Solucions a “Ejercicis i problemes”

4
Solucions a “Ejercicis i problemes”
PÀGINA 97
Pàg. 1
■Reflexiona sobre la teoria
22
Calcula el valor de a, b i c perquè els punts A(–12, a), B(3/4, b) i C(0, c) pertanguen al gràfic de la funció y = 3x 2 – x + 3.
A(–12, a ) 8 a = 432 + 12 + 3 = 447
( )
( ) ()
B 3 , b 8 b = 3 · 9 – 3 + 3 = 63
4
16
4
16
C (0, c ) 8 c = 3
23
Observa el gràfic de la funció i respon:
a)Quins en són el domini de definició i el recorregut?
Y
4
b)Té màxim i mínim relatius? En cas afirmatiu, quins
2
són?
X
c)Quins són els punts de tall amb els eixos?
4
–4 –2
2
d)En quins intervals és la funció creixent i en quins és
–2
decreixent?
a)Dominio = [–4, 4)
Recorrido = [–2, 4]
b)Tiene un máximo relativo en el punto (–2, 4) y un mínimo relativo en (3, –2).
c)Corta a los ejes en los puntos (0, 2) y (1, 0).
d)Crece en (–4, –2) « (3, 4).
Decrece en (–2, 3).
24
a) Calcula la TVM de la funció y = 2x – 3 en els intervals [0, 1], [5, 6], [1, 5] i [0, 7].
b)Observa que en tots els intervals el valor obtingut és igual. Amb quin element
característic de la recta coincidix aquest valor?
c)Generalitza completant la frase:
“En les funcions lineals, la TVM en qualsevol interval és igual a
…………………………”.
a)T.V.M. [0, 1] = –1 + 3 = 2
T.V.M. [5, 6] = 9 – 7 = 2
1
1
T.V.M. [0, 7] = 11 + 3 = 2
T.V.M. [1, 5] = 7 + 1 = 2
5–1
7
b)Coincide con la pendiente de la recta y = 2x – 3.
c)En las funciones lineales, la T.V.M. en cualquier intervalo es igual a su pendiente.
25
Digues, raonadament, si les frases següents són vertaderes o falses:
a)Si una funció és discontínua en un punt, aquest punt no pertany al domini de
definició.
b)Si un punt no pertany al domini de definició d’una funció, aquesta no pot ser
contínua en aquest punt.
Unitat 4. Funcions. Característiques
4
Solucions a “Ejercicis i problemes”
c)Una funció periòdica podem assegurar que és contínua.
d)El pendent d’una recta és la TVM de qualsevol interval d’aquesta.
a)Falsa. Una función discontinua por saltos puede estar definida en esos puntos (saltos)
de discontinuidad.
b)Verdadera. Para que una función sea continua en un punto es necesario que esté definida en él.
c)Falsa. No es necesario que una función sea continua para que sea periódica.
d)Verdadera.
Supongamos que la recta tiene una expresión y = mx + n. Su pendiente es m. Vamos
a calcular la T.V.M. en un intervalo cualquiera [a, b].
f (b) – f (a) (mb + n) – (ma + n) mb – ma m (b – a)
T.V.M. [a, b] =
=
=
=
= m
b–a
b–a
b–a
b–a
26
Dibuixa una funció periòdica de període 5 amb un màxim relatiu en x = 3 i
amb un mínim relatiu en x = 6.
Por ejemplo:
Y
6
4
2
2
27
4
6
8
10 12 14
X
Dues companyies telefòniques, A i B, tenen diferents tarifes. Observa els
gràfics i contesta:
a)Determina quant val una telefonada de 3 minuts amb cada una de les dues companyies.
b)I una telefonada de mitja hora?
COST (E)
1
c)Digues si cada una d’aquestes funcions
B
0,8
és contínua. Escriu els punts de discontinuïtat, si és que n’hi ha.
0,6
A
d)Troba la TVM de la funció A en [1, 2].
0,4
Compara-la amb el pendent de la recta
0,2
de la funció B.
TEMPS
(min) e)Raona per què triaries una o altra com1
2
3
4
5
6
7
panyia per a la teua vivenda.
a)Una llamada de 3 min cuesta 0,50 € en cualquiera de las dos compañías.
b)La compañía A cobra 3,20 € por 30 minutos.
La compañía B cobra 0,10 € más 0,40 € por cada 3 min. Por tanto, por 30 min
cobrará 0,1 + 0,40 · 10 = 4,10 €.
c)La función roja es continua. La verde es discontinua en todos los puntos de abscisa
entera: 1, 2, 3,…
Unitat 4. Funcions. Característiques
Pàg. 2
4
Solucions a “Ejercicis i problemes”
d)T.V.M. de A en [1, 2] = A(2) – A(1) = 0,4 – 0,3 = 0,1
2–1
1
Para hallar la pendiente de la función B nos fijamos en dos puntos de coordenadas
enteras: (0; 0,1) y (3; 0,5):
pend = 0,5 – 0,1 = 0,4 = 4
3–0
3
30
e)Si habitualmente hiciera llamadas cortas (de 3 min o menos), contrataría con B. Si
hiciera llamadas largas con frecuencia, contrataría con la compañía A.
28
Els quatre gràfics següents corresponen a funcions discontínues. Per a cada una
d’aquestses, digues:
Y
2
I
–2
–4
2
–2
4
X
Y
III
–2
–4 –2
IV
2
–2
Y
2
II
2
4
X
–4 –2
2
–2
X
4
b)Quin n’és el domini de definició.
c)Indica si té màxims i mínims relatius i digues quins són.
Y
2
–2
a)Quins en són els punts de discontinuïtat. Explica la raó de la discontinuïtat en cada punt.
2
X
4
d)En quins intervals és creixent i en
quins és decreixent.
°Discontinua en x = –1. Tiene ramas infinitas.
a) i ¢
£Discontinua en x = 2. Tiene un punto desplazado.
ii Discontinua en x = 2. No está definida en este punto y, además, en él da un salto.
°Discontinua porque no está definida en (–@, –2) « (4, + @).
iii ¢
£Discontinua en x = 1 porque no está definida.
°Discontinua en (–@, –4) « (4, + @). No está definida.
§
iv
¢Discontinua en x = –2. Tiene ramas infinitas.
§Discontinua en x = 0. No está definida y presenta un salto.
£
b)Dom ( i ) = (–@, –1) « (–1, +@)
Dom ( ii ) = (– @, 2) « (2, + @)
Dom ( iii ) = [–2, 1) « (1, 4]
Dom ( iv ) = [–4, 2) « (2, 0) « (0, 4]
c) i Máximo relativo en (–2, 3). Mínimo relativo en (0, 0).
ii Máximo relativo en (–2, 1). Mínimo relativo en (–1, –1).
iii No tiene ni máximos ni mínimos relativos.
iv Máximo relativo en (1, 3). Mínimo relativo en (3, –1).
d) i Crece en (–@, –2) « (0, 2) « (2, + @). Decrece en (–2, –1) « (1, 0).
ii Crece en (–@, –2) « (–1, 2) « (2, + @). Decrece en (–2, –1).
iii Crece en (–2, 1) « (1, 4). No decrece.
iv Crece en (–4, –2) « (0, 1) « (3, 4). Decrece en (–2, 0) « (1, 3).
Unitat 4. Funcions. Característiques
Pàg. 3