γ⊥
q−1
X
i=1
0
Γi ∆xt−i + γ⊥
t
6.2. ESTIMACIÓN DE MODELOS CON TENDENCIAS COMUNES
67
y por tanto ∆ft no depende de zt = α0 xt−1 .
Los parámetros (γ, α, Γ1 , . . . , Γq−1 ) intervienen independientemente en la función
de verosimilitud, de forma que se puede concentrar el modelo con respecto a Π eliminando los otros parámetros. Esto se hace regresando ∆xt y xt−1 sobre (∆xt−1 , . . . , ∆xt−(q−1) ).
Esto proporciona los residuos R0t y R1t y las matrices de productos residuales
Sij = T
−1
T
X
0
Rit Rjt
con
i, j = 0, 1.
t=1
el análisis restante se desarrolla sobre el modelo concentrado
R0t = γ α0 R1t + t
(6.9)
La estimación de α se determina por regresión de rango reducido en (6.9) (ver Anderson,
1984; Johansen, 1988) y se encuentra resolviendo el problema
−1
S01 | = 0
|λS11 − S10 S00
para los valores propios λ̂1 > · · · > λ̂n y vectores propios V̂ = (v̂1 , . . . , v̂n ). El estimador máximo verosı́mil viene dado por α̂ = (v̂1 , . . . , v̂r ), γ̂ = S01 α̂ y Λ̂ = S00 − γ̂γ̂ 0 . El
estimador máximo-verosı́mil de γ⊥ se obtiene mediante el siguiente procedimiento:
En primer lugar, resolver la ecuación
−1
S10 | = 0
|λS00 − S01 S11
de donde se obtienen los valores propios λ̂1 > · · · > λ̂n y vectores propios M̂ =
(m̂1 , . . . , m̂n ) normalizados de manera que M̂ 0 S00 M̂ = I. Se elige γ̂⊥ tal que
γ̂⊥ = (m̂r+1 , . . . , m̂n )
Para ver la distribución asintótica de γ̂⊥ es conveniente descomponerlo como sigue:
γ̂⊥ = γ⊥ dˆ + γ â
0 γ )−1 γ 0 γ̂ y â = (γ 0 γ)−1 γ 0 γ̂
donde dˆ = (γ⊥
⊥
⊥
⊥ ⊥
Cuando T → ∞,
T 1/2 (γ̂⊥ dˆ−1 − γ) ⇒ N (0, V )
(6.10)
0 Λγ
donde “⇒” significa convergencia en distribución, V = γ(γ 0 (Σ00 −Λ)γ)−1 γ 0 ⊗γ⊥
⊥
y Σ00 = var(∆xt | ∆xt−1 , . . . , ∆xt−(q−1) ).
En la práctica, antes de utilizar este procedimiento de estimación es necesario conocer el número de vectores cointegrantes r. En principio, no hay un procedimiento
exacto para determinar r, pero Johansen (1988) ha planteado dos métodos que permiten
contrastar el número de relaciones de cointegración existentes entre los componentes
del vector xt , se conocen como el contraste de la traza y el contraste del mayor valor
propio.
68
CAPÍTULO 6. ESTIMACIÓN DE MODELOS DE FACTORES COMUNES
6.3.
Estimación de modelos con factores comunes estacionales
6.3.1.
Maximización de la función de verosimilitud espectral del modelo
Fernández Macho (1986) presenta una generalización de su procedimiento para posibilitar la existencia de raı́ces unitarias en el componente estacional de los datos. Propone un modelo con factores comunes formados por tendencias estocásticas con pendientes
estocásticas y componentes estacionales estocásticos. Es decir,
yt
n×1
=
ψt
k×1
=
µt
k×1
=
βt
kβ × 1
=
βt−1
kβ × 1
=
ωt
k×1
A ψt
n×k k×1
µt
k×1
k×1

(6.12)
k×1
µt−1 + Aβ βt−1 + ηt


t
 ηt 




 ξt  ∼ 0,
ωt




(6.11)
n×1
+ st
k×1
S(L) st
t = 1 − S, . . . , 0, . . . , T
+ t
k × kβ kβ × 1
+
(6.13)
k×1
(6.14)
ξt
kβ × 1
(6.15)

Σ
Ση



Σξ
(6.16)
Σω
donde 0 ≤ kβ ≤ k ≤ n.
Los factores ψt se suponen independientes, por tanto, las matrices Σv , v ∈ {η, ξ, ω}
son diagonales. Para que los factores estén identificados, se supone que A está formada
por las k primeras columnas de una matriz triangular hacia abajo. Aβ se supone formada
por las kβ primeras columnas de una matriz triangular hacia abajo.
Denominando ∆S a S(L) ∆, se tiene que
∆ ∆S yt = A{∆S ηt + Aβ S(L)ξt−1 + ∆2 ωt } + ∆ ∆S t
es estacionario, con una función generadora de matrices de autocovarianzas:
Gz (u) = (1 − uS )(1 − u−S )AΣη A0
+S(u)S(u−1 )A Aβ Σξ A0β A0
+{(1 − u)(1 − u−1 )}2 A Σω A0
+(1 − u)(1 − u−1 )(1 − uS )(1 − u−S )Σ
si se considera λ =
Gzj
2πj
T
se obtiene
= Gz (eiλj ) = csj AΣηA0 + (csj /c1j )A Aβ Σξ A0β A0 +
+c2ij A Σω A0 + (cij csj )Σ ,
6.3. EST. DE MOD. CON FACTORES COMUNES ESTACIONALES
69
donde crj = 2 − 2 cos(rλj ), r ∈ {1, s}, y para λ = 0,
Gz0 = s2 A Aβ Σξ A0β A0
como en el caso de factores de tendencia comunes, la transformación de Fourier de {zt },
({ωj }) se distribuye asintóticamente como N(0, (2π)−1 Gzj ), j = 0, . . . , T − 1.
Para este caso, de aquı́ se deduce que el logaritmo de la función de verosimilitud del
modelo es:
T
−1
X
nT
L(θ) = −
log(2π) +
`j (θ)
(6.17)
2
j=0
siendo θ el vector de parámetros desconocidos,
θ = {α0 , αβ0 , (diag Ση )0 , (diag Σξ )0 , (diag Σω )0 , (vΣ )0 }
`j = −
i
1h
log det Gzj + tr{G−1
(2πP
)}
,
zj
zj
2
j>0
`0 = −kβ log(S) − 21 log det(A0β A0 AAβ ) − log det Σξ
+
+ 0
−(πS)−2 tr{Σ−1
ξ (AAβ ) Pz0 [(AAβ ) ] }
La función L(θ) se maximiza con respecto a los elementos de θ. Una opción posible
es utilizar un método de tipo Quasi-Newton como el algoritmo de Gill-Murray-Pitfield
que no necesita una evaluación explı́cita de las derivadas, ya que aquı́ la construcción
del Hessiano, y con él de un algoritmo de scoring es bastante complicada. Igual que en
el modelo de tendencias comunes, una vez estimados los elementos de θ, se utilizarı́a un
algoritmo de suavizamiento de intervalo fijo para obtener la estimación de los factores
comunes.
6.3.2.
Método basado en el modelo de corrección de error
El método que a continuación se va a desarrollar es una adaptación del procedimiento de Gonzalo y Granger para la estimación de factores comunes estacionales.
Sea xt un vector formado por n series SI(1) con media cero, cointegrado estacional y uniformemente, y con rango de cointegración r. El vector xt se puede escribir,
utilizando un modelo de factores comunes, como:
xt
n×1
= A1
con
st
n×k k×1
+ x̃t
(6.18)
n×1
S(L) st = ωt
siendo ωt un vector de ruidos blancos N(0, Ω).
Gonzalo y Granger (1991) para facilitar la estimación de los factores, proponen utilizar como restricciones para la identificación de estos modelos:
1. Considerar los factores como combinaciones lineales de las variables originales,
es decir, suponer que st = Bxt siendo B de orden k × n.
70
CAPÍTULO 6. ESTIMACIÓN DE MODELOS DE FACTORES COMUNES
2. Suponer que A1 st y x̃t constituyen una descomposición de xt en sus componentes
permanente y transitorio respectivamente.
Ellos demuestran que éstas son dos condiciones suficientes para que los factores de
tendencia estén identificados, pero su demostración es perfectamente aplicable al caso
de factores estacionales comunes.
De esta manera, la ecuación (6.18) se puede escribir:
xt
n×1
= A1
B xt
n×k k×pp×1
+ x̃t
(6.19)
n×1
Definición 8. (Descomposición Permanente-transitoria de una serie estacional)
Sea xt una serie integrada estacionalmente (SI) de orden uno, es decir, tal que S(L)xt =
ωt es estacionaria. Una descomposición en parte permanente-parte transitoria para xt
es un par de procesos estocásticos Pt , Tt tal que:
i) S(L)Pt y Tt son estacionarios en covarianzas,
ii) var(S(L)Pt ) y var(S(L)Tt ) > 0,
iii) xt = Pt + Tt ,
iv)
a)
∂Et (xt+h )
6= 0
h→∞
∂P t
lı́m
y
b)
∂Et (xt+h )
=0
h→∞
∂T t
lı́m
siendo Et la esperanza condicionada a la información disponible hasta el momento t. Donde si 1t son las innovaciones en el componente permanente y 2t son las innovaciones en el componente transitorio, P t es la parte de las innovaciones de Pt , 1t ,
que es ortogonal a las innovaciones de Tt , 2t , y T t es la parte de 2t que es ortogonal
a 1t .
Dada la estructura que se ha supuesto para el modelo de factores4 , existe cointegración estacional uniforme entre los elementos del vector xt (y ningún otro tipo de
cointegración estacional). Una vez impuesto que st = B xt , entonces x̃t se puede expresar como x̃t = A2 α0 xt con zt = α0 xt ∼ SI(0) donde α es la matriz que contiene
los vectores cointegrantes. Ası́ sólo queda comprobar qué combinaciones lineales de xt
hacen que zt no ejerza un impacto a largo plazo sobre xt . Para ello, a continuación se va
a desarrollar la representación de mecanismo de corrección de error (ECM) del modelo.
En la representación de medias móviles del modelo:
S(L) xt = C(L) t
(6.20)
donde S(L) = 1 + L + L2 + · · · + L11 y el perı́odo al que se recogen los datos es
S = 12 (mensual), se conoce (Lee, 1992) que si λ1 , . . . , λ11 son las raı́ces unitarias
4
Ver proposición 1 del capı́tulo 3.
6.3. EST. DE MOD. CON FACTORES COMUNES ESTACIONALES
71
del polinomio S(L), entonces C(λ1 ), . . . , C(λ11 ) son matrices de rango r y tales que
α0 C(λ1 ) = 0, . . . , α0 C(λ11 ) = 0.
La representación autorregresiva del modelo es:
(6.21)
A(L) xt = t
de (6.20) se obtiene que S(L)C(L)−1 xt = t y, por tanto
A(L) = S(L) C(L)−1
A(L) C(L) = S(L) · I
y
siendo I la matriz identidad (n × n). Dado que λ1 , . . . , λ11 son las raı́ces del polinomio
S(L), se tiene que
A(λ1 ) C(λ1 ) = 0
A(λ2 ) C(λ2 ) = 0
..
..
.
.
A(λ11 ) C(λ11 ) = 0
Como C(λ1 ), . . . , C(λ11 ) son combinaciones lineales unas de otras (ya que todas ellas
son de rango k y pertenecen al Ker(α0 )), A(λj ) C(λ1 ) = 0 para j = 1, . . . , 11; entonces A(λ1 ), . . . , A(λ11 ) ∈ Ker(C(λ1 )) teniendo en cuenta que, en la representación
autorregresiva, A(λ1 ), . . . , A(λ11 ) tienen todas rango r = n − k (ver Dolado, 1990;
Lee, 1992; Johansen, 1988), entonces se puede considerar que A(λ1 ), . . . , A(λ11 ) son
combinaciones lineales, es decir, A(λ2 ) = A(λ1 ) D2 , . . . , A(λ11 ) = A(λ1 ) D11 siendo
D2 , . . . , D11 las matrices n × n de ponderaciones.
Para obtener la representación de la serie como un mecanismo de corrección de error
(ECM) se utiliza la transformación (Ver Hylleberg et al, 1990; Franses, 1990):
A(L) =
11
X
k=1
θk
S(L)
+ S(L) A(L)∗∗
δk (L)
siendo δk = [1 − (1/λk )L] ,
θk = Q
A(λk )
j6=k δj (λk )
(6.22)
(6.23)
y A∗∗ (L) un resto con todas sus raı́ces fuera del cı́rculo unidad. Una forma alternativa
de escribir (6.22) es:
A(L) =
11
X
θk
k=1
donde A(L)∗ = A(L)∗∗ +
P11
S(L)
(1 − δk (L)) + S(L) A(L)∗
δk (L)
k=1 θk
(6.24)
72
CAPÍTULO 6. ESTIMACIÓN DE MODELOS DE FACTORES COMUNES
Desarrollando (6.24) en función de las raı́ces de S(L), λ1 , . . . , λ11 se obtiene:
S(L)
S(L)
1
1
A(L) = θ1 (−L) S(L)
1+L + θ2 ( i L) 1− 1 L + θ3 (− i L) 1+ 1 L +
i
i
S(L)
1 √
+θ4 − 1 (1+i 3) L 1−
+
1
√ L
2
−1
(1+i 3)
2
S(L)
1 √
+θ5 − 1 (1−i
L
+
1− 1 1 √ L
3)
2
− 2 (1−i 3)
S(L)
1√
L
+
+θ6 1 (1+i
1
√ L
1−
3)
1
2
(1+i
3)
2
1√
+
+θ7 1 (1−i 3) L 1− S(L)
1
√ L
1
2
2 (1−i 3)
+θ8 − 1 (√1 3+i) L 1− S(L)
+
1
L
1 √
2
− 2 ( 3+i)
+θ9 − 1 (√1 3−i) L 1− S(L)
+
1
√
L
−1
2 ( 3−i)
2
+θ10 1 (√13+i) L 1− S(L)
+
1
L
1 √
2 ( 3+i)
2
+ A∗ (L) S(L)
+θ11 1 (√13−i) L 1− S(L)
1
√
L
2
1(
2
(6.25)
3−i)
Como A(L) es real, los pares (θ2 , θ3 ), . . ., (θ10 , θ11 ) son complejos conjugados.
Para evitar los términos complejos de (6.25) se pueden definir las matrices π1 , . . . , π11
de manera que satisfagan las relaciones:
θ1 = −π1
θ7 = 12 (−π6 − iπ7 )
θ2 = 21 (−π2 + iπ3 )
θ8 = 12 (−π8 + iπ9 )
θ3 = 21 (−π2 − iπ3 )
θ9 = 12 (−π8 − iπ9 )
θ4 = 21 (−π4 + iπ5 )
θ10 = 21 (−π10 + iπ11 )
θ5 = 12 (−π4 − iπ5 )
θ11 = 21 (−π10 − iπ11 )
θ6 = 12 (−π6 + iπ7 )
Entonces la ecuación (6.25) se puede expresar:
A(L) = π1 S1 (L) + π2 S2 (L) + · · · + π11 S11 (L) + A∗ (L) S(L)
(6.26)
73
6.3. EST. DE MOD. CON FACTORES COMUNES ESTACIONALES
donde
S1 (L) = L(1 + L2 + L4 + L6 + L8 + L10 )
S2 (L) = L2 (1 + L + L4 + L5 + L8 + L9 )
S3 (L) = L(1 + L + L4 + L5 + L8 + L9 )
S4 (L) = −L(1
+ 2L + L3 + 2L4 + L6 + 2L7 + L9 + 2L10 )
√
S5 (L) = − 23 L(1 + L3 + L6 + L9 )
1
2
3
4
6
8
9
10
S6 (L) = − √
2 L(1 − 2L − 3L − 2L + L − 2L − 3L − 2L )
3
S7 (L) = −
L(1 + 2L + 2L2 + L3 + L6 + 2L7 + 2L8 + L9 )
√ 2
S8 (L) = 23 L(1 + 0,4226L + 0,4226L2 + L3 + 1,1547L5 + 0,1547L6 +
0,7320L7 + 0,7320L8 + 0,1547L9 + 1,1547L10 )
S9 (L) = − 12 L(1 − 0,7320L + 1,2679L2 − 0,4641L3 + 0,5359L4 + 0,5359L5 −
6 + 1,2679L7 − 0,7320L8 + L9 )
−0,4641L
√
S10 (L) = − 23 L(1 + 1,5773L + 1,5773L2 + L3 − 1,1547L5 − 2,1547L6 −
−2,7320L7 − 2,7320L8 − 2,1547L9 − 1,1547L10 )
S11 (L) = 12 L(1 + 2,7320L + 4,7320L2 + 6,4641L3 + 7,4641L4 + 7,4641L5 +
+6,4641L6 + 4,7320L7 + 2,7320L8 + L9 )
Anteriormente se ha mencionado que al estar xt cointegrado, las matrices A(λ1 ), . . . , A(λ11 )
son combinaciones lineales unas de otras, esto implica (ec 6.23) que θ1 , . . . , θ11 tambien
lo son y lo mismo ocurre con π1 , . . . , π11 . Por tanto, todas las matrices π se pueden expresar en función de una de ellas, por ejemplo la π1 :
π2 = π1 Q2 , π3 = π1 Q3 , . . . , π11 = π1 Q11
(6.27)
y, por tanto de (6.26) se obtiene
A(L) = π1 [S1 (L) + Q2 S2 (L) + · · · + Q11 S11 (L)] + A∗ (L)S(L)
donde A∗ (L) es un resto con todas sus raı́ces fuera del cı́rculo unidad.
Cada una de las matrices πj es de rango r y se puede descomponer en:
πj = γj
n×n
α0
j : 1, . . . 11.
n×r r×n
donde γj es la matriz que contiene los coeficientes de ajuste en la frecuencia j-ésima.
Teniendo en cuenta (6.27):
πj = π1 Qj = γ α0 Qj
dado que en adelante va a ser común a todas las frecuencias se ha denominado γ al
coeficiente γ1 . En esta expresión se comprueba que la matriz de coeficientes de ajuste
es común a todas las frecuencias. Teniendo esto en cuenta, se obtiene
A(L) = γ α0 [S1 (L) + Q2 S2 (L) + · · · + Q11 S11 (L)] + A∗ (L)S(L)
entonces la ecuación (6.21) se puede expresar:
γ α0 [S1 (L) + Q2 S2 (L) + · · · + Q11 S11 (L)] xt + A∗ (L)S(L)xt = t
74
CAPÍTULO 6. ESTIMACIÓN DE MODELOS DE FACTORES COMUNES
y por tanto,
A∗ (L)S(L)xt = −γ α0 [S1 (L) + Q2 S2 (L) + · · · + Q11 S11 (L)] xt + t
que también se puede escribir como:
S(L) xt = −γ α0 [S1 (L) + Q2 S2 (L) + · · · + Q11 S11 (L)] xt +
p
X
+
Ai S(L) xt−i + t
(6.28)
i=1
suponiendo que
es de orden p. Esta es la representación ECM del modelo.
En el modelo de factores comunes inicial,
A∗ (L)
(6.29)
xt = A1 st + x̃t
una vez impuesto que st = B xt , entonces xt se puede expresar como x̃t = A2 α0 xt
con zt = α0 xt ∼ SI(0). Tomando como base la representación ECM (6.28), se puede
ver que las combinaciones lineales de xt que hacen que zt no ejerza un impacto a largo
plazo sobre xt son:
0
s t = γ⊥
xt
k×nn×1
donde
0 γ
γ⊥
= 0. Ya que
0
S(L) st = γ⊥
p
X
0
t
Ai S(L) xt−i + γ⊥
i=1
El modelo factorial (6.29) se puede escribir:
0
γ⊥
xt = A1
n×1
x t + A2
n×k k×n n×1
α0
xt
n×r r×n n×1
(6.30)
Gonzalo y Granger demuestran la proposición siguiente, que determina cuándo existe
0 α0 )0 tiene rango completo.
esta descomposición, o en otras palabras, cuándo (γ⊥
Proposición 3. Si la matriz π =
γ
α0 no tiene más de k = n − r valores propios
n×r r×n
iguales a cero, entonces (γ⊥ α0 )0 es no singular y existe el modelo factorial (6.30).
Si del modelo factorial xt = A1 st + A2 zt se desea obtener una descomposición
ortogonal tal que S(L)st y zt estén incorrelacionados en todos los retardos y adelantos,
esto se puede hacer de la siguiente forma. Se proyecta zt sobre S(L)st−j para todo j y
se obtienen los residuos
z̃t = zt − P [zt /S(L)st−j ∀j]
entonces A1 s̃t = xt − A2 z̃t y se pueden recuperar los nuevos factores comunes, premultiplicando por la inversa generalizada de A1 :
s̃t = (A01 A1 )−1 A01 (xt − A2 z̃t )
es preciso señalar que si zt no son combinaciones lineales de xt , st tampoco lo son. Es
lo que se pierde si se requiere ortogonalidad.
6.3. EST. DE MOD. CON FACTORES COMUNES ESTACIONALES
6.3.2.1.
75
Estimación
En esta sección se muestra cómo estimar las combinaciones lineales de xt que definen nuestro componente estacional permanente (de largo plazo).
Consideremos el modelo de autorregresión vectorial (VAR):
xt = φ1 xt−1 + · · · + φm xt−m + t
con t = 1, ..., T
donde 1 , . . . , T son iiNn (0, Λ) y x−m+1 , . . . , x0 son fijos. Es conveniente escribir el
modelo en su forma ECM:
S(L) xt = −π1 [S1 (L) + Q2 S2 (L) + · · · + Q11 S11 (L)] xt +
p
X
+
Ai S(L) xt−i + t
(6.31)
i=1
Debido a que xt está cointegrado estacionalmente con rango r, la matriz π1 puede
descomponerse en π1 = γ α0 donde α es la matriz de vectores cointegrantes y
n×n
n×r r×n
γ son los coeficientes de ajuste.
Los parámetros (γ, α, Q2 , . . . , Q11 , A1 , . . . , Ap−1 ) intervienen de manera independiente en la función de verosimilitud, ası́ que se puede concentrar el modelo con respecto a π1 y Q2 , . . . , Q11 eliminando los otros parámetros. Esto se hace regresando
S(L) xt , S1 (L)xt , . . . , S11 (L)xt sobre S(L)xt−1 , . . . , S(L)xt−p+1 . Esto proporciona
los residuos R0t , R1t , . . . , R11t . El modelo concentrado queda:
R0t = −π1 (R1t + Q2 R2t + · · · + Q11 R11t ) + t
y su función de verosimilitud (Lee, 1992) es proporcional a:
"
T
1X
L(Π, D2 , . . . , D11 , Λ) = |Λ|
exp −
(R0t + Π(R1t + Q2 R2t +
2
t=1
0 −1
+ · · · + Q11 R11t )) Λ (R0t + Π(R1t + Q2 R2t + · · · + Q11 R11t ))
(6.32)
−T /2
Dados γ y α0 (o π1 ) el estimador máximo-verosı́mil de Q2 , . . . , Q11 es el mı́nimocuadrático ordinario.
Una vez estimados Q2 , . . . , Q11 , la función de verosimilitud se concentra en torno
al coeficiente π1 y el estimador máximo-verosı́mil es también el MCO. Como lo que
realmente interesa es el coeficiente π1 se puede concentrar la ecuación en torno a él
tomando:
U0t : residuos de la regresión de R0t sobre R2t , . . . , R11t .
U1t : residuos de la regresión de R1t sobre R2t , . . . , R11t .
76
CAPÍTULO 6. ESTIMACIÓN DE MODELOS DE FACTORES COMUNES
La ecuación queda:
U0t = π1 U1t + t
y su función de verosimilitud concentrada es proporcional a:
#
"
T
X
1
(U0t − π1 U1t )0 Λ−1 (U0t − π1 U1t )
L(Π, Λ) = |Λ|−T /2 exp −
2
(6.33)
(6.34)
t=1
Llamaremos Sij a las matrices:
Sij = T −1
T
X
0
Uit Ujt
(i, j = 0, 1, 2)
t=1
y desde aquı́ se puede utilizar el mismo método que utilizan Gonzalo y Granger para
estimar α y γ⊥ , es decir, en (6.33) se estima α por regresión de rango reducido (Ver
Anderson, 1984; Johansen, 1988) y se encuentra resolviendo el problema:
−1
S01 | = 0
|λS11 − S10 S00
(6.35)
para los valores propios λ̂1 > · · · > λ̂n y los vectores V̂ = (v̂1 , . . . , v̂n ). El cálculo de
estos valores y vectores propios se puede llevar a cabo por el siguiente procedimiento:
En primer lugar, obtener una descomposición de Choleski de la matriz S11 , es decir,
encontrar una matriz S tal que SS0 = S.
Después, multiplicar la ecuación (6.35) por la izquierda por S−1 y por la derecha
por (S0 )−1 obteniendo:
−1
S01 (S0 )−1 | = 0
|λ I − S−1 S10 S00
−1
S01 con respecto a la matriz S11 son
entonces, los valores propios de la matriz S10 S00
−1
−1
S01 (S0 )−1 con respecto a la matriz
los mismos que los de la matriz M = S S10 S00
identidad. Estos valores se hallan por los métodos habituales, ya que cualquier programa
de ordenador dedicado a la econometrı́a o estadı́stica (por ejemplo RATS) suele presentar un método para hallarlos.
Si X es la matriz de los vectores propios de M (ordenados en función de sus valores
propios asociados) y D es la matriz diagonal que contiene los valores propios de M
(ordenados) en su diagonal principal, entonces ha de cumplirse que
−1
S−1 S10 S00
S01 (S0 )−1 X = X D
esto es equivalente a
−1
S−1 S10 S00
S01 (S0 )−1 X = S0 (S0 )−1 X D
y multiplicando en ambos lados de la ecuación, por la izquierda, por S se obtiene
−1
S10 S00
S01 (S0 )−1 X = S11 (S0 )−1 X D
6.3. EST. DE MOD. CON FACTORES COMUNES ESTACIONALES
77
−1
por lo tanto, los vectores propios de S10 S00
S01 con respecto a S11 son (S0 )−1 X.
Los estimadores máximoverosı́miles de α, γ y Λ vienen dados por α̂ = (v̂1 , . . . , v̂r ),
γ̂ = S01 α̂ y Λ = S00 − γ̂γ̂ 0 .
Bajo la hipótesis nula de cointegración estacional,
H0 : π1 = γ α0
el estimador de máxima verosimilitud de γ⊥ , se encuentra mediante el siguiente
procedimiento:
Primero, resolver la ecuación
−1
|λS00 − S01 S11
S10 | = 0
(6.36)
obteniendo los valores propios λ̂1 > · · · > λ̂n y vectores propios M̂ = (m̂1 , . . . , m̂n )
normalizados de forma que M̂ 0 S00 M̂ = I. Ahora la elección de γ⊥ es:
(6.37)
γ̂⊥ = (m̂r+1 , . . . , m̂n ))
La distribución asintótica de γ̂⊥ se puede observar en (6.10).
6.3.2.2.
Estimación de factores completos
El método de estimación propuesto en la sección anterior se puede extender fácilmente para realizar la estimación de modelos con factores completos, es decir, factores
que son simultáneamente I(1) y SI(1). El modelo planteado serı́a entonces:
(6.38)
xt = A1 ft + x̃t
con
(6.39)
12
(1 − L ) ft = ωt
Es necesario ahora plantear una nueva definición de descomposición permanentetransitoria:
Definición 9. Definición. Sea xt una serie SI(1) y I0 (1), es decir, una serie tal que
∆12 xt = (1 − L12 )xt es estacionaria. Una descomposición en parte permanente-parte
transitoria para xt es un par de procesos estocásticos Pt , Tt tal que:
i) ∆12 xt , Pt y Tt son estacionarios en covarianzas.
ii) var(∆12 Pt ), var(∆12 Tt ) > 0
iii) xt = Pt + Tt
iv)
a)
lı́m
h→∞
∂Et (xt+h )
6= 0
∂P t
y
b)
lı́m
h→∞
∂Et (xt+h )
=0
∂T t
donde 1t son las innovaciones en el componente permanente, 2t son las innovaciones
en el componente transitorio, P t es la parte de 1t que es ortogonal a 2t y T t es la
parte de 2t que es ortogonal a 1t .
78
CAPÍTULO 6. ESTIMACIÓN DE MODELOS DE FACTORES COMUNES
Utilizando el mismo método que en el apartado anterior, se busca un factor que sea
una combinación lineal de las variables originales, ft = B xt y que refleje la parte
permanente de la descomposición de las series.
El modelo de corrección de error es ahora:
∆12 xt = −π1 [Z1 (L) + Q∗2 Z2 (L) + · · · + Q∗12 Z12 (L)] xt +
p
X
+
Ai ∆12 xt−i + t
(6.40)
i=1
donde Q∗2 , . . . , Q∗12 son matrices de coeficientes similares a las de la expresión (6.28) y
los polinomios Zj con j : 1, . . . , 12 son5 :
Z1 = (1 + L + L2 + · · · + L11 )
Z2 = −(1 − L + L2 − L3 + L4 − L5 + L6 − L7 + L8 − L9 + L10 − L11 )
Z3 = −(L − L3 + L5 − L7 + L9 − L11 )
Z4 = −(1 − L2 + L4 − L6 + L8 − L10 )
1
Z5 = − (1 + L − 2L2 + L3 + L4 − 2L5 + L6 + L7 − 2L8 + L9 + L10 − 2L11 )
√2
3
Z6 =
(1 − L + L3 − L4 + L6 − L7 + L9 − L10 )
2
1
(1 − L − L2 − L3 + L4 + L5 + L6 − L7 − L8 − L9 + L10 + L11 )
Z7 =
2√
3
Z8 = −
(1 + L − L3 − L4 + L6 + L7 − L9 − L10 )
2
√
√
√
1 √
Z9 = − ( 3 − L + L3 − 3L4 + 2L5 − 3L6 + L7 − L9 + 3L10 − 2L11 )
2
√
√
√
√
1
Z10 =
(1 − 3L + 2L2 − 3L3 + L4 − L6 + 3L7 − 2L8 + 3L9 − L10 )
2
√
√
√
1 √
Z11 =
( 3 + L − L3 − 3L4 − 2L5 − 3L6 − L7 + L9 + 3L10 + 2L11
2
√
√
√
√
1
Z12 = − (1 + 3L + 2L2 + 3L3 + L4 − L6 − 3L7 − 2L8 − 3L9 − L10 )
2
π1 tiene rango r y se puede expresar como:
π1 = γ
n×n
α0
n×r r×n
entonces el modelo ECM se puede escribir:
∆12 xt = −γ α0 [Z1 (L) + Q∗2 Z2 (L) + · · · + Q∗12 Z12 (L)] xt +
p
X
+
Ai ∆12 xt−i + t
i=1
5
Se puede ver su obtención en la sección 4.4.4
(6.41)
6.3. EST. DE MOD. CON FACTORES COMUNES ESTACIONALES
79
En el modelo de factores comunes (6.38-6.39), una vez impuesto que ft = B xt ,
entonces x̃t se puede expresar como x̃t = A2 zt con zt = α0 xt estacionario. Tomando
como base la representación ECM (6.41), se puede ver que las combinaciones lineales
de xt que hacen que zt no ejerza un impacto a largo plazo sobre xt son:
0
ft = γ⊥
xt
0 γ = 0. Ya que
donde γ⊥
∆12 ft =
0
γ⊥
p
X
0
Ai ∆12 xt−i + γ⊥
t
i=1
El modelo factorial (6.38-6.39) se puede escribir entonces:
x t = A1
n×1
0
γ⊥
x t + A2
n×k k×nn×1
α0
xt
n×r r×n n×1
(6.42)
0 se puede realizar por el mismo procedimiento que el
La estimación de la matriz γ⊥
utilizado para los modelos que presentan factores comunes sólo estacionales y que se ha
descrito en el apartado anterior.
80
CAPÍTULO 6. ESTIMACIÓN DE MODELOS DE FACTORES COMUNES
Capı́tulo 7
Indicadores económicos
7.1.
Introducción
En el análisis de la coyuntura macroeconómica es frecuente trabajar con series de
indicadores económicos. El análisis de factores comunes, en este contexto sirve para
conseguir varios objetivos: en primer lugar uno de ellos, que es común a la mayorı́a de
los modelos de análisis factorial clásico, consiste en reducir la dimensión de un conjunto de variables más o menos amplio a un pequeño número de factores comunes a todas
ellas; en segundo lugar, un objetivo más especı́fico de este tipo de modelos es comprobar si el componente permanente de diferentes series económicas es común a todas
ellas y, en caso de que lo sea, extraerlo y analizarlo. El estudio de estos componentes
proporcionará información sobre la estructura de largo plazo de todo el conjunto.
La interpretación de los factores es diferente dependiendo del problema que se
esté estudiando. En este Capı́tulo se van a realizar dos aplicaciones de modelos de factores comunes a series económicas. La primera de ellas está basada en el análisis de
indicadores cı́clicos. Veremos cómo, en este contexto, un modelo de factores comunes
puede servir para obtener un ı́ndice sintético de actividad de la economı́a si se aplica
a series coincidentes con el ciclo, y un indicador adelantado si se aplica a series adelantadas respecto al ciclo. En tales modelos, la obtención de los factores es de interés
en sı́ misma, ya que su análisis puede permitir el conocimiento de aspectos del ciclo
económico que en las propias series no se distinguen, o quedan enmascarados junto a
las variaciones transitorias y el componente irregular.
La segunda aplicación se basa en el estudio de indicadores de producción. El análisis de factores comunes, en este contexto, tiene como objetivo el incorporar en una o
varias series la estructura que es común a varios indicadores. En España no se dispone
de las publicaciones de los datos del PIB más que anualmente, es decir no se publica
trimestral o mensualmente. Cuando se necesita utilizar datos de producción en trabajos
econométricos, se suele utilizar como aproximación la serie del ı́ndice de producción
industrial, cuyos datos se publican mensualmente. Sin embargo hay que tener en cuenta que la industria en España no representa más que la tercera parte de la producción
interior, por lo que si se necesita trabajar con datos más representativos es necesario
81
82
CAPÍTULO 7. INDICADORES ECONÓMICOS
considerar, además del IPI, algunas otras variables que no están en él incluidas y cuya
publicación es también mensual.
En este sentido, el análisis de factores comunes puede llevar a la obtención de un
ı́ndice más general (de largo plazo) de producción, ó al menos a determinar si existen
series guı́a que afecten en general a la producción en varios sectores y, en su caso, a la
determinación de cuáles son los componentes que guı́an a las series de producción.
7.2.
Modelo teórico
Si se observan los gráficos de las series de datos que se pueden considerar indicadores de la realidad económica, se aprecia fácilmente que en la mayorı́a de ellos existe una
fuerte tendencia, además de un componente estacional.
Un forma de modelar este tipo de procesos es mediante un modelo estructural. En
este caso podrı́a ser:
xt = µt + st + t
(7.1)
µt = β + µt−1 + ηt
(7.2)
(7.3)
S(L) st = ωt
siendo {xt } con t : 1, . . . , T una serie temporal, µt el término de tendencia de dicha serie
y st el componente estacional; t , ηt y ωt ruidos blancos normal e independientemente
distribuidos con media cero y varianzas σ2 , ση2 y σω2 respectivamente.
En algunas series se puede apreciar la presencia de una tendencia con pendiente
variable a lo largo del tiempo. Para estas series se ajusta mejor que (7.2) una tendencia
con pendiente estocástica:
µt = µt−1 + βt + ηt
(7.4)
βt = βt−1 + ξt
(7.5)
siendo βt la pendiente de la tendencia1 .
La existencia de cointegración entre varias series de este tipo, implica (Capı́tulo 3)
la existencia de factores comunes. Por tanto, la relación existente entre los distintos
indicadores de un mismo grupo, en caso de existir cointegración, se puede expresar por
medio de un modelo de factores comunes. Si existiera cointegración sólo en la frecuencia
cero, el modelo podrı́a ser:
yt
n×1
=
A µt
n×k k×1
+ t
µt = µt−1 + ηt
(7.6)
n×1
(7.7)
k×1
1
das.
Otra posibilidad es plantear un modelo como el definido por (6.1, 6.2 y 6.3) para las series diferencia-
83
7.3. INDICADORES CÍCLICOS
siendo yt el vector n × 1 formado por las series de indicadores I0 (1) que pertenecen
al mismo grupo, µt el vector k × 1 de factores de tendencia comunes, siendo t y ηt
vectores n × 1 y k × 1 respectivamente con elementos I0 (0) y A una matriz n × k de
ponderaciones.
Si existiera sólo cointegración estacional uniforme el modelo serı́a:
yt = A st + t
S(L) st = ωt
(7.8)
(7.9)
donde st es el vector k × 1 de factores comunes estacionales, t y ωt son vectores n × 1
y k × 1 respectivamente, formados por elementos que son SI(0).
Si hay cointegración completa, el modelo adecuado es:
yt = A ft + t
S
(1 − L )ft = ut
(7.10)
(7.11)
siendo ahora ft el vector k × 1 de factores comunes, t y ut los vectores n × 1 y k × 1
respectivamente, formados por elementos que son simultáneamente I0 (0) y SI(0).
La estimación de los factores, en cualquiera de los tres modelos, se puede realizar
por los procedimientos descritos en el capı́tulo 5.
El método que se va a utilizar para contrastar la existencia de cointegración será el
siguiente: en primer lugar se estimarán por MCO todas las posibles normalizaciones,
con coeficiente unitario en una de las variables, de la ecuación cointegrante entre el
conjunto de series considerado. Es decir, si las series son x1t , x2t y x3t , se plantearán
las regresiones:
x1t = α10 + α11 x2t + α12 x3t + u1t
(7.12)
x2t = α20 + α21 x1t + α22 x3t + u2t
(7.13)
x3t = α30 + α31 x1t + α32 x2t + u3t
(7.14)
(7.15)
se utilizarán los residuos de estas ecuaciones para detectar si existe alguna relación cointegrante. En caso de encontrarse alguna, en segundo lugar, se utilizará el estadı́stico de la
traza de Johansen (1988) para determinar el número de vectores cointegrantes. La propiedad de superconsistencia de los estimadores MCO en ecuaciones de cointegración
permite mediante la estimación de las ecuaciones (7.12-7.14) encontrar de forma rápida
(si es que lo hay) alguno de los vectores cointegrantes. El método de Johansen será útil
entonces para contrastar de manera conjunta el número de relaciones cointegrantes existente en el conjunto de series dado.
7.3.
Indicadores cı́clicos
Los agentes que intervienen en actividades económicas, tanto si pertenecen a empresas como a la administración del Estado, se enfrentan a problemas de tipo muy diferente
84
CAPÍTULO 7. INDICADORES ECONÓMICOS
cuando la economı́a del Estado está en crisis que cuando se encuentra en etapa de auge
económico. En momentos de crisis es normal enfrentarse a restricciones en los gastos,
disminución de empleo, disminución de inversiones, congelación de salarios, etc. mientras que en etapas de auge económico se suelen aumentar las inversiones, el empleo,
salarios, gastos, etc.
La actividad económica de un paı́s que basa su organización de comercio y producción en una estructura de Economı́a de mercado suele presentar, a corto plazo, fases
de crisis y auges que forman fluctuaciones más o menos pronunciadas en torno a su
trayectoria de largo plazo. Estas fluctuaciones se suelen denominar ciclos económicos.
Los individuos reaccionan de forma diferente cuando la economı́a está en una etapa
de crisis que cuando está en un perı́odo de auge, por ello es muy importante conocer
en qué punto del ciclo se encuentra la economı́a y hacia dónde está evolucionando.
Sin embargo, no es una sola variable la que determina el estado de la economı́a. Hay un
sinfı́n de variables macroeconómicas que influyen sobre el estado general de la economı́a
y no existe una única variable real que indique el nivel en que se encuentra la actividad
económica. Esto hace que los dos objetivos más importantes del análisis cı́clico sean:
1. Detectar en qué etapa del ciclo se encuentra la economı́a.
2. Prever la dirección en que se va a mover a corto plazo, en particular detectar las
crisis o auges inminentes.
Entre las técnicas para realizar el análisis de la coyuntura, una de las de mayor
tradición es la utilización de indicadores cı́clicos. Los indicadores cı́clicos son series
de datos que, midiendo aspectos relevantes de la actividad económica, son capaces de
reflejar las variaciones cı́clicas de la economı́a.
Dentro del análisis de indicadores cı́clicos, uno de los problemas que más atención
ha recibido ha sido la determinación de indicadores cı́clicos adelantados. La metodologı́a usada tradicionalmente es bastante sencilla (ver p.ej. Melis, 1982; DGPC, 1983).
En primer lugar se toma un gran número de series con un reconocido comportamiento
cı́clico. Es decir, un conjunto de series suficientemente largas y donde se aprecien con
claridad los periodos recesivos y expansivos. Se comparan las fechas de los picos y valles de cada una de ellas con una cronologı́a de referencia. Se eligen aquellas que de
forma sistemática preceden a las crisis y/o los auges de la cronologı́a de referencia y se
agregan de algún modo en un indicador compuesto, que será el indicador avanzado de
la economı́a.
Sin embargo, a partir de los años 70 el perfil de la mayorı́a de las series económicas
aparece dominado por una fuerte tendencia, por lo que no serı́a ya correcto hablar de
recesiones y expansiones más que en un sentido relativo. Aparece ası́ un nuevo concepto
de ciclo económico, llamado ciclo de crecimiento. En él las crisis se caracterizan como
perı́odos en los que el ritmo de crecimiento es bajo en relación a la evolución global de la
serie y las fases expansivas por un ritmo de crecimiento alto en relación a esa evolución
global. Por ello, en el análisis cı́clico actual es normal ver trabajos en los que el ciclo
de referencia es un ciclo en términos de crecimiento respecto a una trayectoria global, o
tasas de crecimiento.
7.3. INDICADORES CÍCLICOS
85
Uno de los requisitos fundamentales que han de cumplir los indicadores económicos
es la disponibilidad de sus datos a frecuencia mensual. Esto implica la aparición en las
series de un componente estacional que, unido al irregular, dificulta la observación de
su trayectoria de largo plazo.
Sin embargo, el tipo de ciclo que el análisis de indicadores trata de detectar corresponde a fluctuaciones que suelen ser de perı́odo superior al año. Por eso, suele interesar
trabajar con datos desestacionalizados y suavizados (a los que se ha extraı́do el componente estacional e irregular). Ya en 1982, Melis propuso utilizar las tasas de crecimiento
interanual en lugar de las series obtenidas directamente de la realidad. Pero a la luz de
las últimas teorı́as sobre raı́ces unitarias estacionales (Engle et al, 1989; Hylleberg et al,
1990) toma mayor relevancia el hecho de que una diferencia estacional (lo que Melis 1982 utiliza para obtener las tasas interanuales) extrae de la serie S raı́ces unitarias
([S − 1] estacionales y una en la frecuencia cero). Esto puede no ser lo más adecuado si
la serie no presenta raı́ces unitarias en todas las frecuencias estacionales, ya que aparece
un componente de media móvil no invertible que puede llegar a inducir un ciclo estacional en principio inexistente. Además, con este filtro no se desestacionaliza totalmente la
serie, ya que después de pasar el filtro puede quedar aún un componente estacional de
tipo estacionario (con todas sus raı́ces fuera del cı́rculo unidad).
Fernández Macho (1991) propone trabajar con el crecimiento anual de la tendencia
(CAT) de las series; utilizando los modelos estructurales de series temporales (MEST)
para extraer la tendencia y la tasa de crecimiento subyacente de las series y, posteriormente, trabajar con las tasas de crecimiento subyacentes como estimaciones del CAT.
7.3.1.
Cointegración en sistemas de indicadores
Siguiendo el esquema tradicional (por ejemplo el presentado por Melis, 1982; DGPC,
1983; Fernández Macho, 1991), es posible realizar una clasificación de los indicadores
económicos en función de su comportamiento respecto al ciclo económico. Distinguiremos tres grandes grupos:
1. Indicadores coincidentes con el ciclo. Los picos y valles se encuentran aproximadamente en las mismas fechas que las de la cronologı́a de referencia.
2. Indicadores adelantados. Las épocas de crisis o de auge económico se presentan,
en general, en fechas anteriores a las de la cronologı́a de referencia.
3. Indicadores retrasados. Las expansiones y recesiones se presentan, en general,
en fechas posteriores a las de la cronologı́a de referencia.
Una vez obtenida una clasificación, dentro de un grupo determinado todas las variables se comportarán de modo parecido respecto al ciclo de referencia. Los picos y valles
estarán uniformemente adelantados en las series del grupo 2 y uniformemente retrasados
en las del grupo 3. Dicho de otra forma, las series de un mismo grupo seguirán aproximadamente una evolución común, aparentando un equilibrio a largo plazo. Si varias
series no estacionarias están en equilibrio a largo plazo, deben cumplir una relación de
86
CAPÍTULO 7. INDICADORES ECONÓMICOS
cointegración. Por tanto, cabe la posibilidad de que variables pertenecientes al mismo
grupo estén cointegradas. Además, como se ha visto en el Capı́tulo 2, la existencia de
cointegración implica la presencia de factores comunes a todas las series del grupo. Es
posible que sea sólo un pequeño número de factores comunes el que determine la senda
por la que se mueven a largo plazo todos los componentes del grupo.
En el contexto de indicadores económicos, los factores comunes pueden tener una
interpretación bastante lógica. Por ejemplo, supongamos que el grupo de series coincidentes con el ciclo presentara un único factor común; ese factor podrı́a interpretarse
como un (único) indicador de la actividad económica a largo plazo. Si existiera un factor común en el grupo de indicadores adelantados, este factor se podrı́a considerar como
un representante de todo el grupo, proporcionando ası́ un nuevo indicador adelantado
(sintético) que recogerı́a la estructura de largo plazo común a todas las series del grupo.
En el grupo de indicadores retrasados se puede hacer una interpretación similar.
7.3.2.
7.3.2.1.
Análisis de los indicadores de la Economı́a Española
Punto de partida
En este apartado se partirá de la clasificación realizada por Fernández Macho (1991)
para comprobar las posibles relaciones de cointegración y los posibles factores comunes
existentes en el grupo de indicadores que constituye su ciclo de referencia, en el grupo de
indicadores adelantados y en el grupo de retrasados. Fernández Macho utilizando datos
desde 1968 hasta 1989 y proyecciones para el año 1990 construye en primer lugar un
ciclo de referencia basado en el CAT (crecimiento anual de la tendencia) de un conjunto
de series afines a la producción, el empleo y el consumo (Toma como base las mismas
series utilizadas en 1983 por la Dirección General de Previsión y Coyuntura (DGPC)):
a) IPI: Indice general de producción industrial.
b) DEMELE: Demanda de energı́a eléctrica.
c) DISCEM: Disponibilidades de cemento
d) PERHOT: Pernoctaciones en establecimientoes hoteleros.
e) TRAMER: Transporte de mercancı́as por ferrrocarril.
f) IMNENE: Importaciones reales no energéticas.
g) CREPRI: Crédito al sector privado (deflactado por el IPRI general).
h) PARNAG: Paro registrado no agrario (considerado inversamente).
Para constituir el ciclo de referencia se siguen las recomendaciones del grupo de
trabajo sobre análisis cı́clico de la OCDE, según las cuales el ciclo de referencia deberı́a
reflejar la producción, en un sentido amplio del término. Se ha seleccionado un conjunto de series representativas de los sectores de la industria, de la construcción y de los
servicios, tratando con ello de reflejar la evolución del PIB no agrario, puesto que el
7.3. INDICADORES CÍCLICOS
87
sector primario suele excluirse de este tipo de estudios por su comportamiento especı́fico, ajeno, en gran medida, a las fluctuaciones cı́clicas de la economı́a en general. Se ha
descartado la utilización del IPI como único indicador fundamentalmente debido a su
insuficiente cobertura, ya que la actividad industrial representa en torno al 30 por ciento
del PIB.
Tomando como base las ocho series mencionadas, se construye un ı́ndice mensual de
actividad y, apartir de él, el ciclo CAT de referencia. El fechado de los puntos crı́ticos del
ciclo CAT determina la cronologı́a de referencia de las aceleraciones y desaceleraciones
en la actividad económica.
Esta cronologı́a de referencia sirve para determinar el grupo al que pertenecen los
31 indicadores parciales estudiados, correspondientes a todas las ramas de actividad de
la economı́a.
El grupo de los indicadores adelantados está formado por 12 series, de las cuales
Fernández Macho utiliza sólo 5 para construir su indicador sintético adelantado. Teniendo en cuenta la dificultad que supone, en el análisis de cointegración, trabajar con
un número de series elevado, aquı́ se considerarán como integrantes del grupo solamente
estas cinco últimas:
a) COLOCA: Colocaciones totales. Es un representante del empleo.
b) PROIND: Tendencia de la producción industrial. Representante de producción y
consumo.
c) NIVCON: Opiniones empresariales sobre el nivel de contratación en la producción.
d) STOCON2 : Opiniones empresariales sobre el stock de productos terminados de
consumo (tratado inversamente). Representante de la inversión en inventarios.
e) M3d: Disponibilidades lı́quidas (deflactadas por el IPC). Representante de la circulación de medios de pago.
Nueve de los 31 indicadores estudiados se pueden considerar retrasados respecto a
la cronologı́a de referencia. De ellos sólo se seleccionan cinco para formar el indicador
sintético retrasado. En el presente trabajo se considerarán sólo estas cinco series como
integrantes del grupo de indicadores retrasados respecto al ciclo económico. Las series
son:
a) IVEGAL: Indice de ventas en grandes almacenes. Representante de la producción
y el consumo.
b) STOCON: Opiniones empresariales sobre el stock de productos terminados de
consumo. Representante de la inversión en inventarios.
2
Fernández Macho (1991) clasifica la variable STOCON multiplicada por -1 como adelantada respecto
al ciclo, con un adelanto mediano de +3.5 meses. Sin embargo, clasifica la variable STOCON original
como retrasada respecto al ciclo, con un retraso mediano de -11.5 meses. Como en el contexto de factores
comunes no es relevante el signo de la variable (quedará determinado en la estimación de la matriz de
ponderaciones) aquı́ se utiliza la misma variable en el grupo de adelantados y en el de retrasados.
88
CAPÍTULO 7. INDICADORES ECONÓMICOS
c) IPC: Indice general de precios al consumo. Representante del nivel de precios.
d) IMPORT: Importaciones totales.
e) EXPORT: Exportaciones totales. Los dos últimos, representantes del comercio
con el exterior.
7.3.2.2.
Estudio de cointegración
El análisis de cointegración se va a iniciar tomando como base el conjunto de series
que formaron el ciclo de referencia. Los datos utilizados son de periodicidad mensual y
comprenden desde Enero de 1977 hasta Noviembre de 1991 (167 observaciones). Las
ocho series del grupo (en logaritmos), ası́ como sus correlogramas, periodogramas y los
de su primera diferencia se representan en el apéndice de gráficos B, en las páginas 123
a 130. En todas ellas, excepto quizás TRAMER, se nota claramente una tendencia; en algunas de las series creciente (IPI, DEMELE, IMNENE, PARNAG) y en otras con tramos
crecientes y decrecientes (DISCEM, CREPRI). En todas se aprecia la existencia de un
componente estacional, aunque en series como DISCEM o TRAMER de carácter más
débil que en las demás. Observando los correlogramas de las series y de sus primeras
diferencias, se aprecian fuertes componentes estacionales en las series IPI, DEMELE,
PERHOT, CREPRI y PARNAG.
Para cada una de las series se estimará por MCO la ecuación (5.21). Se va a utilizar
el estadı́stico t del coeficiente γ0 de la ecuación para contrastar la existencia de una raı́z
unitaria en la frecuencia cero, y el estadı́stico FD de los coeficientes γ1 , . . . , γ11 para
contrastar la existencia de integración estacional uniforme (ver sección 5.4).
7.3.2.2.1.
El ciclo de referencia.
El Cuadro 7.1 muestra los valores calculados para los estadı́sticos t(γ0 ) y FD. Para
la serie TRAMER, al nivel de significación del 5 % se rechaza la existencia de una raı́z
unitaria en la frecuencia cero y de once raı́ces unitarias estacionales. Por tanto, se puede
considerar que es I0 (0) y SI(0). Para el resto de las series no se rechaza la existencia
de raı́z unitaria en la frecuencia cero.
Para las series DEMELE, PERHOT, CREPRI e IPI no se rechaza la hipótesis de
integración estacional. Se puede considerar que son SI(1). Para el resto (DISCEM,
IMNENE, PARNAG) se rechaza dicha hipótesis al nivel de significación del 5 %, por
tanto son SI(0).
A continuación, para las series en las que se ha aceptado la presencia de una raı́z
unitaria en la frecuencia cero, se comprueba si existe una segunda raı́z unitaria en dicha
frecuencia. Para ello se estima la ecuación (6.29) con las series en diferencias. En caso
de aceptarse la segunda raı́z unitaria se efectúa el contraste para la tercera. Los resultados
se muestran en el Cuadro 7.2.
En resumen, tenemos una serie I0 (0) (TRAMER), tres series I0 (1) (DEMELE, IMNENE y DISCEM), y cuatro series I0 (2) (PERHOT, CREPRI, PARNAG e IPI). En
89
7.3. INDICADORES CÍCLICOS
Cuadro 7.1: Contraste de raı́z unitaria en la frecuencia cero y de integración estacional
uniforme
t(γ0 )
FD
IPI
−0,77
0,21
DEMELE −0,13
1,89
DISCEM
0,76
6,25*
PERHOT
−1,66
2,43
TRAMER −3,17*
4,81*
IMNENE
0,53
5,09*
CREPRI
−1,46
2,81
PARNAG
−1,89
10,60*
El valor crı́tico del estadı́stico t(γ0 ) para T = 240 obs. al α = 5 % es de −2,80
(Beaulieu y Miron, 1993). El valor crı́tico del estadı́stico FD para α = 5 %
y T = 200 obs. es 3,23 y para T= 150 obs. es 3,12 (Cap.4).
cuanto al componente estacional, cuatro series son SI(0) (TRAMER, DISCEM, IMNENE y PARNAG) y las otras cuatro son SI(1) (DEMELE, PERHOT, CREPRI e IPI).
Cointegración completa.
Sólamente hay tres series integradas del mismo orden estacionalmente y en la frecuencia cero: PERHOT, IPI y CREPRI. Se han estimado por MCO las tres posibles
normalizaciones de la ecuación cointegrante entre las tres series, obteniéndose los siguientes resultados:
V. Dependiente
PERHOT
IPI
CREPRI
t(γ0 )
−1,21
−2,21
−0,80
FD
0,43
0,32
0,26
DHF
−0,81
−0,98
−1,20
Cuando, con base en los residuos, se desea contrastar la hipótesis de cointegración
completa, el método adecuado es un contraste conjunto de integración en la frecuencia cero e integración estacional, o dicho de otra forma, un contraste conjunto de la
existencia de once raı́ces unitarias estacionales y una en la frecuencia cero. Esto es precisamente lo que se plantea en el contraste propuesto por Dickey, Hasza y Fuller (1984)
(ver Capı́tulo 4 sección 4.2). Uno de los métodos que plantean, y que utilizaremos aquı́,
se basa en el estadı́stico t del coeficiente α de la ecuación: yt = αyt−S + t . Para el
caso que nos ocupa, con datos mensuales y sin variables ficticias estacionales, el valor
crı́tico del estadı́stico t en las tablas calculadas por Dickey-Hasza-Fuller al nivel de significación del 5 % es de −1,41. El estadı́stico t de Dickey-Hasza-Fuller figura en la tabla
anterior bajo el nombre DHF.
En los residuos de las tres ecuaciones, tanto usando los estadı́sticos t(γ0 ) y FD como
el estadı́stico DHF se acepta la existencia de raı́ces unitarias estacionales y en la frecuen-
90
CAPÍTULO 7. INDICADORES ECONÓMICOS
Cuadro 7.2: Varias raı́ces unitarias en la frecuencia cero
∆ DEMELE
∆ PERHOT
∆ IMNENE
∆ CREPRI
∆ PARNAG
∆ IPI
∆ DISCEM
t(γ0 )
−3,69
−2,77
−5,43
−1,44
−1,88
−1,70
−5,38
∆2 PERHOT
∆2 CREPRI
∆2 PARNAG
∆2 IPI
−5,72
−6,63
−7,86
−8,75
→
Resultados al α = 5 %
DEMELE es I0 (1)
→
IMNENE es I0 (1)
→
DISCEM es I0 (1)
→
→
→
→
PERHOT es I0 (2)
CREPRI es I0 (2)
PARNAG es I0 (2)
IPI es I0 (2)
cia cero, por tanto no hay cointegración completa entre estas tres series. Sin embargo,
aún no se puede determinar si existe cointegración sólo en la frecuencia cero o sólo
en las frecuencias estacionales. Del teorema demostrado por Engle, Granger y Hallman
(1989, Pág. 50) se deduce que si no existe cointegración en la frecuencia cero, aunque
exista en las estacionales, los estimadores de la ecuación cointegrante son inconsistentes; de la misma forma, si no existe cointegración estacional, aunque haya cointegración
en la frecuencia cero, los estimadores MCO de la ecuación cointegrante son inconsistentes. Esto implica que para estimar la ecuación cointegrante estacional (cuando no hay
cointegración completa) es necesario extraer de cada serie las raı́ces unitarias de la frecuencia cero y para estimar la ecuación cointegrante de la frecuencia cero es necesario
extraer las raı́ces unitarias estacionales.
Cointegración estacional
De las ocho series que forman el grupo, se ha comprobado que cuatro de ellas son
integradas estacional y uniformemente, SI(1): DEMELE, PERHOT, IPI y CREPRI.
Como DEMELE tiene una raı́z unitaria en la frecuencia cero, es necesario tomar
una diferencia (o filtro (1 − L)) para incorporarla en la ecuación cointegrante estacional.
PERHOT, IPI y CREPRI tienen dos raı́ces unitarias en la frecuencia cero y, por tanto, se
van a diferenciar dos veces (filtro (1 − L)2 ).
Se han estimado las cuatro posibles ecuaciones cointegrantes estacionales y calculado los estadı́sticos FD de sus residuos:
91
7.3. INDICADORES CÍCLICOS
V. Dependiente
∆2 PERHOT
∆2 IPI
∆2 CREPRI
∆ DEMELE
FD de los residuos
2,75
0,61
2,40
1,96
Al nivel de significación del 5 % en ninguno de los cuatro casos se puede rechazar
la hipótesis de integración estacional uniforme en los residuos, por lo tanto no se acepta
la existencia de cointegración estacional entre las cuatro series.
Cointegración en la frecuencia cero
En el conjunto de series considerado, hemos visto que hay tres que son I0 (1): IMNENE, DISCEM y DEMELE; y cuatro que son I0 (2): PARNAG, PERHOT, IPI y CREPRI.
Antes de empezar el análisis es necesario extraer de cada una de las series las raı́ces
unitarias estacionales. Se ha comprobado que DEMELE, PERHOT, IPI y CREPRI son
SI(1), por tanto, para extraer sus raı́ces unitarias estacionales lo adecuado es aplicarles
el filtro S(L) = 1 + L + · · · + L11 . Sin embargo, todo lo que se sabe hasta ahora de las
series PARNAG, IMNENE y DISCEM es que son SI(0) o, dicho de otra forma, que no
contienen once raı́ces unitarias estacionales. Por tanto, aún cabe la posibilidad de que
contengan un número inferior de raı́ces unitarias estacionales y, si esto es cierto, también
es necesario extraer esas raı́ces antes de continuar con el análisis de la frecuencia cero.
Para comprobar el número de raı́ces unitarias que contiene cada una de las series utilizaremos los contrastes de HEGY (ver sección 4.4.4 del presente trabajo). Aplicándolos
a las series mencionadas se han obtenido los valores del Cuadro 7.3.
Cuadro 7.3: Resultados de los contrastes de HEGY
Serie
PARNAG
IMNENE
DISCEM
Fπ/6
2,88*
9,43
2,43*
Fπ/3
12,93
1,95*
2,94*
Fπ/2
10,95
3,01
1,34*
F2π/3
5,96
4,73
17,36
F5π/6
10,70
2,84*
4,70
tπ
2,15*
−2,02
−1,37*
(*): no significativo al α = 5 %.
El valor crı́tico del estadı́stico F para α=5 % , ω = π/6, . . . , 5π/6 y T = 240
es 3,01. El valor crı́tico del estadı́stico t par a α=5 % y T = 240 es -1.89
(Beaulieu y Miron, 1993)
En la serie PARNAG se presentan dos raı́ces unitarias en las frecuencias ±π/6 y una
en la frecuencia π. El filtro necesario para extraer estas raı́ces es3 :
√
√
√
(1 − 3L + L2 )(1 + L) = 1 + (1 − 3)L + (1 − 3)L2 + L3
3
Ver ecuaciones 5.25 en el apéndice 5.A
92
CAPÍTULO 7. INDICADORES ECONÓMICOS
La serie IMNENE contiene raı́ces unitarias en las frecuencias ±π/3 y ±π/6. El
filtro correspondiente a estas frecuencias es:
√
√
√
√
(1 − L + L2 )(1 + 3L + L2 ) = 1 − (1 − 3)L + (2 − 3)L2 − (1 − 3)L3 + L4
La serie DISCEM presenta raı́ces unitarias en las frecuencias ±π/6, ±π/3, ±π/2 y
π; y por tanto, el filtro adecuado a esta serie es:
√
(1 − 3L + L2 )(1 − L + L2 )(1 + L2 )(1 + L) =
= 1−
√
3L + 2L2 + (1 −
√
3)L3 + (1 −
√
3)L4 + 2L5 −
√
3L6 + L7
Una vez aplicados estos filtros, se estiman las posibles ecuaciones cointegrantes.
En primer lugar, se han considerado las relaciones entre las series que son I0 (2):
PARNAGf , PERHOTf , IPIf y CREPRIf (el subı́ndice f indica que se han transformado con los filtros antes mencionados). Se han estimado por MCO las cuatro normalizaciones posibles entre estas series. Se va a utilizar el estadı́stico t0 de HEGY para
comprobar la existencia de raı́ces unitarias en los residuos de las ecuaciones cointegrantes. El estadı́stico t0 ha tomado los siguientes valores:
Vble. endógena
PARNAGf
PERHOTf
IPIf
CREPRIf
Estadı́stico t0 de los residuos
−1,78
−1,17
−1,28
−1,09
Valor crı́tico del estadı́stico t para α=5 % y T = 240: -2.80
(Beaulieu y Miron, 1993)
En ninguno de los cuatro casos se puede rechazar la existencia de una raı́z unitaria en la
frecuencia cero en los residuos, por tanto no existe cointegración de tipo C(2, 2) entre
estas series. Para comprobar la cointegración de tipo C(2, 1) se toma una diferencia en
cada una de ellas y se plantean y estiman de nuevo las ecuaciones. Se han obtenido los
siguientes valores para el estadı́stico t0 :
Vble. endógena
∆ PARNAGf
∆ PERHOTf
∆ IPIf
∆ CREPRIf
Estadı́stico t0 de los residuos
−2,52
−3,89
−2,79
−1,96
Como se puede observar, al nivel de significación del 5 % se rechaza la existencia de
una raı́z unitaria en la ecuación que tiene a ∆PERHOTf como variable dependiente. En
las ecuaciones que tienen a ∆PARNAGf y ∆IPIf como variables dependientes el valor
del estadı́stico, aunque es superior, está muy cercano al valor crı́tico. Sin embargo, hay
que tener en cuenta que se están haciendo contrastes individuales para cada uno de los
vectores cointegrantes, cuando, en caso de haber más de uno es más adecuado proponer
93
7.3. INDICADORES CÍCLICOS
un contraste conjunto. Por tanto, cabe esperar que no estemos muy lejos de la realidad
si, en base a los valores que ha tomado el estadı́stico t0 , suponemos que los residuos
de las ecuaciones que toman como variables dependientes a ∆PARNAGf y ∆IPIf no
contienen raı́ces unitarias en la frecuencia cero. En tal caso habrı́a tres distintos vectores
cointegrantes.
Una forma más adecuada de comprobar esto es por medio de uno de los procedimientos de Johansen (1988). Johansen construye dos estadı́sticos que sirven para determinar el rango de cointegración (número de vectores cointegrantes) existente entre
un determinado número de series temporales. Aquı́ se va a utilizar el que se denomina
estadı́stico de la traza. Su fórmula viene dada por:
t(r) = −T
n
X
ln(1 − λ̂h )
h=r+1
siendo n el número de series que se están considerando, r el posible rango de cointegración (se calculará el estadı́stico para distintos valores de r) y λ̂1 , . . . , λ̂n son los valores
−1
S01 con respecto a S11 , siendo estas matrices Sij
propios ordenados de la matriz S10 S00
las definidas en la ecuación (6.8).
Bajo la hipótesis nula de que como máximo hay r vectores cointegrantes, la distribución asintótica del estadı́stico viene dada por una expresión que incluye integrales
estocásticas de movimientos Brownianos de la siguiente forma:
Z
−1 Z
Z
0
0
dB F
F F du
F dB 0
donde B es un vector de movimiento Browniano, y F es una función de B que incluye
diferentes componentes deterministas para diferentes hipótesis nulas. La aproximación
a esta distribución por medio de simulaciones ha sido tabulada por Johansen (1988) y
por Osterwald-Lenum (1992).
En el caso que nos ocupa, el estadı́stico de la traza ha tomado los siguientes valores4 :
(se ha restado la media a cada variable)
t(0) = 586,23
t(1) = 239,23
t(2) = 86,51
t(3) = 0,72
V.Crı́tico t(0) (5 %) = 47,21
V.Crı́tico t(1) (5 %) = 29,68
V.Crı́tico t(2) (5 %) = 15,41
V.Crı́tico t(3) (5 %) = 3,76
Por tanto, se rechazan las hipótesis de que como máximo hay 0, 1 y 2 vectores
cointegrantes y no se rechaza la hipótesis de que el rango de cointegración sea como
máximo 3. Esto ratifica la conclusión que se habı́a obtenido al analizar los residuos
MCO de las ecuaciones cointegrantes, es decir, que existen tres vectores cointegrantes.
Dado que el número de factores comunes a n series es n menos el rango de cointegración, esto implica la presencia de un único factor de tendencia común a estas cuatro
series.
4
Valores crı́ticos tomados de Osterwald-Lenum (1992)
94
CAPÍTULO 7. INDICADORES ECONÓMICOS
Utilizando el método de Gonzalo y Granger (1995) (ver sección 6.2.2) se ha estimado el factor de tendencia común (para ello se ha restado a cada variable su media),
obteniendo como resultado:
f actor
= −8,33∆P ARN AGf − 5,39∆P ERHOTf +
+5,10∆IP If − 187,67∆CREP RIf
(7.16)
Se ha representado gráficamente esta serie en la página 131, dado que para las series
que forman el factor se disponı́a de datos desde mayo de 1972, se han añadido estos
datos en la representación gráfica del mismo. Siguiendo a lo largo del tiempo la evolución de éste, se aprecia en primer lugar un decrecimiento de la serie, alcanzando un
mı́nimo local a mediados del 75. Esto significa que el ritmo de crecimiento de la actividad económica fue disminuyendo hasta alcanzar esta fecha, probablemente debido al
primer impacto de la crisis del petróleo. Entre finales del 75 y principios del 76 se nota
una pequeña recuperación, alcanzando un máximo local en mayo del 76. Sin embargo, a
partir de esa fecha continúa decreciendo la trayectoria del factor hasta alcanzar un mı́nimo en marzo del 78. Esto puede corroborar lo que muchos observadores económicos
han comentado, el retraso en llegar a España de la crisis del petróleo. Dado el fuerte
ritmo de crecimiento de la economı́a española en los años setenta, la crisis del petróleo
no significó en principio una fuerte caı́da en los niveles de actividad, sino simplemente
una disminución en la tasa de crecimiento de esta actividad, que sólo al cabo de unos
años (77-78) pudo tener consecuencias en términos de nivel. En la trayectoria del factor
se detectan con bastante claridad las tres grandes etapas de la economı́a española a lo
largo de los últimos años. Una primera etapa de alto crecimiento, aproximadamente hasta finales de 1976; una fase de estancamiento desde principios del 77 hasta finales del
84; y una fase de recuperación que comienza a principios de 1985 y alcanza su máximo ritmo de crecimiento en el primer semestre de 1989. A partir de los últimos meses
del 89 se distingue una fuerte disminución en la tasa de crecimiento de la economı́a,
manteniéndose hasta el final de la muestra estudiada.
Se puede comparar el factor común aquı́ estimado con el ciclo CAT de referencia
utilizado en Fernández Macho (1991). Para ello hay que tener en cuenta que en la elaboración del ciclo CAT las tasas anuales están centradas respecto al año, lo cual supone un
retraso respecto a las transformaciones que aquı́ se utilizan (y al factor común) de seis
meses. La situación relativa de los máximos y mı́nimos locales es aproximadamente la
misma en ambos ciclos. Fundamentalmente se detectan dos máximos, aproximadamente
en los años 81-82 y 88-89 y dos mı́nimos en los años 77 y 84. La mayor diferencia entre
ambas series está en la importancia relativa dada al mı́nimo del año 75, que en el ciclo
CAT llega a ser el mı́nimo global del perı́odo analizado y sin embargo en nuestro factor
común, aunque se detecta, parece tener poca importancia. Hay que tener en cuenta que
la diferencia fundamental entre las dos series es que en la de Fernández intervienen las
ocho series del grupo con las mismas ponderaciones y sin embargo en el factor aquı́ estimado intervienen sólo las cuatro series que son I0 (2), y la ponderación otorgada a cada
una no se ha fijado de antemano, sino que ha sido determinada en base a los coeficientes
que se derivan del modelo de corrección de error.
El modelo de corrección de error correspondiente a este conjunto de series sigue la
95
7.3. INDICADORES CÍCLICOS
ecuación:
∆ xt = γ zt−1 + Γ1 ∆ xt−1 + · · · + Γq ∆ xt−q + t
(7.17)
siendo xt = (∆P ARN AGf , ∆P ERHOTf , IP If , CREP RIf )0 y zt = α0 xt siendo
α0 la matriz que tiene como filas los vectores cointegrantes. La estimación de las relaciones cointegrantes (por el método de Johansen 1988) ha proporcionado los siguientes
resultados:
ẑ1t = 752,9∆P ARN AGf + 1481,4∆P ERHOTf + 18818,7∆IP If
+1476,2∆CREP RIf
ẑ2t = 352,0∆P ARN AGf + 1292,6∆P ERHOTf + 12027,2∆IP If
−965,4∆CREP RIf
ẑ3t = 839,1∆P ARN AGf + 8233,2∆P ERHOTf + 9351,6∆IP If
−362,8∆CREP RIf
En la estimación de los coeficientes del modelo de corrección de error (7.17), se ha
utilizado el estadı́stico Q de Ljung-Box para determinar el número de retardos autorregresivos q a incluir en la ecuación, y se han obtenido los siguientes valores estimados5 :
(N.Obs utiles = 148, Grados de libertad = 76, q = 18)
∆2 (P ARN AGf )t = 0,88z1t−1 + 6,57z2t−1 + 26,9z3t−1 +
+retardos de ∆2 (P ARN AGf )t , ∆2 (P ERHOTf )t ,
∆2 (IP If )t , ∆2 (CREP RIf )t + ˆ1t
∆2 (P ERHOT ) = 2,38z1t−1 + 7,64z2t−1 + 1,21z3t−1 +
+retardos de ∆2 (P ARN AGf )t , ∆2 (P ERHOTf )t ,
∆2 (IP If )t , ∆2 (CREP RIf )t + ˆ2t
∆2 (IP I) = 114,11z1t−1 − 111,46z2t−1 + 60,95z3t−1 +
+retardos de ∆2 (P ARN AGf )t , ∆2 (P ERHOTf )t ,
∆2 (IP If )t , ∆2 (CREP RIf )t + ˆ3t
∆2 (CREP RI) = 34,39z1t−1 + 26,65z2t−1 + 0,56z3t−1 +
+retardos de ∆2 (P ARN AGf )t , ∆2 (P ERHOTf )t ,
∆2 (CREP RIf )t + ˆ1t
5
Las variables se han expresado en desviaciones con respecto a sus medias.
96
CAPÍTULO 7. INDICADORES ECONÓMICOS
El vector de ponderaciones se ha estimado aplicando MCO a la ecuación:
(7.18)
xt = κ + A1 ft + A2 zt + ut
en el modelo factorial se ha añadido un vector de constantes κ debido a que las variables6
no parecen tener media cero, el resultado de la estimación de los vectores κ y A ha sido:




0,410E − 03
0,404E − 02
 (0,55E − 11) 
 (0,49E − 10) 




 −0,628E − 03 
 0,152E − 01 
 (0,85E − 11) 
 (0,75E − 10) 


A1 = 
κ=
 0,824E − 04  ;
 0,618E − 02 




 (0,11E − 11) 
 (0,98E − 11) 




−0,536E − 02
0,196E − 01
(0,73E − 10)
(0,64E − 09)
En los gráficos de las páginas 131-133 se representan las cuatro series filtradas y
diferenciadas, con el factor común ponderado por el peso correspondiente a cada variable más la constante. Tanto en los gráficos como en los propios coeficientes del factor
(7.16) se aprecia cómo está fundamentalmente dominado por la variable ∆CREPRIf .
Para comprobar si se puede considerar que ∆CREPRIf es realmente el factor común
a las cuatro series, se ha estimado la ecuación (7.18) sustituyendo el factor ft por la
variable ∆CREPRIf . Si esto fuera cierto, el vector de perturbaciones de dicha ecuación
habrı́a de ser ruido blanco. Sin embargo, los residuos de las ecuaciones que tienen como
variables endógenas a ∆IPIf y ∆PARNAGf muestran autocorrelación (Q(36) = 288,5
en el IPI y Q(36) = 87,24 en PARNAG) y el estadı́stico t(γ0 ) aplicado a estas series
de residuos toma los valores −1,32 y −2,58 respectivamente, reflejando la existencia de
una raı́z unitaria en cada una de ellas. La variable ∆CREPRIf por sı́ sola no es capaz de
recoger toda la estructura de largo plazo de las series ∆IPIf y ∆PARNAGf y, por tanto,
no se puede considerar que ella sea el factor común. La varianza total del conjunto se ha
estimado en 0,0143 y la explicada por el factor ha sido 0,0022, que supone el 15, 81 %
del total.
Multiplicando el factor por el coeficiente correspondiente a ∆PARNAGf en la matriz de ponderaciones, se obtiene una forma de expresar el factor acorde con las restricciones mencionadas en el capı́tulo 2, es decir, un factor cuya matriz de ponderaciones
está formada por la primera columna de una matriz triangular hacia abajo y con los elementos de la diagonal unitarios (Ecuación 2.8). Entonces el modelo de factores comunes
se puede escribir:
xt = κ + A∗1 ft∗ + νt
(7.19)
siendo ft∗ = 0,410E − 03 ft , νt un vector de elementos I0 (0) y


1,00
 −1,53 

A∗1 = 
 0,20 
13,07
6
Aquı́ se han tomado las variables originales, sin restarles las medias.
97
7.3. INDICADORES CÍCLICOS
Como las variables PERHOT, IPI, CREPRI y PARNAG forman un conjunto cointegrado de tipo C(2, 1), los residuos de las ecuaciones cointegrantes planteadas en niveles
son I0 (1) y, a su vez, pueden estar cointegrados con otras variables de tipo I0 (1), como
pueden ser IMNENE, DISCEM y DEMELE. De esta forma, es posible que las siete variables formen un conjunto cointegrado aún cuando no son todas integradas del mismo
orden.
Denominaremos ˆP AR a la serie de residuos de la ecuación cointegrante que tiene como variable dependiente a PARNAGf y como variables explicativas a PERHOTf ,
IPIf y CREPRIf además de una constante. Llamaremos ˆP ER a la serie de residuos de
la ecuación que tiene como variable dependiente a PERHOTf y como variables explicativas a PARNAGf , IPIf y CREPRIf ; y denominaremos ˆIP I a la serie de residuos de
la ecuación que tiene como variable dependiente a IPIf y como variables explicativas a
PARNAGf , PERHOTf y CREPRIf .
Consideraremos los tres posibles conjuntos cointegrados:
Conjunto 1
IMNENEf
DISCEMf
DEMELEf
ˆP ER
Conjunto 2
IMNENEf
DISCEMf
DEMELEf
ˆIP I
Conjunto 3
IMNENEf
DISCEMf
DEMELEf
ˆP AR
La estimación de las cuatro posibles normalizaciones de la ecuación cointegrante
dentro del conjunto 1, produce cuatro series de residuos cuyos estadı́sticos t0 son:
Vble. Dependiente
IMNENEf
DISCEMf
DEMELEf
ˆP ER
t0
−1,97
−1,03
−2,20
−1,99
Al nivel de significación del 5 % en ninguno de los cuatro casos se puede rechazar la
existencia de una raı́z unitaria en los residuos, por tanto ninguna de ellas es una ecuación
de cointegración.
La estimación de las cuatro normalizaciones dentro del conjunto 2 presenta los siguientes resultados:
Vble. Dependiente
IMNENEf
DISCEMf
DEMELEf
ˆIP I
t0
−3,02
−1,00
−3,36
−2,49
En dos de las series de residuos (IMNENEf y DEMELEf ) se puede rechazar la existencia de una raı́z unitaria al nivel de significación del 5 % y en una tercera (ˆ
IP I ) el
98
CAPÍTULO 7. INDICADORES ECONÓMICOS
valor del estadı́stico t0 , aunque superior, se encuentra muy cercano al valor crı́tico de la
distribución.
La estimación de las cuatro normalizaciones dentro del conjunto 3 presenta los siguientes resultados:
Vble. Dependiente
IMNENEf
DISCEMf
DEMELEf
ˆP AR
t0
−2,78
−2,23
−2,57
−2,31
En ninguna de las cuatro ecuaciones se rechaza claramente la existencia de una raı́z unitaria en los residuos; por tanto, ninguna de ellas se acepta como ecuación cointegrante.
Sólo se ha encontrado cointegración dentro del conjunto 2. Se han encontrado como
mı́nimo dos vectores cointegrantes y muy probablemente un tercero. Sin embargo, como
la situación de los valores crı́ticos cuando se trabaja con series de residuos no está muy
bien definida, pasaremos a construir el contraste de la traza de Johansen para ver si se
pueden ratificar los resultados antes mencionados. Al aplicarlo a las cuatro series que
forman el conjunto 2 se han obtenido los siguientes resultados:
t(0) = 130,4
t(1) = 25,74
t(2) = 2,57
t(3) = 1,13
V.Crı́tico = 47,21
V.Crı́tico = 29,68
V.Crı́tico = 15,41
V.Crı́tico = 3,76
Se rechaza la existencia de cero vectores cointegrantes (α = 5 %), pero se acepta la existencia de al menos uno. Esto contradice los resultados que aparentemente se obtenı́an
mediante el estadı́stico t0 , pero dado que los valores crı́ticos de t0 no están bien definidos para series de residuos, se puede considerar más fiable el resultado que indica el
estadı́stico de la traza. Esto implica la existencia de tres factores comunes a estas series.
Sin embargo, la existencia de un componente común de largo plazo determinado por
tres factores, cuando el número de series considerado es de cuatro, no facilita mucho
la interpretación de la información común, al contrario de lo que ocurre en un modelo
en el que sólo haya uno o dos factores comunes. Aunque la capacidad explicativa del
modelo, en términos cuantitativos puede ser alta, la explicación desde un punto de vista
descriptivo del componente común de largo plazo se complica bastante, por ello no se
ha considerado interesante la estimación de los factores en este caso.
7.3.2.2.2.
Indicadores adelantados
A continuación se va a analizar el grupo de los indicadores adelantados. Las cinco series del grupo junto con sus correlogramas, periodogramas y los de sus primeras
diferencias se recogen en las páginas 134 a 138.
En primer lugar, se comprueba el orden de integración estacional uniforme y el orden
de integración en la frecuencia cero. Para ello se utilizan los estadı́sticos FD y t(γ0 ) ya
mencionados.
99
7.3. INDICADORES CÍCLICOS
Cuadro 7.4: Contraste de raı́z unitaria en la frecuencia cero y de integración estacional
uniforme (Indicadores adelantados)
t(γ0 )
FD
COLOCA −1,14
2,62
PROIND
−1,85
3,16
NIVCON −1,34
11,04
STOCON −1,73
44,52
M3d
1,62
3,79
El valor crı́tico del estadı́stico t(γ0 ) para T = 240 obs. al α = 5 % es de −2,80
(Beaulieu y Miron, 1993). El valor crı́tico del estadı́stico FD para α = 5 %
y T = 200 obs. es 3,23 y para T= 150 obs. es 3,12 (Cap.4).
El estadı́stico FD muestra que, al nivel de significación del 5 %, se puede admitir que
COLOCA es una serie integrada estacionalmente de orden uno, sin embargo las demás
son SI(0). Tomando como base el estadı́stico t(γ0 ) se aprecia que todas ellas contienen
al menos una raı́z unitaria en la frecuencia cero. Aplicando el estadı́stico a las series
diferenciadas se han obtenido los siguientes valores:
Serie
∆COLOCA
∆PROIND
∆NIVCON
∆STOCON
∆M3d
t(γ0 )
−2,85
−5,68
−6,23
−5,07
−2,90
Como se puede apreciar, al nivel de significación del 5 % se rechaza en todos los casos
la existencia de una segunda raı́z unitaria, por tanto todas las series son I0 (1).
Antes de analizar si existe o no cointegración en este grupo, es necesario filtrar
las raı́ces unitarias estacionales que contenga cada una de las series. Para detectarlas
utilizamos los estadı́sticos de HEGY. Los resultados se presentan en el Cuadro 7.5.
El filtro adecuado a la serie COLOCA es S(L), ya que esta serie es integrada estacional y uniformemente SI(1).
La serie PROIND presenta raı́ces unitarias en las frecuencias ±π/3, ±π/2, ±5π/6
y π; por lo tanto, el filtro apropiado para esta serie es:
√
(1 − L + L2 )(1 + L2 )(1 + 3L + L2 )(1 + L) =
= 1+
√
√
√
√
3L + 2L2 + (1 + 3)L3 + (1 + 3)L4 + 2L5 + 3L6 + L7
Las series NIVCON y STOCON no presentan raı́ces unitarias estacionales, por lo
que no es necesario filtrarlas.
M3d contiene raı́ces unitarias en las frecuencias ±π/3, ±π/2 y ±2π/3. El filtro
adecuado a estas frecuencias es:
(1 − L + L2 )(1 + L2 )(1 + L + L2 ) = 1 + 2L + 2L4 + L6
100
CAPÍTULO 7. INDICADORES ECONÓMICOS
Cuadro 7.5: Resultados de los contrastes de HEGY (Indicadores adelantados)
Serie
PROIND
NIVCON
STOCON
M3d
Fπ/6
6,30
14,02
9,50
5,82
Fπ/3
0,45*
7,11
10,10
2,79*
Fπ/2
1,41*
10,21
3,65
2,97*
F2π/3
4,15
5,76
13,18
1,81*
F5π/6
2,35*
4,52
8,36
3,60
tπ
−1,34*
−2,23
−3,38
−2,08
(*): no significativo al α = 5 %.
El valor crı́tico del estadı́stico F para α=5 % , ω = π/6, . . . , 5π/6 y T = 240
es 3,01. El valor crı́tico del estadı́stico t par a α=5 % y T = 240 es -1.89
(Beaulieu y Miron, 1993)
Se han estimado las cinco posibles normalizaciones de las relaciones de cointegración existentes entre las cinco series debidamente filtradas. Se utiliza el estadı́stico t(γ0 )
para comprobar el grado de integración de los residuos.
Vble. endógena
STOCON
PROINDf
COLOCAf
NIVCON
M3df
t(γ0 )
−2,12
−1,61
−2,69
−1,80
−2,85
Al α = 5 % sólo se rechaza la existencia de una raı́z unitaria en los residuos de la
ecuación que tiene como variable endógena a M3d filtrada. Sin embargo el valor del
estadı́stico t(γ0 ) está muy cerca del valor crı́tico correspondiente y el gráfico de la serie
y sus correlogramas parecen indicar la presencia de una raı́z unitaria. Si se calcula el
estadı́stico t0 de HEGY, éste toma un valor de −1,90 lo cual confirma la existencia de
la raı́z unitaria. Por tanto, consideraremos que ninguna de las cinco es una relación de
cointegración en la frecuencia cero, lo cual implica que no existe ningún factor común
a estas cinco series.
Cabe aún la posibilidad de que un subconjunto de ellas esté cointegrado. Sin embargo en ninguno de los cuartetos o trı́os probados se ha encontrado evidencia de cointegración. Ante esta aparente contradicción entre los modelos aquı́ utilizados y el método
utilizado por Fernández Macho (1991), hay que señalar que al realizar la clasificación en
el artı́culo de Fernández Macho se permite, dentro de cada grupo, que las series tengan
distintos desfases en sus puntos crı́ticos. En concreto se han clasificado como adelantadas aquellas series cuyos puntos crı́ticos presentan un adelanto mediano de más de dos
meses, y como retrasadas las que presentan un retraso mediano de más de dos meses.
Dentro de un mismo grupo se encuentran entonces series con distintos intervalos de adelanto respecto al ciclo de referencia; por ejemplo COLOCA, PROIND y M3d tienen un
adelanto mediano de 6,5 meses, sin embargo el adelanto mediano de NIVCON es de 16
101
7.3. INDICADORES CÍCLICOS
meses, y el de STOCON(multiplicado por -1) sólo de 3,5 meses. A esto hay que añadir
el hecho de que cada una de las series no presenta un adelanto homogéneo respecto al
ciclo de referencia, sino que, en general presentan mayor adelanto en los valles que en
los picos. Sin embargo estos pequeños desfases no se tienen en cuenta en los modelos
de factores comunes, en los que las variaciones en el componente de largo plazo han de
ser simultáneas para todas las series del modelo, y la relación entre dicho componente y
cada una de las series ha de permanecer constante a lo largo de todo el periodo muestral.
La no homogeneidad de los desfases de cada serie, en todos los puntos, respecto al ciclo
de referencia es un problema conflictivo y de difı́cil solución.
7.3.2.2.3.
Indicadores retrasados
Seguidamente se seguirá el mismo procedimiento para analizar el grupo de los indicadores retrasados respecto al ciclo. En las páginas 137 y 139 a 142 se muestran los
gráficos de estas series ası́ como sus correlogramas, periodogramas y los de sus primeras
diferencias.
La aplicación de los estadı́sticos FD y t(γ0 ) a estas series, proporciona los siguientes
resultados:
Serie
IVEGAL
STOCON
IPC
IMPORT
EXPORT
t(γ0 )
−2,13
−1,73
−2,69
−1,59
−3,07
FD
0,85
44,52
7,94
8,54
3,27
Sólamente en la serie IVEGAL se acepta la existencia de once raı́ces unitarias estacionales. Por tanto esta serie es SI(1), pero las demás son SI(0).
En lo que se refiere a la frecuencia cero, en todas las series se acepta la existencia de
al menos una raı́z unitaria excepto en EXPORT. Sin embargo, si se analizan el gráfico de
esta serie y sus correlogramas es fácil detectar la existencia de una tendencia; y el valor
que ha tomado el estadı́stico t(γ0 ) para esta serie, aunque inferior, está muy cercano
al valor crı́tico de la distribución correspondiente, por tanto su importancia no debe ser
determinante en este caso y, teniendo en cuenta el gráfico y los correlogramas, se puede
aceptar que contenga también una raı́z unitaria.
A continuación se calcula el estadı́stico t(γ0 ) sobre las series diferenciadas para
intentar detectar la existencia de una segunda raı́z unitaria en la frecuencia cero:
Serie
∆IVEGAL
∆STOCON
∆IPC
∆IMPORT
∆EXPORT
t(γ0 )
−5,07
−4,69
−2,89
−5,88
−6,69
102
CAPÍTULO 7. INDICADORES ECONÓMICOS
Para las cinco series se rechaza a un nivel de significación α = 5 % la existencia de
una segunda raı́z unitaria, aunque el valor que ha tomado el estadı́stico para la variable
IPC está muy cercano al valor crı́tico (−2,80) y en su gráfico y los de sus correlogramas
parece apreciarse que la serie aún no es estacionaria.
Como no puede existir cointegración estacional, ya que sólo una variable (IVEGAL)
está integrada estacional y uniformemente, pasamos a estudiar la cointegración en la
frecuencia cero.
Antes de estimar las posibles relaciones cointegrantes, igual que se hizo para los dos
grupos de indicadores anteriores, es necesario extraer las raı́ces unitarias estacionales de
cada serie. Para detectarlas, de nuevo, se utilizan los estadı́sticos de HEGY, que pueden
verse en el Cuadro 7.6.
Cuadro 7.6: Resultados de los contrastes de HEGY (Indicadores retrasados)
Serie
STOCON
IPC
IMPORT
EXPORT
Fπ/6
9,50
9,87
11,98
4,91
Fπ/3
10,10
4,12
2,45*
1,33*
Fπ/2
3,65
7,71
5,61
2,66*
F2π/3
13,18
2,46*
6,63
3,13
F5π/6
8,36
9,41
6,43
0,97*
tπ
−3,38
−2,05
−2,86
−1,72*
(*): no significativo al α = 5 %.
El valor crı́tico del estadı́stico F para α=5 % , ω = π/6, . . . , 5π/6 y T = 240
es 3,01. El valor crı́tico del estadı́stico t par a α=5 % y T = 240 es -1.89
(Beaulieu y Miron, 1993)
Del Cuadro, se deduce que la serie STOCON no contiene ninguna raı́z unitaria estacional, por tanto no es necesario filtrarla. La serie IPC tiene raı́ces unitarias en las
frecuencias ±2π/3; esto implica que ha de transformarse con el filtro: (1 + L + L2 ).
La serie IMPORT contiene raı́ces unitarias en las frecuencias ±π/3 y, por tanto, con
ella ha de utilizarse el filtro: (1 − L + L2 ).
EXPORT presenta raı́ces unitarias en ±π/3, ±π/2, ±5π/6 y π. El filtro correspondiente a estas frecuencias es:
√
(1 − L + L2 )(1 + L2 )(1 + 3L + L2 )(1 + L) =
=1+
√
3L + 2L2 + (1 +
√
3)L3 + (1 +
√
3)L4 + 2L5 +
√
3L6 + L7
La serie IVEGAL presenta once raı́ces unitarias estacionales, lo cual implica que ha
de filtrarse mediante el polinomio S(L).
Una vez filtrada la serie IPC se comprueba cómo efectivamente presenta una segunda
raı́z unitaria en la frecuencia cero, pues el estadı́stico t(γ0 ) aplicado a la serie ∆IP Cf
toma el valor −1,97, por lo tanto se considerará que es I0 (2).
Seguidamente se estiman por MCO las cuatro posibles especificaciones de la relación entre IVEGALf , STOCON, IMPORTf y EXPORTf y se comprueba el orden de
integración de los residuos.
103
7.3. INDICADORES CÍCLICOS
Vble. endógena
IVEGALf
STOCON
IMPORTf
EXPORTf
t(γ0 )
−1,15
−1,99
−2,19
−1,57
En las cuatro ecuaciones se obtienen residuos I0 (1), lo cual indica la inexistencia de
cointegración en este grupo y, por tanto, no se puede representar este grupo mediante un
modelo de factores comunes.
7.3.3.
Conclusiones
Esta primera parte del capı́tulo ha tomado como base una clasificación de los indicadores cı́clicos realizada por Fernández Macho (1991). En dicho trabajo se presenta
un agrupamiento de los indicadores en función de su comportamiento con respecto al
ciclo económico, obteniendo tres grandes grupos: indicadores adelantados, indicadores
coincidentes con el ciclo e indicadores retrasados respecto al ciclo.
En el presente trabajo se ha realizado un estudio de la posible cointegración dentro
del grupo de indicadores que formaron el ciclo de referencia, después dentro del grupo
de adelantados respecto al ciclo y finalmente en el grupo de indicadores retrasados.
En ninguno de los grupos se ha encontrado cointegración estacional. Esto ha sido
debido fundamentalmente a que no existe un mismo patrón estacional en la estructura
permanente de las series. El número de raı́ces unitarias estacionales que presenta cada
serie es distinto, y además estas raı́ces no se presentan para todas las series en las mismas
frecuencias.
El análisis de la frecuencia cero ha mostrado que cuatro de las series consideradas
son integradas de orden 2 y forman un conjunto cointegrado de tipo C(2, 1). En este
conjunto se encuentran tres vectores cointegrantes, y por tanto un sólo factor común. La
existencia de cointegración de tipo C(2, 1) entre las series en niveles (sin diferenciar)
implica que las cuatro series, diferenciadas, presentan cointegración de tipo C(1, 1).
Por tanto, hay un sólo factor común (paseo aleatorio) entre las series de crecimientos
de las variables originales. Este hecho sirve para ratificar, de alguna manera, la opinión
reflejada en DGPC (1983) o en Fernández Macho (1991) de que en los tiempos actuales
los ciclos más relevantes son los ciclos de crecimiento, y no los de nivel. Además los
ciclos que se obtienen a partir del análisis de cointegración son ciclos en términos de
tasas de crecimiento, y no en términos de desviaciones con respecto a una trayectoria,
como se hacı́a en DGPC (1983).
Dado que las cuatro series, que se suponen en fase con el ciclo económico, presentan
un factor común en sus crecimientos, esto significa que la evolución de estas cuatro
series de crecimientos se ve guiada por un crecimiento común, y por tanto ese factor se
puede interpretar como un ı́ndice de crecimiento de la actividad económica.
El análisis gráfico y numérico del factor con respecto a las cuatro series muestra
cómo en éste interviene con la mayor importancia la serie ∆CREPRIf y de forma menos
relevante las series ∆PARNAGf y ∆IPIf , la intervención de la serie ∆PERHOTf es casi
104
CAPÍTULO 7. INDICADORES ECONÓMICOS
anecdótica. En la serie ∆PERHOTf se aceptaba muy marginalmente una raı́z unitaria,
esto implica que la tendencia de esta serie era muy leve y por ello su participación en el
factor común y los valores que le corresponden en la matriz de ponderaciones han sido
muy pequeños.
Las demás series que componı́an el ciclo de referencia no están cointegradas entre
sı́ y al añadir al conjunto los residuos de las ecuaciones cointegrantes entre las series
∆PERHOTf , ∆IPIf , ∆CREPRIf y ∆PARNAGf sólo en un caso se obtiene cointegración, y con sólo un vector cointegrante, de manera que podrı́a haber tres factores
comunes a cuatro series; este hecho, sin embargo, no ayuda mucho en la explicación,
desde un punto de vista económico, de la evolución a largo plazo de las series.
El hecho de no encontrar cointegración en la frecuencia cero en el grupo de indicadores adelantados implica que las series consideradas no siguen una tendencia común
a largo plazo, y por tanto, no tendrı́a sentido elaborar un indicador sintético adelantado
en función de estas series, ya que en ellas no se ha encontrado implı́citamente un ciclo
común adelantado respecto al ciclo económico general. Hay que señalar, sin embargo
que al realizar la clasificación de los indicadores, se ha permitido que series del mismo
grupo presenten diferentes desfases respecto al ciclo de referencia. Es posible que la
corrección de estos desfases mejore el ajuste a largo plazo de las series, posibilitando la
existencia de cointegración y factores comunes. Exactamente lo mismo ha ocurrido con
los indicadores retrasados.
7.4.
Indicadores de producción
El objetivo fundamental de la presente aplicación es obtener el (los) componente(s)
permanente(s) común(es) de un amplio conjunto de variables relacionadas con la producción. La intención primordial del trabajo es integrar series que son componentes del
IPI con otras series de sectores industriales no contenidos en el IPI y con series del sector de servicios7 . Para ello se van a utilizar variables que son aproximaciones a las cifras
de producción de los distintos sectores de la actividad económica.
En concreto, se han elegido diez series de datos temporales relativos a la producción
de bienes y servicios en varios sectores de la economı́a. Las series relativas a la producción, al igual que ocurre con las de consumo, suelen presentar componentes estacionales
muy acentuados.
Las series que aquı́ se han considerado son las siguientes:
7
Se excluye explı́citamente el sector primario debido a que su comportamiento especı́fico es ajeno, en
gran medida a las fluctuaciones cı́clicas de la economı́a en general.
105
7.4. INDICADORES DE PRODUCCIÓN
MET:
TRA:
MAQ:
CON:
INT:
VIV:
GRA:
HOT:
PAC:
CEM:
Producción de estructuras metálicas y caldererı́a (IPI)
Producción de material de transporte (Excepto turismos y motos) (IPI)
Producción de maquinaria y otro material de equipo (IPI)
Producción de bienes de consumo (IPI)
Producción de bienes intermedios (IPI)
Construcción de viviendas.
Índice de ventas en grandes almacenes.
Pernoctaciones de viajeros en hoteles.
Producción de acero.
Producción de cemento.
Los gráficos de las diez series (Páginas 143-152) muestran cierta tendencia y en
todos los casos se aprecia la existencia de un fuerte componente estacional. Al estimar
la ecuación (5.21) para cada serie, los estadı́sticos t(γ0 ) también reflejan el hecho de
que todas las series tienen raı́ces unitarias en la frecuencia cero, ya que han tomado los
valores que, junto con el estadı́stico FD, se presentan en la siguiente tabla:
Serie
MET
TRA
MAQ
CON
INT
VIV
GRA
HOT
PAC
CEM
t(γ0 )
−1,40
−1,48
−1,65
−0,69
−1,74
−1,12
−0,47
−1,10
−2,58
−1,77
FD
0,31
0,33
0,16
0,27
0,18
5,78
0,82
1,30
0,63
4,59
Se han utilizado datos mensuales desde enero de 1975 hasta diciembre de 1991. Por
consiguiente, el número de observaciones al calcular los estadı́sticos ha sido de 192. Si
se comparan los valores muestrales del estadı́stico FD obtenidos para estas series con el
valor crı́tico del estadı́stico en la tabla del Capı́tulo 5 sección 2, al nivel de significación
del 5 % (3.23), estadı́sticamente se ha de rechazar la hipótesis nula de existencia de
once raı́ces unitarias estacionales para las series VIV y CEM, y no se puede rechazar la
hipótesis en el resto de las series. Por otra parte, en ninguna serie se rechaza la existencia
de una raı́z unitaria en la frecuencia cero.
Es necesario calcular el estadı́stico t(γ0 ) de las series diferenciadas, para comprobar
la posible existencia de una segunda raı́z unitaria en la frecuencia cero.
106
CAPÍTULO 7. INDICADORES ECONÓMICOS
Serie
∆MET
∆TRA
∆MAQ
∆CON
∆INT
∆VIV
∆GRA
∆HOT
∆PAC
∆CEM
t(γ0 )
−4,32
−4,84
−2,76
−3,28
−2,68
−6,02
−2,95
−4,98
−7,31
−4,61
El estadı́stico t(γ0 ) sólo en dos casos (∆MAQ y ∆INT) ha tomado valores mayores
que el valor crı́tico de la distribución correspondiente (−2,80), sin embargo esos valores
han estado muy cercanos al valor crı́tico por lo que la hipótesis no se puede aceptar
de forma concluyente; tomando como base el gráfico de las series diferenciadas y sus
correlogramas consideraremos que estas dos series no contienen más de una raı́z unitaria
y, por tanto, todas las series estudiadas se pueden considerar I0 (1).
Hasta este momento, las series MET, CON, INT, GRA, TRA, MAQ, HOT y PAC
se comportan como series integradas de orden uno estacionalmente8 al mismo tiempo
que integradas de orden uno en la frecuencia cero. Ante la presencia de esta estructura,
cabe la posibilidad de que en el conjunto exista cointegración completa (estacional y
de frecuencia cero con los mismos vectores cointegrantes). Si esto no se cumple, aún
cabrı́a la posibilidad de cointegración solamente en la frecuencia cero o cointegración
sólo estacional.
7.4.1.
Cointegración completa
A continuación se estiman las ocho posibles ecuaciones cointegrantes y se calculan
los estadı́sticos DHF de sus residuos.
Vble. endógena
MET
TRA
MAQ
CON
INT
GRA
HOT
PAC
DHF
−7,49
−8,73
−8,01
−6,05
−7,58
−3,99
−3,25
−7,33
Sorprendentemente, en todos los casos se rechaza la existencia de las doce raı́ces
unitarias, por lo que todas las ecuaciones aparentan ser relaciones cointegrantes. Sin embargo, recordemos que el rechazo de la hipótesis conjunta de existencia de doce raı́ces
8
Aplicando el estadı́stico FD a las series filtradas mediante S(L) se comprueba que no son SI(2).
107
7.4. INDICADORES DE PRODUCCIÓN
unitarias no implica que la serie sea estacionaria. Es posible que sea integrada en un
número de frecuencias menor que doce, en cuyo caso también se rechazarı́a la hipótesis
de cointegración completa. Por tanto, es necesario contrastar cada frecuencia por separado para decidir si existe o no cointegración completa. Con este propósito se realizan a
continuación los contrastes de HEGY sobre las series de residuos de las ecuaciones de
cointegración. Sus resultados se presentan en el Cuadro 7.1.
Cuadro 7.1: Resultados de los contrastes de HEGY sobre las series de residuos de las
ecuaciones de cointegración (Indicadores de producción)
Serie
MET
TRA
MAQ
CON
INT
GRA
HOT
PAC
t0
−3,46
−3,09
−2,97
−2,48*
−2,24*
−1,09*
−2,65*
−1,99*
Fπ/6
28,86
15,33
33,89
7,25
7,06
4,57
0,28*
18,54
Fπ/3
10,53
11,14
11,93
2,31*
7,20
2,93*
8,43
15,07
Fπ/2
4,28
6,43
9,18
5,41
9,32
1,17*
2,45*
8,52
F2π/3
6,80
4,53
3,85
3,75
7,74
3,51
1,84*
3,71
F5π/6
1,46*
1,36*
1,47*
4,38
5,34
5,50
4,29
1,38*
tπ
−0,93*
−1,06*
−1,08*
−1,60*
−2,33
−1,67*
−0,86*
−1,68*
(*): no significativo al α = 5 %.
El valor crı́tico del estadı́stico F para α=5 % , ω = π/6, . . . , 5π/6 y T = 240
es 3,01. El valor crı́tico del estadı́stico t par a α=5 % y T = 240 es -1.89
(Beaulieu y Miron, 1993)
Cuando hay cointegración completa, tanto los estadı́sticos de HEGY, como el t(γ0 ),
el FD y el DHF de los residuos siguen las distribuciones adecuadas. Sin embargo cuando
no se da la cointegración completa, es decir, cuando las perturbaciones presentan alguna raı́z unitaria, Engle, Granger y Hallman (1989) han demostrado que los estimadores
MCO de la regresión cointegrante son inconsistentes y, por tanto no es adecuado tomar
los residuos de la ecuación como estimaciones de las perturbaciones. La aplicación de
los estadı́sticos de HEGY, t(γ0 ), FD y DHF a las series de residuos puede llevar a conclusiones erróneas sobre el comportamiento de las perturbaciones, ya que la hipótesis
nula se rechazará con mayor probabilidad que la establecida en las tablas. Serı́a necesario desarrollar las distribuciones empı́ricas de estos estadı́sticos cuando se aplican a
los residuos de ecuaciones cointegrantes. Es muy probable que sea necesario corregir
los valores crı́ticos a la baja (hacia arriba en los F), como ocurre con los contrastes de
Dickey-Fuller cuando se utilizan en datos anuales (sin componente estacional). Sin embargo, contrastar la hipótesis de cointegración completa significa contrastar la hipótesis
nula de que los residuos de las ecuaciones cointegrantes son integrados de orden cero en
todas las frecuencias estacionales y en la frecuencia cero al mismo tiempo, por lo tanto
serı́a necesario disponer de un contraste global para todas las frecuencias. Utilizar para
ello contrastes individuales como los de HEGY distorsiona ligeramente la realidad ya
que si el interés está en la hipótesis conjunta de que todas las raı́ces son no unitarias se
108
CAPÍTULO 7. INDICADORES ECONÓMICOS
deberı́an corregir los valores crı́ticos hacia arriba (hacia abajo en los F). Por consiguiente se puede considerar que hay dos fuerzas que actúan en sentido contrario sobre los
valores crı́ticos de las distribuciones F y t en los contrastes de HEGY y no se dispone de
evidencia sobre cuál ha de ganar. Esto implica que los estadı́sticos de HEGY sólo pueden utilizarse a nivel indicativo, y en ningún caso tomarse como pruebas concluyentes
en uno u otro sentido.
En el conjunto de variables estudiado, hay dos variables en las que el estadı́stico
DHF toma valores notablemente inferiores a las restantes, los residuos de GRA y HOT,
por lo que se puede considerar probable la existencia de doce raı́ces unitarias en esas
variables. Al utilizar los estadı́sticos de HEGY se aprecia que en estas series de residuos
se pueden llegar a aceptar 7 y 8 raı́ces unitarias respectivamente, sin embargo en las
restantes series de residuos como máximo se aceptan cuatro y en gran parte de los casos
los estadı́sticos están muy próximos a los valores crı́ticos. Teniendo esto en cuenta no
se estará muy lejos de la realidad si, de los ocho vectores posibles, se supone que seis
de ellos son vectores cointegrantes. Serı́a deseable disponer de un método similar al de
Johansen para determinar el número de vectores cointegrantes, pero en este sentido sólo
se dispone de un método para trabajar con datos trimestrales (Lee, 1992) y aunque el
método puede ser similar para datos mensuales, no existen tablas corregidas para hacer
los contrastes.
Si se admiten seis vectores de cointegración completa, en este conjunto de ocho variables existirán dos factores completos comunes, es decir dos factores con raı́ces unitarias en la tendencia y en las frecuencias estacionales, que responden a la ecuación (7.13).
Se ha utilizado el método basado en el mecanismo de corrección de error, descrito
en el Capı́tulo 6 sección 3.3, para estimar estos dos factores9 . En este caso el ECM sigue
la expresión:
∆12 xt = −π1 [Z1 (L) + Q∗2 Z2 (L) + · · · + Q∗12 Z12 (L)] xt +
p
X
+
Ai ∆12 xt−i + t
(7.20)
i=1
9
Incluyendo en el modelo de corrección de error el término correspondiente a la frecuencia cero, además
de los correspondientes a las frecuencias estacionales.
7.4. INDICADORES DE PRODUCCIÓN
109
donde Q∗2 , . . . , Q∗12 son matrices de coeficientes similares a las de la expresión (6.28)
y los polinomios Zj con j : 1, . . . , 12 son10 :
Z1 = (1 + L + L2 + · · · + L11 )
Z2 = −(1 − L + L2 − L3 + L4 − L5 + L6 − L7 + L8 − L9 + L10 − L11 )
Z3 = −(L − L3 + L5 − L7 + L9 − L11 )
Z4 = −(1 − L2 + L4 − L6 + L8 − L10 )
1
Z5 = − (1 + L − 2L2 + L3 + L4 − 2L5 + L6 + L7 − 2L8 + L9 + L10 − 2L11 )
√2
3
Z6 =
(1 − L + L3 − L4 + L6 − L7 + L9 − L10 )
2
1
(1 − L − L2 − L3 + L4 + L5 + L6 − L7 − L8 − L9 + L10 + L11 )
Z7 =
2√
3
(1 + L − L3 − L4 + L6 + L7 − L9 − L10 )
Z8 = −
2
√
√
√
1 √
Z9 = − ( 3 − L + L3 − 3L4 + 2L5 − 3L6 + L7 − L9 + 3L10 − 2L11 )
2
√
√
√
√
1
Z10 =
(1 − 3L + 2L2 − 3L3 + L4 − L6 + 3L7 − 2L8 + 3L9 − L10 )
2
√
√
√
1 √
Z11 =
( 3 + L − L3 − 3L4 − 2L5 − 3L6 − L7 + L9 + 3L10 + 2L11
2
√
√
√
√
1
Z12 = − (1 + 3L + 2L2 + 3L3 + L4 − L6 − 3L7 − 2L8 − 3L9 − L10 )
2
La estimación de los factores proporciona los siguientes resultados:
factor 1 = 3,49 M ET + 2,69 T RA − 4,89 M AQ + 14,13 CON − 18,37 IN T +
+19,92 GRA − 2,81 HOT − 10,66 P AC
factor 2 = −13,97 M ET + 0,57 T RA + 1,19 M AQ − 7,34 CON + 33,66 IN T +
+12,27 GRA + 0,72 HOT + 12,63 P AC
En la ecuacion (7.20) se ha utilizado p = 2, ya que si se utiliza el estadı́stico Q de
Ljung-Box para determinar el orden del retardo autorregresivo, en este caso se pierden
tantos grados de libertad que es imposible realizar la estimación. Con p = 2 aún quedan
84 grados de libertad en la estimación. Se ha utilizado este valor de p aún sabiendo que
los estimadores de la ecuación (7.20) pueden ser inconsistentes debido a la existencia de
autocorrelación en las perturbaciones. Sin embargo, la estimación posterior del modelo
de factores comunes utilizando los factores aquı́ estimados no presenta autocorrelación
residual.
Para obtener factores ortogonales a los componentes estacionarios proyectan estos
dos factores sobre las variables z1t , . . . , z6t y se restan estas proyecciones de los factores
anteriores.
10
Se puede ver su obtención en la sección 4.4.4
110
CAPÍTULO 7. INDICADORES ECONÓMICOS
Los gráficos de las series ası́ estimadas se presentan en las páginas 153 y 153.
Se ha utilizado una ecuación similar a la (7.19) para estimar la matriz de ponderaciones. Se ha añadido un vector de constantes en la ecuación ya que las medias de las
variables al no estar diferenciadas son distintas de cero. La estimación de la matriz de
ponderaciones y el vector de constantes ha presentado los siguientes resultados:




−0,359
0,409
4,45
 (0,26E − 06) (0,30E − 06) 
 (0,82E − 07) 




 −0,600



0,678
4,45




 (0,44E − 06) (0,50E − 06) 
 (0,14E − 06) 




0,410
4,75
 −0,352



 (0,26E − 06) (0,30E − 06) 
 (0,82E − 07) 




 −0,117



0,141
4,97




 (0,89E − 07) (0,10E − 06) 
 (0,27E − 07) 
A1 = 
κ
=
(7.21)



 −0,166



0,195
4,91
 (0,13E − 06) (0,14E − 06) 
 (0,38E − 07) 








0,139
−0,095 
4,58



 (0,85E − 07) (0,96E − 07) 
 (0,26E − 07) 







1,404
−1,586 
9,11




 (0,10E − 05) (0,11E − 05) 
 (0,32E − 06) 




−0,179
0,207
6,92
(0,13E − 06)
(0,15E − 06)
(0,41E − 07)
En la página 154 se representa cada serie junto con la transformación κ + Ai ft .
Se aprecia como los factores recogen adecuadamente la tendencia de las series y son
capaces de detectar bastante bien la parte permanente del componente estacional. El
ajuste gráfico de los factores a las series GRA y HOT parece casi perfecto, sin embargo
la sustitución de los factores por estas dos series en la ecuación (7.20) produce series
de residuos que no son estacionarios, reflejando el hecho de que los factores han de
contener una mayor parte de comunalidad del resto de las series.
La varianza total estimada de las ocho series es de 1,33, la varianza explicada por
los factores es 0,82, representando el 61,63 % del total.
El modelos de factores comunes se puede expresar:
xt = κ + A1 ft + νt
(7.22)
donde νt es un vector de variables I0 (0) y SI(0), ft son los dos factores comunes,
que cumplen
(1 − L12 ) ft = ωt
siendo ωt un vector con dos componentes que son simultáneamente I0 (0) y SI(0).
Este modelo se puede normalizar de manera distinta, de forma que se cumplan las
restricciones mencionadas en el capı́tulo 2 (Ec. 2.8) Para ello se puede multiplicar el
término A1 ft por la matriz C y por su inversa, de manera que la ecuación (7.22) no
cambia, siendo C
1234457,5 −204,7
C=
1083548,3 −179,6
111
7.4. INDICADORES DE PRODUCCIÓN
La ecuación (7.22) queda entonces:
xt = κ + (A1 C)(C−1 ft ) + νt = κ + A∗1 ft∗ + νt
siendo






∗
y A1 = 





ft∗ = C−1 ft

1,0
0,0
−6031,6
1,0 

−281728,7 −1,61 

8348,7 −1,38 
.
6371,9 −1,05 

68652,5 −11,38 

14670,7 −2,42 
3326,6 −0,55
En tal caso, el primer factor representa el componente permanente de la primera variable
y el segundo factor es la parte de la estructura permanente de la segunda variable que no
se ha podido explicar mediante el primer factor.
Análisis univariante de los factores
Disponer de una estimación de los factores permite realizar un análisis univariante de
los mismos como si de cualquier serie real se tratara11 . Para obtener una descomposición
univariante de los factores se ha planteado un modelo estructural como el siguiente:
yt = µt + st + t
con
y
µt = β + µt−1 + ηt
S(L) st = ωt
en el que µt es el componente de tendencia, que se ha supuesto un paseo aleatorio
alrededor de una pendiente fija β (ya que las series son I0 (1)); st es el componente
estacional y t , ηt y ωt son perturbaciones aleatorias independientes con media cero y
varianzas constantes σ2 , ση2 y σω2 . Estas varianzas se estiman maximizando la función de
verosimilitud espectral (ver Harvey y Peters, 1990). Para el primer factor común se han
obtenido las siguientes estimaciones12 :
σ̂2 = 0,8131,
σ̂η2 = 0,2068,
σ̂ω2 = 0,1485,
con desv.tı́pica: 0,1634
con desv.tı́pica: 0,0661
con desv.tı́pica: 0,1634
Se utiliza un algoritmo de suavizamiento para obtener una estimación de los componentes. Dichas estimaciones se representan en la página 155. En el gráfico superior
11
El análisis se ha hechos sobre la primera normalización de los factores ft , tal y como se obtuvieron
desde el procedimiento de estimación y posteriormente ortogonalizados respecto al componente estacionario.
12
Se ha utilizado el programa STAMP
112
CAPÍTULO 7. INDICADORES ECONÓMICOS
se han representado el primer factor junto a su tendencia, y en el inferior la estimación
obtenida para el componente estacional. Como el factor es integrado de orden uno en la
frecuencia cero, su tendencia está formada por un paseo aleatorio respecto a una lı́nea
recta de pendiente β. En el componente estacional se aprecian unos picos que se repiten
sistemáticamente. En los meses de diciembre y enero el componente estacional es más
alto que la media anual (+7 puntos aprox.), sin embargo en abril se produce regularmente el valor más bajo de todo el año (-3.7 aprox.). También se percibe otro mı́nimo
importante en agosto de cada año (-2.0 de media aprox.).
Se ha efectuado la estimación del mismo modelo para la serie formada por el segundo factor común. Las estimaciones de los parámetros del modelo presentan los siguientes
resultados:
σ̂2 = 0,6011,
σ̂η2 = 0,4056,
σ̂ω2 = 0,2925,
con desv.tı́pica: 0,1933
con desv.tı́pica: 0,1112
con desv.tı́pica: 0,0776
Mediante un algoritmo de suavizamiento de intervalo fijo se ha obtenido una estimación de los componentes. Dichas estimaciones se presentan en la página 156. En la
parte superior se recoge el gráfico del segundo factor junto a su tendencia estimada. En
la parte inferior de dicha página figura la estimación del componente estacional del segundo factor. Dado que esta serie también es I0 (1), las desviaciones de su tendencia con
respecto a una recta de pendiente β han de ser y son un paseo aleatorio. El análisis del
componente estacional refleja lo siguiente: igual que ocurrı́a en el factor 1, los meses de
diciembre-enero son regularmente más altos que los demás (+5.0 de media aprox.). En
los primeros años de la muestra (del 75 al 79) se daban dos mı́nimos anuales de similar
importancia, febrero y agosto-septiembre (-3.0 de media aprox.). Sin embargo, a partir
del 79 cobra mayor importancia el mı́nimo del mes de agosto (-5.0 de media aprox.) que
llega a diferenciarse notablemente del resto de los meses del año.
El comportamiento de cada una de las variables que intervienen en el modelo a lo
largo del año, depende también de la cantidad y el signo de las ponderaciones que reciben los factores en la matriz A1 (ver ec.7.22). Dado que en esta matriz las dos columnas
tienen distinto signo, el resultado final para cada una de las variables podrı́a ser cualquiera, sin embargo en los gráficos de la página 154 se aprecia que en las cinco series
que son componentes del IPI y en PAC es muy importante el “bache” estacional del mes
de agosto (que en GRA y HOT es un pico hacia arriba), hecho que los factores recogen
con bastante exactitud, sin embargo el comportamiento estacional del resto del año no
sigue una pauta tan uniforme para todas las series.
7.4.2.
Conclusiones
Partiendo de las diez series consideradas, se ha comprobado que ocho de ellas son
integradas de orden uno en la frecuencia cero y también integradas estacional y uniformemente (SI(1)). Sin embargo dos de ellas no son SI(1), las series VIV y CEM. El
análisis de cointegración aplicado a las ocho series restantes ha permitido detectar seis
relaciones de cointegración completa, y por tanto la presencia de dos factores comunes
7.4. INDICADORES DE PRODUCCIÓN
113
a estas ocho series, cada uno de ellos integrado en las once frecuencias estacionales y en
la frecuencia cero. Se entiende entonces que la estructura de estas series de producción
se encuentra “guiada” por únicamente dos factores. La estimación de los factores, por el
método propuesto en el Capı́tulo 6 y posteriormente la estimación de la matriz de ponderaciones, muestra que GRA es la variable que en mayor medida afecta al primer factor, e
INT la que más participación tiene en el segundo, sin embargo no son sólo ellas las que
determinan su evolución, los dos factores comunes se determinan como medias ponderadas de las ocho variables y no existen grandes diferencias entre las ponderaciones que
cada variable recibe en el factor. Dichos factores son capaces de explicar el 61,63 % de
la variación total de las series en su conjunto.
En el modelo de factores comunes, se produce un alto ajuste a las series GRA y HOT,
sin embargo no se puede considerar que estas series sean los factores comunes, pues la
estimación del modelo sustituyendo los factores por estas variables produce residuos
con raı́ces unitarias.
Se ha planteado un modelo estructural para cada uno de los factores y se han estimado sus componentes. El análisis de los componentes estacionales estimados muestra
que en ambas series el ciclo estacional presenta valles en los meses de agosto y picos en
diciembre-enero. Sin embargo, la matriz de ponderaciones estimada (A1 ) muestra que
en cada variable los dos factores reciben ponderaciones de signo contrario, por lo que,
tomando como base los factores, es difı́cil establecer conclusiones sobre el comportamiento estacional de todo el conjunto de variables. Sin embargo, la observación de los
gráficos de las páginas G35 y G36 permite extraer alguna conclusión en este sentido.
En todas las series, excepto en GRA y HOT se distingue un valle estacional en el mes
de Agosto, que en dichas series GRA y HOT se transforma en un pico. Los factores
determinan un pico aproximadamente en diciembre para todas las series excepto HOT;
por el contrario, dicho pico no se observa en todas las series originales.
El hecho de haber encontrado dos factores comunes, y que estos tengan ponderaciones de signo contrario en la matriz A1 dificulta la interpretación de los resultados ya que
dependiendo de las ponderaciones que se obtengan en la matriz A1 para cada serie, se
pueden obtener distintos tipos de ciclos estacionales en cada una de ellas.
La estimación del componente de tendencia de los factores nos muestra (páginas
155 y 156) que las dos series que “dirigen” la evolución a largo plazo de las ocho series consideradas son paseos aleatorios con rumbo. En la tendencia del primer factor se
aprecia una mayor influencia de la serie GRA, siguiendo este factor una tendencia casi
lineal, como en dicha serie. Por el contrario, en la tendencia del segundo factor se nota
una mayor influencia de los componentes del IPI, como INT, CON o MET, reflejando
una evolución a largo plazo similar a estas series.
A la hora de interpretar lo que los dos factores comunes representan, hay que tener
en cuenta la propia definición de lo que es un factor común. Cada uno de los factores comunes completos contiene la parte permanente de cada serie que es común a todas ellas;
por lo tanto, este par de factores se puede considerar como un par de series que son representantes de la evolución permanente de todo el conjunto. Evolución que contiene un
componente permanente de tendencia, ası́ como un componente estacional permanente.
114
CAPÍTULO 7. INDICADORES ECONÓMICOS
Capı́tulo 8
Conclusiones
En el presente trabajo se estudian modelos factoriales en los que los factores comunes son componentes de tendencia (paseos aleatorios + rumbo) y/o componentes
estacionales. Para los componentes estacionales se ha supuesto una estructura SI(1), es
decir, una estructura autorregresiva con una raı́z unitaria en cada frecuencia estacional.
En el Capı́tulo 3 se ha demostrado que un vector de series temporales cointegrado
estacional y uniformemente se puede representar mediante un modelo de factores estacionales comunes, cuyos factores tienen la estructura antes mencionada, y viceversa. La
existencia o no de raı́ces unitarias en frecuencias distintas de las estacionales no afecta a
la representación de factores comunes del modelo, ya que, en las ecuaciones del mismo,
sólo se supone que las perturbaciones son SI(0), independientemente de lo que ocurra
en las frecuencias no estacionales. Por otra parte, para que la demostración sea válida,
es necesario que el número de vectores cointegrantes sea el mismo en cada una de las
frecuencias estacionales. Si en alguna de ellas existieran más vectores cointegrantes que
en las demás, esto implicarı́a que, en la representación de factores comunes, aparecerı́an
raı́ces unitarias en el componente de medias móviles de los factores.
Siguiendo la misma lı́nea que en la demostración del Capı́tulo 3, se puede considerar
un vector de series temporales cointegrado al mismo tiempo en la frecuencia cero y
en las frecuencias estacionales. Si los vectores cointegrantes son comunes a todas las
frecuencias, la demostración del Capı́tulo 3 se extiende de manera obvia para este caso.
La representación de factores comunes de este vector será entonces:
yt = A ft + t
con
S
(1 − L ) ft = ωt
siendo t y ωt series I0 (0) y SI(0) simultáneamente.
En el Capı́tulo 4 se revisan algunos de los más importantes contrastes de raı́ces
unitarias para la frecuencia cero, contrastes de raı́ces unitarias estacionales y contrastes
de cointegración.
En el Capı́tulo 5 se proponen dos contrastes especı́ficos para la hipótesis de integración estacional uniforme. El primero de ellos está basado en el estadı́stico F de los
115
116
CAPÍTULO 8. CONCLUSIONES
coeficientes γ1 , . . . , γS−1 en la ecuación:
S(L) xt = γ0 + γ1 xt−1 + · · · + γS−1 xt−(S−1) + t .
Se ha calculado su distribución empı́rica, para S = 12, por medio del método de Montecarlo y sus valores crı́ticos se recogen en el Cuadro 5.1 (pág.43).
El segundo contraste está basado en el estadı́stico t del coeficiente γ en la ecuación:
S(L) xt = µ + γ xt−1 + 1 − (1 − γ)2 xt−2 + · · · + 1 − (1 − γ)S−1 xt−(S−1) + t
Se ha hallado, por medio de simulaciones, una aproximación empı́rica a la distribución
del estadı́stico t del coeficiente γ, cuando S = 12. Los valores cı́ticos se presentan en el
Cuadro 5.5 (Página 53)
Las pruebas de potencia de ambos contrastes se presentan en las secciones 5.3 y
5.5.1. En general el estadı́stico FD se muestra más potente que el t(γ) ante cualquier
alternativa.
Se han revisado dos métodos de estimación de modelos con tendencias comunes
(Fernández Macho, 1986; Gonzalo y Granger, 1991) y uno para la estimación de modelos con factores estacionales comunes (Fernández Macho, 1986). Partiendo del método
de Gonzalo y Granger, dedicado a la estimación de modelos con factores de tendencia
común, se plantea y desarrolla una adaptación del mismo para obtener la estimación de
modelos con factores comunes estacionales (uniformes) o con factores comunes completos (con componente de tendencia y componente estacional). Este método, el relación
al de Fernández se muestra computacionalmente más rápido y de más sencilla programación.
El método se basa en imponer dos restricciones para la identificación del modelo de
factores comunes, estas restricciones son distintas a las establecidas en el Capı́tulo 2 y,
de forma resumida, implican que:
1. Los factores han de ser combinaciones lineales de las variables originales.
2. La matriz de ponderaciones de las combinaciones lineales ha de elegirse de tal
forma que los factores determinen una descomposición en parte permanente-parte
transitoria de las series.
Se extiende la definición de Gonzalo y Granger (1991) de descomposición permanentetransitoria, poara que incluya la posibilidad de descomposición en el componente estacional, de manera que pueda existir una parte estacional permanente y una parte estacional transitoria.
Se demuestra entonces que el mecanismo de corrección de error correspondiente a
un vector cointegrado estacional y uniformemente, presenta una sola matriz de coeficientes de ajuste γ que afecta a todas las frecuencias y, por tanto, si se elige la matriz de
0 x determina una
ponderaciones γ⊥ (tal que γ 0 γ⊥ = 0), la combinación lineal ft = γ⊥
t
descomposición permanente-transitoria en el vector de series inicial. Entonces se puede
considerar ft como una posible normalización de los factores comunes del modelo. La
117
matriz γ⊥ se puede estimar por un procedimiento similar al propuesto por Gonzalo y
Granger (1991).
En el Capı́tulo 7 se muestran dos aplicaciones de los modelos de factores comunes.
En la primera de ellas se ha intentado contrastar, por medio de los contrastes de cointegración y cointegración estacional, la existencia de tendencias y factores estacionales
comunes dentro de tres grupos de indicadores cı́clicos. El análisis se ha basado en la
clasificación de indicadores cı́clicos realizada por Fernández Macho (1991). Los tres
grupos estudiados han sido: el conjunto de indicadores que, en dicho artı́culo, formaron
el ciclo de referencia; los indicadores que se consideraron adelantados respecto al ciclo
económico; y el grupo de indicadores retrasados con respecto a dicho ciclo. El resultado
del estudio ha sido el siguiente:
1. No se ha encontrado cointegración estacional uniforme, ni por tanto, factores comunes estacionales uniformes en ninguno de los tres grupos considerados.
2. Se han encontrado tres relaciones de cointegración en la frecuencia cero en un
subconjunto formado por cuatro de las series que formaron el ciclo de referencia
(PARNAG, PERHOT, IPI y CREPRI). Las relaciones de cointegración son de tipo
C(2, 1), y por tanto, son relaciones entre los crecimientos de dichas series.
3. Dado que en ese conjunto de cuatro series se han encontrado tres relaciones de
cointegración, esto implica la existencia de un factor común entre los crecimientos de dichas series. Este factor común se ha estimado por el procedimiento de
Gonzalo y Granger (1991) y se ha representado en el gráfico G9. Dicho factor se
puede interpretar como un indicador sintético de la tasa de crecimiento de la actividad económica en España. La trayectoria del factor se muestra coherente con la
evolución del crecimiento de la actividad económica percibido a lo largo de todo
el perı́odo muestral. También se muestra razonablemente de acuerdo con el indicador de la tasa de crecimiento de la actividad económica calculado por Fernández
Macho (1991), aún teniendo en cuenta las diferencias en su composición.
4. Se ha encontrado solamente una relación de cointegración (en la frecuencia cero)
entre los niveles de las demás series que formaron el ciclo de referencia y las
series de residuos de las tres relaciones cointegrantes comentadas anteriormente.
5. No se ha encontrado ningún tipo de cointegración en la frecuencia cero en los
grupos de indicadores adelantados y retrasados respecto al ciclo. Esto se puede
atribuir a la no homogeneidad de los desfases con respecto al ciclo entre series
que forman parte del mismo grupo, ya que en el momento de clasificarlas se permitieron diferentes intervalos de adelanto (o en su caso de retraso) respecto al
ciclo.
En la segunda aplicación se han seleccionado varios indicadores de producción, referentes a distintos sectores de la economı́a, con el objeto de hallar el componente(s)
permanente(s) común a todo el conjunto. De las diez series consideradas, en ocho de
ellas se detecta la existencia de once raı́ces unitarias estacionales y una en la frecuencia
118
CAPÍTULO 8. CONCLUSIONES
cero, por tanto cabe la posibilidad de que exista cointegración completa entre estas ocho
series. Se plantean y estiman ocho posibles ecuaciones cointegrantes. El análisis de los
residuos muestra la probable existencia de seis vectores de cointegración completa. En
tal caso, existen dos factores comunes a las ocho series, siendo cada factor una variable
con doce raı́ces unitarias (once estacionales y una en la frecuencia cero).
Se han estimado los factores mediante el procedimiento propuesto en la sección 6.3.2.2.
Estos factores se representan en las páginas G33 y G34. Gráficamente, el primero de los
factores parece seguir una evolución similar a la de la serie GRA. El segundo, sin embargo, parece recoger una estructura similar a alguno de los componentes del IPI estudiados.
En concreto, se parece bastante a las series INT y CON. La estimación de la matriz de
ponderaciones del modelo muestra que se produce un ajuste muy alto entre el modelo y
las series GRA y HOT, no siendo tan elevado para el resto de las series. Sin embargo, se
ha comprobado que no se puede considerar que dichas series sean los factores comunes,
pues la influencia del resto de las series también es importante.
Una vez obtenidos los factores, cada uno de ellos se puede tratar como una serie
univariante cualquiera. Ası́, es posible plantear para ellos un modelo estructural de la
forma:
yt = µt + st + t
(8.1)
y, a partir de el, hallar los componentes de tendencia y estacional de cada una de las
series y obtener conclusiones acerca de ellos. Sin embargo el hecho de que sean dos los
factores comunes dentro del conjunto estudiado dificulta considerablemente la interpretación de los componentes.
Los dos factores que se han obtenido se pueden considerar representantes de la estructura permanente de todo el conjunto, reflejando la existencia de un componente de
tendencia común a todo el grupo ası́ como de un componente estacional que es permanente y también común.
Apéndice A
Los datos
Los datos utilizados en las dos aplicaciones del Capı́tulo 7 provienen del Boletı́n de
Indicadores Económicos del Banco de España. Se han utilizado hasta octubre de 1988
los datos disponibles en soporte magnético en el departamento de Economı́a Aplicada
III (Econometrı́a y estadı́stica) de la Universidad del Paı́s Vasco (UPV/EHU) y se ha
realizado una actualización de dichos datos hasta diciembre de 1991 mediante consulta
a las publicaciones mensuales del Banco de España.
La descripción de los datos es la siguiente:
C ICLO DE REFERENCIA
IPI: Índice de producción industrial. Base 1972=100.
DEMELE: Consumo interior neto de electricidad. Millones de Kwh.
DISCEM: Demanda de cemento. Consumo aparente. Miles de toneladas.
PERHOT: Pernoctaciones en hoteles. Total residentes y no residentes. Miles de personas.
TRAMER: RENFE. Transporte de mercancı́as. Toneladas por Km.
IMNENE: Importaciones no energéticas. Serie deflactada por el IPSEBENE. Índice.
CREPRI: Crédito al sector privado. deflactado por el IPSEBENE.
PARNAG: Paro registrado no agrario. Parados con empleo anterior no agrario + parados de nueva incorporación.
I NDICADORES ADELANTADOS
COLOCA: Colocaciones. Total. Número de personas.
PROIND: Encuesta de opiniones empresariales. tendencia prevista de la producción.
119
120
APÉNDICE A. LOS DATOS
NIVCON: Encuesta de opiniones empresariales. Nivel de contratación de la empresa.
Industria de la construcción. Porcentaje neto.
STOCON: Encuesta de opiniones empresariales. Bienes de consumo. Porcentaje neto.
Nivel de existencias de productos terminados.
M3d: Agregados monetarios y crediticios. Activos lı́quidos en manos del público.M3
(Disponibilidades lı́quidas). millones de pesetas. Deflactado por el IPC.
I NDICADORES RETRASADOS
IVEGAL: Índice de ventas en grandes almacenes e hipermercados. Base 1990=100.
STOCON: Encuesta de opiniones empresariales. Bienes de consumo. Porcentaje neto.
Nivel de existencias de productos terminados.
IPC: Índice de precios al consumo. General. Base 1983=100.
IMPORT: Comercio exterior. Importaciones de mercancı́as (datos de aduanas). Millones de pesetas.
EXPORT: Comercio exterior. Exportaciones de mercancı́as (datos de aduanas). Millones de pesetas.
P RODUCCI ÓN
MET: Índice de producción industrial. Bienes de inversión. Base 1972=100. Estructuras metálicas y caldererı́a.
TRA: Índice de producción industrial. Bienes de inversión. Base 1972=100. Material
de transporte (excepto turismos y motos).
MAQ: Índice de producción industrial. Bienes de inversión. Base 1972=100. Maquinaria y otro material de equipo.
CON: Índice de producción industrial. Bienes de consumo. Base 1972=100.
INT: Índice de producción industrial. Bienes intermedios. Base 1972=100.
VIV: Construcción de viviendas. Viviendas protegidas y libres. Visados de proyectos.
Número de viviendas.
GRA: Índice de ventas en grandes superficies. Base 1983=100.
HOT: Turismo y viajes. Pernoctaciones de viajeros en hoteles. Miles de personas.
PAC: Producción interna de acero. Miles de toneladas.
CEM: Producción interna de cemento. Miles de toneladas.
121
122
APÉNDICE B. GRÁFICOS
Apéndice B
Gráficos
T=50
T=200
El eje horizontal ha de dividirse por 4
.180
El eje horizontal ha de dividirse por 4
.175
.160
NUL50
.140
ALT50
.120
ALT200
.125
.100
.100
.080
.075
.060
NUL200
.150
.050
.040
.025
.020
.000
.000
2
12
22
32
42
52
62
2
12
22
T=100
42
52
62
T=250
El eje horizontal ha de dividirse por 4
.175
32
NUL100
.150
ALT100
.125
El eje horizontal ha de dividirse por 4
.175
ALT250
.125
.100
.100
.075
.075
.050
.050
.025
.025
.000
NUL250
.150
.000
2
12
22
32
42
52
62
T=150
El eje horizontal ha de dividirse por 4
.175
NUL150
.150
ALT150
.125
.100
.075
.050
.025
.000
2
12
22
32
42
52
62
2
12
22
32
42
52
62
123
IPI ORIGINAL CON LOG.
5.20
IPI PRIMERA DIFERENCIA
0.75
5.10
0.50
5.00
4.90
0.25
4.80
0.00
4.70
4.60
-.25
4.50
-.50
4.40
4.30
-.75
77
1.00
80
83
86
CORRELACION- IPI
89
77
1.00
0.75
0.75
0.50
0.50
0.25
0.25
0.00
0.00
-0.25
-0.25
-0.50
-0.50
-0.75
-0.75
-1.00
-1.00
4.0
PERIODOGRAMA- IPI
.050
3.5
.040
3.0
2.5
.030
2.0
1.5
.020
1.0
.010
0.5
0.0
.000
80
83
86
CORRELACION-(1-L) IPI
PERIODOGRAMA-(1-L) IPI
89
124
APÉNDICE B. GRÁFICOS
DEMELE ORIGINAL CON LOG.
9.60
DEMELE PRIMERA DIFERENCIA
0.20
0.15
9.44
0.10
9.28
0.05
0.00
9.12
-.05
8.96
-.10
-.15
8.80
-.20
8.64
-.25
77
1.00
80
83
86
CORRELACION- DEMELE
89
77
1.00
0.75
0.75
0.50
0.50
0.25
0.25
0.00
0.00
-0.25
-0.25
-0.50
-0.50
-0.75
-0.75
-1.00
-1.00
14.0
PERIODOGRAMA- DEMELE
.0100
12.0
10.0
.0075
8.0
.0050
6.0
4.0
.0025
2.0
0.0
.0000
80
83
86
CORRELACION-(1-L) DEMELE
PERIODOGRAMA-(1-L) DEMELE
89
125
DISCEM ORIGINAL CON LOG.
8.00
DISCEM PRIMERA DIFERENCIA
0.30
0.20
7.80
0.10
7.60
0.00
7.40
-.10
7.20
-.20
7.00
-.30
6.80
-.40
77
1.00
80
83
86
CORRELACION- DISCEM
89
77
1.00
0.75
0.75
0.50
0.50
0.25
0.25
0.00
0.00
-0.25
-0.25
-0.50
-0.50
-0.75
-0.75
-1.00
-1.00
8.4
7.2
PERIODOGRAMA- DISCEM
.0090
.0080
.0070
6.0
.0060
4.8
.0050
3.6
.0040
.0030
2.4
.0020
1.2
0.0
.0010
.0000
80
83
86
CORRELACION-(1-L) DISCEM
PERIODOGRAMA-(1-L) DISCEM
89
126
APÉNDICE B. GRÁFICOS
PERHOT ORIGINAL CON LOG.
10.00
PERHOT PRIMERA DIFERENCIA
0.50
9.75
0.25
9.50
0.00
9.25
9.00
-.25
8.75
-.50
8.50
8.25
-.75
77
1.00
80
83
86
CORRELACION- PERHOT
89
77
1.00
0.75
0.75
0.50
0.50
0.25
0.25
0.00
0.00
-0.25
-0.25
-0.50
-0.50
-0.75
-0.75
-1.00
-1.00
14.0
12.0
PERIODOGRAMA- PERHOT
.120
.100
10.0
.080
8.0
.060
6.0
.040
4.0
2.0
0.0
.020
.000
80
83
86
CORRELACION-(1-L) PERHOT
PERIODOGRAMA-(1-L) PERHOT
89
127
TRAMER ORIGINAL CON LOG.
1200
TRAMER PRIMERA DIFERENCIA
240
1100
160
1000
80
900
0
800
-80
700
-160
600
-240
500
-320
77
80
83
86
CORRELACION- TRAMER
1.00
89
77
1.00
0.75
0.75
0.50
0.50
0.25
0.25
0.00
0.00
-0.25
-0.25
-0.50
-0.50
-0.75
-0.75
-1.00
-1.00
140000
120000
100000
PERIODOGRAMA- TRAMER
6400
5600
4800
4000
80000
3200
60000
2400
40000
20000
0
1600
800
0
80
83
86
CORRELACION-(1-L) TRAMER
PERIODOGRAMA-(1-L) TRAMER
89
128
APÉNDICE B. GRÁFICOS
IMNENE ORIGINAL CON LOG.
6.00
IMNENE PRIMERA DIFERENCIA
0.60
5.75
0.40
5.50
0.20
5.25
0.00
5.00
-.20
4.75
-.40
4.50
4.25
-.60
77
1.00
80
83
86
CORRELACION- IMNENE
89
77
1.00
0.75
0.75
0.50
0.50
0.25
0.25
0.00
0.00
-0.25
-0.25
-0.50
-0.50
-0.75
-0.75
-1.00
-1.00
4.5
PERIODOGRAMA- IMNENE
.025
4.0
3.5
.020
3.0
.015
2.5
2.0
.010
1.5
1.0
.005
0.5
0.0
.000
80
83
86
CORRELACION-(1-L) IMNENE
PERIODOGRAMA-(1-L) IMNENE
89
129
CREPRI ORIGINAL CON LOG.
4.90
CREPRI PRIMERA DIFERENCIA
.040
4.85
.030
4.80
.020
4.75
.010
4.70
.000
4.65
-.010
4.60
-.020
4.55
-.030
4.50
4.45
-.040
77
1.00
80
83
86
CORRELACION- CREPRI
89
77
1.00
.75
.75
.50
.50
.25
.25
.00
.00
-.25
-.25
-.50
-.50
-.75
-.75
-1.00
-1.00
3.5
3.0
PERIODOGRAMA- CREPRI
.000090
.000080
.000070
2.5
.000060
2.0
.000050
1.5
.000040
.000030
1.0
.000020
.5
.0
.000010
.000000
80
83
86
CORRELACION-(1-L) CREPRI
PERIODOGRAMA-(1-L) CREPRI
89
130
APÉNDICE B. GRÁFICOS
PARNAG ORIGINAL CON LOG.
15.00
PARNAG PRIMERA DIFERENCIA
0.064
14.75
0.048
14.50
0.032
14.25
14.00
0.016
13.75
0.000
13.50
-.016
13.25
13.00
-.032
77
1.00
80
83
86
CORRELACION- PARNAG
89
77
1.00
0.75
0.75
0.50
0.50
0.25
0.25
0.00
0.00
-0.25
-0.25
-0.50
-0.50
-0.75
-0.75
-1.00
-1.00
40
PERIODOGRAMA- PARNAG
.00064
35
.00056
30
.00048
25
.00040
20
.00032
15
.00024
10
.00016
5
.00008
0
.00000
80
83
86
CORRELACION-(1-L) PARNAG
PERIODOGRAMA-(1-L) PARNAG
89
131
Factor comun series diferenciadas
PARNAGf, PERHOTf, IPIf, CREPRIf
20
15
10
5
0
-5
-10
-15
-20
74
76
78
80
82
84
86
88
90
.080
FDPAR
PARFT
.060
.040
.020
.000
-.020
-.040
78
80
82
84
86
88
90
132
APÉNDICE B. GRÁFICOS
.30
SDPER
PERFT
.20
.10
.00
-.10
-.20
-.30
78
80
82
84
86
88
90
88
90
.120
SDIPI
IPIFT
.080
.040
.000
-.040
-.080
-.120
78
80
82
84
86
133
.15
SDCRE
CREFT
.10
.05
.00
-.05
-.10
78
80
82
84
86
88
90
134
APÉNDICE B. GRÁFICOS
135
136
APÉNDICE B. GRÁFICOS
137
138
APÉNDICE B. GRÁFICOS
139
140
APÉNDICE B. GRÁFICOS
141
142
APÉNDICE B. GRÁFICOS
143
MET ORIGINAL CON LOG.
5.00
4.75
1.20
4.50
0.80
4.25
0.40
4.00
0.00
3.75
-0.40
3.50
-0.80
3.25
-1.20
3.00
-1.60
75
1.00
78
81
84
CORRELACION- MET
87
90
75
1.00
0.75
0.75
0.50
0.50
0.25
0.25
0.00
0.00
-0.25
-0.25
-0.50
-0.50
-0.75
-0.75
-1.00
-1.00
64
56
48
PERIODOGRAMA- MET
.35
.30
.25
40
.20
32
.15
24
16
8
0
MET PRIMERA DIFERENCIA
1.60
.10
.05
.00
78
81
84
87
CORRELACION-(1-L) MET
PERIODOGRAMA-(1-L) MET
90
144
APÉNDICE B. GRÁFICOS
TRA ORIGINAL CON LOG.
5.5
TRA PRIMERA DIFERENCIA
2.7
5.0
1.8
4.5
0.9
4.0
0.0
3.5
-0.9
3.0
-1.8
2.5
2.0
-2.7
75
1.00
78
81
84
CORRELACION- TRA
87
90
75
1.00
0.75
0.75
0.50
0.50
0.25
0.25
0.00
0.00
-0.25
-0.25
-0.50
-0.50
-0.75
-0.75
-1.00
-1.00
64
PERIODOGRAMA- TRA
.60
56
.50
48
40
32
.40
.30
24
.20
16
8
0
.10
.00
78
81
84
87
CORRELACION-(1-L) TRA
PERIODOGRAMA-(1-L) TRA
90
145
MAQ ORIGINAL CON LOG.
5.50
MAQ PRIMERA DIFERENCIA
2.0
5.25
1.5
5.00
1.0
4.75
0.5
4.50
0.0
4.25
-0.5
4.00
-1.0
3.75
-1.5
3.50
3.25
-2.0
75
1.00
78
81
84
CORRELACION- MAQ
87
90
75
1.00
0.75
0.75
0.50
0.50
0.25
0.25
0.00
0.00
-0.25
-0.25
-0.50
-0.50
-0.75
-0.75
-1.00
-1.00
80
PERIODOGRAMA- MAQ
.30
70
.25
60
50
40
.20
.15
30
.10
20
10
0
.05
.00
78
81
84
87
CORRELACION-(1-L) MAQ
PERIODOGRAMA-(1-L) MAQ
90
146
APÉNDICE B. GRÁFICOS
CON ORIGINAL CON LOG.
5.44
CON PRIMERA DIFERENCIA
0.64
0.48
5.28
0.32
5.12
0.16
4.96
0.00
4.80
-.16
4.64
-.32
4.48
-.48
4.32
-.64
75
1.00
78
81
84
CORRELACION- CON
87
90
75
1.00
0.75
0.75
0.50
0.50
0.25
0.25
0.00
0.00
-0.25
-0.25
-0.50
-0.50
-0.75
-0.75
-1.00
-1.00
80
70
60
PERIODOGRAMA- CON
.084
.072
.060
50
.048
40
.036
30
20
10
0
.024
.012
.000
78
81
84
87
CORRELACION-(1-L) CON
PERIODOGRAMA-(1-L) CON
90
147
INT ORIGINAL CON LOG.
5.20
INT PRIMERA DIFERENCIA
0.60
0.40
5.00
0.20
4.80
0.00
-.20
4.60
-.40
4.40
-.60
75
1.00
78
81
84
CORRELACION- INT
87
90
75
1.00
0.75
0.75
0.50
0.50
0.25
0.25
0.00
0.00
-0.25
-0.25
-0.50
-0.50
-0.75
-0.75
-1.00
-1.00
80
70
60
50
PERIODOGRAMA- INT
.045
.040
.035
.030
.025
40
.020
30
.015
20
.010
10
.005
0
.000
78
81
84
87
CORRELACION-(1-L) INT
PERIODOGRAMA-(1-L) INT
90
148
APÉNDICE B. GRÁFICOS
VIV ORIGINAL CON LOG.
10.80
10.60
0.36
10.40
0.18
10.20
0.00
10.00
-.18
9.80
-.36
9.60
-.54
9.40
-.72
9.20
-.90
75
1.00
78
81
84
CORRELACION- VIV
87
90
75
1.00
0.75
0.75
0.50
0.50
0.25
0.25
0.00
0.00
-0.25
-0.25
-0.50
-0.50
-0.75
-0.75
-1.00
-1.00
350
300
250
PERIODOGRAMA- VIV
.080
.070
.060
.050
200
.040
150
.030
100
50
0
VIV PRIMERA DIFERENCIA
0.54
.020
.010
.000
78
81
84
87
CORRELACION-(1-L) VIV
PERIODOGRAMA-(1-L) VIV
90
149
150
APÉNDICE B. GRÁFICOS
HOT ORIGINAL CON LOG.
10.00
HOT PRIMERA DIFERENCIA
0.50
9.75
0.25
9.50
0.00
9.25
9.00
-.25
8.75
-.50
8.50
8.25
-.75
75
1.00
78
81
84
CORRELACION- HOT
87
90
75
1.00
0.75
0.75
0.50
0.50
0.25
0.25
0.00
0.00
-0.25
-0.25
-0.50
-0.50
-0.75
-0.75
-1.00
-1.00
300
PERIODOGRAMA- HOT
.160
.140
250
.120
200
150
.100
.080
.060
100
.040
50
0
.020
.000
78
81
84
87
CORRELACION-(1-L) HOT
PERIODOGRAMA-(1-L) HOT
90
151
PAC ORIGINAL CON LOG.
7.20
PAC PRIMERA DIFERENCIA
0.75
0.50
7.00
0.25
6.80
0.00
6.60
-.25
6.40
-.50
6.20
-.75
75
1.00
78
81
84
CORRELACION- PAC
87
90
75
1.00
0.75
0.75
0.50
0.50
0.25
0.25
0.00
0.00
-0.25
-0.25
-0.50
-0.50
-0.75
-0.75
-1.00
-1.00
160
140
120
PERIODOGRAMA- PAC
.045
.040
.035
.030
100
.025
80
.020
60
.015
40
.010
20
.005
0
.000
78
81
84
87
CORRELACION-(1-L) PAC
PERIODOGRAMA-(1-L) PAC
90
152
APÉNDICE B. GRÁFICOS
CEM ORIGINAL CON LOG.
8.00
CEM PRIMERA DIFERENCIA
0.24
7.90
0.16
7.80
0.08
7.70
0.00
7.60
-.08
7.50
-.16
7.40
-.24
7.30
7.20
-.32
75
1.00
78
81
84
CORRELACION- CEM
87
90
75
1.00
0.75
0.75
0.50
0.50
0.25
0.25
0.00
0.00
-0.25
-0.25
-0.50
-0.50
-0.75
-0.75
-1.00
-1.00
200
PERIODOGRAMA- CEM
.0050
175
.0040
150
125
.0030
100
75
.0020
50
.0010
25
0
.0000
78
81
84
87
CORRELACION-(1-L) CEM
PERIODOGRAMA-(1-L) CEM
90
153
Produccion.Factor comun 1
30
20
10
0
-10
-20
-30
75
77
79
81
83
85
87
89
91
87
89
91
Produccion.Factor comun 2
20
10
0
-10
-20
-30
-40
75
77
79
81
83
85
154
APÉNDICE B. GRÁFICOS
5.00
4.75
5.50
MET
5.25 MAQ
FMET
5.00
4.50
FMAQ
4.75
4.25
4.50
4.00
4.25
3.75
4.00
3.50
3.75
3.25
3.50
3.00
3.25
76
79
82
85
88
76
5.5
5.44
5.0
5.28
4.5
5.12
4.0
4.96
3.5
4.80
79
82
85
88
79
82
85
88
CON
FCON
3.0
4.64
TRA
2.5
4.48
FTRA
2.0
4.32
75
78
81
84
87
90
5.20
5.10
76
10.00
INT
9.75
FINT
5.00
9.50
4.90
9.25
4.80
9.00
4.70
8.75
4.60
HOT
4.50
8.50
4.40
8.25
FHOT
76
79
82
85
88
76
6.0
7.20
5.5
7.00 FPAC
80
84
88
PAC
5.0
6.80
4.5
6.60
4.0
GRA
3.5
6.40
FGRA
3.0
6.20
75
78
81
84
87
90
76
79
82
85
88
155
156
APÉNDICE B. GRÁFICOS
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