Puntuaciones z y Distribución Normal

Puntuaciones Estándarizadas,
Distribución Normal
y Aplicaciones
Dra. Noemí L. Ruiz Limardo
2008 © Derechos de Autor
Reservados, Revisado 2010
Objetivos de Lección
Conocer características principales de una
Distribución Normal
Conocer características principales de la
Distribución Normal Estándar (distribución z)
Hallar puntuaciones estándarizadas z
Aplicar los conocimientos y destrezas de la
distribución normal estándar en varios ejemplos
Estos son los
conocimientos que
adquirirás después de
estudiar esta lección.
Curva Normal
Introducción
La media aritmética y la desviación
estándar son dos de las medidas
estadísticas más importantes.
Se utilizan en la construcción de
modelos matemáticos que facilitan la
toma de decisiones.
Permiten transformar puntuaciones
crudas a medidas estandarizadas.
(Puntuaciones z )
Estas medidas no son afectadas por las
unidades originales de medición.
Introducción
Ciertas variables, aunque no se distribuyen
exactamente igual a la curva normal,
tienden a configurarse o comportarse
bastante similar.
Por eso, conociendo las características de
una curva normal podemos examinar
diferentes fenómenos o situaciones.
Aclaración: Diferencia entre “Distribución
Normal” y “Datos que se Distribuyen
Normalmente” (próxima Pantalla)
Diferencia entre Distribución Normal y
Variables distribuidas normalmente
Distribución Normal- Es un modelo de
distribución que surge de una ecuación
matemática. Conocer más sobre Distribución Normal
Variables distribuidas normalmente- Son
variables cuya distribución se asemeja, se
aproxima, o se comporta similar a la
distribución normal.
No significa que la distribución sea
exactamente igual a la Normal, ni que tienen
distribuciones exactamente iguales.
Distribución Normal
Distribución de probabilidad más
importante de la estadística.
Corresponde a una distribución de una
variable aleatoria contínua.
Se llama también: función de densidad
de probabilidad contínua.
Cuando se dispone de una expresión
matemática para representar un
fenómeno contínuo, se puede calcular la
probabilidad de que varios valores de la
variable aleatoria ocurran dentro de
ciertos intervalos. Esto es lo que
distingue a los fenómenos contínuos
(que se miden) de los discretos (que se
cuentan).
Propiedades de la distribución normal
Es simétrica con forma de campana.
Todas sus medidas de tendencia central son idénticas.
(Media Aritmética = Moda = Mediana)
Es unimodal. Hay una sola moda.
La media aritmética representa la altura máxima de la
distribución.
El rango intercuartil (Q3 – Q1) está dentro de un intervalo de 2/3
de desviación estándar bajo la media hasta 2/3 de desviación
estándar sobre la media.
99.74% de los valores se localizan a ± 3 desviaciones estándar
desde la media.
Propiedades de la distribución normal
La variable aleatoria asociada es contínua,
por tanto tiene un intervalo infinito de
valores:
-∞<x<+∞
En la distribución, el eje horizontal
representa la variable x , el eje vertical,
el valor de y , representa la frecuencia que
asume el valor particular de la variable x
en la distribución. El valor de y representa
la altura de la curva de la distribución
normal.
Propiedades de la distribución normal
La distribución es asintótica (forma
asíntotas) en el eje de x. Esto significa que
mientras más se aleja la curva de la media,
más se acerca la curva al eje de x , aunque
nunca lo toca. Este proceso es infinito por
tanto nunca toca el eje de x. (y ≠ 0)
Teóricamente, es posible obtener un valor
extremo que esté localizado a más de tres
desviaciones estándar desde la media (bajo
y sobre), pero en la práctica esto es muy
poco probable que ocurra.
Curva Normal
Forma una campana
perfectamente simétrica
µ
σ
µ
σ
µ
σ
µ
µ
σ
µ
σ µ
σ
Reflexión
En la práctica, muchas variables que
se observan tienen distribuciones que
sólo se aproximan a la normal.
Las variables tienen propiedades que
sólo se acercan a las probabilidades
teóricas de la distribución normal.
La distribución normal es de vital
importancia por 3 razones
principales.
Muchos fenómenos contínuos siguen el
patrón de esta distribución o se aproximan a
ella.
Se puede usar para aproximar
distribuciones de probabilidad discretas.
Proporciona la base para la inferencia
estadística clásica debido a su relación con
el Teorema del Límite Central.
Reflexión
La función matemática que genera la
distribución normal es:
2
1 x
1
y f x
e 2
2
Ver que y≠ 0. Es una fracción con numerador 1
e cons tan te aproximada a 2.71828 Abraham De Moivre –
cons tan te aproximada a 3.14159 matemático francés
media de población
desviación estándar de población
x
cualquier valor de var iable
(1667-1754) que
desarrolló la ecuación
de la curva normal
Reflexión
y
1
f x
e
1
2
x
2
2
Observe que como y ≠ 0, la curva
forma asíntotas en el eje de x.
(No hay interceptos en x, no toca el
eje de x)
Observe que en la fórmula e y π son
constantes.
Las probabilidades de la variable
aleatoria x dependen sólo de los
parámetros de la distribución
normal: μ y σ
Reflexión
Cada vez que se especifíca una
combinación particular de una
media y desviación estándar de la
población diferente, se genera una
distribución normal distinta.
Observa que más que una sola
distribución normal existe una
familia de distribuciones normales.
Ver Figura 4.2 en la pág. 82 del
libro de Hinkle y el diagrama de la
próxima transparencia.
Reflexión
A y B tienen la misma media pero diferentes desviaciones
A y C tienen la misma desviación pero diferentes medias
Reflexión
Los cálculos en la función
matemática de la distribución
normal son tediosos.
Para evitarlos, es útil consultar
tablas que proporcionan las
probabilidades de un valor de x
deseado.
Si los datos se estandarizan, solo
se requiere el uso de una tabla:
Tabla E.2A , E.2B ó E.2C (libro de
Berenson) ó Tabla C.1 (libro de
Hinkle)
Reflexión
Cualquier variable aleatoria
normal x, se puede convertir a una
variable normal estandarizada
usando la fórmula de
transformación: z.
Pero para esto, hay que
asegurarse que la variable x se
comporta como la variable
normal.
Además, hay que conocer la
media aritmética y la desviación
estándar de la distribución.
¿Qué información nos brinda z?
Podemos usar la puntuación normal
estandarizada para conocer:
Área bajo la curva de la distribución
Probabilidad de que ocurra un valor
específico
Por ciento de las puntuaciones que
cae bajo una(s) puntuación(es)
específica(s)
Proporción de las puntuaciones que
cae bajo una(s) puntuación(es)
específica(s)
Rango percentil
Aplicaciones de
la distribución
normal
estandarizada z
Definición de Distribución
Normal Estándar
No hay una sola distribución normal, sino
más bien una familia de distribuciones
normales.
Sin embargo, hay una sola distribución
normal estándar.
La distribución normal estándar es
aquella cuya variable aleatoria z siempre
tiene una media aritmética igual a cero y
su desviación estándar es igual a uno.
µ=0 y σ=1
Distribución Normal Estándar
El área bajo la curva totaliza 1 ó 100%.
La media aritmética µ es igual a 0.
La desviación estándar σ es igual a 1.
100%
A una desviación estándar de la media aritmética se
concentra aproximadamente 68% de las puntuaciones.
A dos desviaciones estándar de la media aritmética se
concentra aproximadamente 95% de las puntuaciones.
¿Dónde se
concentra el
porciento que
resta de 100?
A tres desviaciones estándar de la media aritmética se
concentra aproximadamente la totalidad de las
puntuaciones (99.7%)
Transformando puntuaciones
crudas a estandarizadas
Para convertir un dato crudo a una
puntuación estandarizada utilizamos
la siguiente fórmula:
_
z = x–x
s
Para esto necesitamos conocer la
media aritmética y la desviación
estándar de la muestra.
Ejercicio 1
Una escala que mide depresión se
administró en una muestra cuyo media
aritmética fue 50 y la desviación
estándar fue 15. Se encontró que la
distribución se comportaba como una
distribución normal. Halla la
puntuación z de un sujeto de esta
muestra que obtuvo 80 en
_ la escala.
z = x–x
s
z = 80 – 50 = 30 = 2
15
15
Rango Percentil
Es el área que se acumula bajo la
curva normal hasta una puntuación
z dada
Ejercicio 2
Halla el rango percentil de:
Z=1
Z = -1
Z = -2
Z=3
Usando la Tabla de Puntuaciones z
El diagrama anterior contiene solo
algunas puntuaciones z y rangos
percentiles.
Para poder hallar otras puntuaciones
se utilizan los valores obtenidos en la
tabla de valores de la distribución
normal estándar z. (Ver ejercicio de la
próxima pantalla)
Ejercicio 3
Halla el rango percentil de un sujeto cuya
puntuación z es 2.20 e interpreta el resultado.
Para z = 2.20 hay que usar la tabla.
Según la tabla, para z = 2.20, el área entre la
media y z es 0.4861.
Como hay un rango percentil de 0.50 (50%)
desde el valor menor hasta la mitad de la curva
normal, tenemos que añadir este por ciento al
valor de z encontrado: sumamos 0.50 + 0.4861 y
obtenemos 0.9861.
Este es el rango percentil que buscamos.
¿Qué significa el rango percentil encontrado?
Ej 4- ¿Cómo comparan B, C y E?
Halla la puntuación z y el rango
percentil de los sujetos B, C y E en la
prueba de admisión y en el índice
académico y compara los mismos.
Solución en la
próxima pantalla.
Escribir los datos
en la pizarra.
Halla la puntuación z de B, C, y E en la prueba de
admisión
zB = 2,100 – 2,500 = - 400 = - 1
400
400
zE = 2,180 – 2,500 = - 320 = - 0.8
400
400
zC = 2,580 – 2,500 = 80 = 0.2
400
400
Halla la puntuación z de B, C, y E en el índice académico
zB = 2.5 – 3.0 = - 0.5 = - 1.67
0.3
0.3
zC = 2.6 – 3.0 = - 0.4 = - 1.33
0.3
0.3
zE = 2.0 – 3.0 = - 1 = - 3.33
0.3
0.3
Halla el rango percentil de B, C, y E en la prueba de
admisión
zB = - 1
RP = 0.1587 = 15%
zC = 0.2
RP = 0.0793 + 0.5 = 0.5793 = 58%
zE = - 0.8
RP =
0.2119 = 21%
Halla el rango percentil de B, C, y E en el índice
académico
zB = - 1.67
RP = 0.0475 = 5%
zC = - 1.33
RP = 0.0918 = 9%
zE = - 3.33
RP = 0.00043 = 0%
¿Qué sujeto salió
mejor y quién salió
peor en ambos
criterios?
Ejercicio 5
¿Cuál es el cociente intelectual
de un sujeto que obtuvo un z=1.96
si la media de esta escala es 100 y
la desviación estándar es 20?
Para hallar un dato crudo partiendo
de la puntuación z y conociendo la
media y la desviación estándar, se
usa la misma fórmula, pero
transformada.
Esta fórmula después del manejo _
matemático se convierte en: x = x + (z) (s)
Ejercicio 5
_
x = x + (z) (s)
_
x = 100
Z = 1.96
s = 20
x = 100 + (1.96) (20)
x = 100 + 39.20
x = 139.20
El cociente intelectual es 139.2
Ejercicio 6
¿Cuál es el cociente intelectual
de un sujeto que obtuvo un
z = -2.5 en la misma prueba del
_ 5?
ejercicio
Z = -2.5
x = 100
_
x = x + (z) (s)
s = 20
x = 100 + (-2.5) (20)
x = 100 + -50
x = 50
El cociente intelectual sería 50.
Ejercicio 7 al 13- Usa la siguiente situación
El gerente de operaciones en una
fábrica de montaje de automóviles
desea estudiar el proceso para
montar una pieza específica del
automóvil con el fin de reducir el
tiempo requerido para el montaje.
Después de estudiar el proceso y
recopilar datos, encuentra que el
tiempo de montaje se aproxima a una
distribución normal con una media de
75 segundos y una desviación
estándar de 6 segundos.
Ejercicio 7
¿Qué proporción de las piezas se montarán en menos de 63
segundos?
Hay que hallar z
para conocer el
área, proporción o
rango percentil
57
63
μ = 75
z
69
75
81
63 75
6
87
σ=6
12
6
2
93
Como 63 equivale a z = -2, en la tabla de z E.2B la probabilidad
es 0.0228 ó 2.28% de las piezas se montarán en menos de 63
segundos.
Ejercicio 8
¿Cuántos segundos tardará el montaje del 10% de las piezas?
μ = 75
σ=6
Hay que hallar un
valor específico
conociendo la
proporción.
57
63
Hay que usar la
fórmula de z
transformada.
69
75
81
87
93
Como la probabilidad de 10% es en un z = -1.28, en la tabla,
calculamos la puntuación cruda
x = 75 + (-1.28) (6)
x = 75 + -7.68
x = 67.32
Ejercicio 9
¿Cuál es la probabilidad de que un trabajador seleccionado al
azar realice la tarea en un tiempo entre 75 y 81 segundos?
μ = 75
57
63
69
75
81
87
σ=6
93
Para hallar P (75<x<81) vemos que hay que hallar el área bajo la
curva entre la media y 1 desviación estándar sobre la media.
En la tabla E.2A un z = 1 tiene un área o probabilidad de 0.3413.
Por tanto, la probabilidad es de 34.13%.
Ejercicio 10
¿Cuál es la probabilidad de que un trabajador seleccionado al
azar realice el trabajo en menos de 75 segundos?
μ = 75
57
63
69
75
81
87
σ=6
93
Como menos de 75 segundos es la mitad de la curva, la
probabilidad es de 50%.
Ejercicio 11
¿Cuál es la probabilidad de que un trabajador seleccionado al
azar realice el trabajo en más de 81 segundos?
μ = 75
57
63
69
75
81
87
σ=6
93
Para hallar P (x>81) , vemos que más de 81 equivale a menos de
69, que es z= -1. Podemos usar la tabla E.2B y vemos que un
z = -1 tiene un área o probabilidad de 0.1587.
Ejercicio 12
¿Cuál es la probabilidad de que un trabajador seleccionado al
azar realice el trabajo en menos de 75 segundos o más de 81
segundos?
μ = 75
57
63
69
75
81
87
σ=6
93
Para hallar P (x<75 ó x>81) sumamos 0.5 + 0.1587 = 0.6587.
Ejercicio 13
¿Cuál es la probabilidad de que un trabajador seleccionado al
azar realice el trabajo en menos de 62 segundos?
μ = 75
57
63
69
75
81
87
σ=6
93
Para hallar P (x< 62) necesitamos conocer el valor de z.
z = 62 – 75 = - 13 = - 2.17
6
6
La probabilidad para un valor de z = -2.17 es 0.0150
Limitaciones de z
Podría ser confuso de manejar e
interpretar si z = 0 o tiene valor negativo.
Si se omite el signo accidentalmente,
podría cambiar el sentido de la
interpretación.
Es por esto que a veces se prefiere
transformar la puntuación z en una
puntuación que se pueda interpretar a
luz de la escala de medición _de la
variable. Por ejemplo: x = x + (z) (s)
Otras Aplicaciones de la normalidad
Promedios ponderados
Distribuciones muestrales
Pruebas de hipótesis
Estos dos últimos se
estudiarán en capítulos
posteriores.
Promedios Ponderados
Se usa cuando se consideran
varias medidas del mismo sujeto.
Debido a la escala ordinal de las
percentilas no es apropiado usar
para interpretar en estos casos.
Tampoco es apropiado usar las
puntuaciones crudas porque
podrían tener diferentes medias y
desviaciones estándar las
diferentes medidas.
Promedios Ponderados
Entonces lo que se hace es promediar en
puntuaciones estándarizadas.
Esto es la media ponderada.
La fórmula es:
Puntuación Ponderada j
wi zij
wi
wi
peso de cada medida i
zij
puntuación z de sujeto j en medida i
Promedios Ponderados
Ejemplo:
Un candidato a empleo toma dos pruebas y una entrevista. La
entrevista vale doble mientras que las dos pruebas tienen el
mismo peso. El candidato obtiene las siguientes puntuaciones
estandarizadas:
wi zij
Prueba 1= 0.25
Puntuación Ponderada j
wi
Prueba 2=-0.50
Entrevista=-0.20
¿Cuál fue la puntuación ponderada del candidato?
Puntuación
Ponderada =
2( 0.20) 1(0.25) 1( 0.50)
2 1 1
0.16
Verificación de la suposición de normalidad
Para asegurarse de que aplica la
distribución normal estándar hay
que verificar la suposición de
normalidad.
Se puede verificar usando las
siguientes técnicas:
Hacer diagrama de la distribución
para ver si tiene forma de normal
Calcular tendencia central, rango,
rango intercuartil y desviación
estándar y ver relación con la normal
Verificación de la suposición de normalidad
La forma de la distribución debe ser
similar a la distribución normal
Las tres medidas de tendencia central
deben ser iguales o lo más cercanas
posibles a la misma cantidad.
El rango intercuartil debe ser
aproximadamente 1.33 veces la
desviación estándar.
El rango debe ser aproximadamente 6
veces la desviación estándar.
Verificación de la suposición de normalidad
Determine si cerca de 2/3 de las
observaciones caen a una desviación
1s
estándar sobre y bajo la media
Determine si cerca de 4/5 de las
observaciones caen a 1.28 desviaciones
1.28s
estándar bajo y sobre la media
Determine si 95% de las observaciones
caen a 2 desviaciones estándar bajo y
sobre la media.
Distribución Muestral de la Media
Una distribución muestral de la media se
comporta como una distribución normal
si n ≥ 30, aunque hay que considerar el
error estándar de la media.
La fórmula para calcular este error es:
x
n
En un estudio para asegurar que se
pueda inferir características de una
muestra a la población debe utilizar
muestras con n ≥ 30 y considerar el error
estándar de la media.
Prueba de Hipótesis
En un estudio experimental se
establece la hipótesis nula y la
alterna.
La hipótesis nula es la que se
prueba siempre.
La hipótesis alterna es la del
investigador y se plantea como
opuesta a la nula
Prueba de Hipótesis
Si la distribución se comporta
como una distribución se normal,
se realiza una prueba de z de
acuerdo a los valores críticos y la
región de rechazo establecida.
Si z cae en la región de rechazo, se
rechaza la hipótesis nula y se
acepta la alterna.
Fin de la Lección
Distribución Normal
Ecuación matemática desarrollada por
matemático francés Abraham Moivre
(1667-1754) en siglo 18.
La ecuación sirvió para representar
conceptos de probabilidad relacionados
con juegos de azar.
La ecuación no determina ningún evento
específico de la naturaleza ni refleja
ninguna ley específica de la naturaleza.
Distribución Normal
Sin embargo, ha sido muy útil porque
describe el comportamiento de variables
que aparecen en las ciencias sociales y la
educación tales como: aprovechamiento
académico, aptitudes y actitudes.
Más adelante se verá que muchos
procedimientos de la estadística
inferencial dependen del supesto de que
la distribución sea normal.