La factorización es expresar en forma matemática un polinomio o

UNIVERSIDAD AMERICANA
Escuela de Matemática, II C-12.
Curso BAN-03: Matemática I ( Jueves- Noche )
Prof. Edwin Gerardo Acuña Acuña
PRÁCTICA DE ALGEBRA (Factorización, Ecuaciones e Inecuaciones)
La factorización es expresar en forma matemática un polinomio o número como
producto de otros objetos más pequeños (factores), que, al multiplicarlos todos,
resulta el objeto original.
Existen métodos de factorización, para algunos casos especiales.
1. Factor Común:
Se aplica en binomios, trinomios y polinomios de cuatro términos o más. No aplica para monomios.
Es el primer caso que se debe inspeccionar cuando se trata de factorizar un polinomio.
El factor común es aquello que se encuentra multiplicando en cada uno de los términos. Puede ser un
número, una letra, varias letras, un signo negativo, una expresión algebraica (encerrada en paréntesis) o
combinaciones de todo lo anterior.
Cómo realizar la factorización
De los coeficientes de los términos, se extrae el MCD (Máximo Común Divisor) de ellos.
De las letras o expresiones en paréntesis repetidas, se extrae la de menor exponente.
Se escribe el factor común, seguido de un paréntesis donde se anota el polinomio que queda después de que
el factor común ha abandonado cada término.
Factor común por agrupación de términos
y si solo si el polinomio es 0 y
el tetranomio nos da x.
Factor común polinomio
Primero hay que determinar el factor común de los coeficientes junto con el de las variables (la que tenga
menor exponente). Se toma en cuenta aquí que el factor común no solo cuenta con un término, sino con dos.
Un ejemplo:
Se aprecia claramente que se está repitiendo el polinomio (x-y), entonces ese será el factor común. El otro
factor será simplemente lo que queda del polinomio original, es decir:
La respuesta es:
En algunos casos se debe utilizar el número 1, por ejemplo:
Se puede utilizar como:
Entonces la respuesta es:
Factor común por agrupación de términos
Para trabajar un polinomio por agrupación de términos, se debe tener en cuenta que son dos características
las que se repiten. Se identifica porque es un número par de términos.
Un ejemplo numérico puede ser:
Entonces puedes agruparlos de la siguiente manera:
Aplicamos el caso I (Factor común)
Prácticas: Factorice las siguientes expreciones:
Factor común de polinomios y agrupación
2.
Diferencia de Cuadrados:
Se aplica solamente en binomios, donde el primer término es positivo y el segundo término es negativo.
Se reconoce porque los coeficientes de los términos son números cuadrados perfectos (es decir números
que tienen raíz cuadrada exacta, como 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256,
289, 324, 361, 400, etc.) y los exponentes de las letras son cantidades pares (2, 4, 6, 10, 8n, 16b, etc.)
Cómo realizar la factorización
Se extrae la raíz cuadrada de cada término: Al coeficiente se le extrae la raíz cuadrada normalmente (por
ejemplo:
81 = 9) y a las letras, su exponente se divide entre 2 (por ejemplo:
fundamenta en la propiedad de la radicación:
n
a
m
x
6
 x ). Esto último se
3
m
an .
- Se abren dos grupos de paréntesis (conectados entre sí por multiplicación).
- Las raíces cuadradas que se obtuvieron de cada término se anotan dentro de cada paréntesis: en el primero
van sumando y en el segundo van restando (es decir, se obtiene el producto notable llamado SUMA POR
DIFERENCIA).
Práctica de factorización por diferencia de cuadrados:
3.
Inspección
El trinomio debe estar organizado en forma descendente.
El coeficiente del primer término debe ser uno (1).
El grado (exponente) del primer término debe ser el doble del grado (exponente) del segundo término.
- Se abren dos grupos de paréntesis.
- Se le extrae la raíz cuadrada al primer término y se anota al comienzo de cada paréntesis.
- Se definen los signos: el signo del primer paréntesis se obtiene al multiplicar los signos del primer y
segundo término; el signo del segundo paréntesis se obtiene al multiplicar los signos del segundo y tercer
término.
- Buscamos dos cantidades que multiplicadas den como resultado el término independiente (es decir c), y
que sumadas den como resultado el coeficiente del segundo término (es decir b).
- Se anotan las cantidades que satisfacen las condiciones anteriores en los espacios en blanco de cada
paréntesis, en sus lugares respectivos.
Práctica de factorización
4. Suma y diferencia de cubo
Se aplica solamente en binomios, donde el primer término es positivo (el segundo término puede ser
positivo o negativo).
Se reconoce porque los coeficientes de los términos son números cubos perfectos (es decir números que
tienen raíz cúbica exacta, como 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000, etc.) y los exponentes de las
letras son múltiplos de tres (3, 6, 9, 12, 15p, 18c, etc.)
Cómo realizar la factorización
Se extrae la raíz cúbica de cada término: Al coeficiente se le extrae la raíz cúbica normalmente (por
ejemplo:
3
8  2 ) y a las letras, su exponente se divide entre 3 (por ejemplo:
por la propiedad de la radicación:
n
a
m
3
x
12
 x ). Esto se justifica
4
m
an .
Se abren dos grupos de paréntesis (conectados entre sí por multiplicación).
En el primer paréntesis (llamado FACTOR CORTO) se construye un binomio con las raíces cúbicas que ya
se obtuvieron. En el segundo paréntesis (llamado FACTOR LARGO) se construye un trinomio con los
términos que se anotaron en el factor corto, en el siguiente orden: el primero al cuadrado, luego el primero
por el segundo y, por último el segundo al cuadrado.
- Por último definimos los signos, de la siguiente manera: Si se trata de una suma de cubos, en el factor
corto va signo positivo y en el factor largo van signos intercalados iniciando con positivo. Si tenemos una
diferencia de cubos, en el factor corto va signo negativo y en el factor largo van signos positivos.
Los siguientes son los modelos que resumen lo anterior:
Suma de Cubos:
𝑎3 + 𝑏3= (𝑎+𝑏) (𝑎2−𝑎𝑏+𝑏2 )
Diferencia de Cubos: 𝑎3 − 𝑏3= (𝑎−𝑏) (𝑎2+𝑎𝑏+𝑏2 )
IMPORTANTE: En algunas ocasiones el factor corto puede volverse a factorizar (debe revisarse). El factor
largo no es necesario inspeccionarlo ya que no permite ser factorizado
PRÁCTICA:
PRÁCTICA GENERAL DE TODOS LOS MÉTODOS
BIBLIOGRAFIA
http://www.docentesinnovadores.net/archivos/contenidos/2108/Resumen%20de%20los%20principales%20casos%20de%20factorizacion.pdf
Matemática 10. Roxanna Meneses. 1999.
Fórmulas Matemática. Edwin G Acuña. 2010
Ecuaciones Lineales
Una ecuación lineal es un planteamiento de igualdad, involucrando una o más variables a la primera
potencia, que no contiene productos entre las variables, o mejor dicho, es una ecuación que involucra
solamente sumas y restas de una variable a la primera potencia. Son llamadas lineales porque representan
rectas en el sistema cartesiano. Una forma común de ecuaciones lineales es y = mx + c Donde m representa
la pendiente y el valor de c determina la ordenada al origen (el punto donde la recta corta al eje Y). Las
ecuaciones que donde aparece el término x*y (llamado rectangular) no son consideradas lineales
Algunos ejemplos de ecuaciones lineales:
3x + 2y = 10
3a + 472b = 10b + 37
3x + y −5 = −7x + 4y +3
x-y+z=15
3x-2y+z=20
x+4y-3z=10
PRÁCTICA
1) 3(4b + 1) = – 6
20) 5(2x + 1 ) – 3 = 1
2) 14 = – (3x + 5)
21) 8 – 4(x + 5) = – 12
3) 6(2x + 1) = 6
22) 2(3x + 1) – x = 2 + 2x
4) 2(x + 4) – 2 = x
23) – 2 = 3(1 – 6y) – 9
5) 5(x – 2 ) + 2 = 2
24) 1 – 3(2x – 4 ) = 4(6 – x) – 8
6) 3 – 5(2x + 1) = 1
25) 4(x – 3) = 2(x + 1)
7) 5(x – 2) – (3x + 4) = 3(6x – 8) + 10
26) 2(5x – 1) = 3(x – 1) – (4x – 5)
8) 4x + (3x – 2) = – 5x – (x + 3)
27) – 3x + (4x – 7) = – 3x + (x + 14)
9) 2x – (3x – 2) = x + (4 – 2x)
28) 9x + (10x + 11) = 12x + (13x + 14)
10) – 3x + (2x – 3) = 2 – (4x + 5)
29) 5x – (4x + 3) = 2x – (x – 1)
11) 2x + (7x – 2) = 3x – (x – 2)
30) x – (3 – x) = x – (3 – 2x)
12) 5x – (11x – 3) = 9x + (3x – 8)
31) 2 – 3(x – 1) = 3x – 2(4x – 3)
13) – 11x – (x – 5) = 7x – (10 – 3x)
32) 3(x + 6) – 40 = 6(x – 3)
14) x – (1 – x) = x + (1 – x)
33) 2(3x – 2) – 5x = 2(x – 3) + 9
15) 7x – (x + 11) = 5x – (4 – 6x)
34) 4(x – 1) – 5(3 –x) = 14x – 2(5x – 3)
16) – 10x + (3x – 8) = 23x + (4 – 20x)
35) 12x – 3(x – 2) = 3(x + 4)
17) 4x + (3x – 5) = 2x + (9x – 3)
36) 4x – (x + 6) – (x – 2) = 16 – 2x
18) – x – (– x – 3) = 2x + (2 – 2x)
37) (3x – 2 ) – (x + 3) – x = 0
19) 8x + (2x + 4) = 6x + (4x + 9)
38) 10 – 4(x + 2) = 32 – 6(3x – 2)
3x  5 5  2 x 3x  7


4
3
2
3x  5 5  2 x 3x  7


53)
4
3
2
51)
2 x  5 3  4 x 5 x  7 2 x  4



2
3
2
3
5 x  3 5  2 x 8 x  7


54)
5
3
2
52)
ECUACIONES CUADRÁTICAS
Una ecuación cuadrática o de segundo grado es toda ecuación en la cual, una vez simplificada, el mayor exponente
de la incógnita es 2. En una variable con coeficientes reales es una ecuación que puede escribirse como ax 2 + bx + c
= 0, donde a, b, c son constantes reales, con a  0 .
Determinar el valor de las constantes “a”, “b” y “c” de las siguientes ecuaciones cuadráticas.
1) x2 + 13x – 2 = 0
a = _____ b = _____ c = _____
2) -7x2 – 4 = 0
a = _____ b = _____ c = _____
3) 7x2 + 8x = 0
4) 4 – 9x2 + 8x = 0
5)
2  3x 
a = _____ b = _____ c = _____
a = _____ b = _____ c = _____
2
x
0
2
a = _____ b = _____ c = _____
2
DISCRIMINANTE: la ecuación cuadrática, el número b – 4ac, se denomina discriminante y se representa con el
símbolo  . Puede utilizarse para determinar la naturaleza de las raíces de la ecuación como se explica a
continuación:
I. Si
II. Si
III. Si
 > 0, la ecuación tiene dos soluciones reales distintas.
 = 0, la ecuación tiene una solución real.
 < 0, la ecuación no tiene soluciones reales.
Determinar el discriminante y cuantas soluciones reales posee las siguientes ecuaciones cuadráticas.
1) -7x2 + 13x + 2 = 0
2) x2 + 5x + 1 = 0
4) – x2 + 9 = 0
3) x2 + 4x + 5 = 0
5) 7x2 – 6x = 0
6) 5x2 – 10x + 5 = 0
ECUACIONES CUADRÁTICAS CON UNA INCÓGNITA POR FÓRMULA GENERAL
FORMULA CUADRÁTICA: Si
a  0 , entonces las raíces de la ecuación ax2 + bx + c = 0 están dadas por
x1 
b 
2a
x2 
b 
2a
EJEMPLOS
Resuelva las siguientes ecuaciones cuadráticas por fórmula general y determine el conjunto solución.
1)
2)
3)
4)
5)
x2 + 4x + 3 = 0
9x2 – 6x + 1 =0
4x2 – 9 =0
x2 + 10x = 0
4x2 + 5x – 3 = 0
Resuelva las siguientes ecuaciones cuadráticas y determine el conjunto solución.
1) x(x + 3) = 5x + 3
3) 5x(x – 1) – 2(2x2 – 7x) = – 8
5) 5x2 + 4 = 2(x + 2)
2) 3x2 – 2x = – 2x2 – 12x
4) (x + 5)(x – 5) = – 7
6) 3x – (4x2 – 7) = 5 + 3x
Resuelva las siguientes ecuaciones cuadráticas por fórmula general y determine el conjunto solución.
1) -8x2 – 5x + 2 = 0
2) 2x2 + 3x – 22 = 0
3) 7x2 + 11x = – 24
09) 49x2 – 70x + 28 = 0
17) 8x2 – 2x – 3 = 0
10) 12x – 7x2 + 64 = 0
11) x2 = 15x – 56
18) 105 = x + 2x2
19) 6y2 = 19y – 15
4) x2 = 16x – 63
12) 32x2 + 18x – 17 = 0
20) 16x2 = 8x
5) 12x – 4 = 9x
2
13) 7x + 121 + 64x = 0
21) x – 16 = 0
6) 5x2 – 7x – 90 = 0
14) 8x + 5 = 36x2
22) 16 – 4x2 =0
7) 6x2 + x + 22 = 0
15) 27x2 + 12x – 7 = 0
23) 3x – x2 = 0
8) x + 11 = 10x2
16) 15x = 25x2 + 2
24) 7x = 7x2
2
2
1) Resuelva las siguientes ecuaciones cuadráticas y determine el conjunto solución.
i.
3x(x + 3) = 5x + 3
xiii.
(2x + 4)2 + 7(x – 2) = 2x(5x – 1)
ii.
3(3x – 2) = (x + 4)(4 – x)
xiv.
x(2x + 3) + 5 = x(x + 9)
iii.
7x + 1 = 3(x2 – 5) – (x – 3)(x + 2)
xv.
(x + 2)2 – (2 – 5x)2 = 112 – 2x – 3
iv.
(3x – 3)2 – (2x + 5)2 = – 23
xvi.
3(x2 – 2x – 4) = 2x(x + 1) + 8
v.
25(x + 2)2 = (x – 7)2 – 81
xvii.
(x + 1) + (x + 2) = x – 6
vi.
3x(x – 2) – (x – 6) = 23(x – 3)
xviii.
x2 + (x – 3)2 = 5 + 8(2 – x)
vii.
(x + 4)2 – (x – 3)2 = 343
xix.
(x – 2)2 + (x + 1)2 = x + 7
viii.
3x2 + (x + 5)2 = 5 + 16(3 – x)
xx.
(x + 1)2 + (x – 1)2 = 2x2 + x + 1
ix.
7(x – 3) – 5(x2 – 1) = x2 – 5(x + 2)
xxi.
2(x – 3) = 3(x + 2)(x – 3)
x.
(x – 5)2 – (x – 6)2 = (2x – 3)2 – 118
xxii.
(x + 1)(2x + 3) = 4x2 – 22
xi.
(5x – 2)2 – (3x + 1)2 – x2 – 60 = 0
xxiii.
(3x – 5)(2x – 5) =x2 + 2x – 3
xii.
(2x – 1)(2x – 3) + x = (x – 5)2 – 22
xxiv.
(x + 2)2 – 8 = (x + 1)2 + x(3x + 4)
2
2
2
Ejercicios de INECUACIONES
Ejercicio 1 : Resolver las siguientes inecuaciones y representar el conjunto solución en la recta real:
a)
2x-3 < 4-2x
b) 5 + 3 x  4 - x
c)
4-2t > t-5
d) x + 8  3 x + 1
e)
2.
 1
x-  > 3x
 2
a2
a 1

4
3
5x- 6
g) 3 x - 12 
4
f)
h) 3 . ( 4 - x ) > 18 x + 5
x
x
x

5 3
2
6
x
5x
j) 
-4 
4
3
5x  2 x  8
k)

3
4
x
x 1

- x 
l)
2
7
i)
m)
1
6
x  14
-2
2
2  0
1 
7

 1
x    0
 2 - x  - 3  4 . 3 
4

 2
n) x -
2 > 0
SISTEMAS DE ECUACIÓN