Problemas tema 4: Corriente eléctrica 1/16 Problemas de Corriente Eléctrica Boletín 4 – Tema 4 Fátima Masot Conde Ing. Industrial 2010/11 Fátima Masot Conde Dpto. Física Aplicada III Universidad de Sevilla Problemas tema 4: Corriente eléctrica 2/16 Problema 1: Un cable conductor cuya sección transversal tiene un área de 13.30 mm2 transportan una corriente de 2 A durante 5 minutos. Calcular: a) Carga total que atraviesa cualquier sección transversal del cable en ese tiempo. b) número de electrones que atraviesan esa sección transversal, c) tiempo que tarda un electrón en recorrer una distancia de 1 cm, sabiendo que el material posee una densidad de electrones libres de 8.5 x 1028 electrones/m3. a) QT? I= I=2A dQ → dt Sup. transversal total = 2 A= 13.3 mm2 qe = 1.602 × 10-19 C n = 8.5 × 1028 e/m 3 Fátima Masot Conde b) C s (5 × ΔQ = I Δt 60 s ) = 600 C n e? ne = Q 600 C 21 = = 3.75 ×10 e-19 qe 1.602 ×10 C Dpto. Física Aplicada III Universidad de Sevilla Problemas tema 4: Corriente eléctrica 3/16 Problema 1: c) Tiempo que tarda un electrón en recorrer 1 cm.? 2A 1. Calculamos v (la veloc. del e-) I = J A = nq vA → v = I n q A 8.5 × 1028 e/m 3 J = nq v 13.3 mm2 1.602 × 10-19 C 1 cm 2.- Calculamos t: Fátima Masot Conde t= s = 946 s v Dpto. Física Aplicada III Universidad de Sevilla Problemas tema 4: Corriente eléctrica 4/16 Problema 2: Un cable conductor transporta una corriente que decrece con el tiempo según la ecuación I(t) = I0 e-t/τ, donde I0=2 A y τ= 100 s. Calcular a) la carga total que atraviesa cualquier sección transversal del cable entre t=0 y t=τ. b) La carga total que atraviesa cualquier sección entre t=0 y t → ∞ . dQ I = → dQ = I dt → dt t t -t/τ dt ∫ dq = ∫ I(t) dt = ∫ I0 e Q 0 0 0 I(t) t Q (t) = I0 (-τ) e-t/τ = I0 τ ⎡⎢1 - e-t/τ ⎤⎥ ⎣ 0 a) Q (t = τ ) = I0 τ ⎡⎣1 - e-1 ⎤⎦ = 126 C b) Q (t = ∞ ) = I0 τ ⎡⎣1 - e-∞ ⎤⎦ = Fátima Masot Conde ⎦ I0 τ = 200 C Dpto. Física Aplicada III Universidad de Sevilla Problemas tema 4: Corriente eléctrica 5/16 Problema 3: Un fusible en un circuito eléctrico es un alambre conductor que está diseñado para fundirse, y por tanto, abrir el circuito si la corriente excede un valor determinado. Suponiendo que el material que se va a emplear en un fusible se funde cuando la densidad de corriente alcanza 440 A/cm2. ¿Qué diámetro de alambre cilíndrico debe usarse para hacer un fusible que limite la corriente a 0.5 A? Diámetro? I lim ite = 0.5 A J lim ite = 440 A/cm 2 A I lim ite = J lim ite A = J lim ite ⎛d ⎞ π⎜ ⎟ ⎝2⎠ 2 2 ⎛ d ⎞ A=π ⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠ (sección transversal del cilindro) Fátima Masot Conde Dpto. Física Aplicada III d =2 I lim ite π J lim ite = 0.38 mm Universidad de Sevilla Problemas tema 4: Corriente eléctrica 6/16 Problema 4: Un bloque rectangular de hierro tiene dimensiones de 1.2 cm x 1.2 cm x15 cm, y se le aplica una diferencia de potencial entre dos lados paralelos de forma que esos lados son superficies equipotenciales. Sabiendo que la resistividad del hierro es aproximadamente 10-7 Ωm, calcular la resistencia del bloque si los lados paralelos son a) los extremos cuadrados, b) dos lados rectangulares. 1.2 a) Lados cuadrados 1.2 15 R= ρ 15 cm A 15 × 10-2 m = 10 Ωm = 10-4 Ω 2 -4 2 (1.2) × 10 m -7 (1.2)2 b) Lados rectangulares 1.2 R= ρ A = 6.7 × 10-7 Ω 15 × 1.2 Fátima Masot Conde Dpto. Física Aplicada III Universidad de Sevilla Problemas tema 4: Corriente eléctrica 7/16 Problema 5: Un alambre de cobre que tiene un diámetro de 1.02 mm, transporta una corriente de 1.67 A. Hallar a) el campo eléctrico en el alambre, b) la d.d.p. entre dos puntos del alambre separados 50 m, c) la resistencia de esos 50 m de alambre. Dato: resistividad del cobre: 1.72x10-8 Ωm. c) b) Resistencia: D.d.p. datos Ley de Ohm: R= ρ = = 1.05 Ω A V = I R = (1.67 A) (1.05 Ω) = 1.75 V 50 m ρ = 1.72×10-8 Ωm ⎛d⎞ A =π ⎜ ⎟ ⎝2⎠ d= a) Campo 2 V=E →E = 1.02 mm Fátima Masot Conde Dpto. Física Aplicada III V = 1.75 V 50 m = 0.035 V/m Universidad de Sevilla Problemas tema 4: Corriente eléctrica 8/16 Problema 6: Se dispone de una resistencia fabricada con una barra de carbono de sección 0.5 mm2, cuyo valor nominal a 20o C es de 1 Ω. Hallar a) la longitud de la barra de carbono, b) la temperatura que ha de alcanzar esa resistencia para que su valor disminuya en un 5 %. Datos: resistividad del carbono a 20o C: ρ0 = 35x10-6 Ωm. Coeficiente de temperatura α=-0.5 x10-3 K-1 a) Longitud de la barra de carbono (se supone para R0 = ρ0 A → T=20o = C) R0 A ρ0 T para que R 5% RT = R0 − 0.05 R0 = 0.95 R0 = 1.43 cm ρ0 = 35 × 10-6 Ωm (para T = 20o C) α = - 0.5 × 10-3 K -1 A = 0.5 mm 2 R 0 = 1 Ω (a T = 20o C) T0 = 20o C Fátima Masot Conde b) = = 0.95 Ω RT = R(T ) = R0 [1 + α (T − T0 )] → T = 120o C Tenemos todos los datos, despejamos T Como vemos, es una temperatura demasiado distante de T0 como para que la simple aproximación lineal pueda darse como buena. Dpto. Física Aplicada III Universidad de Sevilla Problemas tema 4: Corriente eléctrica 9/16 Problema 7: Un cable de cobre, de sección transversal A y longitud SCu, se conecta extremo con extremo con un cable de carbono de la misma sección transversal y longitud SC. a) Hallar la relación de longitudes de ambos cables para que la resistencia total del dispositivo sea independiente de la temperatura. b) Explicar por qué esta relación sólo asegura independencia de R con T para pequeñas variaciones de T. Datos: ρCu0 = 1.7x10-8 Ωm. ρC0 = 3500x10-8 Ωm Coeficiente de temperatura αCu=3.9 x10-3 K-1, αC=-0.5 x10-3 K-1. a) Cu Cu R ≠ R(T) C C Es una asociación en serie: Rtotal = RCu + RC Cu C Datos RCu (T ) = R 0 (1 + α Cu ΔT ) ρCu ,αCu ACu = AC = A ρC ,αC Fátima Masot Conde Donde ambas son funciones de T: Cu RC (T ) = R 0 C (1 + α C ΔT ) ,ΔT común para los dos segmentos Dpto. Física Aplicada III Universidad de Sevilla Problemas tema 4: Corriente eléctrica 10/16 Problema 7: Rtotal (T ) = RCu (T ) + RC (T ) = R 0 (1 + α Cu ΔT ) + R 0 Cu ⎡ ⎤ = R 0 + R 0 + ΔT ⎢ R 0 α Cu + R 0 α C ⎥ Cu C C ⎣ Cu ⎦ C (1 + α C ΔT ) = R0 R α Cu = − R α C 0 0 Cu C Cu R0 C 0 Rtotal 0 0 Para que Rtotal no sea función de T en primera aproximación, el segundo sumando debe ser cero. ∀T RC = ρC Fátima Masot Conde 0 C b) Como: RCu = ρCu Cu Cu A C A =− =− αC α Cu αC ρ 0 C α Cu ρ 0 Cu En general: R(T ) = R 0 (1 + α ΔT + βΔT 2 + …) En primera aproximación, R (T ) R0 (1 + α ΔT ) porque las potencias mayores de ΔT son despreciables para ΔT<<. (Eso sin contar con la dilatación lineal de la barra, e in extremis, la dilatación de su área transversal) Dpto. Física Aplicada III Universidad de Sevilla Problemas tema 4: Corriente eléctrica 11/16 Problema 8: Una tostadora de pan funciona aprovechando el calor desprendido por efecto Joule en una resistencia. En las tostadoras convencionales se hace pasar la corriente de red (220 V) a través de un cable de nicromo, (aleación de Ni y Cr, cable de cobre, ρ0 = 10-6 Ωm a 20oC, y α=0.4 x10-3 K-1). Supongamos que deseamos diseñar la tostadora para 900 W, con un cable de nicromo, de calibre 22 (0.6438 mm). Sabiendo que el cable alcanza una temperatura de unos 1000oC en funcionamiento, calcular: a) la longitud del cable necesaria, b) Equipando la tostadora con otro cable adicional de la misma longitud, puede lograrse que ésta consuma aprox. ¿Cuál será el tipo de conexión adecuada para ello? Datos I ρ0 Sabemos a T=20o α P=900 W a 1000o V = 220 V V /R IR 2 V P = I ⋅ V = I 2R = R D=0.6438 mm Fátima Masot Conde Dpto. Física Aplicada III Universidad de Sevilla Problemas tema 4: Corriente eléctrica 12/16 Problema 8: De los datos, tenemos: R20o = ρ0 Pero no nos interesa la resistencia a 20 oC, sino a 1000 oC, que es la operación normal de la tostadora, donde deseamos desarrollar los 900 W de potencia. A De la potencia, calculamos R1000 220 V P = 900 W(para 1000o C ) R1000o = ρ1000 Y de los datos, → R1000 A 1000 π ( D / 2) ρ1000 ρ1000 Fátima Masot Conde V2 = R1000 2 (T − T0 ) 20 ρ0 (1 + α ΔT ) Dpto. Física Aplicada III Universidad de Sevilla Problemas tema 4: Corriente eléctrica 13/16 Problema 9: Se Se dispone dispone de de una una batería batería de de 12 12 VV con con una una resistencia resistencia interna interna de de 0.5 0.5 W, W, yy de de dos dos pequeñas bombillas iguales, que pueden modelarse cada una con una resistencia pequeñas bombillas iguales, que pueden modelarse cada una con una resistenciade de 20 20W. W.a) a)SiSise seconectan conectanen enserie serieaalalabatería, batería,¿cuál ¿cuáldará darámás másluz? luz?SiSise seconectan conectanen en paralelo, paralelo,¿iluminarán ¿iluminaránmás másoomenos menosque queen enserie? serie? a) b) Las dos iguales. Las dos bombillas están en las mismas condiciones de potencial e intensidad, así que consumen lo mismo. Comparación serie-paralelo: Serie: R R ≡ RS = 2 ⋅ R /2 R Paralelo: Fátima Masot Conde /2 R ≡ Dpto. Física Aplicada III RP = R 2 Universidad de Sevilla Problemas tema 4: Corriente eléctrica 14/16 Problema 9: Si Sinuestra nuestrabatería bateríafuera fueraideal ideal(r=0): (r=0): Serie: ε Paralelo: RP = ε Fátima Masot Conde ε2 RS = 2 ⋅ R R 2 PP RP RS 2R = 2 = = =4 PS ε RP R / 2 RS La potencia disipada en las bombillas cuando están en paralelo es cuatro veces mayor que en serie. (para una batería ideal) Dpto. Física Aplicada III Universidad de Sevilla Problemas tema 4: Corriente eléctrica 15/16 Problema 9: Pero Peronuestra nuestrabatería bateríano noes esideal: ideal: VS = RS I S Serie: IS RS = 2 ⋅ R ε r r= R RP RS = = 40 20 80 El potencial que cae en las bombillas es ahora distinto, según estén en serie o paralelo, si la batería tiene resistencia interna, no nula (batería real). ε = I S ( RS + r ) VP = RP I P Paralelo: IP RP = ε Fátima Masot Conde R 2 (dato) IS = ε ( RS + r ) serie ε = I P ( RP + r ) r Dpto. Física Aplicada III IP = ε ( RP + r ) paralelo Universidad de Sevilla Problemas tema 4: Corriente eléctrica 16/16 Problema 9: r= R RP RS = = 40 20 80 (dato) La relación entre las potencias, en un caso y otro, ahora: 2 ⎛ ε ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ 2 2 R r + R r + ) = PP I P RP RP ⎝ p ⎠ = RP ( S = 2 = PS I S RS RS ⎛ ε ⎞ 2 RS ( RP + r ) 2 ⎜ ⎟ R r + ⎝ S ⎠ Factor de corrección por batería real 2 RS (1 + r / RS ) RP RS (1 + r / RS ) = = ⋅ 2 2 RS RP (1 + r / RP ) RP (1 + r / RP ) 2 2 2 (1 + 1 / 80 ) = 4⋅ 2 (1 + 1 / 20 ) 2 = 3.7 Caso de batería ideal (r=0) Fátima Masot Conde Dpto. Física Aplicada III Universidad de Sevilla