Cálculo del diagrama de bandas en un cristal fotónico metálico bidimensional con índice de refracción negativo en la región de las microondas. R. A. Gutiérrez-Arenas1, 2 y D. Mendoza2 Facultad de Ingeniería, Universidad Nacional Autónoma de México 2 Instituto de Investigaciones en Materiales, Universidad Nacional Autónoma de México México, D. F., México 1 Resumen: En este artículo se muestran los diagramas de dispersión o estructura de bandas de un cristal fotónico metálico calculado mediante el método de diferencias finitas en el espacio real. Además se presenta el índice de refracción efectivo para dicho cristal y los diagramas de superficies de equifrecuencia. Dicho análisis se desarrolla a partir de las propiedades de los materiales izquierdos, los cuales presentan un índice de refracción negativo y otras propiedades que se deben a la dispersión de las ondas en medios periódicos. Introducción Las propiedades electromagnéticas (EM) de la materia pueden ser caracterizadas por dos cantidades macroscópicas: la permitividad dieléctrica ε, y la permeabilidad magnética µ, así mismo las propiedades de propagación de las ondas EM en un material son determinadas por ε yrµ, que regulan las relaciones entre r el campo eléctrico E , y el campo magnético H . Esas propiedades de propagación pueden depender de la frecuencia, ya que ε(ω) y µ(ω) son en general, dependientes de la frecuencia. Para una gran cantidad de materiales la parte real tanto de ε como de µ son positivos en la banda de propagación, por lo que para la mayoría de los r materiales, así como para el vacío la relación entre E , r r H y el vector de propagación k esta dada por la regla de mano derecha: kr ⋅ [Er × Hr ] > 0 . Fue Veselago [1] el primero que analizó que la propagación de ondas EM es posible en materiales que poseen simultáneamente ε,µ<0. Para esos materiales la relación kr ⋅ [Er × Hr ] es menor a cero y esta dada por la regla de la mano izquierda por lo que se les refiere como "materiales izquierdos". Sus propiedades EM son diferentes a la de los materiales "derechos" ya que las velocidades de grupo y fase son antiparalelas. Por ejemplo una onda EM incidente en una interfase entre un material derecho y uno izquierdo se mantiene en el mismo lado de la normal, por lo que el ángulo de refracción es negativo, lo que permite que una placa con un determinado espesor pueda enfocar la radiación de la fuente puntual a una distancia de la misma siguiendo la ley de refracción de Snell. Otra característica importante es el efecto de doble enfoque que puede producir este fenómeno. Un cristal resulta cuando un bloque básico de átomos o moléculas se repite de manera periódica en el espacio. Por lo que un cristal representa un potencial periódico para un electrón propagándose a través de él, y la geometría del cristal regula muchas de las propiedades de conducción del cristal. La red puede producir brechas o bandas prohibidas dentro de la estructura de bandas de energía del cristal de tal forma que los electrones no se puedan propagar para ciertas energías, como en un semiconductor se tiene una banda prohibida entre la banda de valencia y la de conducción. La analogía óptica son los cristales fotónicos en cuyo caso el potencial periódico esta dado por una red macroscópica de materiales dieléctricos o metálicos caracterizados por las constantes ε y µ. Si la absorción del material es mínima, la dispersión entre las interfases puede producir el mismo fenómeno para fotones como el potencial atómico lo hace para los electrones. Los cristales fotónicos utilizan las mismas propiedades que las cavidades metálicas y las guías de onda, escalándolas a un rango mucho mayor de frecuencias. Es posible construir un cristal fotónico con dimensiones milimétricas para un control de microondas o en el orden de micras para un control de ondas infrarrojas. Notomi [2] muestra que para los cristales fotónicos cerca de la frecuencia donde presentan una banda prohibida se comportan con un índice de refracción efectivo que se encuentra limitado por el índice de refracción de los materiales que lo componen y es determinado por la estructura fotónica de bandas. Ese índice puede ser menor que la unidad y también negativo y se puede utilizar la ley de Snell para describir la propagación de la luz. Los principios físicos detrás de estos fenómenos en los cristales fotónicos son debidos a efectos complejos en la dispersión de Bragg y son muy diferentes a los de los metamateriales [3]. El hecho de que se puede realizar la refracción negativa conlleva a la posibilidad de encontrar nuevas formas de control en la propagación de las ondas EM. Este tipo de refracción produce varios efectos de el índice de refracción calculado a partir de los diagramas de dispersión. El método de diferencias finitas El algoritmo de diferencias finitas en el espacio real consiste en discretizar las coordenadas espaciales de la ecuación de onda en dos dimensiones de tal manera que se tenga una distancia l entre los diferentes puntos. Se estudiaron dos diferentes tipos de redes, cuadrada y triangular que se muestran en la figura 1. a) a b) a propagación anómala de la luz que da pie a cavidades resonantes sin necesidad de paredes reflejantes así como lentes con la capacidad de lograr un autoenfoque. El diagrama de dispersión o diagrama de estructura de bandas consiste en calcular la estructura de las r funciones ω n (k ) dado un determinado cristal fotónico con propiedades ε (rr ) , µ (rr ) donde rr es el vector que muestra el perfil periódico de la estructura. Mediante la resolución numérica de las ecuaciones de Maxwell es posible diseñar cristales fotónicos conociendo de esta forma sus características principales antes de su construcción. El estudio de la propagación de ondas, así como la obtención del diagrama de estructura de bandas en cristales fotónicos metálicos se ha hecho mediante diferentes métodos; diferencias finitas en el dominio del tiempo [4,5], expansión por ondas planas [6,7], diferencias finitas en el espacio real [8,9], así como el cálculo de la matriz de transferencia. Una de las ventajas de los métodos en diferencias finitas es que son de orden N, mientras que el método de expansión por ondas planas es de orden N3 además de que presenta problemas de convergencia cuando los cilindros conductores son grandes comparados con el parámetro de red del cristal [10]. En este documento se presentan los resultados del calculo de la estructura de bandas utilizando el método de diferencias finitas en el espacio real para un cristal fotónico bidimensional (2D), cabe mencionar que este tipo de estructuras han merecido gran atención por parte de la comunidad científica dada la gran cantidad de aplicaciones que prometen [11]. Las características físicas de los cristales fotónicos en dos dimensiones permiten dividir la transmisión de ondas electromagnéticas a través de ellos en dos diferentes modos. Si se considera que el eje z del sistema bidimensional es homogéneo, es decir, no existe restricción alguna en los valores de kz, la propagación de la energía se hace en el plano xy por lo que el modo Transversal Eléctrico (TE) presenta el r campo magnético (H ) normal al plano xy, mientras que en el modo Transversal Magnético (TM) el campo eléctrico (Er ) es perpendicular al plano xy. Cabe mencionar que el modo TM se define con respecto al plano xy del cristal y corresponde al modo TE convencional de las guías de onda definido con respecto a la dirección de propagación [12]. Los resultados obtenidos corresponden a las primeras bandas (bandas fundamentales) del modo TM para un cristal con periodicidad cuadrada, así como para uno con periodicidad triangular. Además se muestran los diagramas de superficies de equifrecuencias (SEF) en la primera zona de Brillouin y r r Figura 1: a) Diagrama esquemático de la red cuadrada, donde r es el radio de los cilindros conductores y a es el parámetro de red. b) Diagrama de la red triangular. El sistema presentado se encuentra conformado por cilindros metálicos de conductividad infinita, por lo que se puede considerar que los campos, tanto eléctrico como magnético dentro de los cilindros metálicos son iguales a cero. Dado que el sistema es considerado bidimensional se puede considerar homogéneo en la dirección z. A partir de las ecuaciones de Maxwell para medios sin cargas se puede obtener la ecuación homogénea de Helmholtz para el campo eléctrico, además si se considera kz igual a cero se obtiene, ω2 r ∇ 2 E (r ) = − 2 c r E (r ) (1) La ecuación (1) es un problema de eigenvalores, por lo que al obtener su solución, obtendremos ω 2 c 2 en r función de k o el diagrama de bandas. La simetría y periodicidad del cristal permite que se encuentre la solución de (1) en la celda unitaria mostrada en la figura 1 y por medio del teorema de Bloch se extiende a todo el cristal y se pueden obtener las condiciones de frontera para las celdas unitarias presentadas. Además se considera que el valor del campo eléctrico en la superficie de los cilindros así como dentro de ellos es igual a cero con lo cual se obtienen las condiciones de frontera entre los cilindros y el vacío. r Los valores de k necesarios para la caracterización completa del cristal fotónico se pueden restringir a los bordes de las zonas irreductibles de Brillouin para los dos tipos de redes, cada red presenta tres puntos de alta simetría (Γ, X y K) con los cuales se forma un triángulo y es posible representar todo el espacio. Para obtener los eigenvalores de (1) se dividió la celda unitaria de las respectivas redes con una malla de n × n puntos cuya geometría fue igual a la de la propia celda unitaria. La ecuación (1) se puede aproximar utilizando diferencias finitas a simples sumas entre el punto de prueba y los puntos vecinos más cercanos (primeros vecinos) para el caso de la red cuadrada [13]. En el caso de la red triangular fue necesario encontrar el promedio entre los primeros y segundos vecinos ya que las componentes espaciales de la red que se utilizó no son ortogonales [4,5,14]. Las aproximaciones de (1) para las dos diferentes redes son, Ei , j +1 + Ei , j −1 + Ei+1, j + Ei −1, j − 4 Ei , j = − ( − (E l 2ω 2 Ei , j c2 ) ( ) + Ei −1, j +1 − 16 Ei , j r estructura de bandas, por lo que dω d kc determinará si el cristal se comporta como un material izquierdo o derecho. Generalmente la velocidad de grupo se calcula como, r v g = ∇ krω 3l 2ω 2 =− E i, j c2 ) (3) Donde (2) es para la red cuadrada y (3) para la triangular. El sistema de ecuaciones que se obtiene es Hermitiano lo que mejora en gran medida la convergencia del algoritmo [9]. a) (4) De acuerdo a la referencia [15] la dirección de la velocidad de grupo vrg en un cristal fotónico infinito r coincide con el flujo de energía S , por lo que un índice de refracción efectivo puede ser calculado de la estructura de bandas y queda definido por (2) 4 E i , j +1 + Ei , j −1 + E i +1, j + Ei −1, j − E i +1, j +1 − Ei +1, j −1 i −1, j −1 r Para una onda plana con vector de onda ki y frecuencia ω que incide de manera normal al cristal r fotónico, el vector de onda kc dentro del cristal puede r ser paralelo o antiparalelo a ki como lo determina la r r r c kc neff = sgn v g ⋅ kc ω ( ) (5) Resultados Los resultados presentados se realizaron utilizando el método previamente descrito con una malla de 50x50 puntos y con k z = 0 . En primer lugar se presentan en la figura 2a las tres primeras bandas de una red cuadrada con cilindros de radio igual a 0.63 cm y con una b) ΓM ΓK 11 Frecuencia [GHz] 10 9 8 7 6 5 Γ M K Γ -1.0 -0.5 0.0 neff 0.5 1.0 Figura 2: a) Diagrama de dispersión para una red cuadrada con elementos metálicos y un parámetro de red, r/a=0.2 b) Índice de refracción efectivo determinado de la estructura de bandas para la red cuadrada. a) b) ΓM ΓK 12 Frecuencia [GHz] 11 10 9 8 7 6 Γ M K Γ -1.0 -0.5 0.0 neff 0.5 1.0 Figura 3: a) Estructura de bandas para una red triangular con elementos metálicos y un parámetro de red, r/a=0.2. b) Índice de refracción efectivo determinado de la estructura de bandas para la red cuadrada. relación entre el radio de los cilindros conductores y el parámetro de red (r a ) igual a 0.2. La frecuencia de corte del sistema se presenta en 5 GHz y se muestra una brecha prohibida entre la primera y segunda banda con un ancho de 1.3 GHz iniciando en 6.9 GHz. La figura 2b muestra los valores calculados para el índice de refracción efectivo de esta red tanto en la dirección Γ → M como en Γ → K y cuyos valores oscilan entre 0.96 y –0.58. Se implementó la red triangular con los mismos parámetros que la red cuadrada y los resultados se muestran en la figura 3. La frecuencia de corte del sistema se presenta en 6.2 GHz y no se observa una brecha prohibida entre la primera y segunda bandas, mientras que entre la segunda y tercera se observa una brecha prohibida de 0.4 GHz comenzando en 11.5 GHz. A su vez en la figura 3b se muestran los valores calculados del índice de refracción efectivo que tienen un rango de valores entre 0.79 y –0.61. Finalmente en la figura 4 se muestran los diagramas de las SEF para la primera (figura 4a) y segunda banda (figura 4b) en la primera zona de Brillouin de la red cuadrada, y en la figura 5 se presentan las SEF para la primera (5a) y segunda banda (5b) de la red triangular. a) f=6.54 GHz f=5.10 GHz f=5.45 GHz f=5.49 GHz f=5.73 GHz Γ M vg K b) f=8.35 GHz f=9.75 GHz f=8.88 GHz f=8.60 GHz f=8.51 GHz vg Figura 4: a) Diagrama esquemático de las SEF para la primera banda de un arreglo cuadrado de cilindros metálicos. b) SEF para la segunda banda de la red cuadrada. f=7.74 GHz a) f=7.35 GHz f=6.19 GHz f=6.44GHz f=6.72 GHz Γ vg M K b) f=8.15 GHz f=10.75 GHz f=9.89 GHz f=9.51GHz vg Figura 5: a) Diagrama de las SEF para la primera banda de la red triangular estudiada. b) Esquema de las SEF para la segunda banda del arreglo triangular. Discusión y conclusiones Los resultados obtenidos fueron comparados con aquellos alcanzados por diferentes métodos observándose resultados similares a los obtenidos en el presente trabajo. Además se pudo observar en los diagramas presentados notables diferencias en la estructura de bandas debido a los diferentes arreglos utilizados (triangular o cuadrado). De esta forma es posible realizar aplicaciones específicas basadas en un análisis de la estructura de banda calculada en un determinado cristal. Los cristales fotónicos metálicos presentan ventajas al tener una mayor constante dieléctrica y muy poca atenuación por lo que las aseveraciones hechas en este documento se pueden realizar con materiales como el cobre o aluminio. Algunas aplicaciones como el enfoque con lentes planos, acopladores, filtros y otras son posibles. Finalmente, es importante mencionar que actualmente está en proceso el estudio experimental de un cristal fotónico triangular con dimensiones iguales a las estudiadas teóricamente en este trabajo. Se utilizarán barras de cobre dentro de una guía de ondas de placas paralelas donde se medirá la transmisión de microondas mediante un analizador de redes, realizando un mapeo en el espacio de la respuesta en frecuencia del cristal. Referencias [1] En los diagramas mostrados en las figuras 2 y 3 se puede distinguir que existe una zona donde el índice de refracción del cristal fotónico es negativo. La explicación de este fenómeno se puede encontrar mediante una analogía con las bandas de energía en un semiconductor, ya que en éstas se puede observar una masa efectiva negativa en las bandas por debajo de la brecha prohibida, mientras que en las bandas por encima de la brecha la masa efectiva es positiva. La existencia tanto de un índice efectivo negativo y la masa negativa se debe a la curvatura de la banda [2]. En ciertos rangos de frecuencia se muestra en la figura 4 que las SEF son circulares dando pie a que exista un índice de refracción efectivo y la ley de Snell se pueda aplicar. Cabe mencionar que de acuerdo a las referencias [2,15] el contraste producido por la permitividad dieléctrica ε de la estructura metálica causa SEF circulares en un rango mucho mayor de frecuencias que en un cristal dieléctrico. El diseño de cristales fotónicos para su implementación en aplicaciones relacionadas con la refracción negativa requiere de un método eficiente para el cálculo de la estructura de bandas del mismo. [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] V. Veselago, “The Electrodynamics of Substances with Simultaneously Negative Values of ε and µ”, Sov. Phys. Usp., vol.10, pp. 509-514, 1968. M. 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