fdi con técnicas estadísticas multivariantes

FDI CON TÉCNICAS ESTADÍSTICAS
MULTIVARIANTES
María Jesús de la Fuente
Dpto. Ingeniería de Sistemas y Automática
Universidad de Valladolid
Índice
„
Control estadístico de procesos (SPC)
„
„
„
Introducción
Estadísticas univariantes
Estadísticas multivariantes (MSPC)
„
„
„
„
Análisis de componentes principales (PCA)
Mínimos cuadrados parciales (PLS)
Discriminante de Fisher (FDA)
Aplicación a detección y diagnóstico de fallos
Variabiliad de los procesos
„
„
„
Monitorización vs
Regulación
Monitorización: sistema
de información de la
evolución del proceso
para la detección de
fallos y ayuda a su
diagnóstico.
Regulación: se fuerza
al proceso a seguir un
comportamiento
determinado mediante
ajustes en variables
manipulables.
Variabilidad
Causas de la variabilidad
„
„
„
„
„
„
Causas comunes
Variabilidad inherente al
proceso
Tienen carácter permanente
Su efecto da lugar a una pauta
de variabilidad estable o
predecible, cuantificada por la
capacidad del proceso
Si sólo hay causas comunes el
proceso está BAJO CONTROL
Su solución exige modificar el
sistema que incumbe a la
Dirección
„
„
„
„
„
„
Causas especiales
Fluctuaciones no inherentes al
proceso
Tienen carácter esporádico o
puntual
Su efecto da lugar a una pauta de
variabilidad errática o impredecible
Si aparecen causas especiales el
proceso está FUERA de CONTROL
En general pueden solucionarse
mediante actuaciones locales a
cargo de los operarios o
encargados del proceso
Distribución normal y Variabilidad natural
n
μˆ =
∑q
t =1
t
n
n
σˆ 2 =
∑ (q
t =1
t
− μˆ ) 2
n −1
n suele ser pequeño
(4 -10) para evitar la
aparición de
causas asignables
durante ese tiempo
Control estadístico de procesos
Control estadístico de procesos
SPC: Estabilidad y capacidad del proceso
„
Dadas unas especificaciones y el comportamiento normal del
proceso:
„
„
„
„
„
Especificaciones (proceso/Producción)
„ LSL: Límite inferior de especificación
USL: límite superior
Comportamiento natural del proceso (estadísticamente normal)
„ LPL: límite inferior del proceso
UPL: límite superior
Cuando los límites de las especificaciones son mayores que los
límites naturales del proceso (ambos), se dice que el proceso es
estable y capaz y producirá con 100% de producto correcto
Cuando el proceso es estable pero los límites de control son
mayores que los de especificación (uno o ambos), el proceso es
estable pero no es capaz y aparecen errores en la producción
Control de la calidad del proceso (SQC)
Control estadístico de procesos (SPC)
„
Objetivos
„
Establecer un sistema de información permanente e
inteligente de la evolución del procesos.
„
Detectar precozmente anomalías (causas especiales)
„
Tratar de identificar el origen de las anomalías
„
Eliminarlas y evitar su reaparición en el futuro ( o
incorporarlas al proceso si son favorables).
Estadísticas univariantes
-
Gráficas de control
Cusum: sumas acumulativas
EWMA: media móvil pesada exponencialmente
Control estadístico de procesos (SPC)
„
Idea básica:
„
Graficar la evolución de ciertos estadísticos, obtenidos a partir
de muestras tomadas periódicamente de los procesos,
utilizando gráficos que facilitan la rápida detección visual de
señales estadísticas reveladoras de la salida de control.
5
Límite superior de control: LSC
4 .5
4
3 .5
Línea central
3
2 .5
2
1 .5
Límite inferior de control: LIC
0
5
10
15
Número de muestras
20
25
SPC: Gráficas de control
„
„
Las gráficas de control son una representación del
comportamiento del proceso dada por la localización (media
o mediana) y su variación (rango o desviación estándar) de
las variables observadas:
Los índices de localización y variación se usan para calcular
los límites normales de operación para cada variable:
„
„
σ
LPL: μ - 3 σ
UPL: μ + 3
SPC. Gráficos de la media y del rango
„
Procedimiento:
„
„
„
K subgrupos de n observaciones cada uno.
Calcular:
„ Media ( x i) y el rango (Ri) de cada subgrupo
„
Media de las k medias:
„
Media de las k rangos: R
x
Obtener los límites de
control a través de tablas:
A2, D4, D3
SPC: Gráficos de la media y el rango
SPC: Detección de fallos
„
Reglas de decisión:
4.5
4
„
Regla 1. 1 punto fuera de los límites de control,
sistema fuera de control
Regla 2. 7 puntos consecutivos sobre o debajo de la
media: pauta
Regla 3. 7 puntos consecutivos en un orden
creciente o decreciente: tendencia
Regla 4. Concentración de cinco puntos consecutivos
alrededor de la media o dispersión de 5 puntos
consecutivos alejados de la media
3.5
3
5
2.5
4
„
2
3
1.5
2
1
1
0.5
0
5
10
15
20
0
„
-1
-2
„
0
5
10
15
20
25
25
SPC. CUSUM (Cumulative SUMs) I
„
Las gráficas de control anteriores tienen algunas limitaciones
inherentes a los límites de control considerados: μ ± 3 σ
(bajo número de falsas alarmas):
„
„
„
„
Esto permite detectar sólo grandes variaciones
Tienen una respuesta muy lenta: retardo entre la aparición del
fallo y su detección.
CUSUM es una reinterpretación de los límites de control
orientado a reducir el tiempo de detección del fallo, pero
preservando el ratio de falsas alarmas.
CUSUM se basa en el método anterior y puede usarse en
combinación con él.
SPC. CUSUM (Cumulative SUMs) II
„
„
„
„
„
Los límites de control en las gráficas de control tradicionales
son:
Pero podemos calcular z como:
Entonces, se puede calcular un zi para cada observación xi
Se calculan las siguientes sumas acumuladas:
donde k es un parámetro de sensibilidad relacionado con el
mínimo cambio a detectar.
SPC. CUSUM (Cumulative SUMs) III
„
„
„
El parámetro k corresponde con la mitad de la magnitud a
ser detectada, típicamente k=0.5
Para detectar fallos hay que definir un umbral, h, para las
dos magnitudes calculadas SH y SL. Típicamente: h=4 o 5
En estos casos el número de falsas alarmas es:
„
„
„
Para k=0.5, h=4 → ARL=168
Para k=0.5, h=5 → ARL=465
R1 (un punto fuera de los límites
de control ± 3 σ ) . ARL=370
ARL=Average Run
lenght (entre falsas
alarmas)
Ejemplo
Ejemplo
SPC. EWMA
„
„
„
„
EWMA: media móvil pesada exponencialmente
El objetivo es similar a CUSUM: respuesta rápida ante fallos.
La secuencia de observaciones se reemplaza por una
secuencia filtrada calculada como:
Del estudio estadístico de la señal transformada se obtienen
los límites de control como:
SPC. Ejemplo
Control estadístico de procesos multivariante
(MSPC) para detección de fallos
Motivación
„PCA: análisis de componentes principales
„SPL: mínimos cuadrados parciales (partial least
squares)
„FDA: Discriminante de Fisher
„
MSPC. Motivación I
„
Limitaciones del control estadístico de procesos
univariante:
„
Las variables se procesan individualmente => una gráfica
de control por cada variable.
„
„
„
„
Sólo se pueden monitorizar un número pequeño de
variables
Por tanto, sólo las “variables más importantes” son
monitorizadas
No se tiene en cuenta la correlación entre variables,
fundamental en un proceso industrial
MSPC se implementa para monitorizar el conjunto
completo de variables del proceso.
MSPC. Motivación II
„
Naturaleza de los datos tomados de un proceso
industrial:
„
„
Dimensionalidad (muy elevada)
Colinealidad
„
„
„
„
„
„
No ocurren miles de cosas independientes
Sólo unos cuantos acontecimientos subyacentes afectan a
todas las variables
Las variables están altamente correlacionadas
Ruido (ratio bajo señal/ruido)
Datos faltantes (fallos en sensores)
Datos espurios
MSPC. Motivación III
x e y están muy
correlacionadas
Fuera de
control
PCA: Análisis de componentes principales
„
PCA es una técnica de proyección que
„
„
„
„
„
Los datos se proyectan a un espacio de menor dimensión que
el original. Produce una reducción de la dimensionalidad
Preserva la estructura de correlación de las variables del
proceso
Es óptimo en términos de capturar la máxima variabilidad de
los datos
PCA nos permite dividir el espacio en dos subespacios
diferentes: uno captura la tendencia del proceso y otro el
ruido
La estructura PCA es útil para identificar las variables
responsables de los fallos y/o las variables que están más
afectadas por los fallos
PCA. Interpretación geométrica I
„
Interpretación geométrica:
„
„
Se desea proyectar los puntos
sobre un espacio de dimensión
menor: recta (dimensión 1), pero
manteniendo lo más posibles sus
posiciones relativas.
Si lo hacemos para un punto en
concreto:
PCA. Interpretación geométrica II
„
Tenemos lo siguiente:
„
Tenemos:
xi = xˆi + ei
xˆi = ti p i
„
„
„
„
Donde pi es el vector unitario y
director de la recta, y ti es el
módulo del vector x̂ i
pi => ‘loading’
ti => ‘score’
La condición que la recta pase cerca de la mayoría de los puntos se
consigue exigiendo que la distancia entre los puntos originales y
sus proyecciones sobre la recta sea la mínima posible
PCA. Interpretación geométrica III
„
„
Resultado: de esta
forma se conserva
la variabilidad de
los puntos.
Si proyectamos en
la dirección
perpendicular: los
puntos tienen poca
variabilidad y se
pierde toda la
información sobre
sus distancias en el
espacio.
PCA: pre-tratamiento de los datos
„
„
Se necesita un conjunto de datos representativo del
comportamiento normal de la planta para calcular el modelo
PCA
Hay que realizar un pretratamiento de estos datos:
„
„
„
Eliminar las variables inapropiadas: por ejemplo las que tienen
errores de medida muy grande
Escalado: para asegurar que cada variable tiene el mismo peso
en el proceso de monitorización:
„ Restar de cada variable su valor medio (el objetivo es
capturar la variación de la media)
„ Dividir cada variable por su desviación estándar (las
variables se escalan para tener varianza unidad)
Eliminar datos espurios (outliers)
PCA. Matriz de covarianza
„
Dado un conjunto de datos de entrenamiento que contienen n
observaciones de m variables del proceso (de media cero y
varianza unidad), se colocan en la matriz X ∈Rnxm
⎛ x11
⎜
⎜ x 21
X=⎜
...
⎜
⎜x
⎝ n1
x12
x 22
...
x n2
... x1m ⎞
⎟
... x 2m ⎟ Observación 2
... ... ⎟
⎟
... x nm ⎟⎠
X: (n x m)
Variable x2
„
La matriz de covarianza, R, puede estimarse a partir de los
datos de la forma siguiente:
1
R=
XTX
R: (m x m)
n −1
PCA: valores y vectores propios
„
La descomposición en valores y vectores propios (o en valores
singulares: SVD) de R revela la estructura de correlación de las
variables
R = VΛV
„
T
R: (m x m)
V: (m x m)
Donde
„
Λ: (m x m)
Λ, es una matriz diagonal, que contiene todos los valores propios reales
no negativos de R en orden decreciente en su diagonal principal, y cero
en todos los demás elementos
λ1 ≥ λ2 ≥ L ≥ λm ≥ 0
„
„
„
El valor propio i es igual al cuadrado de i-esimo valor singular: λi = σi2
V es una matriz ortogonal (VTV = I). Las columnas de V son los
vectores propios (llamados en PCA: ‘scores’)
Así, la varianza de los datos de entrenamiento proyectados sobre la
columna i-ésima es igual a σi2
PCA: Loadings y scores
„
La proyección del un vector de observaciones x∈Rm desacopla
el espacio de observaciones en un conjunto de variables no
correlacionadas correspondientes a los elementos de t
t = xV
x: (1 x m)
V: (m x m)
t: (1 x m)
„
„
La columna i-ésima de V es el vector de caga pi (loading) que
transforma x en el ‘score’ ti
Las variables transformadas se llaman ‘componentes
principales’ y las observaciones individuales transformadas son
los ‘scores’
PCA. Reducción de la dimensionalidad
„
Reteniendo sólo los a vectores de carga (matriz P)
correspondientes a los a valores singulares más grandes,
podemos proyectar un vector de observación x ∈ Rm en un
espacio de menor dimensión: Ra.
t: (1 x a)
t = xP
„
x: (1 x m)
P: (m x a)
a<m
O aplicando esta transformación a todo el conjunto de datos
de entrenamiento (X: n x m), tenemos:
T = XP
T: (n x a)
X: (n x m)
P: (m x a)
PCA. Propiedades
„
Definiendo ti como la columna i-ésima de T (conjunto de
datos transformado), se cumplen las siguientes
propiedades:
„
„
„
„
var(t1) ≥ var(t2) ≥ … ≥ var(ta)
(varianza está ordenada)
media(ti) = 0; ∀i
(centrado en la media)
tiTtj = 0; ∀ i≠j
(descomposición ortogonal)
No existe ninguna otra expansión ortogonal de a
componentes que capture más variación de los datos
PCA. Matriz de los residuos
„
Podemos calcular nuevamente los datos originales en función de
T:
Xˆ = TP T
„
Y ahora podemos definir una matriz de residuos: E, calculada
como la diferencia entre el espacio original X y el espacio
calculado:
E = X − Xˆ
„
El espacio de los residuos, E, captura la variación de los datos
de observación contenidos en los vectores propios (carga)
asociados con los m-a valores singulares más pequeños.
X = TP T + E
PCA. Reducción del orden del sistema (I)
„
Hay varios criterios para reducir el orden del sistema
(elección de a):
„
„
Test del porcentaje de la varianza: se selecciona a de forma
que explique un porcentaje específico de la varianza total.
Test scree (test del codo): se representa los valores de λi frente
a i, y se busca un codo en la gráfica, un valor a partir del cual
todos los λi son iguales y pequeños:
PCA. Reducción del orden del sistema (II)
„
„
Análisis paralelo: determina a comparando el
comportamiento de la varianza obtenido suponiendo que
todas las variables son independientes. El orden se
determina en el punto al cual los dos gráficos se cruzan
Validación cruzada: usando la estadística PRESS (prediction
sum of squares)
1
PRESS (i ) =
X − Xˆ
mn
2
PCA para detección de fallos (I)
„
„
La reducción dada por los PCA representa la misma
información en un espacio de dimensión menor. Este nuevo
espacio se va a utilizar para monitorizar el proceso.
Se trabaja con dos estadísticas:
„
„
Estadística de Hotelling’s o T 2 que se utiliza en el espacio de
dimensión a, para detectar comportamientos anómalos del
sistema cuando traspasan un umbral.
Estadística Q se usa para monitorizar el resto del espacio de
observación correspondiente a los m-a valores singulares más
pequeños, es decir para monitorizar el espacio de los residuos
PCA para detección de fallos (II)
„
Estadística Hotelling’s o T2:
„
Para a componentes principales la estadística T2 se calcula:
a
T 2 = ∑ ti λi−1tiT = xPΛ−a1 P T xT
i =1
t = xP
t: (1 x a)
x: (1 x m)
P: (m x a)
„
„
„
Cuando se calcula para una observación x, de n variables, T2
puede interpretarse como la distancia de la observación al
centro del modelo (media).
Los scores está escalados inversamente proporcional a la
varianza. Esto permite definir un umbral escalar característico
de la variabilidad en todo el espacio a-dimensional
Dado un nivel de significancia (nivel de falsas alarmas), se
puede calcular automáticamente un umbral para T2
PCA para detección de fallos (III)
„
„
El umbral para T2 se calcula:
Donde:
„
„
„
„
„
2
(
n
− 1)a
Tα2 =
Fα (a, n − a )
n( n − a )
a: número de componentes principales seleccionado
n: número de observaciones
Fα es la distribución de Fisher-Snedecor, con a y n-a grados de
libertad
α nivel de significancia o 100α % es el radio de falsas alarmas
La estadística T2 es útil para detectar operaciones del proceso
fuera de sus condiciones normales de operación
„
„
„
La calidad de los datos según el modelo
Es una medida en la dirección del modelo
Los datos conservan la estructura del modelo pero con valores
más grandes (desde el punto de vista de la media).
PCA para detección de fallos (IV)
A partir de un vector de observación, x, se calcula el vector
de residuos como:
„
r = x − xˆ = x − tP T = x − xPPT = x( I − PPT )
„
El error de predicción al cuadrado o estadística Q se
calcula a partir de los residuos como:
Q = rr T
„
El umbral se calcula también estadísticamente:
PCA para detección de fallos (V)
„
Interpretación de las estadísticas T2 y Q
PCA para detección de fallos (VI)
„
Procedimiento de cálculo:
„
Off-line:
„
„
„
conseguir datos de comportamiento normal de la planta, y
construir la matriz X, eliminando datos no deseados y centrando
los datos para tener media cero y varianza unidad
Calcular el modelo PCA en condiciones normales y los umbrales de
las estadísticas: T2 y Q
On-line:
„
„
Para una nueva observación del proceso, x, se normaliza con la
media y la varianza del PCA calculado, se calculan las estadísticas
T2 y Q para ese datos y se comparan con sus umbrales.
Si alguna de las dos estadísticas supera el umbral, ha ocurrido un
fallo.
PCA para detección de fallos (VII)
„
Ejemplo:
PCA. Identificación de fallos (I)
„
„
¿Qué variables del espacio original son las responsables del
fallo detectado (del cruce de las estadísticas por su umbral)?
Diagramas de contribución (para ambos SPE y T2)
„
Para la observación con fallo:
„ Determinar los r scores t (r<a) responsables del estado de
i
fuera de control (los que cumplan que ti2/λi > 1/α (Tα2)) y
calcular la contribución de cada variables xj a ese score ti que
está fuera de control.
contij =
„
ti
λi
pij x j
Calcular la contribución total de la varible j-ésima
r
CONT j = ∑ contij
i =1
„
Dibujar CONTj
PCA. Identificación de fallos (II)
„
Ejemplo:
PCA. Identificación de fallos (III)
„
Para diagnosticar fallos se puede hacer lo siguiente:
„
„
„
Calcular un modelo PCA para cada situación posible del
sistema, es decir, un modelo PCA0 con datos de situación
normal, PCA1 con datos de situación de fallo1, etc…
Calcular un umbral para cada una de las estadísticas Ti2 y Qi
para cada situación posible.
Tomar un nueva observación de la planta
2
„ Calcular las estadísticas T i y Qi para cada situación y
aquella que no supere su umbral nos indica la situación
actual de la planta.
Ejemplo. Estación de evaporación I
„
Estación de evaporación de una fabrica azucarera. Se utiliza
un modelo basado en primeros principios muy exhaustivo.
Ejemplo. Estación de evaporación II
„
„
Hay 46 variables en el proceso
Fallos:
„
„
„
„
Fallo 1: rendimiento en las calderas de evaporación: la
transmisión de calor entre el vapor de calefacción y el jugo de
los evaporadores disminuye, lo que ocasiona una disminución
del agua evaporada, una disminución de la presión en el efecto
correspondiente y una reducción del Brix
Fallo 2: fallo en la válvulas de control
Fallo 3: Aumento de la fracción de incondensables que entran
al evaporador y reducción de la apertura de la válvula de salida
de estos
Fallo 4. Disminución del rendimiento de una de las bombas de
circulación de jugo de anteevaporación
Ejemplo. Estación de evaporación III
„
Se obtienen 5 componentes principales que explican el 95%
de la varianza del proceso.
Ejemplo. Estación de evaporación IV
„
Fallo 1.
„
Diagrama de contribuciones
Ejemplo. Estación de evaporación V
„
Fallo 2.
„
Diagrama de contribuciones
Otros métodos de MSPC
PLS: mínimos cuadrados parciales
-FDA: Análisis del discriminante de Fisher
-
PLS: Partial Least Squares or Projection to Latent
Structures
„
„
PLS es también una técnica de reducción de la
dimensionalidad
Objetivo:
„
„
„
Obtener un modelo en un espacio de menor dimensión que
maximice la covarianza entre una matriz independiente, X
(Matriz de predicción) y otra matriz dependiente de X, Y
(Matriz predicha)
Los elementos de la matriz X son las observaciones
(variables del proceso)
Los elementos de Y pueden ser:
„
„
„
Medidas de la calidad del producto
Miembros de una clase dada
Y puede estar formada por una sola variable (PLS1) o por un
conjunto de ellas (PLS2)
PLS: fundamentos I
„
Modelo PLS es un modelo de predicción calculado basándose
en:
„
„
Capturar la máxima variación en X con el número mínimo de
variables (PCA)
Maximizando la correlación entre X e Y
a
p
U
n
max cov(ta, ua)
Y
n
a
QT
p
PLS: fundamentos II
„
„
„
T y U son los ‘scores’ y P y Q son los ‘loadings’ asociados con
las matrices X e Y respectivamente
B es una matriz de regresión lineal entre los espacios de los
‘scores’ que debemos calcular
Hay varios algoritmos para obtener este modelo, el más
utilizado es el NIPALS (recursivo)
PLS: fundamentos III
„
Algoritmo:
„
„
„
1.- X∈ Rnxm (n: número de observaciones, m: número de
variables), Y∈Rnxp (n: igual, p: numero de variables de calidad).
Normalizar X e Y para tener media cero y varianza unidad para
cada variable
2.- Inicialización: E0 = X, F0 = Y e uj= cualquier columna de Y
3.- Iterar hasta la convergencia comparando tj con su valor en
la iteración anterior, empezando j=1:
PLS: fundamentos IV
„
„
„
Calcular t1, u1 y w1 de la forma anterior es equivalente a
calcular los vectores propios de: XXTYYT, YYTXXT y XTYYTX
asociados a los valores propios más grandes.
4.- Calcular pj:
5.- Se escala pj, tj y wj con la norma de pj, anterior
p j, nuevo =
p j, anterior
p j, anterior
2
t j, nuevo = t j, anterior p j, anterior
2
w j, nuevo = w j, anterior p j, anterior
2
PLS: fundamentos V
„
6.- Se calcula bj:
bj =
„
„
t Tj t j
7.- Se calculan los residuos para la siguiente iteración:
E j = E j-1 − t j p Tj
„
u Tj t j
Fj = Fj-1 − b j t j p Tj
8.- Hacemos j=j+1 y pasamos al paso 3 para la siguiente
iteración.
Esto se repite hasta que j=min(m,n) o hasta que se calculen el
número adecuado “a” de factores PLS. Este orden de reducción
se calcula usando validación cruzada.
PLS: predicción
„
PLS puede usarse como modelo de predicción:
„
Se calcula la matriz de regresión B2:
B2 j = Wj (PjT Wj ) −1 (TjT Tj ) −1 TjT Y
„
La Y predicha se calcula como:
Ypredicha = X * B2 a
PLS: para detección y diagnóstico de fallos
„
PLS puede usarse para calcular un modelo de predicción, en este
caso Y son las variables de calidad del producto, y se
monitorizan las variaciones de X relacionadas con la calidad del
producto.
„
„
Estadística T2:
„ Para los nuevos datos x recolectados de la planta:
„ Normalizar x
„ Calcular: T = x*W
2
„ Calcular la estadística T
„ Comparar con un umbral
Estadística Q:
„ Calcular Q
xˆnew = TP T
„ donde
„ Comparar con un umbral
PLS: para detección y diagnóstico de fallos
„
„
PLS discriminante, se usa para detectar fallos, o para
distinguir entre diversas clases:
Dos posibilidades:
„
PLS1:
„ La matriz Y se forma como una columna de unos
„ La matriz X solo contiene datos de comportamiento normal
„ Se calcula el modelo PLS para este comportamiento
2
„ Detección: Se calculan las estadísticas T y Q para datos
nuevos de la planta y si superan el umbral hay un fallo (no
hay comportamiento normal)
„ Diagnosis: o se usa el diagrama de contribuciones como en
PCA o se calcula un modelo PLS para cada posible situación
de fallo, como hacíamos en PCA.
PLS: para detección y diagnóstico de fallos
„
PLS2:
„
„
„
La matriz Y:
La matriz X tiene variables de
todas las posibles situaciones
de fallo, colocando en las n1
primeras filas comportamiento
normal, en las n2 restantes
fallo 1, etc..
Detección y diagnóstico:
„
„
„
⎛1 0 0 L 0⎞
⎜
⎟
M
M
M
L
M
⎜
⎟
⎜1 0 0 L 0⎟
⎜
⎟
⎜ 0 1 0 L 0⎟
⎜
⎟
M
M
M
L
M
⎜
⎟
⎜
Y = 0 1 0 L 0⎟
⎜
⎟
⎜M L O L M⎟
⎜M L O L M⎟
⎜
⎟
0
0
0
L
1
⎜
⎟
⎜M M
M L M⎟
⎜⎜
⎟⎟
0
0
0
L
1
⎝
⎠
Calcular B2
Calcular la Y predicha: Ypre= x * B2a
Comparar con la Y original
p columnas
n1 primeras filas
indican que hay
un fallo de tipo 1
Ejemplo. Dos tanques comunicantes I
„
Datos reales: planta de laboratorio: dos tanques
comunicantes.
Ejemplo. Dos tanques comunicantes II
„
Fallos considerados:
„
„
„
„
„
„
Atasco a la salida del primer tanque: f1
Atasco a la salida del segundo tanque: f2
Fallo en el sensor de nivel 1: f3
Fallo en el sensor de nivel 2: f4.
Consideramos un modelo PLS para cada tipo de fallo
Se calculan las dos estadísticas T2 y Q, pero la más eficaz es
Q, porque T2 da muchas falsas alarmas, por lo que los
resultados sólo muestran al estadística Q.
Ejemplo. Dos tanques comunicantes III
„
PLS1 para detección de fallos:
„
Un modelo PLS de comportamiento normal
Fallo en el sensor de nivel
Fallo en la bomba
Ejemplo. Dos tanques comunicantes IV
„
PLS1 para detección y diagnóstico de fallos:
„
„
„
„
„
Modelo PLS con comportamiento normal
Modelo PLS con datos de fallo en el sensor de nivel 1 del 40%
en el instante 1000
Modelo PLS con datos de fallo en el sensor de nivel 2 del 40%
en el instante 1000
Etc
Testeamos con un fallo en h1 del 30% en el instante 1500
Ejemplo. Dos tanques comunicantes V
„
Comportamiento del modelo PLS de h1 con datos de fallo en h1:
„
Comportamiento del modelo PLS de h2 con datos de fallo en h1:
„
Comportamiento del modelo PLS de q1 con datos de fallo en h1:
„
Comportamiento del modelo PLS de q2 con datos de fallo en h1:
Ejemplo. Dos tanques comunicantes VI
„
PLS2: utilizar PLS2 para distinguir distintas clases
„
„
X datos de 2 clases: comportamiento normal y fallo en h1
Calculamos Ypred= X*B2a=> y representamos las tres
componentes de Ypred (nos hemos quedado con 3 factores PLS)
Ejemplo. Dos tanques comunicantes VII
„
„
Ahora pongo PLS2 con 3 clases (normal, fallo en h1 y fallo
en h2)
Si hay 4 clases
FDA: Análisis discriminante de Fisher
FDA. Fundamentos I
„
„
„
FDA también es una técnica de reducción de la
dimensionalidad.
La dimensionalidad se reduce en términos de maximizar la
distancia entre varias clases.
FDA determina un conjunto de vectores de transformación
lineal que:
„
„
„
Maximiza la distancia entre clases
Minimiza la distancia dentro de la propia clase
Método útil para detectar fallos: cada clase es una posible
situación de operación de la planta:
„
„
„
Clase 1: comportamiento normal
Clase 2: comportamiento con fallo 1
etc
FDA. Fundamentos II
„
Se define n: como el número de observaciones, m: número
de variables, p es el número de clases y nj es el número de
observaciones de la clase j. Los datos se almacenan en la
matriz X ∈ R(nxm)
⎛ x11
⎜
⎜ x 21
X=⎜
...
⎜
⎜x
⎝ n1
„
x12
x 22
...
x n2
... x1m ⎞
⎟
... x 2m ⎟
... ... ⎟
⎟
... x nm ⎟⎠
Se define una serie de conceptos:
„
Matriz de dispersión total, St:
con x el valor medio total
1 n
x = ∑ xi
n i =1
n
S t = ∑ (x i − x)(x i − x) T
i =1
FDA. Fundamentos III
„
„
Matriz de dispersión de la clase j Sj: S j =
T
(x
−
x
)(x
−
x
)
∑ i j i j
x i ∈X j
donde Xj es el conjunto de vectores xi que pertenecen a la clase
j, y x j es el valor medio de los datos de la clase j
xj =
1
nj
∑x
x i ∈X j
i
p
„
Matriz de dispersión dentro de las clases Sw:
p
„
j=1
Matriz de dispersión entre clases Sb: S b = ∑ n j (x j − x)(x j − x) T
j =1
„
Sw = ∑ S j
Notar que: St = Sb + Sw
FDA. Fundamentos IV
„
El objetivo para calcular el primer vector FDA, w1, es maximizar la
dispersión entre clases mientras que se minimiza la dispersión
dentro de la clase:
T
w Sw
max 1T b 1
w1 ≠ 0 w S w
1
w 1
„
„
El objetivo del segundo vector FDA es resolver el mismo problema
con w2 pero considerando que tiene que ser perpendicular al
primer vector FDA, y así sucesivamente.
Esto es equivalente a resolver el siguiente problema de valores y
vectores propios:
FDA. Fundamentos V
„
„
„
λk indica el grado de separabilidad entre las clases cuando se
proyectan los datos originales sobre el nuevo espacio de
dimensión reducida: w
Si llamamos Wa a la matriz conteniendo los a primeros
vectores FDA elegidos, la transformación de los datos
originales sobre este espacio de dimensión reducida es:
Problema: elección de los a factores FDA más adecuados:
„
„
Correlación cruzada
Cuando hay pocos datos, elegir a que minimice el criterio:
a
f m (a) + ~
n
fm(a) son los datos mal clasificados
ñ es el número medio de observaciones por clase
FDA. Detección y diagnóstico de fallos I
„
„
„
„
Definir una función discriminante que nos clasifique los datos
actuales recogidos de la planta a alguna de las clases
definidas: normal, fallo1, fallo2, etc.
Un dato se asigna a la clase i cuando el valor máximo de la
función discriminante gi satisface:
La función discriminante que minimiza el error cuando ocurre
el evento, vi (por ejemplo un fallo) es:
donde P(vi|x) es la probabilidada posteriori de que x
pertenezca a la clase i
FDA. Detección y diagnóstico de fallos II
p(x v i )P(v i )
„
Según la regla de Bayes:
„
y suponiendo que los datos están normalmente distribuidos
P(x v i ) =
„
„
P(v i x ) =
p(x)
1
⎤
⎡ 1
T −1
exp
(x
μ
)
Σ
(x
μ
)
−
−
−
i
i
i ⎥
1/2
⎢⎣ 2
(2π2m/2 [det (Σ i )]
⎦
La función gi(x) definida anteriormente se puede sustituir
por:
sustituyendo la probabilidad:
1
m
1
g i (x) = − (x − μ i ) T Σ i−1 (x − μ i ) − ln2π − ln[det(Σ i )] + lnP(v i )
2
2
2
FDA. Detección y diagnóstico de fallos III
„
y si caracterizamos dicha función para nuestro caso
particular, considerando los vectores FDA, la función
discriminante para cada clase es:
⎛ 1
⎞
1
T
g j (x) = − (x − x j )Wa ⎜
Wa S j Wa ⎟
⎜ n j −1
⎟
2
⎝
⎠
⎞⎤
1 ⎡ ⎛⎜ 1
T
Wa S j Wa ⎟⎥
− ln ⎢det
⎟⎥
2 ⎢ ⎜⎝ n j − 1
⎠⎦
⎣
„
−1
WaT (x − x j ) + ln(p i )
Para clasificar datos se calcula la función discriminante para
cada clase y la mayor de ellas nos dice a que clase
pertenecen los datos actuales recogidos de la planta.
FDA: Ejemplo. I
„
„
„
„
Planta real de dos tanques comunicantes.
Un modelo FDA con las 5 clases (clase 1: situación normal,
clase 2: fallo en el sensor de nivel del tanque 1, clase 3: fallo
en el sensor de nivel del tanque 2, etc.)
En cada caso tenemos 2 vectores FDA, si proyectamos los
datos de cada posible situación sobre el modelo FDA:
Dispersión entre
clases:
FDA: Ejemplo II
„
„
Calculamos las funciones discriminantes
Sin fallo
Con fallo 1
FDA: Ejemplos III
„
Fallo 2
„
Fallo 3
„
Fallo 4: fallo en q2
FDA: Ejemplos IV
„
Una solución más eficaz:
„
„
Detectar fallos con PCA o PLS (sólo un modelo PCA o PLS con
datos de comportamiento normal).
Diagnosticar con FDA: un modelo FDA con 4 clases de datos:
fallos pero no el comportamiento normal.
FDA: Ejemplos V
„
Fallo 1
Fallo 4