Movimiento turbulento bidimensional y estacionario de líquidos (provisional) 1 Ecuaciones Continuidad ∂V ∂U + = 0. ∂x ∂y Cantidad de movimiento ¶ µ 2 ∂U ∂U 1 ∂p ∂ ³ 0 2´ ∂ ¡ 0 0¢ ∂2U ∂ U U −u +V =− + + , + −u v + ν ∂x ∂y ρ ∂x ∂x ∂y ∂x2 ∂y 2 µ 2 ¶ ∂V 1 ∂p ∂ ¡ 0 0¢ ∂ V ∂V ∂2V ∂ ³ 0 2´ −v +V =− + +ν . U + −u v + ∂x ∂y ρ ∂y ∂x ∂y ∂x2 ∂y 2 Energía ¶ µ 2 ∂T ∂ ¡ 0 0¢ ∂ T ∂2T ∂T ∂ ¡ 0 0¢ ν +V = + U . −u T + −v T + ∂x ∂y ∂x ∂y P r ∂x2 ∂y 2 2 (1) (2) (3) (4) Aproximación capa límite Continuidad ∂U ∂V + = 0. ∂x ∂y (5) Cantidad de movimiento U Energía ∂U ∂2U dUe ∂U ∂ ¡ 0 0¢ +V = Ue + −u v + ν 2 , ∂x ∂y dx ∂y ∂y ³ ´ ∂ p + ρv0 2 = 0 ; p + ρv 0 2 = pe . ∂y U 3 ∂T ∂ ¡ 0 0¢ ν ∂2T ∂T +V = . −v T + ∂x ∂y ∂y P r ∂y2 (6) (7) (8) Turbulencia libre ¡ ¢ ¡ ¢ En este caso Ue (dUe /dx) ≈ 0 y el término viscoso ν ∂ 2 U/∂y2 ¿ ∂ −u0 v 0 /∂y, de modo que las ecuaciones de continuidad y cantidad de movimiento toman la forma ∂V ∂U ∂U ∂ ¡ 0 0¢ ∂U + =0; U +V = −u v . ∂x ∂y ∂x ∂y ∂y 1 4 Estela (bidimensional) lejana U = U∞ + Ũ ; Ũ << U∞ ; v0 ∼ Ũ . ∂ Ũ ∂V δ + = 0 ; V ∼ Ũ , ∂x ∂y x ³ ´ ∂ Ũ ∂ Ũ ∂ ¡ 0 0¢ U∞ Ũ ∂ Ũ ∂ Ũ Ũ 2 ∂ Ũ +V = ∼ >> Ũ ∼V ∼ , U∞ + Ũ −u v ; U∞ ∂x ∂y ∂y ∂x x ∂x ∂y x Z +∞ ∂ ¡ 0 0¢ ∂ Ũ D = U∞ = −I ; y → ±∞ : Ũ → 0, − u0 v0 → 0. Ũ dy = − −u v ; ∂x ∂y ρU ∞ −∞ r r U∞ Ũ Ix IU∞ ∼ ; Ũ δ ∼ I ⇒ δ ∼ . ; Ũ ∼ x δ U∞ x Solución autosemejante r δ (x) = a r Ix IU∞ y ; Ũ (x, y) = −us (x) f (η) ; −u0 v 0 = u2s (x) g (η) ; η = , ; us (x) = b U∞ x δ (x) donde a y b son constantes que se han de determinar. µ ¶ ∂ Ũ U∞ us df ∂ ¡ 0 0 ¢ u2s dg = f +η ; −u v = U∞ ∂x 2x dη ∂y δ dη U∞ δ a ; = 2xus 2b f +η ⇒ U∞ δ 2xus ¶ µ dg df = , f +η dη dη df 2b dg = . dη a dη Modelo de turbulencia −u0 v 0 = νT ∂ Ũ ; νT ∼ us δ, ∂y νT us df 1 df ∂ Ũ νT df =− = u2s g (η) ; g (η) = − =− . ∂y δ dη us δ dη RT dη µ ¶ 2 df 2b d f 2b f +η =− ; = 1. 2 dη aRT dη aRT µ 2¶ d2 f η df + 2 = 0 ; f (∞) = f (−∞) = 0 : f = exp − . f +η dη dη 2 Z +∞ Z +∞ √ 1 I = = 2π. f dη = Ũ dy = −I ⇒ us δ ab −∞ −∞ −u0 v0 = −νT Las relaciones √ ab = 1/ 2π y 2b/a = RT , determinan a y b ya que RT ≈ 12.5 es un valor experimental.. El resultado es a = 0.25 y b = 1.58. En la estela de un cilindro circular los valores experimentales muestran que Ũ = −us f (η) para x > 80 diámetros y −u0 v0 = u2s g (η) para x > 200 diámetros. 2 5 Chorro (bidimensional) lejano ∂V ∂U ∂U ∂ ¡ 0 0¢ ∂U + =0; U +V = −u v ; ∂x ∂y ∂x ∂y ∂y Z ∞ U 2 dy = −∞ M = m, ρ ya que ¶ ¸ Z ∞∙ 2 Z ∞ Z ∞µ Z ∞ ¡ ¢ ∂U ∂ (U V ) d ∂U ∂U 2 +V dy ≡ + dy = U U dy = d −u0 v0 = 0. ∂x ∂y ∂x ∂y dx −∞ −∞ −∞ −∞ De las ecuaciones se tiene δ V ∼U ; x Con δ ∼ x se tiene Umax ∼ u0 2 U2 ∼ x δ √ u0 U ⇒ 2 ∼ r δ ; U 2 δ ∼ m. x p m/x. Utilizando la función de corriente U= ∂ψ ∂ψ ; V =− , ∂y ∂x buscamos soluciones de semejanza de la forma ¡ ¢ m √ y δ = ax ; ψ = b mxF (η) ; −u0 v 0 = G (η) ; η = . x δ Por lo tanto r µ ¶ ∂ψ 1 dF m dF m ; V =− =b − F +η ; x dη ∂x x 2 dη r µ r ¶ ∂U m 1 dF m d2 F b d2 F b ∂U =− +η 2 = 2 ; ; ∂x ax x 2 dη dη ∂y a x x dη 2 "µ # ¶ µ ¶ dF 2 m dG ∂U b2 m dF ∂ ¡ 0 0¢ d2 F ∂U b2 m d +V =− 2 2 F ; −u v = 2 +F 2 =− 2 2 U ∂x ∂y 2a x dη dη 2a x dη dη ∂y ax dη µ ¶ dF dG b2 d F =− 2a dη dη dη b ∂ψ = U= ∂y a r Modelo de turbulencia ∂U us (x) δ (x) b ; νT = ; us (x) = U (x, 0) = −u0 v 0 = νT ∂y RT a −u0 v0 = νT d dη µ dF dη ¶ η=0 r m , x ∂U b2 F 0 (0) m d2 F b2 F 0 (0) d2 F m = G (η) ; G (η) = = , ∂y a2 RT x dη2 x a2 RT dη 2 µ ¶ dF d2 F F + 2 = 0 con dη dη 2F 0 (0) = 1 y con F (0) = F 00 (0) = 0 y F 0 (∞) = 0. aRT Integrando una vez se tiene F d2 F dF + 2 = 0, dη dη llegándose a F (η) = ³ √ ´ ³ √ ´ √ 4 2tanh η/ 2 ; F 0 (η) = sech2 η/ 2 = ³ √ √ ´2 . e η/ 2 + e−η/ 2 3 Dado que F 0 (0) = 1 se tiene a = 2/RT ≈ 0.078 (RT ≈ 25.7). Por otro lado se tiene Z ∞ −∞ U 2 dy = m ⇒ Z ∞ −∞ µ dF dη ¶2 dη = a , b2 pero, dado que F 0 (η) es conocida, se tiene Z ∞ −∞ µ dF dη ¶2 √ a 4 2 = 2 ⇒ b ≈ 0.203. dη = 3 b En resumen se tiene r √ m y ; ψ ≈ 0.203 mxF (η) ; η = . δ (x) ≈ 0.078x ; us (x) = U (x, 0) ≈ 2.60 x δ (x) 4